第一部分

教材知識梳理·系統復習

第一單元

數與式

第1講

實

數

知識點一：實數的概念及分類

關鍵點撥及對應舉例

1.實數

（1）按定義分

（2）按正、負性分

正有理數

有理數

0

有限小數或

正實數

負有理數

無限循環小數

實數

0

實數

正無理數

負實數

無理數

無限不循環小數

負無理數

（1）0既不屬于正數，也不屬于負數.（2）無理數的幾種常見形式判斷：①含π的式子；②構造型：如3.010010001…（每兩個1之間多個0）就是一個無限不循環小數；③開方開不盡的數：如，；④三角函數型：如sin60°，tan25°.（3）失分點警示：開得盡方的含根號的數屬于有理數，如=2，=-3，它們都屬于有理數.知識點二

：實數的相關概念

2.數軸

（1）三要素：原點、正方向、單位長度

（2）特征：實數與數軸上的點一一對應；數軸右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大

例：

數軸上-2.5表示的點到原點的距離是2.5.3.相反數

（1）概念：只有符號不同的兩個數

（2）代數意義：a、b互為相反數ó

a+b=0

（3）幾何意義：數軸上表示互為相反數的兩個點到原點的距離相等

a的相反數為-a，特別的0的絕對值是0.例：3的相反數是-3，-1的相反數是1.4.絕對值

（1）幾何意義：數軸上表示的點到原點的距離

（2）運算性質：|a|=

a

(a≥0)；

|a-b|=

a-b(a≥b)

-a(a＜0).b-a(a＜b)

（3）非負性：|a|≥0，若|a|+b2=0,則a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），則x=±a.（2）對絕對值等于它本身的數是非負數.例：5的絕對值是5；|-2|=2；絕對值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒數

（1）概念：乘積為1的兩個數互為倒數.a的倒數為1/a(a≠0)

（2）代數意義：ab=1óa,b互為倒數

例：

-2的倒數是-1/2

；倒數等于它本身的數有±1.知識點三

：科學記數法、近似數

6.科學記數法

（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n為整數

（2）確定n的方法：對于數位較多的大數，n等于原數的整數為減去1；對于小數，寫成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原數中左起至第一個非零數字前所有零的個數（含小數點前面的一個）

例：

21000用科學記數法表示為2.1×104；

19萬用科學記數法表示為1.9×105；0.0007用科學記數法表示為7×10-4.7.近似數

（1）定義：一個與實際數值很接近的數.（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.例：

3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.知識點四

：實數的大小比較

8.實數的大小比較

（1）數軸比較法：數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.（2）性質比較法：正數＞0＞負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而

小.（3）作差比較法：a-b＞0óa＞b；a-b=0óa=b；a-b＜0óa＜b.（4）平方法：a＞b≥0óa2＞b2.例：

把1，-2,0，-2.3按從大到小的順序排列結果為___1＞0＞-2＞-2.3_.知識點五

：實數的運算

9.常見運算

乘

方

幾個相同因數的積;

負數的偶（奇）次方為正（負）

例：

（1）計算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;

3-1=_1/3_;π0=__1__;

(2)64的平方根是_±8__,算術平方根是__8_,立方根是__4__.失分點警示：類似

“的算術平方根”計算錯誤.例：相互對比填一填：16的算術平方根是

4___,的算術平方根是___2__.零次冪

a0=_1_(a≠0)

負指數冪

a-p=1/ap（a≠0，p為整數）

平方根、算術平方根

若x2=a（a≥0）,則x=.其中是算術平方根.立方根

若x3=a,則x=.10.混合運算

先乘方、開方，再乘除，最后加減；同級運算，從左

向右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號一次進行.計算時，可以結合運算律，使問題簡單化

第2講

整式與因式分解

一、知識清單梳理

知識點一：代數式及相關概念

關鍵點撥及對應舉例

1.代數式

（1）代數式：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數或表示數的字母連接而成的式子，單獨的一個數或一個字母也是代數式．

（2）求代數式的值：用具體數值代替代數式中的字母，計算得出的結果，叫做求代數式的值．

求代數式的值常運用整體代入法計算.例：a－b＝3，則3b－3a＝－9.2.整式

（單項式、多項式）

（1）單項式：表示數字與字母積的代數式，單獨的一個數或一個字母也叫單項式.其中的數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做單項式的次數.（2）多項式：幾個單項式的和.多項式中的每一項叫做多項式的項，次數最高的項的次數叫做多項式的次數.（3）整式：單項式和多項式統稱為整式.（4）同類項：所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.所有的常數項都是同類項.例：

（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中屬于單項式的是①③⑤⑦；多項式是②⑥；同類項是①和⑤.（2）多項式7m5n-11mn2+1是六次三項式，常數項是

__1

.知識點二：整式的運算

3.整式的加減運算

(1)合并同類項法則:同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變．

(2)去括號法則:

若括號外是“＋”，則括號里的各項都不變號；若括號外是“－”，則括號里的各項都變號.(3)整式的加減運算法則：先去括號，再合并同類項.失分警示：去括號時，如果括號外面是符號，一定要變號，且與括號內每一項相乘，不要有漏項.例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.冪運算法則

(1)同底數冪的乘法：am·an＝am＋n；

(2)冪的乘方：(am)n＝amn；

(3)積的乘方：(ab)n＝an·bn；

(4)同底數冪的除法：am÷an＝am－n

(a≠0).其中m,n都在整數

(1)計算時，注意觀察，善于運用它們的逆運算解決問題.例：已知2m+n=2,則3×2m×2n=6.（2）在解決冪的運算時，有時需要先化成同底數.例：2m·4m=23m.5.整式的乘除運算

(1)單項式×單項式：①系數和同底數冪分別相乘；②只有一個字母的照抄．

(2)單項式×多項式：

m(a+b)=ma+mb.(3)多項式×多項式:

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)單項式÷單項式：將系數、同底數冪分別相除.(5)多項式÷單項式：①多項式的每一項除以單項式；②商相加．

失分警示：計算多項式乘以多項式時，注意不能漏乘，不能丟項，不能出現變號錯.例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法

公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.注意乘法公式的逆向運用及其變形公式的運用

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.變形公式：

a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】

/2

6.混合運算

注意計算順序，應先算乘除，后算加減；若為化簡求值，一般步驟為：化簡、代入替換、計算．

例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知識點五：因式分解

7.因式分解

(1)定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式．

(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③檢查各因式能否繼續分解.(1)

因式分解要分解到最后結果不能再分解為止，相同因式寫成冪的形式；

(2)

