【課標解讀】

初中數(shù)學《新課程標準》中指出:教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗。學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者。

新課程把數(shù)學思想和方法作為基礎知識的重要組成部分，在《新課程標準》中明確提出來，這不僅是課標體現(xiàn)義務教育性質的重要表現(xiàn)，也是對學生實施創(chuàng)新教育、培訓創(chuàng)新思維的重要保證。掌握數(shù)學思想，就是掌握數(shù)學的精髓。

【解題策略】

初中數(shù)字中蘊含的數(shù)學思想很多，其中最主要的數(shù)學思想方法包括轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等

【考點深剖】

★考點一

整體思想

整體思想是指把研究對象的某一部分(或全部)看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。整體是與局部對應的，按常規(guī)不容易求某一個(或多個)未知量時，特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一

個整體，從而使問題得到解決。

【典例1】（2018?岳陽）已知a2+2a=1，則3（a2+2a）+2的值為

．

【分析】利用整體思想代入計算即可；

【解答】解：∵a2+2a=1，∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，故答案為5．

★考點二

轉化思想問題

轉化思想轉化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉化手段，歸結為另一種相對容易解決或已經有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決.轉化思想體現(xiàn)在數(shù)學解題過程中就是將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹和歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題.【典例2】（2018?連云港）解方程：﹣=0．

【分析】根據(jù)等式的性質，可得整式方程，根據(jù)解整式方程，可得答案．

★考點三

數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想，數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，因而，在某種程度上可以說數(shù)學研究是圍繞著數(shù)與形展開的，初中數(shù)學中的“數(shù)”就是代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等符號表達式，初中數(shù)學中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達式，數(shù)形結合思想的實質是將抽象的數(shù)學語言“數(shù)”)與直觀的圖象(“形“)結合起來，數(shù)形結合思想的關鍵就是抓住“數(shù)”與“形”之間本質上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉化，數(shù)形結合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微.”

【典例3】（2018?威海）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．

【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，大小小大中間找，可得答案

【解答】解：解不等式①，得x＞﹣4，解不等式②，得x≤2，把不等式①②的解集在數(shù)軸上表示如圖，原不等式組的解集為﹣4＜x≤2．

★考點四

分類討論思想

分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學對象本質屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同的種類.分類是以比較為基礎的，它有助于揭示數(shù)學對象之間的內在聯(lián)系與規(guī)律，有助于學生總結歸納數(shù)學知識、解訣數(shù)學問題.在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得

解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則:

(1)

分類中的每一部分是相互獨立的;

(2)

一飲分類按-一個標準;

(3)

分類討論應逐級進行.正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏.【典例4】（2018?紹興）數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：

例1

等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°）

例2

等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度數(shù)，（答案：40°或70°或100°）

張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題：

變式

等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度數(shù)．

（1）請你解答以上的變式題．

（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設∠A=x°，當∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍．

【分析】（1）由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確，因此要分類討論；

（2）分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結合三角形內角和定理求解即可．

（2）分兩種情況：

①當90≤x＜180時，∠A只能為頂角，∴∠B的度數(shù)只有一個；

②當0＜x＜90時，若∠A為頂角，則∠B=（）°；

若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=（180﹣2x）°；

若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=x°．

當≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)．

綜上所述，可知當0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)．學科&網

★考點五

函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點和方法分析問題、解訣問題.函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學中的具體反映.函數(shù)與方程思想的本質是變量之間的對應，即用變化的觀點和函數(shù)的形式將所研究的數(shù)量關系表示出來，然后用函數(shù)的性質進行研究，從而使問題獲得解訣.如果函數(shù)的形式用解析式的方式表示，那么就可以將函數(shù)解析式看作方程，并通過解方程和對方程的研究使問題得到解訣，這就是方程思想.【典例5】2018?天門）綠色生態(tài)農場生產并銷售某種有機產品，假設生產出的產品能全部售出．如圖，線段EF、折線ABCD分別表示該有機產品每千克的銷售價y1（元）、生產成本y2（元）與產量x（kg）之間的函數(shù)關系．

（1）求該產品銷售價y1（元）與產量x（kg）之間的函數(shù)關系式；

（2）直接寫出生產成本y2（元）與產量x（kg）之間的函數(shù)關系式；

（3）當產量為多少時，這種產品獲得的利潤最大？最大利潤為多少？

【解答】解：（1）設y1與x之間的函數(shù)關系式為y1=kx+b，∵經過點（0，168）與（180，60），∴，解得：，∴產品銷售價y1（元）與產量x（kg）之間的函數(shù)關系式為y1=﹣x+168（0≤x≤180）；

（3）設產量為xkg時，獲得的利潤為W元，①當0≤x≤50時，W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+，∴當x=50時，W的值最大，最大值為3400；

②當50＜x＜130時，W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840，∴當x=110時，W的值最大，最大值為4840；

③當130≤x≤180時，W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415，∴當x=130時，W的值最大，最大值為4680．

