第一篇：2014年全國高考理科數學試題選編9.推理與證明試題解析

2014年全國高考理科數學試題選編

九.推理與證明試題

一.選擇題和填空題

3.(安徽21滿分13分)設實數c＞0，整數p＞1，n∈N*.(1)證明：

當x＞－1且x≠0時，(1＋x)p＞1＋px；(2)數列{an}滿足a1?c，1p

an＋1?

p?1c

an?an1?p，__________．

2.(北京.8)學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”．若學 生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中 至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙 成績好”．如果一組學生中沒有哪位學生比另一 位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學 成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有()．

A．2人B．3人C．4人D．5人

3.(山東4)用反證法證明命題“設a，b為實數，則 方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的 假設是()．

A．方程x

3＋ax＋b＝0沒有實根

B．方程x3

＋ax＋b＝0至多有一個實根

C．方程x3

＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根

二.解答題

1.(北京20滿分13分)對于數對序列P：(a 1，b1)，(a 2，b2)，?，(an，bn)，記T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋? ＋ak}(2≤k≤n)，其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋?＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋?＋ak兩 個數中最大的數．

(1)對于數對序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；

(2)記m為a，b，c，d四個數中最小的數，對于 由兩個數對(a，b)，(c，d)組成的數對序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，試分別對m＝a 和m＝d兩種情況比較T2(P)和T2(P′)的大??；(3)在由五個數對(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)組成的所有數對序列中，寫出一個數對序列 P使T5(P)最小，并寫出T5(P)的值．(只需寫出結 論)

2.(天津19滿分14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數．設集合M＝{0,1,2，?，q－1}，集合A＝{x|x＝xq＋?＋xn－

11＋x2nq，xi∈M，i＝1,2，?，n}．

(1)當q＝2，n＝3時，用列舉法表示集合A；(2)設s，t∈A，s＝a1＋a2q＋?＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋?＋b－1nqn，其中ai，bi∈M，i＝1,2，?，n.證明：若a

n＜bn，則s＜t.虢鎮中學1pp

證明：ap

n?an＋1?c.九.推理與證明試題解析

數學教研組

一.選擇題和填空題

__________．

解析：因為5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F＋V－E＝292.(北京.8)學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”．若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”．如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有()．

A．2人B．3人C．4人D．5人

解析：用A，B，C分別表示優秀、及格和不及格．顯然，語文成績得A的學生最多只有一人，語文成績得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以這組學生的成績為(AC)，(BB)，(CA)滿足條件，故學生最多為3人．

3.(山東4)用反證法證明命題“設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是()．

A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根

解析：因為至少有一個的反面為一個也沒有，所以要做的假設是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根．

二.解答題

1.(北京20滿分13分)對于數對序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，?，(an，bn)，記T1(P)＝a1＋b1，Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋? ＋ak}(2≤k≤n)，其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋?＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋?＋ak兩個數中最大的數．

(1)對于數對序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；

(2)記m為a，b，c，d四個數中最小的數，對于由兩個數對(a，b)，(c，d)組成的數對序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，試分別對m＝a和m＝d兩種情況比較T2(P)和T2(P′)的大?。?3)在由五個數對(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)組成的所有數對序列中，寫出一個數對序列P使T5(P)最小，并寫出T5(P)的值．(只需寫出結論)

分析：(1)直接根據定義式即可求出T1(P)和T2(P)的值；(2)先根據定義式分別寫出T2(P)和T2(P′)，然后根據a，b，c，d中最小數的不同比較對應兩個代數式的大小，即可求得T2(P)和T2(P′)的大小關系；(3)先比較已知數據大小，然后根據定義式寫出使T5(P)最小的數對序列，依次求出T1(P)，T2(P)，T3(P)，T4(P)，T5(P)即可． 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．

當m＝a時，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因為a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．

當m＝d時，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因為a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．

所以無論m＝a還是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)數對序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.2.(天津19滿分14分)已知q和n均為給定的大于 1的自然數．設集合M＝{0,1,2，?，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋?＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，?，n}．