因式分解與整式的乘法互為逆運算．

第3講

分

式

二、知識清單梳理

知識點一：分式的相關概念

關鍵點撥及對應舉例

1.分式的概念

（1）分式：形如

(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式.在判斷某個式子是否為分式時，應注意：（1）判斷化簡之間的式子；（2）π是常數，不是字母.例：下列分式：①;②;

③;④，其中是分式是②③④；最簡分式

③.2.分式的意義

(1)無意義的條件：當B＝0時，分式無意義；

(2)有意義的條件：當B≠0時，分式有意義；

(3)值為零的條件：當A＝0，B≠0時，分式＝0.失分點警示：在解決分式的值為0，求值的問題時，一定要注意所求得的值滿足分母不為0.例：

當的值為0時，則x＝-1.3.基本性質

（1)

基本性質：(C≠0)．

（2）由基本性質可推理出變號法則為：；

.由分式的基本性質可將分式進行化簡：

例：化簡：=.知識點三

：分式的運算

4.分式的約分和通分

(1)約分(可化簡分式)：把分式的分子和分母中的公因式約去，即；

(2)通分(可化為同分母)：根據分式的基本性質，把異分母的分式化為同分母的分式，即

分式通分的關鍵步驟是找出分式的最

簡公分母，然后根據分式的性質通分.例：分式和的最簡公分母為.5.分式的加減法

(1)同分母：分母不變，分子相加減.即±＝；

(2)異分母：先通分，變為同分母的分式，再加減.即±＝.例：

＝－1.6.分式的乘除法

(1)乘法：·＝；

(2)除法：＝；

(3)乘方：＝

(n為正整數).例：＝；＝2y；

＝.7.分式的混合運算

(1)僅含有乘除運算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后約分.(2)含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號，先算括號里面的．

失分點警示：分式化簡求值問題，要先將分式化簡到最簡分式或整式的形式，再代入求值.代入數值時注意要使原分式有意義.有時也需運用到整體代入.第4講

二次根式

三、知識清單梳理

知識點一：二次根式

關鍵點撥及對應舉例

1.有關概念

（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數大于或等于0.（3）最簡二次根式：①被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式

失分點警示：當判斷分式、二次根式組成的復合代數式有意義的條件時，注意確保各部分都有意義，即分母不為0，被開方數大于等于0等.例：若代數式有意義，則x的取值范圍是x＞1.2.二次根式的性質

（1）雙重非負性：

①被開方數是非負數，即a≥0；

②二次根式的值是非負數，即≥0.注意：初中階段學過的非負數有：絕對值、偶冪、算式平方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負性解題：

（1）值非負:當多個非負數的和為0時，可得各個非負數均為0.如+=0，則a=-1，b=1.（2）被開方數非負:當互為相反數的兩個數同時出現在二次根式的被開方數下時，可得這一對相反數的數均為0.如已知b=+,則a=1,b=0.(2)兩個重要性質：

①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；

(3)積的算術平方根：＝·(a≥0，b≥0)；

(4)商的算術平方根：

(a≥0，b＞0)．

例：計算：

＝3.14；＝2；

=；=2；

知識點二

：二次根式的運算

3.二次根式的加減法

先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數相同的二次根式．

例：計算：＝.4.二次根式的乘除法

（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；

（2）除法：

=

(a≥0，b＞0)．

注意：將運算結果化為最簡二次根式.例：計算：＝1；4.5.二次根式的混合運算

運算順序與實數的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．

運算時，注意觀察，有時運用乘法公式會使運算簡便.例：計算：(+1)（-1)=

.第二單元

方程(組)與不等式(組)

第5講

一次方程(組)

四、知識清單梳理

知識點一：方程及其相關概念

關鍵點撥及對應舉例

1.等式的基本性質

(1)性質1：等式兩邊加或減同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c

.(2)性質2：等式兩邊同乘（或除）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．

(3)性質3：（對稱性）若a=b,則b=a.(4)性質4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.失分點警示：在等式的兩邊同除以一個數時，這個數必須不為0.例：判斷正誤.(1)若a=b,則a/c=b/c.(×)

(2)若a/c=b/c，則a=b.(√)

2.關于方程的基本概念

(1)一元一次方程：只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，且等式兩邊都是整式的方程．

(2)二元一次方程：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程．

(3)二元一次方程組：含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程．

(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解．

在運用一元一次方程的定義解題時，注意一次項系數不等于0.例：若(a-2)是關于x的一元一次方程，則a的值為0.知識點二

：解一元一次方程和二元一次方程組

3.解一元一次方程的步驟

(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數，不要漏乘常數項；

(2)去括號：括號外若為負號，去括號后括號內各項均要變號；

(3)移項：移項要變號；

(4)合并同類項：把方程化成ax=-b(a≠0)；

(5)系數化為1：方程兩邊同除以系數a,得到方程的解x=-b/a.失分點警示：方程去分母時，應該將分子用括號括起來，然后再去括號，防止出現變號錯誤.4.二元一次

方程組的解法

思路：消元，將二元一次方程轉化為一元一次方程.已知方程組，求相關代數式的值時，需注意觀察，有時不需解出方程組，利用整體思想解決解方程組.例：

已知則x-y的值為x-y=4.方法：

(1)代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數的表達式，再把“它”代入另一個方程，進行求解；

(2)

加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數的方法.知識點三

：一次方程(組)的實際應用

5.列方程(組)

解應用題的一般步驟

(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；

(2)設未知數；

(3)列方程(組)：找出等量關系，列方程（組）；

(4)解方程(組)；

(5)檢驗：檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；

(6)作答：規范作答，注意單位名稱．

（1）設未知數時，一般求什么設什么，但有時為了方便，也可間接設未知數.如題目中涉及到比值，可以設每一份為x.（2）列方程（組）時，注意抓住題目中的關鍵詞語，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、幾倍、幾分之幾等.6.常見題型及關系式

（1）利潤問題：售價=標價×折扣，銷售額=售價×銷量，利潤=售價-進價，利潤率=利潤/進價×100%.（2）利息問題：利息=本金×利率×期數，本息和=本金+利息.（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間.（4）行程問題：路程=速度×時間.①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及問題：a.同地不同時出發：前者走的路程=追者走的路程；b.同時不同地出發：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.第6講

一元二次方程

五、知識清單梳理

知識點一：一元二次方程及其解法

關鍵點撥及對應舉例

1.一元二次方程的相關概念

(1)定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程．

(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數項，a、b、c分別稱為二次項系數、一次項系數、常數項．

