第一篇：全等三角形總結與復習練習題概要

八年級數學全等三角形總結與復習練習題

【同步教育信息】

一.本周教學內容：

全等三角形復習與小結

二.教學目標：

1.回顧思考本章內容，會靈活運用本章知識進行計算和證明。

2.進一步鞏固三角形全等的性質及判定三角形全等的方法，培養和提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

3.進一步掌握數學幾何問題的解法，拓展學生的發散思維能力。

三.教學重點和難點：

重點：全等三角形的概念和性質，三角形全等的判定方法和直角三角形的性質和判定。

難點：三角形全等的判定與性質的綜合應用，靈活選用判定三角形全等的方法解決問題，并能用基本尺規作圖進行綜合作圖。

四.本章知識網絡圖：

五.本章知識要點總結：

1.旋轉的定義：

將一個平面圖形F上的每一個點，繞這個平面內一定點旋轉同一個角α，得到圖形F'，圖形的這種變換叫旋轉。

2.旋轉的性質：

性質1：對應點到旋轉中心的距離相等。

性質2：對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等，且等于旋轉角。

性質3：旋轉不改變圖形的形狀和大小。

3.全等三角形及其性質：

（1）全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形。

（2）全等三角形：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。

（3）全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF（4）全等三角形的性質：

①全等三角形的對應邊相等；

②全等三角形的對應角相等； ③全等三角形周長、面積相等。

4.三角形全等的判定定理

（1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。

（2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。

5.直角三角形：

（1）直角三角形的性質：

①直角三角形中兩銳角互余。

②如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

④在直角三角形中，有一個角為90°。

⑤在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°⑥在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2＋b2＝c2。

（2）直角三角形的判定：

①有一個角為90°的三角形為直角三角形。

②有兩個角互余的三角形為直角三角形。

③如果三角形的三邊長a、b、c，有下面關系：

a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。

6.作三角形

（1）已知三邊作三角形。

（2）已知兩邊及其夾角作三角形

（3）已知兩角及其夾邊作三角形

六、規律與方法

1.三角形的邊角關系：

（1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形內角和等于180°。

（3）三角形的任一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

2.三角形的分類：

3.證明線段相等的方法：

（1）可證明它們所在的兩個三角形全等。

（2）角平分線性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等。

（3）等角對等邊。

（4）等腰三角形的三線合一的性質。

（5）垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

（6）等式的性質。

（7）中點的定義。

4.證明角相等的方法：

（1）同角（等角）的余角相等。

（2）同角（等角）的補角相等。

（3）平行線的性質：

①兩直線平行，同位角相等。②兩直線平行，內錯角相等。

（4）全等三角形的對應角相等。

（5）等邊對等角。

（6）角平分線的定義。

（7）等式的性質。

（8）對頂角相等。

5.證明垂直的方法

（1）證鄰補角相等。

（2）證和已知直角三角形全等。

（3）勾股定理的逆定理。

6.常見輔助線的作法：

（1）在△ABC中，如AD是中線，常采用的作法是：

①延長AD到E，使DE＝AD，連結BE（或過B作BE∥AC，交AD的延長線于E），如圖甲。

②取AC的中點E，連結DE（或過D作DE∥BA，交AC于E），如圖乙。

③延長BA至E，使AE＝AB，連結CE（或過C作CE∥AD交BA的延長線于E），如圖丙。

（2）在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線，常采用的作法是：

①延長BA至E，使AE＝AC，連結CE（或過C作CE∥AD，交BA的延長線于E），如圖甲。

②在較長邊AB上截取AE＝AC，連結DE，如圖乙。

③過C作CE∥AB，交AD的延長線于E，如圖丙。

④過D作DE∥AB，交AC于E，如圖丁。

（3）在△ABC中，若D是AB的中點，常采用的作法是：

①過D作DE∥BC，交AC于E。

②取AC的中點E，連結DE。

③連結CD，用中線的性質。

④若已知△ABC為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質：如為等腰三角形，考慮頂點平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有一個角是30°的直角三角形，考慮斜邊中線及30°角所對邊之間的關系，常可作出中線。

