人教版

九年級數學下冊

第二十七章

相似

綜合訓練

一、選擇題

1.(2019?雅安)若，且，則的值是

A．4

B．2

C．20

D．14

2.(2019?雅安)如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與相似的是

A．

B．

C．

D．

3.如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為中心，將△ABO擴大到原來的2倍，得到△A′B′O.若點A的坐標是(1,2)，則點A′的坐標是()

A．(2,4)

B．(－1，－2)

C．(－2，－4)

D．(－2，－1)

4.（2020·銅仁）已知△FHB∽△EAD，它們的周長分別為30和15，且FH＝6，則EA的長為（）

A．3

B．2

C．4

D．5

5.（2020·廣西北部灣經濟區）如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為（）

A．15

B．20

C．25

D．30

6.（2020·營口）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且=，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

7.如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.過點D作DE⊥AD，交AC于點E.若DE＝1，則△ABC的面積為()

圖27－Y－3

A．4

B．4

C．2

D．8

8.(2019?賀州)如圖，在中，分別是邊上的點，若，則等于

A．5

B．6

C．7

D．8

二、填空題

9.（2020·鹽城）

如圖，且，則的值為

．

10.（2020·吉林）如圖，在中，分別是邊，的中點．若的面積為．則四邊形的面積為_______．

11.(2019?郴州)若，則__________．

12.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E為CD的中點，連接AE，BD交于點P，過點P作PQ⊥BC于點Q，則PQ＝________．

13.(2019?煙臺)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，建立平面直角坐標系，與是以點P為位似中心的位似圖形，它們的頂點均在格點(網格線的交點)上，則點P的坐標為__________．

14.在由邊長均為1的小正方形組成的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖27－Y－7，已知Rt△ABC是6×6網格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中，面積最大的三角形的斜邊長是________．

15.（2020·臨沂）如圖，在中，為邊的三等分點，為與的交點.若，則_________.16.（2020·杭州）如圖是一張矩形紙片，點E在邊上，把沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點F處，連接DF．若點E，F，D在同一條直線上，則______，______．

三、解答題

17.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如圖①，當AB∥CB′時，設A′B′與CB相交于點D.證明：△A′CD是等邊三角形；

(2)如圖②，連接A′A、B′B，設△ACA′和△BCB′的面積分別為S△ACA′和S△BCB′.求證：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；

(3)如圖③，設AC中點為E，A′B′中點為P，AC＝a，連接EP，當θ＝________°時，EP長度最大，最大值為________．

圖①　　　　　圖②　　　　　　圖③

18.如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF經過點O，與AB，CD分別交于點E，F，FE的延長線交CB的延長線于點M.(1)求證：OE＝OF；

(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的長．

19.(2019?張家界)如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使，連接DE，分別交BC，AC交于點F，G．

(1)求證：；

(2)若，求FG的長．

20.（2020·杭州）如圖，在中，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，．

（1）求證：．

（2）設，①若BC＝12，求線段BE的長；

②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．

21.（2020·泰州）如圖，在中，，為邊上的動點（與、不重合），交于點，連接，設，的面積為．

（1）用含的代數式表示的長；

（2）求與的函數表達式，并求當隨增大而減小時的取值范圍．

22.（2020?麗水）如圖，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．

（1）求BC邊上的高線長．

（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．

①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數．

②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長.23.（2020·江蘇徐州）我們知道：如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱點B為線段AC的黃金分割點.它們的比值為.（1）在圖①中，若AC=20cm，則AB的長為

cm；

（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B的對應點H，得折痕CG.試說明：G是AB的黃金分割點；

（3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE>DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF、CB交于點P.他發現當PB與BC滿足某種關系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點.請猜想小明的發現，并說明理由.圖①

圖

②

圖③

24.（2020·泰安）（12分）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，連接BD，AB﹦BD，點F是線段CE上一點．

探究發現：

（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？___________．（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）將（1）中的條件與結論互換，即：若BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

問題解決：

（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．

圖（1）

圖（2）

備用圖

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第二十七章

相似

綜合訓練-答案

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】由a∶b=3∶4知，所以．

所以由得到：，解得．所以．

所以．故選A．

2.【答案】B

【解析】因為中有一個角是135°，選項中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選B．

3.【答案】C　解析：根據以原點O為位似中心，圖形的坐標特點得出，對應點的坐標應乘以－2，故點A的坐標是(1,2)，則點A′的坐標是(－2，－4)．

4.【答案】

A【解析】相似三角形的周長之比等于相似比，所以△FHB和△EAD的相似比為30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本題選A．

5.【答案】

B

【解析】設正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x，∵四邊EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四邊形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形對應邊上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本題選B．

6.【答案】A

【解析】利用平行截割定理求的值．∵DE∥AB，∴==，∵CE+AE=AC，∴=．

7.【答案】B　[解析]

依題意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，∴S四邊形ABDE＝3.∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故選B.8.【答案】B

【解析】∵，∴，∴，即，解得：，故選B．

二、填空題

9.【答案】2

【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，設DE＝x,則AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8,x2＝2(舍去)，此本題答案為2

