2013年中考數學專題復習第五講：分式

【基礎知識回顧】

一、分式的概念

若A，B表示兩個整式，且B中含有

那么式子

就叫做公式

【趙老師提醒：①：若

則分式無意義

②：若分式=0，則應

且

】

二、分式的基本性質

分式的分子分母都乘以（或除以）同一個的整式，分式的值不變。

1、=

=

（m≠0）

2、分式的變號法則=

3、約分：根據

把一個分式分子和分母的約去叫做分式的約分。

約分的關鍵是確保分式的分子和分母中的約分的結果必須是

分式

4、通分：根據

把幾個異分母的分式化為

分母分式的過程叫做分式的通分

通分的關鍵是確定各分母的【趙老師提醒：①最簡分式是指

②

約分時確定公因式的方法：當分子、分母是多項式時，公因式應取系數的應用字母的當分母、分母是多項式時應先

再進行約分

③通分時確定最簡公分母的方法，取各分母系數的相同字母

分母中有多項式時仍然要先

通分中有整式的應將整式看成是分母為的式子

④約分通分時一定注意“都”和“同時”避免漏乘和漏除項】

三、分式的運算：

1、分式的乘除

①分式的乘法：.=

②分式的除法：=

=

2、分式的加減

①用分母分式相加減：±=

②異分母分式相加減：±=

=

【趙老師提醒：①分式乘除運算時一般都化為

法來做，其實質是的過程

②異分母分式加減過程的關鍵是

】

3、分式的乘方：應把分子分母各自乘方：即()m

=

1、分式的混合運算：應先算

再算

最后算

有括號的先算括號里面的。

2、分式求值：①先化簡，再求值。

②由值的形式直接化成所求整式的值

③式中字母表示的數隱含在方程的題目條件中

【趙老師提醒：①實數的各種運算律也符合公式

②分式運算的結果，一定要化成③分式求值不管哪種情況必須先

此類題目解決過程中要注意整體代入

】

【重點考點例析】

考點一：分式有意義的條件

例1

（2012?宜昌）若分式有意義，則a的取值范圍是（）

A．a=0

B．a=1

C．a≠-1

D．a≠0

思路分析：根據分母不等于0列式即可得解．

解：∵分式有意義，∴a+1≠0，∴a≠-1．

故選C．

點評：本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無意義?分母為零；

（2）分式有意義?分母不為零；

（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．

對應訓練

1．（2012?湖州）要使分式有意義，x的取值范圍滿足（）

A．x=0

B．x≠0

C．x＞0

D．x＜0

1．B

考點二：分式的基本性質運用

例2

（2012?杭州）化簡得

；當m=-1時，原式的值為

．

思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出，約分后得出，把m=-1代入上式即可求出答案．

解：

=

=。

當m=-1時，原式==1，故答案為：，1．

點評：本題主要考查了分式的約分，關鍵是找出分式的分子和分母的公因式，題目比較典型，難度適中．

對應訓練

2．（2011?遂寧）下列分式是最簡分式的（）

A．

B．

C．

D．

2．C

考點三：分式的化簡與求值

例3

（2012?南昌）化簡：．

思路分析：將分式的分子、分母因式分解為，再把分式的除法變為乘法進行計算即可．

解：原式=

=

=-1．

點評：本題考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行因式分解，再約分．

例4

（2012?安徽）化簡的結果是（）

A．x+1

B．x-1

C．-x

D．x

思路分析：將分母化為同分母，通分，再將分子因式分解，約分．

解：

=x，故選D．

點評：本題考查了分式的加減運算．分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．

例5

（2012?天門）化簡的結果是（）

A．

B．

C．

D．

思路分析：將原式括號中的兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，分子合并，同時將除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分后即可得到最簡結果．

解：

=

=

=．

故選D。

點評：此題考查了分式的化簡混合運算，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，同時注意最后結果必須為最簡分式．

例6

（2012?遵義）化簡分式，并從-1≤x≤3中選一個你認為合適的整數x代入求值．

思路分析：先將括號內的分式通分，再按照分式的除法法則，將除法轉化為乘法進行計算．

解：原式=

=

=，由于當x=-1或x=1時，分式的分母為0，故取x的值時，不可取x=-1或x=1，不妨取x=2，此時原式=．

點評：此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現多項式，應先將多項式分解因式后再約分．

對應訓練

3．（2012?河北）化簡的結果是（）

A．

B．

C．

D．2（x+1）

3．C

4．（2012?紹興）化簡可得（）

A．

B．

C．

D．

4．B

5．（2012?泰安）化簡=

．

5．m-6

6．（2012?資陽）先化簡，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根．

6．解：原式=

=

=

=．

∵a是方程x2-x=6的根，∴a2-a=6，∴原式=．

考點四：分式創新型題目

例7

（2012?涼山州）對于正數x，規定，例如：，則

．

思路分析：當x=1時，；

當x=2時，當時，；

當x=3時，當時，…，故，…，所以，由此規律即可得出結論．

解：∵當x=1時，；

當x=2時，當時，；

當x=3時，當時，…，∴，…，∴，∴．

故答案為：2011.5．

點評：本題考查的是分式的加減法，根據題意得出是解答此題的關鍵．

對應訓練

7．（2012?臨沂）讀一讀：式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開始的100個連續自然數的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為，這里“∑”是求和符號，通過對以上材料的閱讀，計算