例：方程是關于x的一元二次方程，則方程的根為－1.2.一元二次方程的解法

（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.（2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.（3)公式法:一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.(4)配方法：當一元二次方程的二次項系數為1，一次項系數為偶數時，也可以考慮用配方法．

解一元二次方程時，注意觀察，先特殊后一般，即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知識點二

：一元二次方程根的判別式及根與系數的關系

3.根的判別式

(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數根．

(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數根．

(3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數根．

例：方程的判別式等于8，故該方程有兩個不相等的實數根；方程的判別式等于－8，故該方程沒有實數根.*4.根與系數的關系

（1）基本關系：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數關系的前提條件是△≥0.（2）解題策略：已知一元二次方程，求關于方程兩根的代數式的值時，先把所求代數式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運用根與系數的關系求解.與一元二次方程兩根相關代數式的常見變形：

(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.失分點警示

在運用根與系數關系解題時，注意前提條件時△=b2-4ac≥0.知識點三

：一元二次方程的應用

4.列一元二次方程解應用題

（1）解題步驟：①審題；②

設未知數；③

列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．

運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數根，則必須要根據題意檢驗根是否有意義.（2）應用模型：一元二次方程經常在增長率問題、面積問題等方面應用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數，b表示變化n次后的量；

②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；

③傳播、比賽問題：

④面積問題：a.直接利用相應圖形的面積公式列方程；b.將不規則圖形通過割補或平移形成規則圖形，運用面積之間的關系列方程.第8講

一元一次不等式(組)

六、知識清單梳理

知識點一：不等式及其基本性質

關鍵點撥及對應舉例

1.不等式的相關概念

（1）不等式：用不等號(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等關系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知數的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數的取值范圍.例：“a與b的差不大于1”用不等式表示為a－b≤1.2.不等式的基本性質

性質1：若a＞b,則

a±c>b±c；

性質2：若a＞b,c>0，則ac>bc，>；

性質3：若a＞b,c<0，則ac

：一元一次不等式

3.定義

用不等號連接，含有一個未知數，并且含有未知數項的次數都是1的，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.例：若是關于x的一元一次不等式，則m的值為-1.4.解法

（1）步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系數化為1.失分點警示

系數化為1時，注意系數的正負性，若系數是負數，則不等式改變方向.（2）解集在數軸上表示:

x≥a

x＞a

x≤a

x＜a

知識點三

：一元一次不等式組的定義及其解法

5.定義

由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．

（1）在表示解集時“≥”，“≤”表示含有，要用實心圓點表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圓點表示．

（2）已知不等式（組）的解集情況，求字母系數時，一般先視字母系數為常數，再逆用不等式（組）解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，則a的取值范圍是a＜1.6.解法

先分別求出各個不等式的解集，再求出各個解集的公共部分

7.不等式組解集的類型

假設a＜b

解集

數軸表示

口訣

x≥b

大大取大

x≤a

小小取小

a≤x≤b

大小，小大中間找

無解

大大，小小取不了

知識點四

：列不等式解決簡單的實際問題

8.列不等式解應用題

（1）一般步驟：審題；設未知數；找出不等式關系；列不等式；解不等式；驗檢是否有意義.（2）應用不等式解決問題的情況：

a.關鍵詞：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超過（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隱含不等關系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問題，一般還需根據整數解，得出最佳方案

注意：

列不等式解決實際問題中，設未知數時，不應帶“至少”、“最多”等字眼，與方程中設未知數一致.第9講

平面直角坐標系與函數

七、知識清單梳理

知識點一：平面直角坐標系

關鍵點撥及對應舉例

1.相關概念

（1）定義：在平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸構成平面直角坐標系．

（2）幾何意義：坐標平面內任意一點M與有序實數對(x，y)的關系是一一對應．

點的坐標先讀橫坐標(x軸)，再讀縱坐標(y軸).2.點的坐標特征

（1)各象限內點的坐標的符號特征（如圖所示）：

點P(x,y)在第一象限?x＞0，y＞0；

點P(x,y)在第二象限?x＜0，y＞0；

點P（x,y）在第三象限?x＜0，y＜0；

點P（x,y）在第四象限?x＞0，y＜0.（2）

坐標軸上點的坐標特征：

①在橫軸上?y＝0；②在縱軸上?x＝0；③原點?x＝0，y＝0.（3）各象限角平分線上點的坐標

①第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等；

②第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數

（4）點P（a,b）的對稱點的坐標特征：

①關于x軸對稱的點P1的坐標為(a，－b)；②關于y軸對稱的點P2的坐標為(－a，b)；

③關于原點對稱的點P3的坐標為(－a，－b)．

（5）點M（x,y）平移的坐標特征：

M（x,y）

M1(x+a,y)

M2(x+a,y+b)

（1）坐標軸上的點不屬于任何象限.（2）平面直角坐標系中圖形的平移，圖形上所有點的坐標變化情況相同.（3）平面直角坐標系中求圖形面積時，先觀察所求圖形是否為規則圖形，若是，再進一步尋找求這個圖形面積的因素，若找不到，就要借助割補法，割補法的主要秘訣是過點向x軸、y軸作垂線，從而將其割補成可以直接計算面積的圖形來解決.3.坐標點的距離問題

（1）點M(a,b)到x軸，y軸的距離：到x軸的距離為|b|；)到y軸的距離為|a|．

（2）平行于x軸，y軸直線上的兩點間的距離：

點M1(x1,0)，M2(x2,0)之間的距離為|x1－x2|，點M1(x1，y)，M2(x2，y)間的距離為|x1－x2|；

點M1(0，y1)，M2(0，y2)間的距離為|y1－y2|，點M1(x，y1)，M2(x，y2)間的距離為|y1－y2|．

平行于x軸的直線上的點縱坐標相等；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相等.知識點二：函

數

4.函數的相關概念

（1）常量、變量：在一個變化過程中，數值始終不變的量叫做常量，數值發生變化的量叫做變量．

（2）函數：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱x是自變量，y是x的函數．函數的表示方法有：列表法、圖像法、解析法.（3）函數自變量的取值范圍：一般原則為：整式為全體實數；分式的分母不為零；二次根式的被開方數為非負數；使實際問題有意義．

