八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

等腰三角形

課時(shí)訓(xùn)練

一、選擇題

1.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)，可以構(gòu)成等腰三角形的是()

A．1，1，2

B．1，1，3

C．2，2，1

D．2，2，5

2.如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足為D，則AD與BD的長(zhǎng)度之比為()

A．2∶1

B．3∶1

C．4∶1

D．5∶1

3.如圖，在等腰三角形中，若∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為()

A．35°

B．70°

C．110°

D．35°或55°

4.如圖，已知直線l垂直平分線段AB，P是l上一點(diǎn)，已知PA＝1，則PB()

A．等于1

B．小于1

C．大于1

D．最小為1

5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP的長(zhǎng)可能是()

A．2

B．5.2

C．7.8

D．8

6.具備下列條件的三角形為等腰三角形的是()

A．有兩個(gè)角分別為20°，120°

B．有兩個(gè)角分別為40°，80°

C．有兩個(gè)角分別為30°，60°

D．有兩個(gè)角分別為50°，80°

7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠ACE的度數(shù)是()

A．20°

B．35°

C．40°

D．70°

8.如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有()

A．CD垂直平分AB

B．AB垂直平分CD

C．AB與CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

9.下列條件不能得到等邊三角形的是()

A．有兩個(gè)內(nèi)角是60°的三角形

B．有一個(gè)角是60°的等腰三角形

C．腰和底相等的等腰三角形

D．有兩個(gè)角相等的等腰三角形

10.如圖，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，則圖中有等腰三角形()

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

二、填空題

11.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，則△ABC的面積等于________．

12.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6

cm，13

cm，其周長(zhǎng)為_(kāi)_______

cm.13.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，BD⊥AC，垂足為D.若∠EAD＝20°，則∠ABD＝________°.14.如圖所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，PC＝4，則PD＝________.15.如圖所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=5

cm，△ABD的周長(zhǎng)為18

cm，則△ABC的周長(zhǎng)為.三、解答題

16.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：DF＝2DC.17.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：△CEF是等腰三角形．

18.如圖，上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，從A，B望燈塔C，測(cè)得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海島B到燈塔C的距離；

(2)這條船繼續(xù)向正北方向航行，在什么時(shí)間小船與燈塔C的距離最短？

19.已知:如圖所示，銳角三角形ABC的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC.(1)求證:△ABC是等腰三角形;

(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說(shuō)明理由.20.如圖①，在△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，H.易證PE＋PF＝CH.證明過(guò)程如下：

連接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.又∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，∴AB·PE＋AC·PF＝AB·CH.∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH.如圖②，若P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，PE，PF，CH之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

等腰三角形

課時(shí)訓(xùn)練-答案

一、選擇題

1.【答案】C

2.【答案】B　[解析]

∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B　[解析]

根據(jù)垂線段最短，可知AP的長(zhǎng)不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的長(zhǎng)不能大于6.6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】D　[解析]

有兩個(gè)內(nèi)角是60°的三角形，有一個(gè)角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等邊三角形，而有兩個(gè)角相等的等腰三角形不能得到等邊三角形．

10.【答案】D　[解析]

∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．

∵∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．

∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．

二、填空題

11.【答案】36　[解析]

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D.∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝×12＝6.∴S△ABC＝AC·BD＝×12×6＝36.12.【答案】32　[解析]

由題意知，應(yīng)分兩種情況：

(1)當(dāng)腰長(zhǎng)為6

cm時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為6

cm，6

cm，13

cm，6＋6＜13，不能構(gòu)成三角形；

(2)當(dāng)腰長(zhǎng)為13

cm時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為6

cm，13

cm，13

cm，能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)＝2×13＋6＝32(cm)．

13.【答案】50　[解析]

∵AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，∴∠BAE＝∠EAD＝20°.∴∠BAD＝40°，又∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－40°＝50°.14.【答案】2　[解析]

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD.∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2.∴PD＝PE＝2.故答案是2.15.【答案】

cm

三、解答題

16.【答案】

證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17.【答案】

證明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．

18.【答案】

解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30

海里，即從海島B到燈塔C的距離為30海里．

(2)過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，則線段CP的長(zhǎng)為小船與燈塔C的最短距離．

∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝BC＝15海里．

∵15÷15＝1(時(shí))，∴這條船繼續(xù)向正北方向航行，在上午11時(shí)小船與燈塔C的距離最短．

19.【答案】

解:(1)證明:∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵銳角三角形ABC的兩條高BD，CE相交于點(diǎn)O，∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.(2)點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.理由:連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F.在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠BAF=∠CAF，∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.20.【答案】

解：PE＝PF＋CH.證明如下：

連接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.∵S△ABP＝S△ACP＋S△ABC，∴AB·PE＝AC·PF＋AB·CH.∵AB＝AC，∴PE＝PF＋CH.