．

7．解：由題意得，．

故答案為：．

【聚焦山東中考】

一、選擇題

1．（2012?濰坊）計算：2-2=（）

A．

B．

C．

D．4

1．A．

2．（2012?德州）下列運算正確的是（）

A．

B．（-3）2=-9

C．2-3=8

D．20=0

2．A

3．（2012?臨沂）化簡的結果是（）

A．

B．

C．

D．

3．A

4．（2012?威海）化簡的結果是（）

A．

B．

C．

D．

考點：

分式的加減法。810360

專題：

計算題。

分析：

先把x2﹣9因式分解得到最簡公分母為（x+3）（x﹣3），然后通分得到，再把分子化簡后約分即可．

解答：

解：原式=﹣

=

=

=．

故選B．

點評：

本題考查了分式的加減法：先把各分母因式分解，確定最簡公分母，然后進行通分化為同分母的分式，再把分母不變，分子相加減，然后進行約分化為最簡分式或整式．

二、填空題

5．（2012?聊城）計算：

．

5．6．（2011?泰安）化簡：的結果為

．

6．x-6

三、解答題

7．（2012·濟南）化簡：．

7．解：原式=

=．

8．（2012?煙臺）化簡：．

8．解：原式=

=

=。

9．（2012?青島）化簡：。

9．解：原式=。

10．（2012?東營）先化簡，再求代數式的值，其中x是不等式組的整數解．

10．解：原式==，解不等式組得2＜x＜，因為x是整數，所以x=3，當x=3時，原式=．

11．（2012?德州）已知：，求的值．

11．解：原式=

=，當時，原式=．

12．（2012?萊蕪）先化簡，再求值：÷，其中a=﹣3．

考點：

分式的化簡求值。810360

專題：

計算題。

分析：

將原式被除式括號中的兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，除式分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分得到最簡結果，將a=﹣3代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值．

解答：

解：原式=（﹣）÷

=?

=，∵a=﹣3，∴原式==﹣．

點評：

此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時，分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．

【備考真題過關】

一、選擇題

1．（2012?嘉興）（-2）0等于（）

A．1

B．2

C．0

D．-2

1．A．

2．（2012?云南）下列運算正確的是（）

A．x2?x3=6

B．3-2=-6

C．（x3）2=x5

D．40=1

2．D

3．（2012?泰州）3-1等于（）

A．3

B．

C．-3

D．

3．D

4．（2012?嘉興）若分式的值為0，則（）

A．x=-2

B．x=0

C．x=1或2

D．x=1

4．D

4．解：∵分式的值為0，∴，解得x=1．

故選D．

6．（2012?義烏市）下列計算錯誤的是（）

A．

B．

C．

D．

6．A

7．（2012?仙桃天門潛江江漢）化簡的結果是（）

A．

B．

C．

（x+1）2

D．

（x﹣1）2

考點：

分式的混合運算。810360

專題：

計算題。

分析：

將原式括號中的兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，分子合并，同時將除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分后即可得到最簡結果．

解答：

解：（1﹣）÷

=÷

=?（x+1）（x﹣1）

=（x﹣1）2．

故選D

點評：

此題考查了分式的化簡混合運算，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，同時注意最后結果必須為最簡分式．

8．（2012?欽州）如果把的x與y都擴大10倍，那么這個代數式的值（）

A．不變

B．

擴大50倍

C．

擴大10倍

D．

縮小到原來的考點：

分式的基本性質。810360

專題：

計算題。

分析：

依題意分別用10x和10y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質化簡即可．

解答：

解：分別用10x和10y去代換原分式中的x和y，得

==，可見新分式與原分式的值相等；

故選A．

點評：

本題考查了分式的基本性質．解題的關鍵是抓住分子、分母變化的倍數，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論．