(1)當q＝2，n＝3時，用列舉法表示集合A；

n－1

(2)設s，t∈A，s＝a1＋a2q＋?＋anq，t＝b1＋b2q＋?＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，?，n.證明：若an＜bn，則s＜t.分析：在第(1)問中，由于q和n的值已給出，因此集合M確定，從而xi的取值確定．只需列出x的所有可能的取值，即得集合A．在第(2)問中，考慮到s和t表達式的結構特點，應采用作差法證明它們的大小關系．在s－t的表達式中，由于ai與bi(i＝1,2,3，?，n－1)的大小關系不確定，因此可將ai－bi(i＝1,2，?，n－1)統一放大為其最大值q－1，而an＜bn，可將an－bn放大為其最大值－1，然后將s－t的表達式用等比數列求和公式化簡，即可證得s－t＜0.(1)解：當q＝2，n＝3時，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1,2,3}． 可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．

(2)證明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋?＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋?＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，?，n及an＜bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋?

＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1

≤(q－1)＋(q－1)q＋?＋(q－1)qn－2－qn－1

(q?1)(1?qn?1)n?1

?q＝－1＜0.＝

1?q虢鎮中學數學教研組

所以，s＜t.3.(安徽21滿分13分)設實數c＞0，整數p＞1，n∈N*.(1)證明：

當x＞－1且x≠0時，(1＋x)p＞1＋px； 1(2)數列{an}滿足ap

1?c，ap?1n＋1?

ac

1?ppn?p

an，1

證明：ap

n?an＋1?c.分析：(1)考慮到欲證不等式與正整數p有關，因此可采用數學歸納法證明．(2)有兩種思路．一種思路是先用數學歸納法證明

1ap

n?c，再證明數列{an}是遞減數列，二者結合1即可證得結論，其中在證ap

n?c時，要注意第(1)問結論的應用和第(2)問中所給條件式的變形及應用；另一種思路是構造函數

f?x??

p?1c

px?p

x1?p，然后利用導數證得 1f(x)在[cp，＋∞)上單調遞增，從而可得

1f?x??cp，在此基礎上再運用數學歸納法

1證明ap

n?an＋1?c成立．

(1)證明：用數學歸納法證明．

①當p＝2時，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立．

②假設p＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式(1＋x)k＞1＋kx成立． 當p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)(1

＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2

＞1＋(k＋1)x.所以p＝k＋1時，原不等式也成立． 綜合①②可得，當x＞－1，x≠0時，對一切整數p＞1，不等式(1＋x)p＞1＋px

均成立． 1(2)證法一：先用數學歸納法證明ap

n?c.11①當n＝1時，由題設ap

1?c知an?cp成立． ②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，1不等式ap

k?c成立．

由ap?1n＋1?pac

1?pn?p

an易知an＞0，n∈N*.當n＝k＋1時，虢鎮中學3ak?1a?p?1p?c?p1?c

?pak?1+p??ap?1?.kk?

由a1??11c

k?cp?0得?p?p(aP?1)?0.k

由(1)中的結論得

（ak?1)p?[1?1(c1cc

.aP?1)]p?1?p?(P?1)?Pkpakpakak

因此aPp

k?1?c，即ak?1?c.1所以n＝k＋1時，不等式ap

n?c也成立． 綜合①②可得，對一切正整數n，不等式an?cp

均成立．

再由

an?1?1?1(c

a1aP?1)可得n??1，npanan

即an＋1＜an.綜上所述，a?ap

nn?1?c，n∈N*.證法二：設f?x??p?1px?c

p

x1?p，x?cp，則xp≥c，并且

f??x??

p?1p?cp(1?p)x?p?p?1c

p(1?x

p)?0，1x?cp

.1由此可得，f(x)在[cp，＋∞)上單調遞增． 111因而，當x?cp

時，f?x??f(cp)?cp

.1①當n＝1時，由ap

1?c?0，即ap1＞c可知

ap?12?

pac1?p1c

1?pa1?a1[1?p(ap?1)]?a11

1，并且ap

cp

2?f(a1)?c，從而a1?a2?.1故當n＝1時，不等式ap

n?an?1?c成立． ②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，1不等式ap

k?ak?1?c成立，則當n＝k＋1時，1f(ak)＞f(ak＋1)＞f(cp)，1即有ap

k＋1?ak＋2?c.所以n＝k＋1時，原不等式也成立． 綜合①②可得，對一切正整數n，數學教研組

1不等式ap

n?an?1?c均成立．

虢鎮中學4數學教研組

第二篇：高考文科數學試題分類—推理與證明

高中數學

高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反3

射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）3

1151?2?3?，233

11151?2?2?2? 2343……

照此規律，第五個不等式為.．．．

高中數學

【答案】1?