七、數學思想方法

1.通過學習，逐步學會運用分析、綜合、歸納、概括及類比的方法，逐步發展有條理的思考和表達能力。

2.轉化的思想：將復雜問題轉化，分解，將實際問題轉化成幾何問題解決。

3.圖形處理方法：

（1）分解圖形法：

復雜圖形都是由較簡單的基本圖形組成，故可將復雜圖形分解成基本圖形。

（2）構造圖形的方法：

當直接說明問題有困難時，常添加輔助線，構造圖形達到解題目的。

八、掌握以下8類問題及其解法，并領會其中的數學思想：

1.能夠利用三角形全等的判定及其性質，證明線段或角相等，領會全等形的思想。

2.能夠利用等腰三角形和直角三角形的特殊性質解題，領會一般與特殊的關系。

3.能夠理解旋轉，角平分線的概念及其性質，領會對稱思想。

4.能夠理解逆命題與逆定理的概念，領會對立統一的思想。

5.通過幾何問題一題多解的研究和推理論證分析綜合的訓練，滲透轉化思想和辨證唯物主義觀點。

6.通過對實際問題的研究體現理論聯系實際的思想。

7.通過用代數方法解決幾何問題又體現了數形結合的思想和方程的思想。

8.能夠運用尺規作圖，將作圖問題轉化為基本作圖，領會化歸思想。

【典型例題】

（一）構造全等三角形法：

例1.已知：如圖，AB∥CD，AD∥BC，證明：AB＝DC，AD＝BC

分析：需得到AB＝DC，AD＝BC，需構造三角形，因此可添加輔助線：連結AC。

證明：連結AC ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2 又∵AD∥BC ∴∠3＝∠4 在△ADC和△CBA中

∴△ADC≌△CBA（ASA）

∴AB＝DC，AD＝BC（全等三角形的對應邊相等）例2.如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延長線于E，求證：BD＝2CE。

分析： 和CE⊥BD”，想到延長CE、BA相交于F，因此先證明CF＝2CE，再證明BD＝CF。由此知需要證明△ABD≌△ACF。

證明：延長CE、BA相交于F 在△FBE和△CBE中

∴△BEF≌△BEC

∴CF＝2CE 在Rt△BEF中，∠2＝90°－∠F 同理∠1＝90°－∠F ∴∠1＝∠2 在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF ∴BD＝CF ∴BD＝2CE 小結：①在題目中如果含有角平分線且含有和這條角平分線垂直的條件時，要想到翻折圖形，此題所作的輔助線，實質上是將Rt△BCE以BE所在的直線為軸翻折過去得Rt△BFE。

②此題圖中，可以把BE、CA看成是△FBC的兩條高，注意“∠1＝∠2”這個結論。

（二）巧用勾股定理

例3.已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC上任一點，求證：AB2－AD2＝BD·DC（AB＞AD）

分析：此題的求證中出現了AB和AD，由此可聯想到把它們放到兩個直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子，因此想到作輔助線AE⊥BC于E。

證明：過A作AE⊥BC于E ∵AB＝AC，AE⊥BC ∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝90°

在Rt△AEB和Rt△AED中，由勾股定理得：

例4.如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點E為AB的中點，點F在AD邊上，且AF

求證：EF⊥CE

分析：此題中的已知條件告訴了我們邊之間的關系，若設AF＝a，則可得正方形邊長為4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a，由直角三角形和這些邊的關系，我們很容易想到勾股定理和其逆定理來證明兩條直線互相垂直。

證明：連結FC，設AF＝a，則正方形邊長為4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a 由勾股定理得：

在Rt△AEF中，在Rt△BCE中，在Rt△CDF中，由勾股定理的逆定理知△EFC為直角三角形

且CF為斜邊

∴EF⊥EC

（三）截長補短法：

例5.如圖甲，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD

分析：此題是證兩條線段的和等于第三邊，這類型的題我們通常采用截長補短法，①截長法即為在這三條最長的線段截取一段使它等于較短線段中的一條，然后證明剩下的一段等于另一條較短的線段。②補短法即為在較短的一條線段上延長一段，使它們等于最長的線段，然后證明延長的這一線段等于另一條較短的線段。

證明一：截長法：

如圖乙，在AB上截取AE＝AC，連結DE

在△ADE和△ADC中

∴△ADE≌△ADC（SAS）

∴DE＝DC，∠AED＝∠C ∵∠C＝∠AED＝∠B＋∠BDE＝2∠B ∴∠EBD＝∠EDB ∴BE＝DE ∴BE＝DC ∴AB＝AE＋EB＝AC＋DC 即AB＝AC＋DC 證明二：補短法

如圖丙，延長AC至E，使AE＝AB，連結DE

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED ∴∠B＝∠E ∵∠ACB＝2∠B＝∠E＋∠EDC ＝∠B＋∠EDC ∴∠E＝∠EDC ∴CD＝CE ∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD 即AB＝AC＋CD