二、填空題

9．（2012?寧夏）當a

時，分式有意義．

9．≠-2

10．（2012?臺州）計算的結果是

．

10．11．（2012?天津）化簡的結果是

．

11．12．（2012?山西）化簡的結果是

．

12．13．（2012?內江）已知三個數x，y，z，滿足則

．

13．-4

解：∵，∴，∴，整理得，①，②，③，①+②+③得，則，∴，于是

故答案為-4．

14．（2012?鎮江）若，則的值為

．

考點：

分式的加減法。810360

專題：

計算題。

分析：

先根據分式的加法求出（m+n）2的值，再代入所求代數式進行計算即可．

解答：

解：∵+=，∴=，∴（m+n）2=7mn，∴原式====5．

故答案為：5．

點評：

本題考查的是分式的加減法，先根據分式的加減法則求出（m+n）2的值是解答此題的關鍵．

15．（2012?溫州）若代數式的值為零，則x=

．

考點：

分式的值為零的條件；解分式方程。810360

專題：

計算題。

分析：

由題意得=0，解分式方程即可得出答案．

解答：

解：由題意得，=0，解得：x=3，經檢驗的x=3是原方程的根．

故答案為：3．

點評：

此題考查了分式值為0的條件，屬于基礎題，注意分式方程需要檢驗．

16．（2012?赤峰）化簡=

．

考點：

分式的乘除法；因式分解-運用公式法；約分。810360

專題：

計算題。

分析：

先把分式的分母分解因式，同時把除法變成乘法，再進行約分即可．

解答：

解：圓式=×，=1，故答案為：1．

點評：

本題考查了約分，分解因式，分式的乘除法的應用，主要考查學生的計算能力，題目比較好，難度適中．

三、解答題

17．（2012?泰州）化簡：．

17．解：

=

=

=

=．

18．（2012?淮安）計算：．

18．解：

=

=x-1+3x+1

=4x．

19．（2012?珠海）先化簡，再求值：，其中x=．

19．解：原式=

=

=，當x=

時，原式==．

21．（2012?益陽）計算代數式的值，其中a=1，b=2，c=3．

21．解：原式=

=

=c．

當a=1、b=2、c=3時，原式=3．

22．（2012?孝感）先化簡，再求值：，其中，．

22．解：原式=

=

=。

當，時，原式=。

23．（2012?綏化）先化簡，再求值：．其中m是方程x2+3x-1=0的根．

23．解：原式=

=

=

=；

∵m是方程x2+3x-1=0的根．

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，∴原式=．

24．（2012?南京）化簡代數式，并判斷當x滿足不等式組時該代數式的符號．

24．解：

=

=

=，解不等式①，得x＜-1．

解不等式②，得x＞-2．

所以，不等式組的解集是-2＜x＜-1．

當-2＜x＜-1時，x+1＜0，x+2＞0，所以＜0，即該代數式的符號為負號．

25．（2012?重慶）先化簡，再求值：，其中x是不等式組的整數解．

考點：

分式的化簡求值；一元一次不等式組的整數解。810360

專題：

計算題。

分析：

將原式括號中的第一項分母利用平方差公式分解因式，然后找出兩分母的最簡公分母，通分并利用同分母分式的減法法則計算，分子進行合并整理，同時將除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分后即可得到結果，分別求出x滿足的不等式組兩個一元一次不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，在解集中找出整數解，即為x的值，將x的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值．

解答：

解：（﹣）÷

=[﹣]?

=?

=?

=，又，由①解得：x＞﹣4，由②解得：x＜﹣2，∴不等式組的解集為﹣4＜x＜﹣2，其整數解為﹣3，當x=﹣3時，原式==2．

點評：

此題考查了分式的化簡求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母是多項式，應先將多項式分解因式后再約分．

26．（2012?鐵嶺）先化簡，在求值：，其中x=3tan30°+1．

考點：

分式的化簡求值；特殊角的三角函數值。810360

專題：

計算題。

分析：

將原式除式的第一項分子分母同時乘以x+3，然后利用同分母分式的減法法則計算，將被除式分母利用平方差公式分解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分得到最簡結果，然后利用特殊角的三角函數值求出x的值，將x的值代入化簡后的式子中計算，即可求出原式的值．

解答：

解：÷（﹣）

=÷[﹣]

=÷

=?

=，當x=3tan30°+1=3×+1=+1時，原式===．

點評：

此題考查了分式的化簡求值，以及特殊角的三角函數值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時若分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．

27．（2012?本溪）先化簡，再求值：，其中x=2sin60°﹣（）﹣2．

考點：

分式的化簡求值；負整數指數冪；特殊角的三角函數值。810360

專題：

計算題。

分析：

將原式第二項中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分后再利用同分母分式的減法運算計算，得到最簡結果，接著利用特殊角的三角函數值及負指數公式化簡，求出x的值，將x的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值．

解答：

解：﹣÷

=﹣÷

=﹣?

=﹣

=﹣，當x=2sin60°﹣（）﹣2=2×﹣4=﹣4時，原式=﹣=﹣．

點評：

此題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數值，以及負指數公式，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．

28．（2012?北京）已知，求代數式的值．

考點：

分式的化簡求值。810360

專題：

計算題。

分析：

將所求式子第一個因式的分母利用平方差公式分解因式，約分后得到最簡結果，然后由已知的等式用b表示出a，將表示出的a代入化簡后的式子中計算，即可得到所求式子的值．

解答：

解：?（a﹣2b）

=?（a﹣2b）

=，∵=≠0，∴a=b，∴原式====．

點評：

此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．