第一篇:初中數(shù)學(xué)證明三角形全等找角
初中數(shù)學(xué)證明三角形全等找角、邊相等的方法
【摘要】“全等三角形的證明”是初中平面幾何的重要內(nèi)容之一,是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ),而且在近幾年的中考中時有出現(xiàn),新課標(biāo)的要求是“探索并掌握兩個三角形全等的條件”,因此掌握三角形全等的證明及運用方法對初中生來說至關(guān)重要。證明三角形全等找角、邊相等是最關(guān)鍵的步驟。如何找對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等,做如下總結(jié)。
【關(guān)鍵詞】全等三角形相等角相等邊
我們在初中課本上學(xué)過的三角形全等的證明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”,對于直角三角形還有“HL”。在做題的過程中我們時常發(fā)現(xiàn),全等的條件往往隱藏在復(fù)雜的圖形中,要找的條件就是相等的角、相等的邊,初中階段找相等的角、相等的邊有以下幾種情況。
一、相等的角
1、利用平行直線性質(zhì)
兩直線平行的性質(zhì)定理:1.兩直線平行,同位角相等
2.兩直線平行,內(nèi)錯角相等
例、如圖一所示,直線AD、BE相交于點C,AB∥DE,AB=DE
求證:△ABC≌△DBC
此題知道AB∥DE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得
∠A=∠D ,∠B=∠E(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
由ASA可證全等。圖一
2、巧用公共角
要點:在證兩三角形全等時首先看兩個三角形是不是有公共交點,如果有公共交點,在看他們是否存在公共角。
例、如圖二所示,D在AB上,E在AC上,AB=AC, ∠B=∠C.求證:△ABE≌△ADC
此題∠A是公共角,利用ASA可證全等。
3、利用等邊對等角圖二 要點:注意相等的兩條邊一定要在同一個三角形內(nèi)才能利
用等邊對等角
例.、如圖三在△ABC中,AB=AC,AD是三角形的中線
求證:△ABD≌△ACD
此題已知AB=AC,由等邊對等角可得
∠B=∠C.4、利用對頂角相等圖三 例、已知:如圖四,四邊形ABCD中, AC、BD交于O點,AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC.垂足分別為A , C.
求證:AB=CD圖四 此題利用對頂角相當(dāng)可得∠AOB=∠DOC.利用AAS
可得△AOB≌△COD,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到
AB=CD5、利用等量代換關(guān)系找出角相等
(1)∠A+公共角=∠B+公共角
例1.已知:如圖五,AE=AC,AD=AB,∠EAC=∠DAB,求證:△EAD≌△CAB.
由圖形可知:
∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC
因此可得∠DAE=∠BAC圖五
利用SAS可證△EAD≌△CAB
例
2、已知:如圖六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE
由圖形可知:
∠DAB=∠BAC-∠DAC
∠EAC=∠DAE-∠DAC
因此可得∠DAB=∠EAC
利用SAS可證△BAD≌△CAE圖六
(2)同角(等角)的補角相等;同角(等角)的余角相等
已知:如圖,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直線BF上.