因此當該產品產量為110kg時，獲得的利潤最大，最大值為4840元．

★考點六

類比思想

類比思想是數(shù)學創(chuàng)造型思維中很重要的一種思想方法，它可以幫助學習者建立新舊知識聯(lián)系的橋梁，實現(xiàn)知識的正遷移，將已學過的知識或已掌握的解題方法遷移到陌生的問題中，進而使問題得到解決.具體的策略是分析問題有深度→借助新舊知識的關聯(lián)→合理進行知識遷移→運用類比的思想→輕松解決疑難問題

【典例6】（2017山東濱州）根據(jù)要求，解答下列問題：

①方程x2﹣2x+1=0的解為；

②方程x2﹣3x+2=0的解為；

③方程x2﹣4x+3=0的解為；

…

（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：

①方程x2﹣9x+8=0的解為

；[來

②關于x的方程的解為x1=1，x2=n．[

（3）請用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以驗證猜想結論的正確性．[

【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；

（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解為1和8；②關于x的方程的解為x1=1，x2=n，則此一元二次方程的二次項系數(shù)為1，則一次項系數(shù)為1和n的和的相反數(shù)，常數(shù)項為1和n的積．

（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判斷猜想結論的正確．

（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：

①方程x2﹣9x+8=0的解為x1=1，x2=8；

②關于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解為x1=1，x2=n．

（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+

（x﹣）2=

x﹣=±，所以x1=1，x2=8；

所以猜想正確．

故答案為x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；

【講透練活】

變式1：（2018?玉林）已知ab=a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）=　　．

【分析】將ab=a+b+1代入原式=ab﹣a﹣b+1合并即可得．

【解答】解：當ab=a+b+1時，原式=ab﹣a﹣b+1

=a+b+1﹣a﹣b+1

=2，故答案為：2．學科&網

變式2：（2018?隨州）已知是關于x，y的二元一次方程組的一組解，則a+b=　5　．

【分析】根據(jù)方程組解的定義，把問題轉化為關于a、b的方程組，求出a、b即可解決問題；

【解答】解：∵是關于x，y的二元一次方程組的一組解，∴，解得，∴a+b=5，故答案為5．

變式3：（2018?常德）分式方程﹣=0的解為x=

．

變式4：（2018?棗莊）如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，且n≠0）的圖象在第二象限交于點C．CD⊥x軸，垂足為D，若OB=2OA=3OD=12．

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）記兩函數(shù)圖象的另一個交點為E，求△CDE的面積；

（3）直接寫出不等式kx+b≤的解集．

【分析】（1）根據(jù)三角形相似，可求出點C坐標，可得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；

（2）聯(lián)立解析式，可求交點坐標；

（3）根據(jù)數(shù)形結合，將不等式轉化為一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象關系．

把點A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：

解得：

∴一次函數(shù)解析式為：y=﹣2x+12

（2）當﹣=﹣2x+12時，解得

x1=10，x2=﹣4

當x=10時，y=﹣8

∴點E坐標為（10，﹣8）

∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=

（3）不等式kx+b≤，從函數(shù)圖象上看，表示一次函數(shù)圖象不低于反比例函數(shù)圖象

∴由圖象得，x≥10，或﹣4≤x＜0

變式5：（2017綏化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若AD=BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為

．w

【分析】分兩種情況；①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC內部和外部兩種情況求解即可．

變式6：（2017貴州安順）如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C，P，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．

【解答】解：

（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，﹣1），設M（2，t），且C（0，3），∴MC==，MP=|t+1|，PC==2，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，①當MC=MP時，則有=|t+1|，解得t=，此時M（2，）；

②當MC=PC時，則有=2，解得t=﹣1（與P點重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；

③當MP=PC時，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點F，交x軸于點D，變式7：（2017內蒙古赤峰）△OPA和△OQB分別是以OP、OQ為直角邊的等腰直角三角形，點C、D、E分別是OA、OB、AB的中點．

（1）當∠AOB=90°時如圖1，連接PE、QE，直接寫出EP與EQ的大小關系；

（2）將△OQB繞點O逆時針方向旋轉，當∠AOB是銳角時如圖2，（1）中的結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請加以說明．

（3）仍將△OQB繞點O旋轉，當∠AOB為鈍角時，延長PC、QD交于點G，使△ABG為等邊三角形如圖3，求∠AOB的度數(shù)．

【分析】（1）先判斷出點P，O，Q在同一條直線上，再判斷出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結論；

（2）先判斷出CE=DQ，PC=DE，進而判斷出△EPC≌△QED即可得出結論；

（3）先判斷出CQ，GP分別是OB，OA的垂直平分線，進而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出結論．21教育名師原創(chuàng)作品。學科&網

∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴點E是Rt△PQF的斜邊PF的中點，∴EP=EQ；

（2）成立，證明：∵點C，E分別是OA，AB的中點，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵點D是Rt△OQB斜邊中點，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；