．

10.【答案】

【解析】點，分別是邊，的中點，即

又，則四邊形的面積為.故答案為：．

11.【答案】

【解析】∵，∴，故2y=x，則，故答案為：．

12.【答案】

[解析]

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E為CD的中點，∴DE＝CD＝AB＝1.∵AB∥CD，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∴＝，∴＝.∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴△BPQ∽△BDC，∴＝＝.∵CD＝2，∴PQ＝.13.【答案】

【解析】如圖，連接并延長，并延長，與的交點即為位似中心P點，由圖可知、B、P在一條直線上，則P點橫坐標為–3，由圖可得和的位似比為，所以，解得PB=2，所以P點縱坐標為2，即P點坐標為．故答案為：．

14.【答案】5

[解析]

∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，AC∶BC＝1∶2，∴與Rt△ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1∶2.若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網格圖形中，最長線段為6，∴畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4.在圖中嘗試，可畫出DE＝，EF＝2，DF＝5的格點三角形．

∵＝＝＝，∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此時△DEF的面積為×2

÷2＝10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為5

.15.【答案】1【解析】

∵D、E為邊AB的三等分點，∴BE=ED=AD=AB.∵，∴∴.16.【答案】2　－1

【解析】設BE＝x，則AB＝AE＋BE＝2＋x．∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2＋x，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC．由折疊得∠BEC＝∠DEC，EF＝BE＝x，∴∠DCE＝∠DEC．∴DE＝CD＝2＋x．∵點D，F，E在同一條直線上，∴DF＝DE－EF＝2＋x－x＝2．∵AB∥CD，∴△DCF∽△EAF，∴＝．∴＝，解得x1＝－1，x2＝－－1．經檢驗，x1＝－1，x2＝－－1都是分式方程的根．∵x＞0，∴x＝－1，即BE＝－1．

三、解答題

17.【答案】

(1)證：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.∴△A′CD是等邊三角形．

(2)證：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝

.又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.(3)120，.18.【答案】

解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE＝OF.(2)由平行四邊形的性質可知DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∴CM＝BM＋BC＝5.由(1)可知△BOE≌△DOF，∴DF＝BE，∴CF＝CD－DF＝6－BE.∵AB∥CD，∴△MBE∽△MCF，∴＝，即＝，∴BE＝1.19.【答案】

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∵BE=AB，AE=AB+BE，∴，∴，∴．

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，即，解得，．

20.【答案】

解：

（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．

（2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4．

②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面積是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面積是45．

21.【答案】

解：

（1）∵DP∥AB

∴△DCP∽△ACB

∴

∴

∴

∴AD＝3－

（2）∵△DCP∽△ACB,且相似比為x：4．

∴S△DCP：S△ACB＝x2：16

∴S△ABC＝

∴S△DCP＝

∴S△APB＝

∴S＝S△ABC－S△ABP－S△CDP

當

時，S隨x增大而減少．

22.【答案】

解：（1）如圖1中，過點A作AD⊥BC于D．

在Rt△ABD中，AD＝AB?sin45°＝44．

（2）①如圖2中，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．

②如圖3中，由（1）可知：AC，∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，∴APAF＝2．

23.【答案】

解：

（1）.解：∵，AC=20，∴AB=.（2）延長CG交DA的延長線于點J，由折疊可知：∠BCG=∠ECG，∵AD∥BC，∴∠J=∠BCG=∠ECG，∴JE=CE.由折疊可知：E、F為AD、BC的中點，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：CE=,∴EJ=，∴AJ=JE-AE=-10，∵AJ∥BC，∴△AGJ∽△BGC，∴,∴G是AB的黃金分割點.（3）PB=BC，理由如下：∵E為AD的黃金分割點，且AE>DE，∴AE=a.∵CF⊥BE，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90?,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA和△CFB中，∵，∴△BEA≌△CFB，∴BF=AE=a.∴,∵AE∥BP，∴△AEF∽△BPF,∴,∵AE=BF,∴PB=AB，∴PB=BC.24.【答案】

（1）是；

（2）結論成立．

理由如下：

∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC＋∠CDF﹦90°，∠EDF＋∠CDF﹦90°．

∴∠BDC﹦∠EDF．

∵AB﹦BD，∴∠A﹦∠BDC．

∴∠A﹦∠EDF．

又∵∠A﹦∠E，∴∠E﹦∠EDF．

∴EF﹦FD．

又∠E＋∠ECD﹦90°，∴∠ECD﹦∠CDF．

∴CF﹦DF．

∴CF﹦EF．

∴F為CE的中點．

（3）在備用圖中，設G為EC的中點，則DG⊥BD．

∴GD﹦EC﹦．

又BD＝AB＝6，在Rt△GDB中，GB＝＝．

∴CB＝—＝3．

在Rt△ABC中，AC＝＝3．

由條件得：△ABC∽△EDC．

∴＝．

∴CD＝．

∴AD＝AC＋CD＝3＋﹦．