失分點警示

函數解析式，同時有幾個代數式，函數自變量的取值范圍應是各個代數式中自變量的公共部分.例：函數y=中自變量的取值范圍是x≥-3且x≠5.5.函數的圖象

（1）分析實際問題判斷函數圖象的方法：

①找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找對應點；

②找特殊點：即交點或轉折點，說明圖象在此點處將發生變化；

③判斷圖象趨勢：判斷出函數的增減性，圖象的傾斜方向.（2）以幾何圖形（動點）為背景判斷函數圖象的方法：

①設時間為t（或線段長為x），找因變量與t(或x)之間存在的函數關系，用含t(或x)的式子表示，再找相應的函數圖象.要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.讀取函數圖象增減性的技巧：①當函數圖象從左到右呈“上升”（“下降”）狀態時，函數y隨x的增大而增大（減?。虎诤瘮抵底兓酱?，圖象越陡峭；③當函數y值始終是同一個常數，那么在這個區間上的函數圖象是一條平行于x軸的線段.第10講

一次函數

八、知識清單梳理

知識點一

：一次函數的概念及其圖象、性質

關鍵點撥與對應舉例

1.一次函數的相關概念

（1）概念：一般來說，形如y＝kx＋b(k≠0)的函數叫做一次函數．特別地，當b

＝0時，稱為正比例函數．

（2）圖象形狀：一次函數y＝kx＋b是一條經過點（0,b）和（-b/k,0）的直線.特別地，正比例函數y＝kx的圖象是一條恒經過點（0,0）的直線.例：當k＝1時，函數y＝kx＋k－1是正比例函數,2.一次函數的性質

k，b

符號

K＞0，b＞0

K＞0，b＜0

K＞0，b=0

k<0，b>0

k<0，b<0

k<0，b＝0

（1）一次函數y=kx+b中，k確定了傾斜方向和傾斜程度，b確定了與y軸交點的位置.（2）比較兩個一次函數函數值的大?。盒再|法，借助函數的圖象，也可以運用數值代入法.例：已知函數y=－2x＋b，函數值y隨x的增大而減小(填“增大”或“減小”)．

大致

圖象

經過象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四

圖象性質

y隨x的增大而增大

y隨x的增大而減小

3.一次函數與坐標軸交點坐標

(1)交點坐標：求一次函數與x軸的交點，只需令y=0,解出x即可；求與y軸的交點，只需令x=0,求出y即可.故一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點是，與y軸的交點是(0，b)；

(2)正比例函數y＝kx(k≠0)的圖象恒過點(0，0)．

例：

一次函數y＝x＋2與x軸交點的坐標是（-2,0），與y軸交點的坐標是（0,2）.知識點二

：確定一次函數的表達式

4.確定一次函數表達式的條件

（1）常用方法：待定系數法，其一般步驟為：

①設：設函數表達式為y＝kx＋b(k≠0)；

②代：將已知點的坐標代入函數表達式，解方程或方程組；

③解：求出k與b的值，得到函數表達式．

（2）常見類型：

①已知兩點確定表達式；②已知兩對函數對應值確定表達式；

③平移轉化型：如已知函數是由y=2x平移所得到的，且經過點（0,1），則可設要求函數的解析式為y=2x+b,再把點（0,1）的坐標代入即可.(1)確定一次函數的表達式需要兩組條件，而確定正比例函數的表達式，只需一組條件即可.(2)只要給出一次函數與y軸交點坐標即可得出b的值,b值為其縱坐標，可快速解題.如:已知一次函數經過點（0,2），則可知b=2.5.一次函數圖象的平移

規律：①一次函數圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的k值相同.②若向上平移h單位，則b值增大h；若向下平移h單位，則b值減小h.例：將一次函數y=-2x+4的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象的函數關系式為y=-2x+2．

知識點三

：一次函數與方程（組）、不等式的關系

6.一次函數與方程

一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標.例：

（1）已知關于x的方程ax+b=0的解為x=1,則函數y=ax+b與x軸的交點坐標為（1,0）.（2）一次函數y=-3x+12中，當x

＞4時，y的值為負數．

7.一次函數與方程組

y=k2x+b

y=k1x+b

二元一次方程組的解兩個一次函數y=k1x+b

和y=k2x+b圖象的交點坐標.8.一次函數與不等式

（1）函數y=kx+b的函數值y＞0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＞0的解集

（2）函數y=kx+b的函數值y＜0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＜0的解集

知識點四

：一次函數的實際應用

9.一般步驟

（1）設出實際問題中的變量；

（2）建立一次函數關系式；

（3）利用待定系數法求出一次函數關系式；

（4）確定自變量的取值范圍；

（5）利用一次函數的性質求相應的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義；

（6）做答.一次函數本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數表達式→確定函數增減性→根據自變量的取值范圍確定最值.10.常見題型

（1）求一次函數的解析式.（2）利用一次函數的性質解決方案問題.第11講

反比例函數的圖象和性質

九、知識清單梳理

知識點一：反比例函數的概念及其圖象、性質

關鍵點撥與對應舉例

1.反比例函數的概念

（1）定義：形如y＝(k≠0)的函數稱為反比例函數，k叫做比例系數，自變量的取值范圍是非零的一切實數．

（2）形式：反比例函數有以下三種基本形式：

①y＝；②y=kx-1;

③xy=k.(其中k為常數，且k≠0)

例：函數y=3xm+1，當m=－2時，則該函數是反比例函數．

2.反比例函數的圖象和性質

k的符號

圖象

經過象限

y隨x變化的情況

（1）判斷點是否在反比例函數圖象上的方法：①把點的橫、縱坐標代入看是否滿足其解析式；②把點的橫、縱坐標相乘，判斷其乘積是否等于k.失分點警示

（2）反比例函數值大小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即是否在同一個象限內，若不在則不能運用性質進行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.k>0

圖象經過第一、三象限

（x、y同號）

每個象限內，函數y的值隨x的增大而減小.k<0

圖象經過第二、四象限

（x、y異號）

每個象限內，函數y的值隨x的增大而增大.3.反比例函數的圖象特征

（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；

（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線．

例：若(a，b)在反比例函數的圖象上，則(－a，－b)在該函數圖象上.(填“在“、“不在“)

4.待定系數法

只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設函數解析式，代入求出反比例函數系數k即可.例：已知反比例函數圖象過點（－3，－1），則它的解析式是y=3/x.知識點二

：反比例系數的幾何意義及與一次函數的綜合5.系數k的幾何意義

（1）意義：從反比例函數y＝(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為1/2|k|.（2）常見的面積類型：

失分點警示

已知相關面積，求反比例函數的表達式，注意若函數圖象在第二、四象限，則k＜0.例：已知反比例函數圖象上任一點作坐標軸的垂線所圍成矩形為3，則該反比例函數解析式為：或.6.與一次函數的綜合（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據中心對稱性，可得另一個交點坐標為（-a,-b）.【方法二】聯立兩個函數解析式，利用方程思想求解.（2）確定函數解析式：利用待定系數法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函數解析式中求解

