習

題

2.1

什么是線性系統?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系統中,表示系統輸出,表示系統輸入,哪些是線性系統?

(1)

(2)

(3)

(4)

解:

凡是能用線性微分方程描述的系統就是線性系統。線性系統的一個最重要特性就是它滿足疊加原理。該題中（2）和（3）是線性系統。

2.2

圖（題2.2）中三同分別表示了三個機械系統。求出它們各自的微分方程，圖中表示輸入位移，表示輸出位移，假設輸出端無負載效應。

圖(題2.2)

解:

(1)對圖(a)所示系統，由牛頓定律有

即

(2)對圖(b)所示系統，引入一中間變量x,并由牛頓定律有

消除中間變量有

(3)對圖(c)所示系統，由牛頓定律有

即

2.3求出圖(題2.3)所示電系統的微分方程。

圖（題2.3）

解:(1)對圖(a)所示系統,設為流過的電流,為總電流,則有

消除中間變量,并化簡有

(2)對圖(b)所示系統，設i為電流，則有

消除中間變量,并化簡有

2.4

求圖(題2.4)所示機械系統的微分方程。圖中M為輸入轉矩,為圓周阻尼，J為轉動慣量。

解：設系統輸入為M（即），輸出(即)，分別對圓盤和質塊進行動力學分析，列寫動力學方程如下：

消除中間變量,即可得到系統動力學方程

2.5

輸出y(t)與輸入x(t)的關系為y(t)=

2x(t)+0.5(t)。

（1）求當工作點為=0,=1,=2時相應的穩(wěn)態(tài)時輸出值；

（2）在這些工作點處作小偏差線性化模型，并以對工作的偏差來定義x和y，寫出新的線性化模型。

解:

(1)

將

=0,=1,=2分別代入y(t)=

2x(t)+0.5(t)中,即當工作點為=0,=1,=2時相應的穩(wěn)態(tài)輸出值分別為。

(2)

根據非線性系統線性化的方法有，在工作點附近,將非線性函數展開成泰勒級數,并略去高階項得

若令,有

當工作點為時,當工作點為時,當工作點為時,2.6已知滑閥節(jié)流口流量方程式為，式中．Q為通過節(jié)流閥流口的流量；p為節(jié)流閥流口的前后油壓差；為節(jié)流閥的位移量；c為疏量系數；w為節(jié)流口面積梯度；為油密度。試以Q與p為變量（即將Q作為P的函數）將節(jié)流閥流量方程線性化。

解：利用小偏差線性化的概念，將函數Q=F(，p)在預定工作點F(，)處按泰勒級數展開為

消除高階項，有

若令，將上式改寫為增量方程的形式

2.7

已知系統的動力學方程如下,試寫出它們的傳遞函數Y(s)/R(s)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據傳遞函數的定義，求系統的傳遞函數，只需將其動力學方程兩邊分別在零初始條件下進行拉式變換，然后求Y(s)/R(s)。

(1)

(2)

(3)

(4)

2.8

如圖（題2.8）為汽車或摩托車懸浮系統簡化的物理模型，試以位移x為輸入量，位移y為輸出量，求系統的傳遞函數Y(s)/X(s)。

2.9

試分析當反饋環(huán)節(jié)H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)分別為慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)時，輸入、輸出的閉環(huán)傳遞函數。

解：由于慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)的傳遞函數分別為，,而閉環(huán)傳遞函數為,則

(1)當反饋環(huán)節(jié)H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)為慣性環(huán)節(jié)時，(2)

當反饋環(huán)節(jié)H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)為微分環(huán)節(jié)時，(3)當反饋環(huán)節(jié)H(s)=1,前向通道傳遞函數G(s)為積分環(huán)節(jié)時，2.10

證明圖（題2.10）與圖（題2.3（a）所示系統是相似系統（即證明兩系統的傳遞函數具有相同形式）。

解：對題2.4(a)系統，可列出相應的方程。

對以上三式分別作Laplce別換，并注意到初始條件為零,即

則,得,得,得

即

則

將(4)式中的代入(9)式

再用(4)式與上式相比以消去,即得電系統的傳遞函數為

而本題中，引入中間變量x,依動力學知識有

對上二式分別進行拉式變換有

消除有

比較兩系統的傳遞函數有

故這兩個系統為相似系統。

2.11

一齒輪系如圖（題2.11）所示。圖中，、、和分別為各齒輪齒數；、、和表示各種傳動軸上的轉動慣量，、和為各軸的角位移；是電動機輸出轉矩。試列寫折算到電動軸上的齒輪系的運動方程。