【模擬試題】（答題時間：50分鐘）

（一）填空題：

1.已知一個等腰三角形的一個外角是120°，腰長是a，則它腰上的高是___________。

2.一直角三角形的兩邊長是12，5，則第三邊長是___________。

3.AB是Rt△ABC的斜邊，中線AD＝7，中線BE＝4，則AB＝___________。

4.已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周長為13，若AB＝4，BC＝6，則DF的長是___________。

5.如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8cm，CD是AB邊上的高，則AD＝___________，BD＝___________。

圖1 6.如圖2，已知AB＝AC＝10cm，AB∥CD，CD⊥AD，若∠B＝75°，則∠DAC＝___________，AD＝___________cm。

圖2 7.等邊三角形繞它的三條高線的交點旋轉120°，240°，…，都能與自己重合，它的旋轉中心是___________，對應線段是___________。

8.若圖形甲按順時針方向旋轉30°得到圖形乙，那么圖形乙按順時針方向旋轉___________就得到圖形甲。

9.正五角星繞著它的中心至少旋轉___________可以與原圖重合。

10.已知線段a，求作等邊三角形，使其邊長為a，其作法是

（1）作線段AB＝___________。

（2）分別以A、B為圓心，以___________為半徑作弧，兩弧交于點C。

（3）連結___________和___________。

則△ABC為所求的等邊三角形。

（二）選擇題：

1.下列作圖語言，敘述正確的是（）

A.以A、B為端點，作直線AB B.以B為端點，作射線AB C.作線段AB，使AB＝a D.連結AB，使AB⊥a 2.已知直角三角形的一直角邊為2，一銳角為60°，則這個直角三角形的周長為（）

A.B.C.D.3.如圖3，AB⊥CD，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若CD＝8，BE＝3，則AC為（）

圖3 A.8 B.5 C.3 D.4.下列現象屬于旋轉的是（）

A.摩托車在急剎車時向前滑動

B.空中飛舞的雪花

C.擰開自來水龍頭的過程

D.飛機起飛沖向空中的過程

5.某三角形三邊長分別是整數，周長是11，一邊長是4，則這個三角形可能的最大邊長是（）

A.7 B.6 C.5 D.4 6.有六根細木棒，它們的長度分別是2，4，6，8，10，12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連結搭成一個直角三角形，則這三根細木棒的比度分別為（）

A.2，4，8 B.4，8，10 C.6，8，10 D.8，10，12 7.下列條件中，能判定△ABC≌△A'B'C'的是（）

①∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' ②AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C' ③AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C' ④BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠C＝∠A' A.只有③ B.只有②③

C.只有②③④ D.只有①③

8.如圖5，將△BAC繞點A旋轉60°至△DAE位置，若∠BAC＝120°，則△ABD是_______________三角形。

圖5 A.等邊三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

9.如圖6，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，則下列各式中正確的是（）

圖6 A.△ABD≌△ACE B.△ADF≌△AEG C.△BMF≌△CMG D.△ADC≌△ABE

（三）已知：在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求證：。

（四）如圖7，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是△ABC內一點，將△ADB繞A點旋轉至△AD'C，△AD'C與△ADB能完全重合，求∠DAD'的度數。

圖7

（五）已知：如圖8△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，點M、N分別在AB、AC上，且∠MDN＝60°