1111111?????.22324252626

1，【解析】觀察不等式的左邊發現，第n個不等式的左邊=1?1?1???

2232?n?1?

右邊=

11111112?n?1??1，所以第五個不等式為1?2?2?2?2?2?．

234566n?1

?

5.【高考湖南文16】對于n?N，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21a0?20,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?121?00,1?b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?2?0,5?1?22?0?21?1?20,b5?0；2?2106?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?

n(n?1)，寫出其若2

【解析】由以上規律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?

干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發現其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規律可猜想：b2k?a5k?

5k(5k?1)

（k為正整數），2

(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)

b2k?1?a5k?1??，22

故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想

需要有一定的經驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創新性問題的考查.質，并且，因此，不妨設112，由的定義，(A從)c而k(?1A)r(?1A),k?(A)k3k?1(A)?r1(A?2)c?(A ?)c?(A?)a(?b?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質P的數表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

第三篇：2009年高考數學試題分類——推理與證明

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2009年高考數學試題分類匯編

推理與證明

1、(湖北卷理)10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是

A.289B.1024C.1225D.1378

10.【答案】C

【解析】【解析】由圖形可得三角形數構成的數列通項a?nn(n?1)，同理可得正方形數構

2n成的數列通項bn?n2，則由bn?n2(n?N?)可排除A、D，又由a?

數，故選C.n(n?1)知an必為奇

22、（江蘇卷）8.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：83、（北京卷理）14．已知數列{an}滿足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?

a2009?________； ?則an,n?N,版權所有@高考資源網

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本題主要考查周期數列等基礎知識.屬于創新題型.依題意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0.∴應填1，0.4、(湖南卷)

15、將正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別一次成等差數列，若頂點A ,B ,C處的三個數互不相同且和為1,記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=

31(n+1)(n+2)6

15.【答案】：101,(n?1)(n?2)36

【解析】當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數用小寫字母表示，即由條件知a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a

x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z

26g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2 即g?11110而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1??? 3233

進一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三個數，f(2)中 有6個數，f(3)中共有10個數相加，f(4)中有15個數相加….，若f(n?1)中有an?1(n?1)個數相加，可得f(n)中有(an?1?n?1)個數相加，且由

363?331045f(1)?1?,f(2)???f(1)?,f(3)??f(2)?,f(4)?5?f(3)?,...3333333

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n?1,所以 3

n?1n?1nn?1nn?13f(n)?f(n?1)??f(n?2)???...?????f(1)3333333

n?1nn?13211??????(n?1)(n?2)=3333336可得f(n)?f(n?1)?

5、(浙江卷)15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，159C1C1?3C7?C1?7C?17171715?217?2，………

由以上等式推測到一個一般的結論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?． *

答案：24n?1???1?22n?1

nn【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有??1?，二項指

數分別為24n?n1?,，2

n因此對于n?N*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

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第四篇：2013年全國高考理科數學試題分類：幾何證明

2013年全國高考理科數學試題分類匯編

17：幾何證明

一、填空題

錯誤！未指定書簽。．（2013年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案））如

圖,在?ABC中,?C?90, ?A?600,AB?20,過C作?ABC的外接圓的切線0

CD,BD?CD,BD與外接圓交于點E,則DE的長為

__________

【答案】

5錯誤！未指定書簽。．（2013年普通高等學校招生統一考試天津數學（理）試題（含答案））如

圖, △ABC為圓的內接三角形, BD為圓的弦, 且BD//AC.過點A 做圓的切線與DB的延長線交于點E, AD與BC交于點F.若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 則線段CF的長為

______.【答案】8

3錯誤！未指定書簽。．（2013年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純WORD版））

(幾何證明選講選做題)如圖,AB是圓O的直徑,點C在圓O上,延長BC到D使BC?CD,過C作圓O的切線交AD于E.若AB?6,ED?2,則BC?_________.E