2.12

求圖（題2.12）所示兩系統的傳遞函數。

圖（題2.12）

解：(1)由圖(a)中系統，可得動力學方程為

作Laplce別換，得

則有

(2)由圖(b)中系統,設i為電網絡的電流，可得方程為

作Laplce別換，得

消除中間變量有

2.13

某直流調速系統如圖（題2.13）所示，為給定輸入量，電動機轉速n為系統的輸出量，電動機的負載轉矩為系統的擾動量。各環(huán)節(jié)的微分方程：

比較環(huán)節(jié)

比例調節(jié)器

（為放大系數）

晶閘管觸發(fā)整流裝置

(為整流增益)

電動機電樞回路

(為電樞回路電阻,為電樞回路電感,為電樞電流)

電樞反電勢

(為反電勢系數)

電磁轉矩

(為轉矩系數)

負載平衡方程

(為轉動慣量，為負

載轉矩)

測速電動機

(為轉速反饋系數)

試根據所給出的微分方程，繪制各環(huán)節(jié)相應的傳遞函數方框圖和控制系數的傳遞函數方框圖，并由方框圖求取傳遞函數和。

2.14

試繪制圖（題2.14）所示機械系統傳遞函數方框圖。

2.15

若系統傳遞函數方框圖為圖（題2.15）。

(1)

求以為輸入，當時，分別以、、、為輸出的閉環(huán)傳遞函數；

(2)

求以為輸入，當時，分別以、、、為輸出的閉環(huán)傳遞函數；

(3)

比較以上各傳遞函數的分母，從中可以得出什么結論？

圖(題2.15)

解:(1)求以為輸入，當時:

若以為輸出,有

若以為輸出,有

若以為輸出,有

若以為輸出,有

(2)

求以為輸入，當時:

若以為輸出,有

若以為輸出,有

若以為輸出,有

若以為輸出,有

(3)從上可知：對于同一個閉環(huán)系統，當輸入的取法不同時，前向通道的傳遞出數不同，反饋回路的傳遞函數不同，系統的傳遞函數也不同，但系統的傳遞函數的分母保持不變，這是因為這一分母反映了系統的固有特性，而與外界無關。

2.16

已知某系統的傳遞函數方框圖為圖（題2.16），其中，為輸入，為輸出,N(s)為干擾，試問：G(s)為何值時，系統可以消除干擾的影響。

圖（題2.16）

解：方法一：根據線性系統的疊加原理，令,N(s)為輸入，系統的輸出為

其中

令

有

方法二：令，N(s)為輸入，則系統的傳遞函數方框圖可以表示成圖（題2.16.b）所示。

圖（題2.16.b）

根據相加點前后移動的規(guī)則可以將其進一步簡化成圖（題2

.16.c）和圖（題2.16．d）所示的形式。

圖（題2.16.c）

圖（題2.16.d）

因此，系統在N(s)為輸入時的傳遞函數為

同樣可得時，系統可消除干擾的影響。

2.17

系統結構如圖(題2.17)所示，求系統傳遞函數。

2.18

求出（題2.18）所示系統的傳遞函數。

圖(題2.18)

解：方法一：利用梅遜公式，可得

方法二：利用方框圖簡化規(guī)則，有圖（題2.18.b）

圖（題2.18.b）

2.19

求出圖（題2.19）所示系統的傳遞函數。

圖（題2.19）

解：根據方框圖簡化規(guī)則，有圖（題2.19.b）

圖（題2.19.b）

2.20

求出圖（題2.20）所示系統的傳遞函數。

圖（題2.20）

解：根據方框圖簡化規(guī)則，有圖（題2.20.b）

圖（題2.20.b）

2.21

設描述系統的微分方程為

(1)

(2)

試導出系統的狀態(tài)方程。

2.22

RLC電網絡如圖（題2.22）所示，u(t)為輸入，流過電阻的電流為輸出，試列寫該網絡的狀態(tài)方程及輸出方程。

2.23

系統傳函數方框圖為圖（題2.23），試列寫該系統的狀態(tài)方程及輸出方程。

2.24

圖（題2.24）為某一級倒立擺系統示意圖。滑臺通過絲杠傳動，可沿一直線的有界導軌沿水平方向運動；擺桿通過鉸鏈與滑臺連接，可在沿直線平面內擺動。滑臺質量為M，擺桿質量為m，擺桿轉動慣量為J，滑臺摩擦系數為c,擺桿轉動軸心到桿質心的長度為L,加在滑臺水平方向上的合力為u,滑臺位置為x,擺桿與鉛直向上的夾角為。

(1)

以為輸入，為輸出，列寫系統的微分方程；

(2)

求系統的傳遞函數；

(3)

試列寫該系統的狀態(tài)方程及輸出方程。