（3）在同一坐標系中判斷函數圖象：充分利用函數圖象與各字母系數的關系，可采用假設法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.（4）比較函數值的大小：主要通過觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結合交點坐標，確定出解集的范圍.涉及與面積有關的問題時，①要善于把點的橫、縱坐標轉化為圖形的邊長，對于不好直接求的面積往往可分割轉化為較好求的三角形面積；②也要注意系數k的幾何意義.例：如圖所示，三個陰影部分的面積按從小到大的順序排列為：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知識點三：反比例函數的實際應用

.一般步驟

（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關系；

（2設出函數表達式；

（3）依題意求解函數表達式；

（4）根據反比例函數的表達式或性質解決相關問題.第12講

二次函數的圖象與性質

十、知識清單梳理

知識點一：二次函數的概念及解析式

關鍵點撥與對應舉例

1.一次函數的定義

形如y＝ax2＋bx＋c

(a，b，c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數.例：如果函數y=(a－1)x2是二次函數，那么a的取值范圍是a≠0.2.解析式

（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數的頂點坐標是（h,k）;

③交點式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標.（2）待定系數法：巧設二次函數的解析式；根據已知條件，得到關于待定系數的方程（組）；解方程（組），求出待定系數的值，從而求出函數的解析式.若已知條件是圖象上的三個點或三對對應函數值，可設一般式；若已知頂點坐標或對稱軸方程與最值，可設頂點式；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，可設交點式.知識點二

：二次函數的圖象與性質

3.二次函數的圖象和性質

圖象

（1）比較二次函數函數值大小的方法：①直接代入求值法；②性質法：當自變量在對稱軸同側時，根據函數的性質判斷；當自變量在對稱軸異側時，可先利用函數的對稱性轉化到同側，再利用性質比較；④圖象法：畫出草圖，描點后比較函數值大小.失分點警示

（2）在自變量限定范圍求二次函數的最值時，首先考慮對稱軸是否在取值范圍內，而不能盲目根據公式求解.例：當0≤x≤5時，拋物線y=x2+2x+7的最小值為7

.開口

向上

向下

對稱軸

x＝

頂點坐標

增減性

當x>時，y隨x的增大而增大；當x＜時，y隨x的增大而減小.當x>時，y隨x的增大而減?。划攛＜時，y隨x的增大而增大.最值

x=，y最?。?x=，y最大＝.3.系數a、b、c

a

決定拋物線的開口方向及開口大小

當a＞0時，拋物線開口向上；

當a＜0時，拋物線開口向下.某些特殊形式代數式的符號：

①

a±b+c即為x=±1時，y的值；②4a±2b+c即為x=±2時，y的值.③

2a+b的符號，需判斷對稱

軸-b/2a與1的大小.若對稱軸在直線x=1的左邊，則-b/2a＞1，再根據a的符號即可得出結果.④2a-b的符號，需判斷對稱軸與-1的大小.a、b

決定對稱軸（x=-b/2a）的位置

當a，b同號，-b/2a＜0，對稱軸在y軸左邊；

當b＝0時，-b/2a=0，對稱軸為y軸；

當a，b異號，-b/2a＞0，對稱軸在y軸右邊．

c

決定拋物線與y軸的交點的位置

當c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；

當c＝0時，拋物線經過原點；

當c＜0時，拋物線與y軸的交點在負半軸上.b2－4ac

決定拋物線與x軸的交點個數

b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點;

b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點;

b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點

知識點三

：二次函數的平移

4.平移與解析式的關系

注意：二次函數的平移實質是頂點坐標的平移，因此只要找出原函數頂點的平移方式即可確定平移后的函數解析式

失分點警示：

拋物線平移規律是“上加下減，左加右減”,左右平移易弄反.例：將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個單位后所得拋物線的解析式是y=（x－2）2．

知識點四

：二次函數與一元二次方程以及不等式

5.二次函數與一元二次方程

二次函數y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.當Δ＝b2－4ac＞0，兩個不相等的實數根；

當Δ＝b2－4ac＝0，兩個相等的實數根；

當Δ＝b2－4ac＜0，無實根

例：已經二次函數y=x2-3x+m(m為常數)的圖象與x軸的一個交點為（1,0），則關于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩個實數根為2,1.6.二次函數與不等式

拋物線y=

ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標均為負，所對應的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.第13講

二次函數的應用

十一、知識清單梳理

知識點一：二次函數的應用

關鍵點撥

實物拋物線

一般步驟

若題目中未給出坐標系，則需要建立坐標系求解，建立的原則：①所建立的坐標系要使求出的二次函數表達式比較簡單；②使已知點所在的位置適當（如在x軸，y軸、原點、拋物線上等），方便求二次函數丶表達式和之后的計算求解.①

據題意，結合函數圖象求出函數解析式；

②確定自變量的取值范圍；

③根據圖象，結合所求解析式解決問題.實際問題中

求最值

①

分析問題中的數量關系，列出函數關系式；

②

研究自變量的取值范圍；

③

確定所得的函數；

④

檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內，并求相關的值；

⑤解決提出的實際問題.解決最值應用題要注意兩點：

①設未知數，在“當某某為何值時，什么最大（最小）”的設問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；

②求解最值時，一定要考慮頂點（橫、縱坐標）的取值是否在自變量的取值范圍內.結合幾何圖形

①

根據幾何圖形的性質，探求圖形中的關系式；

②

根據幾何圖形的關系式確定二次函數解析式；

③

利用配方法等確定二次函數的最值，解決問題

由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問題的面積的最值問題通常會通過二次函數來解決.同樣需注意自變量的取值范圍.第四單元

圖形的初步認識與三角形

第14講

平面圖形與相交線、平行線

十二、知識清單梳理

知識點一：直線、線段、射線

關鍵點撥

1.基本事實

（1）直線的基本事實：經過兩點有且只有一條直線．

（2）線段的基本事實：兩點之間，線段最短．

例：在墻壁上固定一根橫放的木條，則至少需要2枚釘子，依據的是兩點確定一條直線.知識點二

：角、角平分線

2.概念

（1）角：有公共端點的兩條射線組成的圖形．

（2）角平分線：在角的內部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線

例：

（1）15°25＇＝15.5°；

37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇.（2）32°的余角是58°，32°的補角是148°.3.角的度量

1°＝60′，1′＝60＇＇，1°＝3600＇＇

4.余角和補角

（1)

余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；

（2)

補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角.（3）性質：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等．