第15題圖

【答案】

錯誤！未指定書簽。．（2013年高考四川卷（理））設P1,P2,?,Pn為平面?內的n個點,在平

1P為P面?內的所有點中,若點P到P1,P2,?,Pn點的距離之和最小,則稱點1,P2,?,Pn

點的一個“中位點”.例如,線段AB上的任意點都是端點A,B的中位點.則有下列命題:

①若A,B,C三個點共線,C在線AB上,則C是A,B,C的中位點;

②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點;

③若四個點A,B,C,D共線,則它們的中位點存在且唯一;

④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點.其中的真命題是____________.(寫出所有真命題的序號數學社區)

【答案】①④

錯誤！未指定書簽。．（2013年高考陜西卷（理））B.(幾何證明選做題)如圖, 弦AB與CD

相交于?O內一點E, 過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P.已知PD=2DA=2, 則PE=_____.【答案】 6.?O中,弦AB,CD錯誤！未指定書簽。．（2013年高考湖南卷（理））如圖2,相交于點P,PA?PB?

2,PD?1,則圓心O到弦CD的距離為____________.【答案】

2CE的值為___________.EO錯誤！未指定書簽。．（2013年高考湖北卷（理））如圖,圓O上一點C在直線AB上的射影為D,點D在半徑OC上的射影為E.若AB?3AD,則

C

AB

第15題圖

【答案】8

錯誤！未指定書簽。．（2013年高考北京卷（理））如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB

DB?9：16,則

PD=_________;AB=___________.與圓O相交于D.若PA=3,PD：

【答案】

二、解答題

錯誤！未指定書簽。．（2013年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學（理）（純WORD版

含答案））選修4—1幾何證明選講:如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交9;45直線CD于點D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點,且BC?AE?DC?AF,B,E,F,C四點共圓.(Ⅰ)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;

(Ⅱ)若DB?BE?EA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.【答案】

錯誤！未指定書簽。．（2013年普通高等學校招生統一考試遼寧數學（理）試題（WORD版））選

修4-1:幾何證明選講

BC垂直于如圖,AB為?O直徑，直線CD與?O相切于E.AD垂直于CD于D，CD于C，EF,垂直于F,連接AE,BE.證明:

(I)?FEB??CEB;(II)EF?AD?

BC.2

【答案】

錯誤！未指定書簽。．（2013年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷（數學）（已校對純

WORD版含附加題））A.[選修4-1:幾何證明選講]本小題滿分10分.如圖,AB和BC分別與圓O相切于點D,C,AC經過圓心O,且BC?2OC

求證:AC?2AD

【答案】A證明:連接OD,∵AB與BC分別與圓O相切于點D與C

∴?ADO??ACB?90,又∵?A??A

∴RT?ADO~RT?ACB∴0BCAC?又∵BC=2OC=2OD∴AC=2ADODAD

錯誤！未指定書簽。．（2013年高考新課標1（理））選修4—1:幾何證明選講如圖,直線AB

為圓的切線,切點為B,點C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于

D.(Ⅰ)證明:DB=DC;

(Ⅱ)設圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點F,求△BCF外接圓的半徑

.【答案】(Ⅰ)連結DE,交BC與點

G.由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,又∵DB⊥BE,∴DE是直徑,∠DCE=90,由勾股定理可得DB=DC.0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC

oo設DE中點為O,連結BO,則∠BOG=60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30,∴CF⊥BF,∴Rt△BCF

.6

第五篇：2013年全國高考試題分類：推理與證明

第十三章推理與證明

考點一 合情推理與演繹推理

1.(2013湖南,15,5分)對于E={a1,a2,?,a100}的子集X={，?,},定義X的“特征數列”為x1,x2,?,x100,其中==?==1,其余項均為0.例如:子集{a2,a3}的“特征數列”為0,1,1,0,0,?,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數列”的前3項和等于;

(2)若E的子集P的“特征數列”p1,p2,?,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數列”q1,q2,?,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個數為

.答案(1)2(2)17

2.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式

(1+1)=2×

12(2+1)(2+2)=2×1×

3(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×

5??