求證：△AMN的周長l＝2

圖8

【試題答案】

（一）1.2.3.4.3 5.2，6 6.60°，5 7.三條高線交點，三邊

8.330°

9.72°

10.a，a，AC，BC

（二）1.C 2.D 3.D 4.C 5.C 解析：設最大邊長為x，則另一邊長為7－x，根據三角形三邊關系得：4＋7－x＞x，解得，因為x是整數，所以x＝5。

6.C 7.B 8.A 9.D

（三）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°

∵DE⊥AB，∴DE ∵DF⊥AC，∴ ∴DE＋DF

（四）∵△AD'C與△ADB完全重合∴△AD'C≌△ADB ∴∠BAD＝∠CAD' ∵∠BAC＝90°

∴∠BAD＋∠DAC＝90°

∴∠CAD'＋∠DAC＝90°

即∠DAD'＝90°

（五）證明：∵∠ABC＝∠ACB＝60°

∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠DBA＝∠ACD＝90°

∵DC＝DB

∴可將△DBM繞點D順時針旋轉120°得△DCE 即△DCE≌△DBM ∴MD＝ED，∠MDB＝∠EDC，∠MDE＝120°

又∠MDN＝60°

∴∠NDE＝60°

∴△DEN是將△DMN沿DN翻折過來的∴△MDN≌△EDN ∴MN＝EN 即l＝MA＋MN＋AN ＝AM＋AN＋NE ＝（AB－BM）＋（AC＋CE）

＝AB＋AC

＝2 【勵志故事】

云在低處飛

姐姐家在福建山區，那一年，她在家對面的半山腰上辦了一個黑木茸種植園。在幾萬截朽木段里挖孔填菌，讓它們自然生發。一年下來，姐姐培植的黑木茸，產量并不高，辛辛苦苦360天，保本都有點困難。

后來，姐姐請了一個林科所的專家來把脈，才知癥結之所在。原來，黑木茸培植基地處在半山腰上，這里經常飄浮著山云，濕氣大，對黑木茸最初的生長不利。專家給姐姐提了個建議，云只在低處飛，只要把基地搬到山頂上去，問題就能得到解決。

姐姐在專家的指導下，把基地上移，當年就喜獲豐收。人生何嘗不是如此？云只在低處飛，它遮住的只是在底層徘徊的人的去路。若要獲得人生的晴空，路徑只有一條，就是拼命地向上，向上！

第二篇：全等三角形練習題(證明)

全等三角形練習題（8）

一、認認真真選，沉著應戰！

1．下列命題中正確的是（）

A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中線相等

C．全等三角形的角平分線相等D．全等三角形對應角的平分線相等 2． 下列各條件中，不能做出惟一三角形的是（）

A．已知兩邊和夾角B．已知兩角和夾邊

C．已知兩邊和其中一邊的對角D．已知三邊

4．下列各組條件中，能判定△ABC≌△DEF的是()

A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周長= △DEF的周長

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

5．如圖，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM：∠BCN等于（）

A．1:2B．1:3C．2:3D．1:

46．如圖，∠AOB和一條定長線段A，在∠AOB內找一點P，使P到OA、OB的距離都等于A，做法如下：（1）作OB的垂線NH，使NH=A，H為垂足．（2）過N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分線OP，與NM交于P．（4）點P即為所求．

其中（3）的依據是（）

A．平行線之間的距離處處相等

B．到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上

C．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

D．到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上

7． 如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條 角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）

A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰

58．如圖，從下列四個條件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三個為條件，ANCA

C F 余下的一個為結論，則最多可以構成正確的結論的個數是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

9．要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，先在AB的垂線BF上 取兩點C，D，使CD=BC,再定出BF的垂線DE，使A，C，E在同 一條直線上，如圖，可以得到?EDC??ABC，所以ED=AB，因

E

此測得ED的長就是AB的長，判定?EDC??ABC的理由是（）A．SASB．ASAC．SSSD．HL

10．如圖所示，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，則∠α的度數為（）

A．80°B．100°C．60°D．45°．

二、仔仔細細填，記錄自信！

11．如圖，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，則∠CED=_____．

12．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周長為23cm，BC=4 cm，則△DEF的邊中必有一條邊等于______．

13． 在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分線交BC于D，且BD︰DC=5︰3，則D到AB的距離為_____________．

14． 如圖，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D，E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出_____個．

BE

BCDE

?分別是銳角三角形ABC和銳角三角形A?B?C?中BC,B?C?邊上的高，且15． 如圖，AD，A?D?B，?AB?AAD?

?D?若使△ABC≌△A?B?C?，請你補充條件___________．(填寫一個你認為適A．

當的條件即可)

C

'

'

B D D

17． 如果兩個三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角的關

'

C

'

系是__________．

19． 如右圖，已知在?ABC中，?A?90?,AB?AC,CD平

分?ACB，DE?BC于E，若BC?15cm，則△DEB 的周長為cm．

E

C

20．在數學活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C=900，E是

BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=350，如圖，則∠EAB是多少 度？大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出正確答案，是______．

三、平心靜氣做，展示智慧！

21．如圖，公園有一條“Z”字形道路ABCD，其中

AB∥CD，在E,M,F處各有一個小石凳，且BE?CF，M為BC的中點，請問三個小石凳是否在一條直線上？說出你推斷的理由．

22．如圖，給出五個等量關系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C⑤?DAB??CBA．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結論，推出一個正確 的結論（只需寫出一種情況），并加以證明．

