第一篇：《步步高 學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計》2013-2014學(xué)年 高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-3第一章二項式定理

§1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理

一、基礎(chǔ)過關(guān)

1．(x＋2)6的展開式中x3的系數(shù)是A．20B．40

2x－?6的展開式的常數(shù)項是2.?2x??A．20A．33

()A．－5

()A．840

二、能力提升

6．設(shè)S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于A．(x－1)3C．x

3B．(x－2)3 D．(x＋1)3

()

B．－840

C．210

D．－210

B．

5C．－10

D．10

5．(x2y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)是

B．－20B．29

()

C．80

D．160

()

C．40C．23

D．－40

()

D．19

3．若(1＋2)4＝a＋b2(a、b為有理數(shù))，則a＋b等于4．在(1－x)5－(1－x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)是

7．(1＋2x)3(1－x)5的展開式中x的系數(shù)是

()A．－

4B．－2

C．2D．4

3x2－n的展開式中含有常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為8．在?2x?A．4

B．

5C．6

D．7

()

9．若(1－2x)5的展開式中，第2項小于第1項，且不小于第3項，則x的取值范圍是()

11111

A．x<－B．－

10104104

10．(1＋x＋x2)(x6的展開式中的常數(shù)項為________．

x

?x＋2n11.??展開式第9項與第10項二項式系數(shù)相等，求x的一次項系數(shù)．

x??

12．設(shè)a>0，若(1＋n的展開式中含x2項的系數(shù)等于含x項的系數(shù)的9倍，且展開式中第2

3項等于135x，求a的值．

三、探究與拓展

13．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展開式中含x項的系數(shù)為36，求展開式中含

x2項的系數(shù)最小值．

答案

1．D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C8．B 9.B 10.－5

911．解 C8n＝Cn，17－rrr∴n＝17，Tr＋1＝Crx2·x－ 1723

17－rr∴1，∴r＝9，23

9∴T10＝C17·x4·29·x3＝C929·x，17·－

9其一次項系數(shù)為C9172.12．解 通項公式為

1rrrrTr＋1＝Cr(ax＝Cax.nn·22

若含x2項，則r＝4，此時的系數(shù)為C4a4； n·

若含x項，則r＝2，此時的系數(shù)為C2a2.n·

422根據(jù)題意，有C4na＝9Cna，22即C4na＝9Cn.①

2又T3＝135x，即有C2na＝135.② 2C49C由①②兩式相除，得Cn135

5結(jié)合組合數(shù)公式，整理可得3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝(舍去)． 3

將n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9.∵a>0，∴a＝3.1113．解(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x的項為Cm·2x＋C14x＝(2C1n·m＋4Cn)x，1∴2C1m＋4Cn＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x2項的系數(shù)為

22222t＝C2m2＋Cn4＝2m－2m＋8n－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n

＝16n2－148n＋612

37153n2－＋?，＝16?44??

37∴當nt取最小值，但n∈N*，8

∴n＝5時，t即x2項的系數(shù)最小，最小值為272.

第二篇：《步步高 學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計》2013-2014學(xué)年 高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-2數(shù)學(xué)歸納法

§2.3 數(shù)學(xué)歸納法

2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法

一、基礎(chǔ)過關(guān)

1．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時，該命題也成立．現(xiàn)在已知當n＝5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出

A．當n＝6時命題不成立

B．當n＝6時命題成立

C．當n＝4時命題不成立

D．當n＝4時命題成立

2．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則()()

A．該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立

B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C．該命題何時成立與k取值無關(guān)

D．以上答案都不對

13．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于()2

A．1B．2C．3D．0

()1114．若f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，則n＝1時f(n)是232n＋1

A．1

1B.3D．以上答案均不正確

11C．1＋＋2311115．已知f(n)＋ nn＋1n＋2n()

11A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝ 23

111B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋234

11C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)23

111D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋ 234

a6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝n∈N*)，依次計算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項3an＋1

表達式為

2A.4n－3

2C.4n＋3

二、能力提升

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1左端需要增乘的代數(shù)式為

A．2k＋1

2k＋1C.k＋1()()2 6n－52D.2－1B．2(2k＋1)2k＋3D.k＋1

1118．已知f(n)(n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋______________________.n＋1n＋23n－1