知識點三

：相交線、平行線

5.三線八角

（1）同位角：形如”F”;（2）內錯角：形如“Z”;(3)同旁內角：形如“U”.一個角的同位角、內錯角或同旁內角可能不止一個，要注意多方位觀察

6.對頂角、鄰補角

（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.（2）性質：對頂角相等，鄰補角之和為180°.例：在平面中，三條直線相交于1點，則圖中有6組對頂角.7.垂線

（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．

（2）性質：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．

②垂線段最短．

（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度

例：如圖所示，點

A到BC的距離為AB，點B到AC的距離為BD，點C到AB的距離為BC.8.平行線

（1）平行線的性質與判定

①同位角相等兩直線平行

②內錯角相等兩直線平行

③同旁內角互補兩直線平行

（2）平行公理及其推論

①經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．

②平行于同一條直線的兩直線平行．

（1）如果出現兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過折點作已知直線的平行線.（2）在平行線的查考時，通常會結合對頂角、角平分線、三角形的內角和以及三角形的外角性質，解題時注意這些性質的綜合運用.知識點四

：命題與證明

9.命題與證明

（1）概念：對某一事件作出正確或不正確判斷的語句(或式子)叫做命題，正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題.（2）命題的結構：由題設和結論兩部分組成，命題常寫成“如果p，那么q“的形式，其中p是題設，q是結論.（3）證明：從一個命題的題設出發，通過推理來判斷命題是否成立的過程.證明一個命題是假命題時，只要舉出一個反例署名命題不成立就可以了.例：下列命題是假命題的有（③)

①相等的角不一定是對頂角；

②同角的補角相等；

③如果某命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題；

④若某個命題是定理，則該命題一定是真命題.第15講

一般三角形及其性質

十三、知識清單梳理

知識點一：三角形的分類及性質

關鍵點撥與對應舉例

1.三角形的分類

（1）按角的關系分類

（2）按邊的關系分類

失分點警示：

在運用分類討論思想計算等腰三角形周長時，必須考慮三角形三邊關系.例：等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為15.2.三邊關系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

3.角的關系

（1）內角和定理：

①三角形的內角和等180°；

②推論：直角三角形的兩銳角互余.（2）外角的性質：

①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和.②三角形的任意一個外角大于任何和它不相鄰的內角.利用三角形的內、外角的性質求角度時，若所給條件含比例，倍分關系等，列方程求解會更簡便.有時也會結合平行、折疊、等腰（邊）三角形的性質求解.4.三角形中的重要線段

四線

性

質

（1）角平分線、高結合求角度時，注意運用三角形的內角和為180°這一隱含條件.（2）當同一個三角形中出現兩條高，求長度時，注意運用面積這個中間量來列方才能夠求解.角平分線

（1）

角平線上的點到角兩邊的距離相等

（2）

三角形的三條角平分線的相交于一點（內心）

中線

（1）

將三角形的面積等分

（2）

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

高

銳角三角形的三條高相交于三角形內部；直角三角形的三條高相交于直角頂點；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部

中位線

平行于第三邊，且等于第三邊的一半

5.三角形中內、外角與角平分線的規律總結

如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；

如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；

如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；

如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A.對于解答選擇、填空題，可以直接通過結論解題，會起到事半功倍的效果.知識點二

：三角形全等的性質與判定

6.全等三角形的性質

(1)全等三角形的對應邊、對應角相等．

(2)全等三角形的對應角平分線、對應中線、對應高相等．

(3)全等三角形的周長等、面積等．

失分點警示：運用全等三角形的性質時，要注意找準對應邊與對應角.7.三角形全等的判定

一般三角形全等

SSS（三邊對應相等）

SAS（兩邊和它們的夾角對應相等）

ASA（兩角和它們的夾角對應相等）

AAS（兩角和其中一個角的對邊對應相等）

失分點警示

如圖，SSA和AAA不能判定兩個三角形全等.直角三角形全等

(1)斜邊和一條直角邊對應相等（HL）

(2)證明兩個直角三角形全等同樣可以用

SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的運用

（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長、求角度：將特征的邊或角放到兩個全等的三角形中，通過證明全等得到結論.在尋求全等的條件時，注意公共角、公共邊、對頂角等銀行條件.（2）全等三角形中的輔助線的作法：

①直接連接法：如圖①，連接公共邊，構造全等.②倍長中線法：用于證明線段的不等關系，如圖②，由SAS可得△ACD≌△EBD，則AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截長補短法：適合證明線段的和差關系，如圖③、④.例：

如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=3.第16講

等腰、等邊及直角三角形

十四、知識清單梳理

知識點一：等腰和等邊三角形

關鍵點撥與對應舉例

1.等腰三角形

（1）性質

①等邊對等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；

②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高

互相重合;

③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，直線AD是對稱軸.（2）判定

①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②等角對等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，其余均成立.如：如左圖，已知AD⊥BC,D為BC的中點，則三角形的形狀是等腰三角形.失分點警示：當等腰三角形的腰和底不明確時，需分類討論.如若等腰三角形ABC的一個內角為30°，則另外兩個角的度數為30°、120°或75°、75°.2.等邊三角形

（1）性質

①邊角關系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸.（2）判定

①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；

③任一內角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形.（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質.（2）等邊三角形有一個特殊的角60°，所以當等邊三角形出現高時，會結合直角三角形30°角的性質，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為9.知識點二

：角平分線和垂直平分線

3.角平分線

（1）性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．即若

∠1

＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.（2）判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平

分線上．

例：如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD=2，則AC=6.4.垂直平分線圖形

（1）性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.（2）判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．

知識點三：直角三角形的判定與性質

5.直角三角形的性質

(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；

(2)

30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；

(3)

斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.(4)

勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即

a2＋b2＝c2

.（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊，c為斜邊，h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個中間量解決與高相關的求長度問題.（2）已知兩邊，利用勾股定理求長度，若斜邊不明確，應分類討論.（3）在折疊問題中，求長度，往往需要結合勾股定理來列方程解決.6.直角三角形的判定

(1)

有一個角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則△ABC是Rt△；

(2)

如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△

(3)

勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.第17講

相似三角形

十五、知識清單梳理

知識點一：比例線段

關鍵點撥與對應舉例

1.比例

線段

在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．

列比例等式時，注意四條線段的大小順序，防止出現比例混亂.2.比例的基本性質

(1)基本性質：?

ad＝bc；（b、d≠0）

(2)合比性質：?＝；（b、d≠0）

(3)等比性質：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?