已知：

求證：

證明：

23．如圖，在∠AOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于點C． 求證：點C在∠AOB的平分線上．

A

B

B

如圖，已知△ABC和△DEC都是等邊三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直線上，連結BD和AE.求證：BD=AE.2．已知：如圖點C是AB的中點，CD∥BE，且CD=BE.求證：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的兩點，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求證：CF=DE。

4．如圖，D、E、F、B在一條直線上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求證：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。

1、已知：如圖，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求證：△AFC≌△DEB4、已知：AD為△ABC中BC邊上的中線，CE∥AB交AD的延長線于E。

求證：（1）AB＝CE； ５、已知：AB＝AC，BD＝CD

求證：（1）∠B＝∠C

（2）DE＝DF

６．已知：AD為△ABC中BC邊上的中線，CE∥AB交AD的延長線于E。７．已知：如圖，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC。

求證：△ADC≌△CBA

求證：（1）AB＝CE；

參考答案

一、1—5：DCDCD6—10：BCBBA

二、11．100° 12．4cm或9．5cm 13．1．5cm 14．4 15．略

16．1?AD?5 17． 互補或相等 18． 180 19．15 20．350

三、21．在一條直線上．連結EM并延長交CD于F' 證CF?CF'． 22．情況一：已知：AD?BC，AC?BD

求證：CE?DE（或?D??C或?DAB??CBA）

證明：在△ABD和△BAC中 ∵AD?BC，AC?BD

AB?BA

∴△ABD≌△BAC

∴?CAB??DBA∴AE?BE

∴AC?AE?BD?BE

即CE?ED

情況二：已知：?D??C，?DAB??CBA

求證：AD?BC（或AC?BD或CE?DE）證明：在△ABD和△BAC中?D??C，?DAB??CBA∵AB?A B

∴△ABD≌△BAC

∴AD?B C

23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴點C在∠AOB的平分線上．

四、24．(1)解：△ABC與△AEG面積相等

過點C作CM⊥AB于M，過點G作GN⊥EA交EA延長線于N，則

?AMC??ANG?90?

?四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形

??BAE??CAG?90，AB?AE，AC?AG??BAC??EAG?180

??

??EAG??GAN?180??BAC??GAN?△ACM≌△AGN

?

D

?CM?GN?S△ABC?

AB?CM，S△AEG?

12AE?GN

?S△ABC?S△AEG

(2)解：由(1)知外圈的所有三角形的面積之和等于內圈的所有三角形的面積之和

?這條小路的面積為(a?2b)平方米．

第三篇：全等三角形的判定復習與總結

全等三角形的判定

一、知識點梳理

注意：判定兩個三角形全等必須具備的三個條件中“邊”是不可缺少的，邊邊角（SSA）和角角角（AAA）不能作為判定兩個三角形全等的方法。

技巧平臺：

證明兩個三角形全等時要認真分析已知條件，仔細觀察圖形，明確已具備了哪些條件，從中找出已知條件和所要說明的結論的內在聯系，從而選擇最適當的方法。根據三角形全等的條件來選擇判定三角形全等的方法，常用的證題思路如下表：

?AB?AD

?解：相等。理由：連接AC，在△ABC和△ADC中，?CB?CD

?AC?AC?，?∠B=∠D（全等三角形的對應角相等）?△ABC≌△ADC（SSS）

點評：證明兩個角相等或兩條線段相等，往往利用全等三角形的性質求解。有時根據問題的需要添加適當的輔助線構造全等三角形。

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例2.（SSS）如圖，△ABC是一個風箏架，AB=AC,AD是連接A與BC中點D的支架，證明：AD⊥BC.分析：要證AD⊥BC，根據垂直定義，需證∠ADB=∠ABD≌△ACD求得。

證明：?D是BC的中點，?BD=CD

?AB?AC

?

在△ABD與△ACD中，?BD?CD

?AD?AD?

BDC

?△ABD≌△ACD(SSS)，?∠ADB=∠ADC（全等三角形的對應角相等）?∠ADB+∠ADC=180?（平角的定義）

?∠ADB=∠ADC=90?，?AD⊥BC（垂直的定義）

例3.（SAS）如圖，AB=AC,AD=AE,求證：∠B=∠C.分析：利用SAS證明兩個三角形全等，∠A是公共角。

?AB?AC?