求證:∠A=∠D
由圖形可知:圖七 B
由等角的補角相等可得∠DEC=∠ACE
利用SAS可得△ABC≌△DEF
(3)同角(等角)的余角相等 D
在直角三角形中常用到同角(等角)的余角相等得到相等的角。例:如圖八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線,過C作
B圖八 ECF⊥AE, 垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于
D.求證:AE=CD;
由圖形中可以看出:
∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°
由同角的余角相等得到∠D=∠CAE,利用AAS可得△BCD≌△CAE6、結(jié)合旋轉(zhuǎn)和對稱圖形的性質(zhì)。
例1.如圖九,把一張矩形的紙ABCD沿對角線BD折疊,使點C落在點E處,BE與AD?交于點F.圖九
求證:△ABF≌△EDF;
根據(jù)對稱的性質(zhì)我們可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以證明△ABF≌△EDF。
二、相等的邊
1、利用等角對等邊 ADAC
3CB
(注意:必須在同一個三角形中才能考慮)
例、如圖十,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AB=CD
已知∠3=∠4,根據(jù)等角對等邊可得OB=OC
利用AAS證明出△ABO≌△DCO。
2、利用公共邊相等圖十 A
(若果要證明的兩個全等三角形有兩個相同的對應(yīng)點,那么可么馬上得出它們具有公共邊)
D例、如圖十一,已知AB=AC,DB=DC,求證:∠BAD=∠CAD CB由圖形可知AD是△ABD和△ACD的公共邊,利用SSS可得 AB△ABD
≌△ACD
F3、利用等量代換
圖十一 F
AB+公共邊=DE+公共邊
例,如圖十二:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求證:∠B=∠C
E圖中:BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF
利用SSS可證△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用線段中點或三角形中線定理,或者等邊三角形的性質(zhì)
例、如圖十三:∠B=∠C,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足
圖十二
分別為E、F,M是BC的中點。求證:ME=MF
M是BC的中點,則可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF
C例題、如圖十四,△ABE和△ACF是等邊三角形,求證:CE=BF圖十三 F △ABE和△ACF是等邊三角形,則AE=AB,AC=AF
∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.則∠EAC=∠BAF
那么△AEC≌△ABF,則可得CE=BF
C
圖十四
5、利用三角形角平分線定理
(三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等)
注意、必須是角平分線上的點
例題、如圖十五,在ΔABC中,AD平分∠BAC,DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分別為E、F。求證:AE=AF
AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,則根據(jù)角平分線
性質(zhì)可得到DE=DF,那么Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)
則可得到AE=AF
圖十五 例題、已知:如圖十六,BD為∠ABC的平分線,AB=BC,點P在BD上,PM⊥AD
于M,?PN⊥CD于N,判斷PM與PN的關(guān)系.
A由題意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分線,PM⊥AD,PN⊥CD,由角平分線的性質(zhì)
可得PM=PN
全等三角形的證明是初中數(shù)學(xué)幾何證明中最重要的一部分,是證明線段相等和角相等最常用的方法。結(jié)合全等三角形的判定,全等的條件一般隱藏在已知當(dāng)中,以上是證明全等隱藏條件的方法總結(jié)。
第二篇:全等三角形證明
全等三角形的證明
1.?翻折
如圖(1),?BOC≌?EOD,?BOC可以看成是由?EOD沿直線AO翻折180?得到的;
?旋轉(zhuǎn)
如圖(2),?COD≌?BOA,?COD可以看成是由?BOA繞著點O旋轉(zhuǎn)180?得到的;
?平移
如圖(3),?DEF≌?ACB,?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移動而得到的。
2.判定三角形全等的方法:
(1)邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊(直角三角形中)公理
(2)推論:角角邊定理
3.注意問題:
(1)在判定兩個三角形全等時,至少有一邊對應(yīng)相等;
(2)不能證明兩個三角形全等的是,a: 三個角對應(yīng)相等,即AAA;b :有兩邊和其中一角對應(yīng)相等,即SSA。
一、全等三角形知識的應(yīng)用
(1)證明線段(或角)相等
例1:如圖,已知AD=AE,AB=AC.求證:BF=FC
(2)證明線段平行
例2:已知:如圖,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為E、F,DE=BF,AE=CF.求證:AB∥CD
(3)證明線段的倍半關(guān)系,可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等
例3:如圖,在△ ABC中,AB=AC,延長AB到D,使BD=AB,取AB的中點E,連接CD和CE.求證:CD=2CE
例4 如圖,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求證:AB=AC+CD.
.
例5:已知:如圖,A、D、B三點在同一條直線上,CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO為等腰Rt三角形,AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何?證明你的結(jié)論。
例6.如圖,已知C為線段AB上的一點,?ACM和?CBN都是等邊三角形,AN和CM相交于F點,BM和CN交于E點。求證:?CEF是等邊三角形。
N
M
FE
C
A B
第三篇:全等三角形證明
全等三角形證明
1、已知CD∥AB,DF∥EB,DF=EB,問AF=CE嗎?說明理由。
CA2、已知∠E=∠F,∠1=∠2,AB=CD,問AE=DF嗎?說明理由。
F3、已知,點C是AB的中點,CD∥BE,且CD=BE,問∠D=∠E嗎?說明理由。
4、已知AB=CD,BE=DF,AE=CF,問AB∥CD嗎?
