2021中考

臨考專題訓練：等腰三角形

一、選擇題

1.如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D，∠A=50°，則∠BDC=

()

A.50°

B.100°

C.120°

D.130°

2.（2020·臨沂）如圖，在中，，則（）

A.40°

B.50°

C.60°.D.70°

3.如圖，等邊三角形OAB的邊長為2，則點B的坐標為

()

A.(1，1)

B.(1，)

C.(，1)

D.()

4.(2020·青海)等腰三角形的一個內角為70°，則另外兩個內角的度數分別是（）

A．55°，55°

B．70°，40°或70°，55°

C．70°，40°

D．55°，55°或70°，40°

5.（2020·銅仁）已知等邊三角形一邊上的高為2，則它的邊長為（）

A．2

B．3

C．4

D．4

6.如K19-6，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F.若∠ABC=35°，∠C=50°，則∠CDE的度數為

()

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°

7.△ABC中，AB＝AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內切圓圓心，則∠AIB的度數是()

A.120°

B.125°

C.135°

D.150°

8.（2020·煙臺）七巧板是我們祖先的一項創造，被譽為“東方魔板”．在一次數學活動課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板，并設計了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中陰影部分的面積為5cm2的是（）

A．B．

C．

D．

二、填空題

9.已知等腰三角形的一個外角為130°，則它的頂角的度數為.10.如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正確答案的序號都填寫在橫線上)

①∠BAD＝∠ACD

②∠BAD＝∠CAD

③

AB＋BD＝AC＋CD

④

AB－BD＝AC－CD

11.（2020·宜昌）如圖，在一個池塘兩旁有一條筆直小路（B，C為小路端點）和一棵小樹（A為小樹位置）.測得的相關數據為：∠ABC=

60°，∠ACB=

60°，BC=

48米，則AC=

米．

12.(2019?懷化)若等腰三角形的一個底角為，則這個等腰三角形的頂角為__________．

13.（2020·湖北孝感）某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據圖中數據計算AB的長為________米．（結果保留根號）

14.如圖，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，則S△ABC＝________．

15.（2020·營口）如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為6，AD⊥BC，垂足為點D，點E和點F分別是線段AD和AB上的兩個動點，連接CE，EF，則CE+EF的最小值為

．

16.(2019?哈爾濱)在中，，點在邊上，連接，若為直角三角形，則的度數為__________．

三、解答題

17.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度數;

(2)若點E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長線于點F.求證:AE=FE.18.已知：如圖，B，E，F，C四點在同一條直線上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求證：OA＝OD.19.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E.求證：∠CBE＝∠BAD.20.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點，過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F.(1)求證:△BDE≌△CDF;

(2)當AD⊥BC，AE=1，CF=2時，求AC的長.21.如圖，已知、分別為中、的平分線，于，于，求證：．

22.(2020·荊門)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分線交AC于D，AE∥BC交BD的延長線于點E，AF⊥AB交BE于點F．

(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度數；

(2)若AD＝DC＝2，求AF的長．

F

D

E

C

A

B

23.如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓外一點，AC交⊙O于點D，BC2＝CD·CA，＝，BE交AC于點F.(1)求證：BC為⊙O的切線；

(2)判斷△BCF的形狀并說明理由；

(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求的長度(結果保留π).24.（12分）如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．

【問題解決】

如圖1，若點D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；

【類比探究】

如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請探究線段CE，CF與CD之間存在怎樣的數量關系？并說明理由．

2021中考

臨考專題訓練：等腰三角形-答案

一、選擇題

1.【答案】B

2.【答案】D

【解析】

根據三角形內角和定理和等腰三角形的等邊對等角且，可得：；然后根據兩直線平行內錯角相等且可得：，所以選D．

3.【答案】B　[解析]過點B作BH⊥AO于點H，∵△OAB是等邊三角形，∴OH=1，BH=，∴點B的坐標為(1，).4.【答案】D

【解析】(1)當70°是頂角時，另兩個角相等，都等于×(180°－70°)＝55°；(2)當70°是底角時，另一個底角也是70°，頂角＝180°－70°×2＝40°．因此另外兩個內角的底數分別是55°，55°或70°，40°．故選D．

5.【答案】C

【解析】設等邊三角形的邊長為2x，過等邊三角形的一個頂點作對邊的高，由等邊三角形“三線合一”的性質得直角三角形的一條直角邊為x，由勾股定理得x2＋（2）2=（2x）2，解得x=4，因此本題選C．

6.【答案】C　[解析]因為BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF=BF，所以△ABF≌△EBF，易得BD是線段AE的垂直平分線，∠BAF=∠BEF，所以AD=ED，所以∠DEA=∠DAE，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°，所以∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°，故選C.7.【答案】C　【解析】由CD為腰上的高，I為△ACD的內心，則∠IAC＋∠ICA＝(∠DAC＋∠DCA)＝(180°－∠ADC)＝(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可證△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.8.【答案】最小的等腰直角三角形的面積42＝1（cm2），平行四邊形面積為2cm2，中等的等腰直角三角形的面積為2cm2，最大的等腰直角三角形的面積為4cm2，則