??A??A

證明：在△ABE與△ACD中,?

AE?AD?

?△ABE≌△ACD(SAS),?∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）

例4.（SAS）如圖，已知E,F是線段AB上的兩點，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求證：DF=CE.分析：先證明AF=BE，再用SAS證明兩個三角形全等。證明：?AE=BF(已知)

?AE+EF=BF+FE,即

AF=BE

?AD?BC

?

在△DAF與△CBE中,??A??B

?AF?BE?

?△DAF≌△CBE(SAS),?DF=CE（全等三角形的對應角相等）

點評：本題直接給出了一邊一角對應相等，因此根據SAS再證出另一邊（即AF=BE）相等即可，進而推出對應邊相等。

練習、如圖，AB,CD互相平分于點O，請盡可能地說出你從圖中獲得的信息（不需添加輔助線）。

例5.（ASA）如圖，已知點E,C在線段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求證：AB=DE.龍文教育東曉南分校電話：020-62769991

分析：要證AB=DE，結合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到證△ABC≌△DEF的條件。

證明:?AB∥DE,?∠B=∠DEF.又?BE=CF，?BE+EC=CF+EC,即BC=EF.??B??DEF?

在△ABC與△DEF中,?BC?EF

??ACB??F?

?△ABC≌△DEF(ASA),?AB=DE.例6.（AAS）如圖，已知B,C,E三點在同一條直線上，AC∥△ABC≌△CDE.分析：在△ABC與△CDE中，條件只有AC=CE,由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的條件就有了。證明：?AC∥DE，?∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.又?∠ACD=∠B,?∠B=∠D.??B??D?

在△ABC與△CDE中,??ACB??E,?AC?CE?

?△ABC≌△CDE(AAS).解題規律：通過兩直線平行，得角相等時一種常見的證角相等的方法，也是本題的解題關鍵。

例7.（HL）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90?,點D為斜邊BC上一點，且BD=BA,過點D作BC得垂線，交AC于點E，求證：AE=ED.分析：要證AE=ED，可考慮通過證相應的三角形全等來解決，但圖中沒有現成的三角形，因此要考慮添加輔助線構造出兩線段所在的三角形，結合已知條件，運用“三點定形法”知，連接BE即可。證明：連接BE.?ED⊥BC

于D,?∠EDB=90?.?BA?BD?BE?BE

在Rt△ABE與Rt△DBE中，?

?Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),?AE=ED.解題規律：連接BE構造兩個直角三角形是本題的解題關鍵。特別提醒：連公共邊是常作得輔助線之一。

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三、課堂同步練習

1.如圖，AB=AD,CB=CD,△ABC與△ADC

2.如圖，C是AB的中點，AD=CE,CD=BE,3.如圖，△ABC中，AB=AC,AD是高，求證：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.4.如圖，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求證∠ABD=∠

5.如圖，點B,E,C,F在一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求證∠A=∠D.龍文教育東曉南分校電話：020-62769991

6.如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC,OB=OD.求證DC∥AB.7.如圖，點B,E,C,F在一條直線上，FB=CE,AB∥

8.如圖，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求證：AB=DC。

E?ED，?1??29.已知B,求證：? ABE??CDE

BC

A

D

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第四篇：“全等三角形”單元小結與復習

“全等三角形”單元小結與復習

一、選擇題（每題3分，共30分）

1、在△ABC與△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下列條件后，還不能斷定△ABC≌△DEF的是（）

A．BC=EF

B．AC=DF

C．∠A=∠D

D．∠C=∠F

2、如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DE于F，∠B=∠D=30°，∠ACB=∠AED=110°，∠DAC=10°，則∠DFB等于（）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

3、如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則圖中共有全等三角形（）

A．2對

B．3對

C．4對

D．5對

4、如圖，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，則①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上．以上結論正確的是（）

A．只有①

B．只有②

C．只有①和②

D．①②③

5、如圖，△ABC≌△A′B′C′，且∠A︰∠ABC︰∠ACB=1︰3︰5，則∠BCA與∠BCB′的比等于（）

A．1︰2

B．1︰3 C．5︰4

6、下列四種說法中，不正確的是（）

D．2︰3 A．在兩個直角三角形中，若兩直角邊對應相等，則斜邊上的中線也對應相等

B．在兩個直角三角形中，若斜邊和一直角邊對應相等，則這兩個三角形的面積也相等

C．在兩個直角三角形中，若斜邊對應相等，則這兩個直角三角形的周長也相等

D．在兩個直角三角形中，若斜邊和其中一個銳角對應相等，則這兩個直角三角形斜邊上的高也對應相等

7、AD是△ABC的角平分線，自D向AB、AC兩邊作垂線，垂足為E、F，那么下列結論中錯誤的是（）

A．DE=DF

B．AE=AF

C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF

8、如圖，點E在△ABC外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，則（）

A．△ABD≌△AFD

B．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE

9、如圖，AB//CD，AC//BD，AD、BC相交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有（）