＝k.（b、d、···、n≠0）

已知比例式的值，求相關字母代數式的值，常用引入參數法，將所有的量都統一用含同一個參數的式子表示，再求代數式的值，也可以用給出的字母中的一個表示出其他的字母，再代入求解.如下題可設a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.例：若，則.3.平行線分線段成比例定理

（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線

段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則.利用平行線所截線段成比例求線段長或線段比時，注意根據圖形列出比例等式，靈活運用比例基本性質求解.例：如圖，已知D，E分別是△ABC的邊BC和AC上的點，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應等于.（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長

線)，所得的對應線段成比例.即如圖所示，若AB∥CD，則.（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似．

如圖所示，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.4.黃金分割

點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么線段AB被點C黃金分割．其中點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．

例：把長為10cm的線段進行黃金分割，那么較長線段長為5(－1)cm．

知識點二

：相似三角形的性質與判定

5.相似三角形的判定

(1)

兩角對應相等的兩個三角形相似(AAA).如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①條件中若有平行

線，可用平行線找出相等的角而判定；②條

件中若有一對等角，可再找一對等角或再找

夾這對等角的兩組邊對應成比例；③條件中

若有兩邊對應成比例可找夾角相等；④條件

中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證

明直角邊和斜邊對應成比例；⑤條件中若有

等腰關系，可找頂角相等或找一對底角相等

或找底、腰對應成比例.(2)

兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．

如圖，若∠A＝∠D，則△ABC∽△DEF.(3)

三邊對應成比例的兩個三角形相似．如圖，若，則△ABC∽△DEF.6.相似

三角形的性質

(1)對應角相等，對應邊成比例．

(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．

(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比．

例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為2，則△ABC與△DEF的面積之比為9：4.(2)

如圖，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，則AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形，可以迅速找到解題思路，事半功倍.（2）證明等積式或者比例式的一般方法：經常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個三角形的對應邊.然后，通過證明這兩個三角形相似，從而得出結果.第18講

解直角三角形

十六、知識清單梳理

知識點一：銳角三角函數的定義

關鍵點撥與對應舉例

1.銳角三角函數

正弦:

sinA＝＝

余弦:

cosA＝＝

正切:

tanA＝＝.根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.2.特殊角的三角函數值

度數

三角函數

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

知識點二

：解直角三角形

3.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．

科學選擇解直角三角形的方法口訣：

已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；

已知直邊求直邊，理所當然用正切；

已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；

已知兩邊求一角，函數關系要記牢；

已知銳角求銳角，互余關系不能少；

已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，則c=10,b=5.4.解直角三角形的常用關系

(1)三邊之間的關系：a2＋b2＝c2；

(2)銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°；

(3)邊角之間的關系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.知識點三

：解直角三角形的應用

5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）

(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα.（如圖②）

(3)方向角：平面上，通過觀察點Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點O出發的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角．（如圖③）

解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：

（1）

疊合式

（2）背靠式

解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.6.解直角三角形實際應用的一般步驟

(1)弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；

(2)將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；

(3)選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；

(4)得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．

第五單元

四邊形

第19講

多邊形與平行四邊形

十七、知識清單梳理

知識點一：多邊形

關鍵點撥與對應舉例

1.多邊形的相關概念

（1）定義：在平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．

（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；n邊形對角線條數為．

多邊形中求度數時，靈活選擇公式求度數，解決多邊形內角和問題時，多數列方程求解.例：

(1)若一個多邊形的內角和為1440°，則這個多邊形的邊數為10．

(2)從多邊形的一個頂點出發引對角線，可以把這個多邊形分割成7個三角形，則該多邊形為九邊形．

2.多邊形的內角和、外角和

（1)

內角和：n邊形內角和公式為(n－2)·180°

（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.3.正多邊形

（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.（2）正n邊形的每個內角為，每一個外角為360°/n.（3)

正n邊形有n條對稱軸.（4）對于正n邊形，當n為奇數時，是軸對稱圖形；當n為偶數時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.知識點二

：平行四邊形的性質

4.平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“□”表示.利用平行四邊形的性質解題時的一些常用到的結論和方法：

（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半.（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經常需結合三角形全等來解題.（3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長.例：

如圖，□ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=1.3，則四邊形BCEF的周長為9.6.5.平行四邊形的性質

（1）

邊：兩組對邊分別平行且相等.即AB∥CD

且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.（2）角：對角相等，鄰角互補.即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.（3）對角線：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD

（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱.6.平行四邊形中的幾個解題模型

（1）如圖①，AF平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABF為等腰三角形，即AB=BF.（2）平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；

兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根據平行四邊形的中心對稱性，可得經過對稱中心O的線段與對角線所組成的居于中心對稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.（3）

如圖③，已知點E為AD上一點，根據平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）

根據平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD.知識點三

：平行四邊形的判定

7.平行四邊形的判定

（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是□.（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是□.（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD是□.（4）方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是□.（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是□.例：如圖四邊形ABCD的對角線相交于點O,AO=CO，請你添加一個條件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一個即可），使四邊形ABCD為平行四邊形.第20講

特殊的平行四邊形

一、知識清單梳理

知識點一：特殊平行四邊形的性質與判定

關鍵點撥及對應舉例

1.性質

（具有平行四邊形的一切性質，對邊平行且相等）

矩

形

菱

形

正方形

(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC;

_兩

對全等的等腰三角形.所以經常結合勾股定理、等腰三角形的性質解題.（2）菱形中，有兩對全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，則△ABC和△ADC為

等邊

三角形，且四個直角三角形中都有一個30°的銳角.（3）正方形中有8個等腰直角三角形，解題時結合等腰直角三角形的銳角為45°，斜邊=直角邊.（1）四個角都是直角

（2）對角線相等且互相平分.即

AO=CO=BO=DO.（3）面積=長×寬

=2S△ABD=4S△AOB.（1）四邊相等

（2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角

（3）面積=底×高

=對角線_乘積的一半

(1)四條邊都相等，四個角都是直角

(2)對角線相等且互相垂直平分

(3)面積=邊長×邊長

=2S△ABD

=4S△AOB

2.判定

（1）定義法：有一個角是直角的平行四邊形

（2）有三個角是直角

（3）對角線相等的平行四邊形

（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形

（2）對角線互相垂直的平行四邊形

（3）四條邊都相等的四邊形

（1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形

（2）一組鄰邊相等的矩形

（3）一個角是直角的菱形

（4）對角線相等且互相垂直、平分

例：判斷正誤.鄰邊相等的四邊形為菱形.（）

有三個角是直角的四邊形式矩形.（）

對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.（）

對邊相等的矩形是正方形.（）

3.聯系

包含關系：

知識點二：特殊平行四邊形的拓展歸納

4.中點四邊形

（1）任意四邊形多得到的中點四邊形一定是平行四邊形.（2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.如圖，四邊形ABCD為菱形，則其中點四邊形EFGD的形狀是矩形.5.特殊四邊形中的解題模型

