【課標解讀】

動態綜合型試題是近年來各級各類考試命題的熱點和焦點，她集多個知識點于一體，綜合性高，探究型強.解決這類問題的主要思路是:在動中取靜，在靜中探動，也就是用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形,把握圖形運動的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，特別關注一些不變量、不變關系和特殊位置關系.動態問題就是研究在幾何圖形的運動中伴隨著一定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性．就其運動對象而言，有“點動”

“線動”和“面動”；就其運動形式而言，有“移動”“滾動”“旋轉”和“翻折”等．

【解題策略】

動態幾何問題常集幾何、代數知識于一體，數形結合，有較強的綜合性，題目靈活多變，動中有靜，動靜結合，能夠在運動變化過程中發展學生思維和空間想象能力，是中考熱點，常在中考中以壓軸題的形式出現．解訣此類問題的關鍵是將運動的幾何元素當作靜止來加以解答，即“化動為靜”的思路，并能在從相對靜止的瞬間清晰地發現圖形變換前后各種量與量之間的關系，通過歸納得出規律和結論，并加以論證。

【考點深剖】

★考點一

點動在函數中的問題研究

解題的關鍵是從運動圖與描述圖中獲取信息，根據圖象確定x的運動時間與函數的關系，同時關注圖象不同情況的討論．這類問題往往探究點在運動變化過程中的變化規律，如等量關系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關系等，且體現分類討論和數形結合的思想．

【典例1】(2017·麗水)如圖1，在△ABC中，∠A＝30°，點P從點A出發以2cm/s的速度沿折線A－C－B運動，點Q從點A出發以a(cm/s)的速度沿AB運動，P，Q兩點同時出發，當某一點運動到點B時，兩點同時停止運動．設運動時間為x(s)，△APQ的面積為y(cm2)，y關于x的函數圖象由C1，C2兩段組成，如圖2所示．

(1)求a的值；

(2)求圖2中圖象C2段的函數表達式；

(3)當點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積大于當點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積，求x的取值范圍．

★考點二點動在幾何中的問題研究

【典例2】（2018·四川省攀枝花）如圖，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．動點P從A點出發，沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向B點勻速運動，動點Q從C點同時出發，以相同的速度沿CA方向向A點勻速運動，當點P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動，以PQ為邊作正△PQM（P、Q、M按逆時針排序），以QC為邊在AC上方作正△QCN，設點P運動時間為t秒．

（1）求cosA的值；

（2）當△PQM與△QCN的面積滿足S△PQM=S△QCN時，求t的值；

（3）當t為何值時，△PQM的某個頂點（Q點除外）落在△QCN的邊上．

★考點三

線動在函數中的問題研究

【典例3】如圖，矩形AOCB的頂點A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、OC的長度滿足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于M、N兩點，將△BCN沿直線BN折疊，點C恰好落在直線MN上的點D處，且tan∠CBD=

（1）求點B的坐標；

（2）求直線BN的解析式；

（3）將直線BN以每秒1個單位長度的速度沿y軸向下平移，求直線BN掃過矩形AOCB的面積S關于運動的時間t（0＜t≤13）的函數關系式．

★考點四

線動在幾何中的問題研究

解答這類問題時要用運動與變化的觀點去觀察和研究圖形，把握直線或曲線變化的全過程，利用涉及到的幾何性質，抓住等量關系，特別注意一些不變量、不變關系或特殊關系．

【典例4】（2016·黑龍江龍東·8分）已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點．

（1）當點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）

（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉，當∠OFE=30°時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明．

★考點五

面動在函數中的問題研究

【典例5】（2018·湖北江漢·12分）拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．

（1）點A，B，D的坐標分別為，；

（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值范圍；

（3）如圖②，當t=0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

★考點六

面動在幾何中的問題研究

【典例6】用如圖1，2所示的兩個直角三角形(部分邊長及角的度數在圖中已標出)，完成以下兩個探究問題：

探究一：將以上兩個三角形如圖3拼接(BC和ED重合)，在BC邊上有一動點P.(1)當點P運動到∠CFB的角平分線上時，連結AP，求線段AP的長；

(2)當點P在運動的過程中出現PA＝FC時，求∠PAB的度數．

探究二：如圖4，將△DEF的頂點D放在△ABC的BC邊上的中點處，并以點D為旋轉中心旋轉△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點，連結MN.在旋轉△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由．

【講透練活】

變式1：（2018·廣西賀州·12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A.B兩點（A在B的左側），且OA=3，OB=1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點坐標為D（﹣1，4）．

（1）求A.B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）過點D作直線DE∥y軸，交x軸于點E，點P是拋物線上B.D兩點間的一個動點（點P不與B.D兩點重合），PA.PB與直線DE分別交于點F、G，當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

變式2：（2018·吉林長春·10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A.B重合），作∠DPQ=60°，邊PQ交射線DC于點Q．設點P的運動時間為t秒．

（1）用含t的代數式表示線段DC的長；

（2）當點Q與點C重合時，求t的值；

（3）設△PDQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（4）當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時，直接寫出t的值．

變式3：如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC＝6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M.(1)若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求證：CN⊥OB；

(2)當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形．

①問：－的值是否發生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由；

②設菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍

變式4：由6根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架ABCDEF，相鄰兩鋼管可以轉動．已知各鋼管的長度為AB＝DE＝1米，BC＝CD＝EF＝FA＝2米．(鉸接點長度忽略不計)

(1)轉動鋼管得到三角形鋼架，如圖1，則點A，E之間的距離是多少米？

(2)轉動鋼管得到如圖2所示的六邊形鋼架，有∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝120°，現用三根鋼條連接頂點使該鋼架不能活動，則所用三根鋼條總長度的最小值是多少米？

變式5：（2018?廣安?10分）如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點，交x軸于C.D兩點，連接AC.BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸l上找一點M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個最大值；

（3）點P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

變式6：（2018·遼寧省沈陽市）（10.00分）如圖，在平面直角坐標系中，點F的坐標為（0，10）．點E的坐標為（20，0），直線l1經過點F和點E，直線l1與直線l2、y=x相交于點P．

（1）求直線l1的表達式和點P的坐標；

（2）矩形ABCD的邊AB在y軸的正半軸上，點A與點F重合，點B在線段OF上，邊AD平行于x

軸，且AB=6，AD=9，將矩形ABCD沿射線FE的方向平移，邊AD始終與x

軸平行．已知矩形ABCD以每秒個單位的速度勻速移動（點A移動到點E時止移動），設移動時間為t秒（t＞0）．

①矩形ABCD在移動過程中，B.C.D三點中有且只有一個頂點落在直線l1或l2上，請直接寫出此時t的值；

②若矩形ABCD在移動的過程中，直線CD交直線l1于點N，交直線l2于點M．當△PMN的面積等于18時，請直接寫出此時t的值．

變式7：已知：如圖10－S－3①，在?ABCD中，AB＝3

cm，BC＝5

cm，AC⊥AB.將△ACD沿AC方向勻速平移得到△PNM，速度為1

cm/s；同時，點Q從點C出發，沿CB方向勻速移動，速度為1

cm/s；當△PNM停止平移時，點Q也停止移動，如圖②.設移動時間為ts(0＜t＜4)，連接PQ，MQ，MC.解答下列問題：

圖10－S－3

(1)當t為何值時，PQ∥MN?

(2)設△QMC的面積為ycm2，求y與t之間的函數表達式．

(3)是否存在某一時刻t，使S△QMC∶S四邊形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

(4)是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．