A．5對

B．6對

C．7對

D．8對

10、如圖，D為BC的中點，DE⊥DF，E、F分別在AB、AC邊上，則BE＋CF（）

A．大于EF

B．小于EF

C．等于EF

二、填空題（每題3分，共18分）

D．與EF的大小無法比較

11、已知△ABC≌△DEF，A與D是對應頂點，B與E是對應頂點，△ABC的周長為18cm，AB=5cm，BC=6cm，則DE=________cm，EF=________cm，DF=________cm．

12、已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面積為18cm，則EF邊上的高為________．

213、△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據“HL”判定，還需要加條件________，若加條件∠B=∠C，則可用________判定．

14、BM為△ABC中AC邊上的中線，若AB=2，BC=4，則中線BM的取值范圍是________．

15、（2004·紹興）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，請你添加一個條件，寫出一個正確的結論（不要在圖中添加輔助線，字母）

條件：________________________________ 結論：________________________________

16、在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分線AD交BC于D．且CD︰DB=3︰5，則D到AB的距離為________．

三、解答題（共72分）

17、（8分）如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，FC//AB．求證：AE=CE．

18、（10分）如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AD=AE，BD=EC，求證：AB=AC．

19、（10分）如圖，要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，這時測得的DE的長就是AB的長，請說明理由．

20、（10分）小明在墻上釘了一根木條，想檢驗木條是否是水平的？聰明的小華想出了這樣的一個辦法：如圖，做一個三角架使AB=AC，并在BC的中點D處掛一重錘，自然下垂，調整架身，使A點恰好在重錘線上．那么BC就處于水平位置，你能說明理由嗎？

21、（12分）如圖，AC//BD，EA，EB分別平分∠CAB，∠DBA，CD過點E，求證：AB=AC＋BD．

22（10分）如圖，在△ABE和△ACD中，得出以下四個論斷：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）AM=AN；（4）AD⊥DC，AE⊥BE，以其中三個論斷為題設，填入下面的“已知”欄中，以一個論斷為結論，填入下面的“求證”欄中，使之組成一個真命題，并寫出證明過程．