A B
C
第四篇:初一全等三角形證明
全等三角形1.三角形全等的判定一(SSS)
1.如圖,AB=AD,CB=CD.△ABC與△ADC全等嗎?為什么?
2.如圖,C是AB的中點,AD=CE,CD=BE.
求證△ACD≌△CBE.
3.如圖,點B,E,C,F(xiàn)在一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. 求證∠A=∠D.
4.已知,如圖,AB=AD,DC=CB.求證:∠B=∠D。
B
5.如圖, AD=BC, AB=DC, DE=BF.BE=DF.求證:∠E=∠F
A
DCBF
2.三角形全等的判定二(SAS)
1.如圖,AC和BD相交于點O,OA=OC,OB=OD.求證DC∥AB.
2.如圖,△ABC≌△A?B?C?,AD,A?D?分別是△ABC,△A?B?C?的對應(yīng)邊上的中線,AD與A?D?有什么關(guān)系?證明你的結(jié)論.
3.如圖,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,試猜想線段CE與DE的大小與位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
E B
4.已知:如圖,AD∥BC,AD=CB,求證:△ADC≌△CBA.
CB
5.已知:如圖AD∥BC,AD=CB,AE=CF。求證:△AFD≌△CEB.
AC
6.已知,如圖,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。求證:△ABD≌△ACE. AE D
3~4.三角形全等的判定三、四(ASA、AAS)
1.如圖,點B,F(xiàn),C,E在一條直線上,F(xiàn)B=CE,AB∥ED,AC∥FD.求證AB=DE,AC=DF.
2.如圖,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm. 求BE的長.
3.已知,D是△ABC的邊AB上的一點,DE交AC于點E,DE=FE,F(xiàn)C∥AB。求證:AE=CE。
E
DB
4.已知:如圖 , 四邊形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC.求證:△ABD≌△CDB
5.如圖, AD∥BC, AB∥DC, MN=PQ.求證:DE=BE.3 QDPA
6.如圖, 在ABC中, ∠A=90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE=EC,(1)求∠ABC與∠C的度數(shù);
(2)求證:BC=2AB.07.如圖,四邊形ABCD中, (2)求證:E是CD的中點; (3)求證:AD+BC=AB.8.如圖, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于點F, 過F作FD∥ BC交AB于點D.求證:AC=AD.C 3eud教育網(wǎng)http://50多萬教學(xué)資源,完全免費,無須注冊,天天更新! 全等三角形的證明 1、已知:(如圖)AD∥BC,AD=CB,求證:△ADC≌△CBA。 B C2、已知:如圖AD∥BC,AD=CB,AE=CF。求證:△AFD≌△CEB。AC3、已知,如圖,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。求證:△ABD≌△ACE。 A C ED4、已知,如圖,點B、F、C、E在同一條直線上,F(xiàn)B=CE,AB∥ED,AC∥FD。求證:AB=DE,AC=DF。 E B F C5、已知,D是△ABC的邊AB上的一點,DE交AC于點E,DE=FE,F(xiàn)C∥AB。求證:AE=CE。 E D B C 6、已知,如圖,AB=AD,DC=CB,求證:∠B=∠D。 B 3eud教育網(wǎng) http://教學(xué)資源集散地。可能是最大的免費教育資源網(wǎng)! A 全等三角形的證明 2、已知:(如圖)AD∥BC,AD=CB,求證:△ADC≌△CBA。 B C2、已知:如圖AD∥BC,AD=CB,AE=CF。求證:△AFD≌△CEB。AC3、已知,如圖,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。求證:△ABD≌△ACE。 C 1 B ED4、已知,如圖,點B、F、C、E在同一條直線上,F(xiàn)B=CE,AB∥ED,AC∥FD。求證:AB=DE,AC=DF。 E B F C5、已知,D是△ABC的邊AB上的一點,DE交AC于點E,DE=FE,F(xiàn)C∥AB。求證:AE=CE。 E D B C 6、已知,如圖,AB=AD,DC=CB,求證:∠B=∠D。 B A第五篇:全等三角形的證明