A、陰影部分的面積為2+2＝4（cm2），不符合題意；

B、陰影部分的面積為1+2＝3（cm2），不符合題意；

C、陰影部分的面積為4+2＝6（cm2），不符合題意；

D、陰影部分的面積為4+1＝5（cm2），符合題意．

故選：D．

二、填空題

9.【答案】50°或80°　[解析]當等腰三角形頂角的外角為130°時，頂角為180°-130°=50°;

當等腰三角形底角的外角為130°時，頂角為180°-2×(180°-130°)=80°.故答案為50°或80°.10.【答案】②③④　【解析】

序號

正誤

逐項分析

①

×

△BAD與△ACD中，雖有兩角和一邊相等，但不是對應關系的角和邊，所以不能判定兩三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC

②

√

∠BAD＝∠CAD結合AD是△ABC的邊BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形

③

√

由于AD是△ABC的邊BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD，得AB－BD＝AC－CD，兩式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形

④

√

由于AD是△ABC的邊BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD，得AB＋BD＝AC＋CD，兩式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形

11.【答案】48

【解析】

∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠A=180°－60°－60°=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∵BC=48，∴AC=48

12.【答案】36°

【解析】∵等腰三角形的一個底角為，∴等腰三角形的頂角，故答案為：．

13.【答案】（-1.6）．

【解析】如圖，過點A作AMCM于M，則CM=5m，在Rt△BCM中，∠BCM＝30°,所以BM=CMtan30°=.由題意可知△DCN是等腰直角三角形，所以CN=CD=3.4m,所以MN=5-3.4=1.6(m),因為△AMN是等腰直角三角形，所以MN=AM=1.6m，所以AB=BM-AM=（-1.6）m.故答案為（-1.6）．

14.【答案】16　[解析]

如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝AC＝4，∴S△ABC＝AB·DC＝×8×4＝16.15.【答案】

【解析】如圖1，根據兩點之間線段最短，可得CE+EF≥CF，又根據垂線段最短可得，當CF⊥AB時，CF有最小值，此時CF與AD的交點即為點E（如圖2），在Rt△AFC中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin60°=6×=．

圖1

圖2

16.【答案】或

【解析】分兩種情況：

①如圖1，當時，∵，∴；

②如圖2，當時，∵，∴，∴，綜上，則的度數為或．故答案為：或．

三、解答題

17.【答案】

解:(1)(方法一):∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.(方法二):∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°.∵AD⊥BC于點D，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)證明:∵EF∥AC，∴∠CAF=∠F，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AE=FE.18.【答案】

證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE.∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC.∴OF＝OE.∴AF－OF＝DE－OE，即OA＝OD.19.【答案】

證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)

∵BE⊥AC,∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD.(5分)

20.【答案】

解:(1)證明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.21.【答案】

延長、交于點、．

由等腰三角形三線合一可得、再由三角形中位線可得．

22.【答案】

解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝×(180°－40°)＝70°．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝×70°＝35°．

∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°．

∴∠AFE＝∠BAF＋∠ABD＝90°＋35°＝125°．

(2)∵BD平分∠ABC，BD＝BD，AD＝CD，∴△BDA≌△BDC．∴AB＝BC．

又AB＝AC，∴AB＝BC＝AC．

∴△ABC為等邊三角形．∴∠ABC＝60°，∠ABD＝30°．

∵AD＝DC＝2，∴AB＝4．

在Rt△ABF中，AF＝AB·tan30°＝4×＝．

說明：此題中的條件AE∥BC是多余的．

【解析】(1)由“等邊對等角”求出∠ABC，由角平分線的定義求出∠ABD，∠AFE是△ABF的外角，因此∠AFE＝∠BAF＋∠ABD；

(2)由BD既是△ABC的角平分線又是中線可知AB＝BC，從而推出△ABC是邊長為2的等邊三角形．在Rt△ABF中可解出AF．

23.【答案】

(1)證明：∵BC2＝CD·CA，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB為⊙O的直徑，∴BC為⊙O的切線；

(2)解：△BCF為等腰三角形．

證明如下：∵＝，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝∠BDF＝90°，∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC，∴BF＝BC，∴△BCF為等腰三角形；

(3)解：由(1)知，BC為⊙O的切線，∴∠ABC＝90°

∵BC2＝CD·CA，∴AC＝＝＝25，由勾股定理得AB＝＝＝20，∴⊙O的半徑為r＝＝10，∵∠BAC＝36°，∴所對圓心角為72°.則＝＝4π.24.【答案】

【問題解決】在CD上截取CH＝CE，易證△CEH是等邊三角形，得出EH＝EC＝CH，證明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出結論；

【類比探究】過D作DG∥AB，交AC的延長線于點G，由平行線的性質易證∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD為等邊三角形，則DG＝CD＝CG，證明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．

【問題解決】證明：在CD上截取CH＝CE，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等邊三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；

【類比探究】解：線段CE，CF與CD之間的等量關系是FC＝CD+CE；理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，過D作DG∥AB，交AC的延長線于點G，如圖2所示：

∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD為等邊三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF為等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．