已知：________________________________．

求證：________________________________ ．

23、（12分）如圖四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求證：AD＋AB=2AE．

答案：

一、選擇題

1～

5、ＢＡＤＤＣ

6～

10、ＣＣＤＣＡ

提示：

2、∵∠ACB=110°，∠B=30°，∴∠CAB=180°－110°－30°=40°．

又∵∠DAC=10°，∴∠DAB=50°，∴∠DOB=∠DAB＋∠B=80°，∴∠DFB=∠DOB－∠D=80°－30°=50°．

5、設∠A=x°，則∠ABC=3x°，∠ACB=5x°．

∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠ACA′．

又∵∠ACA′=∠B＋∠A=4x°，∴∠BCB′=4x°，∴∠BCA︰∠BCB′=5︰4．

8、∵∠ADC=∠1＋∠B，∠3=∠1，∴∠ADE=∠B．

又∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．

又∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．

10、延長FD到G，使DG=DF，連結BG、EG．

先證△BDG≌△CDF，得BG=CF．

再證△EDG≌△EDF，得EG=EF，則△BEG中，BE＋BG>EG，∴填A．

二、填空題 11、5，6，712、6cm

13、AB=AC，AAS 14、1

15、AD=DB，AC=BC．

16、6cm 提示：

12、設EF邊上的高為xcm，則×6x=18，∴x=6cm．

14、延長BM到N，使MN=BM，連結CN，則△CMN≌△AMB，∴CN=AB=2，∴△BCN中，4－2

即2<2BM<6，∴1

16、過D作DE⊥AB于E，則易證DE=DC．

設CD=3x，DB=5x，則3x＋5x=16，∴x=2，∴DE=3x=6(cm)．

三、解答題

17、證明：

∵FC//AB，∴∠F=∠3．

在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF，∴AE=CE．

18、證明：

過A作AF⊥BC于F，∴∠AFD=∠AFE=90°．

在Rt△AFD和Rt△AFE中

∴Rt△AFD≌Rt△AFE，∴DF=EF．

又∵BD=CE，∴BF=CF．

在△ABF和△ACF中

‘

∴△ABF≌△ACF，∴AB=AC．

19、已知：AB⊥BF于B，ED⊥BF于D，AE、BF交于點C，且CD=BC． 求證：DE=AB．

證明：在△DEC和△BAC中

∴△DEC≌△BAC，∴DE=AB． 20、已知：△ABC中，AB=AC，BD=CD，DA是鉛錘線．

求證：BC處于水平位置． 證明：在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD，∴∠1=∠2．

又∵∠1＋∠2=180°，∴∠1=90°，∴DA⊥BC．

又∵DA是鉛錘線，∴BC處于水平位置．

21、證明：在AB上截取AF=AC，連結EF．

在△ACE和△AFE中

∴△ACE≌△AFE，∴∠3=∠C．

又∵AC//BD，∴∠C＋∠D=180°．

又∵∠3＋∠4=180°，∴∠4=∠D．

在△BEF和△BED中

∴△BEF≌△BED，∴BF=BD．

又∵AB=AF＋BF，22、已知：如圖，在△ABE和△ACD中，AB=AC，AD=AE，AD⊥DC，AE⊥BE．

求證：AM=AN．

證明：∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠D=∠E=90°．

在Rt△ADC和Rt△AEB中

∴Rt△ADC≌Rt△AEB，∴∠DAC=∠EAB，∴∠1=∠2．

在△ADM和△AEN中

∴△ADM≌△AEN，∴AM=AN． ∴AB=AC＋BD．

23、證明：延長EB到F，使EF=EA，連結CF． 在△ACE和△FCE中

∴△ACE≌△FCE，∴∠3=∠F，AC=CF．

又∵∠3=∠4，∴∠4=∠F．

又∵∠1＋∠2=180°，∠D＋∠1=180°，∴∠D=∠2．

在△ADC和△FBC中

∴△ADC≌△FBC，∴AD=FB．

又∵AF=2AE，∴AD＋AB=2AE．

第五篇：平行線和全等三角形練習題

初一數學 姓名：

1、已知A、F、C、D四點在同一條直線上，AC=DF，AB//DE，EF//BC，（1）試說明 ⊿ABC≌⊿DEF（2）∠CBF=∠FEC

2、如果兩個三角形有兩個角和這兩個角夾邊的高對應相等，那么這兩個三角形全等。已知：在和中

于D，于D’，且

求證：

3、如圖⊿ABC和⊿ECD都是等腰直角三角形，點C在AD上，AE的延長線交BD于點F，求證：AF⊥BD

4、如圖(1)⊿ABC中, ∠ABC=45.,H是高AD和BE的交點,(1)請你猜想BH和AC的關系,并說明理由

(2)若將圖(1)中的∠A改成鈍角，請你在圖（2）中畫出該題的圖形，此時（1）中的結論還成立嗎？請說明理由。

5、已知，如圖AB//CD，BE、CE分別是、的平分線，點E在AD上，求證：

6、如圖⊿ ABC中，∠ACB=900，AC=AB，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE于F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D，求證 ：AE=CD

7、如圖所示，CF、BE是⊿ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，（1）AP與AQ的關系

QA

F

E

P CB

（2）題中的⊿ABC改為鈍角三角形，其它條件不變，上述結論還正確嗎？請畫圖并證明你的結論。

A

BC

8、以知∠AOB=900，OM平分∠AOB，將一塊直角三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA、OB交于點C、D，則線段PC與PD相等嗎？為什么？

9、如圖（1）A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中點嗎？請證明你的結論。若將 ⊿ABC的邊EC經AC方向移動變為圖（2）時，其余條件不變，上述結論還成立嗎？為什么？

10、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2?是由它抽象出的幾何圖形，點B，C，E在同一條直線上，連結DC．

（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：?結論中不得含有未標識的字母）．（2）證明：DC⊥BE．

答：

2、證明：在和中

在（全等三角形對應邊相等）和中

5、證明：

AB//CD

又BE、CE平分

（三角形內角和定理）

在BC上取BF＝BA，連結EF 在和中

在

（全等三角形對應角相等）

（等量代換）和中

（全等三角形對應邊相等）