照此規律,第n個等式可為

.答案(n+1)(n+2)?(n+n)=2×1×3×?×(2n-1)

3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標系中,若點P(x,y)的坐標x,y均為整數,則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內部的格點數記為N,邊界上的格點數記為L.例如圖中△ABC是格點三角形,對應的S=1,N=0,L=4.n3

(1)圖中格點四邊形DEFG對應的S,N,L分別是;

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數.若某格點多邊形對應的N=71,L=18,則S=(用數值作答).答案(1)3,1,6(2)79

4.(2013江西,21,14分)設函數f(x)=a為常數且a∈(0,1).(1)當a=時,求f;

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點.證明函數f(x)有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2;

(3)對于(2)中的x1,x2,設A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a,0),記△ABC的面積為S(a),求S(a)在區間上的最大值和最小值

.解析(1)當a=時, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=

當0≤x≤a時,由x=x解得x=0, 因為f(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點;

當a

=≠, 222

2故x=為f(x)的二階周期點;

當a

當a-a+1≤x≤1時,由(1-x)=x解得x=∈(a-a+1,1),因f

=·

=≠,故x=為f(x)的二階周期點.因此,函數f(x)有且僅有兩個二階周期點,x1=,x2=.(3)由(2)得

A,B,則S(a)=·,S'(a)=·,因為a∈,a+a<1,所以S'(a)=· =·>0.或令g(a)=a-2a-2a+2,g'(a)=3a-4a-2 =3,因a∈(0,1),g'(a)<0,則g(a)在區間上的最小值為g=>0,故對于任意a∈,g(a)=a-2a-2a+2>0, S'(a)=·>0

則S(a)在區間上單調遞增,故S(a)在區間上的最小值為S=,最大值為S=.考點二 直接證明與間接證明

5.(2013四川,10,5分)設函數f(x)=(a∈R,e為自然對數的底數).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是()

A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e]

D.[0,1]

答案 A 22 22232232

x6.(2013陜西,21,14分)已知函數f(x)=e,x∈R.(1)求f(x)的反函數的圖象上點(1,0)處的切線方程;

(2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=x+x+1有唯一公共點;

(3)設a

.解析(1)f(x)的反函數為g(x)=ln x,設所求切線的斜率為k,∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,于是在點(1,0)處切線方程為y=x-1.(2)解法一:曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數等于函數φ(x)=e-x-x-1零點的個數.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零點x=0.xxx又φ'(x)=e-x-1,令h(x)=φ'(x)=e-x-1,則h'(x)=e-1,當x<0時,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上單調遞減.當x>0時,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上單調遞增.∴φ'(x)在x=0處有唯一的極小值φ'(0)=0,x2x22

即φ'(x)在R上的最小值為φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(僅當x=0時等號成立),∴φ(x)在R上是單調遞增的,∴φ(x)在R上有唯一的零點,故曲線y=f(x)與y=x+x+1有唯一的公共點.解法二:∵e>0,x+x+1>0,∴曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數等于曲線y=與y=1公共點的個數,設φ(x)=,則φ(0)=1,即x=0時,兩曲線有公共點.又φ'(x)==≤0(僅當x=0時等號成立),∴φ(x)在R上單調遞減,∴φ(x)與y=1有唯一的公共點,故曲線y=f(x)與y= x+x+1有唯一的公共點.(3)-f

=-==[--(b-a)].設函數u(x)=e--2x(x≥0),則u'(x)=e+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(僅當x=0時等號成立),∴u(x)單調遞增.當x>0時,u(x)>u(0)=0.令x=,則得--(b-a)>0,∴>f.7.(2013湖北,20,13分)如圖,某地質隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發現礦藏,再繼續下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

(2)在△ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測三角形ABC區域內正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時,可用近似公式V估=S中·h來估算.已知V=(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關系,并加以證明.2x2x22xx

解析(1)依題意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

由A1A2⊥平面ABC,MN?平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位線,可得MN=

BC=a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG

=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d10,d3-d1>0,故V估

(2)證明:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2

<0.解析(1)函數f(x)的定義域為(-∞,+∞).f '(x)='e+e=e

=e.當x<0時, f '(x)>0;

當x>0時, f '(x)<0.所以f(x)的單調遞增區間為(-∞,0),單調遞減區間為(0,+∞).(2)當x<1時,由于>0,e>0,故f(x)>0;

同理,當x>1時, f(x)<0.當f(x1)=f(x2)(x1 ≠x2)時,不妨設x1