（1）矩形：如圖①，E為AD上任意一點，EF過矩形中心O，則△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如圖②，若EF⊥MN，則EF=MN;如圖③，P為AD邊上任意一點，則PE+PF=AO.（變式：如圖④，四邊形ABCD為矩形，則PE+PF的求法利用面積法，需連接PO.）

圖①

圖②

圖③

圖④

第六單元

圓

第21講

圓的基本性質

十八、知識清單梳理

知識點一：圓的有關概念

關鍵點撥與對應舉例

1.與圓有關的概念和性質

（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過

圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦.（3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優弧.（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個

交點的角叫做圓周角.（6）弦心距：圓心到弦的距離.（1）經過圓心的直線是該圓的對稱軸，故圓的對稱軸有無數條；

（2）3點確定一個圓，經過1點或2點的圓有無數個.（3）任意三角形的三個頂點確定一個圓，即該三角形的外接圓.知識點二

：垂徑定理及其推論

2.垂徑定理及其推論

定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構造直角三角形.推論

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.延伸

根據圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結論中：

①

弧AC=弧BC;

②弧AD=弧BD；

③AE=BE;

④AB⊥CD;⑤CD是直徑.只要滿足其中兩個，另外三個結論一定成立，即推二知三.知識點三

：圓心角、弧、弦的關系

3.圓心角、弧、弦的關系

定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．

圓心角、弧和弦之間的等量關系必須在同圓等式中才成立.推論

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

知識點四

：圓周角定理及其推論

4.圓周角定理及其推論

（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如圖a,∠A=1/2∠O.圖a

圖b

圖c

（2)推論：

①

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.②

直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.③

圓內接四邊形的對角互補.如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質進行轉化.比如圓心角與圓周角間的轉化；同弧或等弧的圓周角間的轉化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉化等.例：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，∠BAC=40°，則∠D的度數為130°．

第22講

與圓有關的位置關系

十九、知識清單梳理

知識點一：與圓有關的位置關系

關鍵點撥及對應舉例

1.點與圓的位置關系

設點到圓心的距離為d.(1)d

?點在⊙O內；(2)d＝r

?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．

判斷點與圓之間的位置關系，將該點的圓心距與半徑作比較即可.2.直線和圓的位置關系

位置關系

相離

相切

相交

由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關于圓的位置或計算題中常常出現分類討論多解的情況.例：已知：⊙O的半徑為2，圓心到直線l的距離為1，將直線l沿垂直于l的方向平移，使l與⊙O相切，則平移的距離是1或3.圖形

公共點個數

0個

1個

2個

數量關系

d＞r

d＝r

d＜r

知識點二

：切線的性質與判定

3.切線的判定

（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.4.切線的性質

（1）切線與圓只有一個公共點.（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.（3）切線垂直于經過切點的半徑.利用切線的性質解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質來解決問題.*5.切線長

（1）定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.例：如圖，AB、AC、DB是⊙O的切線，P、C、D為切點，如果AB=5，AC=3，則BD的長為2.知識點四

：三角形與圓

5.三角形的外接圓

圖形

相關概念

圓心的確定

內、外心的性質

內切圓半徑與三角形邊的關系：

（1）任意三角形的內切圓（如圖a），設三角形的周長為C，則S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的內切圓（如圖b）

①若從切線長定理推導，可得r=1/2(a+b+c);若從面積推導，則可得r=.這兩種結論可在做選擇題和填空題時直接應用.例：已知△ABC的三邊長a=3，b=4，c=5，則它的外切圓半徑是2.5.經過三角形各定點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形

三角形三條垂直平分線的交點

到三角形的三個頂點的距離相等

6.三角形的內切圓

與三角形各邊都相

切的圓叫三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫

圓的外切三角形

到三角形三條角平分線的交點

到三角形的三條邊的距離相等

第七單元

圖形與變換

第24講

平移、對稱、旋轉與位似

二十、知識清單梳理

知識點一：圖形變換

關鍵點撥與對應舉例

1.圖形的軸對稱

（1）定義：①軸對稱：把一個圖形沿某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就稱這兩個圖形關于這條直線對稱．

②軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.（2）性質：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；反過來，成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分.常見的軸對稱圖形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等.2.圖形的平移

（1）定義：在平面內，將某個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．

（2）性質：①平移后，對應線段相等且平行，對應點所連的線段相等且平行；②平移后，對應角相等且對應角的兩邊分別平行、方向相同；

③平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩個圖形全等．

畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．

3.圖形的旋轉

（1）在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向旋轉一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角度稱為旋轉角．

（2）性質：①在圖形旋轉過程中，圖形上每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同角度；②注意每一對對應點與旋轉中心的連線所成的角度都叫旋轉角，旋轉角都相等；③對應點到旋轉中心的距離相等．

4.圖形的中心對稱

（1）把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，該點叫做對稱中心．

（2）①關于中心對稱的兩個圖形是全等形；②關于中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,并且被對稱中心平分；③關于中心對稱的兩個圖形,對應線段平行（或者在同一直線上）且相等.5.圖形的位似

（1）如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，這樣的圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．

（2）性質：①對應角相等，對應邊之比等于位似比；②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比．

知識點二

：網格作圖

2.坐標與圖形的位置及運動

圖形的平移變換

在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加上(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加上(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．

在平面直角坐標系中或網格中作已知圖形的變換是近幾年安徽必考題型，注意根據圖形變化的性質先確定圖形變換后的對應點，然后順次連接對應點即可.例：平面直角坐標系中，有一條線段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原點O為位似中心，相似比為2：1，將線段AB放大為線段A′B′，那么A′點的坐標為（4，2）或（-4，-2）.圖形關于坐標軸成對稱變換

在平面直角坐標系內，如果兩個圖形關于x軸對稱，那么這兩個圖形上的對應點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數；

在平面直角坐標系內，如果兩個圖形關于y軸對稱，那么這兩個圖形上的對應點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等．

圖形關于原點成中心對稱

在平面直角坐標系內，如果兩個圖形關于原點成中心對稱，那么這兩個圖形上的對應點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數．

圖形關于原點成位似變換

在平面直角坐標系內，如果兩個圖形的位似中心為原點，相似比為k，那么這兩個位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k．