9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

11112(1－)(1)…(1－＝(n∈N*)． 345n＋2n＋

210．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

－－n?n＋1?12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1(n∈N*)． 2

11．已知數(shù)列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式．

三、探究與拓展

n?n＋1?212．是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2an＋bn12

＋c)對一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論．

答案

1．B2．B 3．C 4．C5．D 6．B 7．B

11118.＋ 3k3k＋13k＋2k＋1

12229．證明(1)當n＝1時，左邊＝1－，等式成立． 331＋23

11112(2)假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即(1)(1)…(1＝，345k＋2k＋2

那么當n＝k＋1時，1111121(1－)(1－)(1－)…(1－＝(1－345k＋2k＋3k＋2k＋3

＝2?k＋2?2 ?k＋2??k＋3?k＋3

所以當n＝k＋1時等式也成立．

由(1)(2)可知，對于任意n∈N*等式都成立．

10．證明(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝(－1)11×－1×21，結(jié)論成立． 2

(2)假設(shè)當n＝k時，結(jié)論成立．

－－k?k＋1?即12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＝(－1)k1 2

那么當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＋(－1)k(k＋1)2 －

－k?k＋1?＝(－1)k1(－1)k(k＋1)2 2

－k＋2k＋2＝(－1)k·(k＋ 2

?k＋1??k＋2?＝(－1)k.2

即當n＝k＋1時結(jié)論也成立．

由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n等式都成立．

11．(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，??5?n＝1?猜想an＝?.n－2*?5×2，?n≥2，n∈N??

(2)證明 ①當n＝2時，a2＝5×222＝5，公式成立． －

②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時成立，即ak＝5×2k2，－

那么當n＝k＋1時，由已知條件和假設(shè)有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak

＝5＋5＋10＋…＋5×2k2.－

5?1－2k1?－＝55×2k1.1－2－

故當n＝k＋1時公式也成立．

由①②可知，對n≥2，n∈N*，有an＝5×2n2.－

所以數(shù)列{an}的通項公式為

??5?n＝1?an＝?.n－2*?5×2?n≥2，n∈N??

12．解 假設(shè)存在a、b、c使上式對n∈N*均成立，則當n＝1,2,3時上式顯然也成立，此時可得

??1?1×2＋2×3＝24a＋2b＋c?，??1×2＋2×3＋3×4＝9a＋3b＋c，2222211×22＝?a＋b＋c?，6

解此方程組可得a＝3，b＝11，c＝10，n?n＋1?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝×(3n2＋11n＋10)12

對一切正整數(shù)均成立．

(1)當n＝1時，命題顯然成立．

(2)假設(shè)當n＝k時，命題成立．

k?k＋1?2即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k＋11k＋10)，12

則當n＝k＋1時，有

1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2

＝

＝

＝

＝k?k＋1?2k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12k?k＋1?k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 12?k＋1??k＋2?2k＋5k＋12k＋24)12?k＋1??k＋2?k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 12

即當n＝k＋1時，等式也成立．

由(1)(2)可知，對任何正整數(shù)n，等式都成立．

第三篇：《步步高 學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計》2013-2014學(xué)年 高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-2綜合法與分析法(一)

§2.2 直接證明與間接證明

2.2.1 綜合法與分析法(一)

一、基礎(chǔ)過關(guān)

1．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是

A．若a>b，則ac2>bc

2abB．若a>b cc

11C．若a3>b3且ab<0，則> ab

11D．若a2>b2且ab>0，則 ab

2．A、B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sin A>sin B的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要條件

3．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l⊥m；④若l∥m，則α⊥β.其中正確命題的個數(shù)是()

A．

1C．

3＋()()B．2 D．4()4．設(shè)a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有

a2＋b2A．1≤ab≤

2a2＋b2C．a(chǎn)b<<12a2＋b2B．a(chǎn)b<1< 2a2＋b2D.ab<1 2

ab5．已知a，b為非零實數(shù)，則使不等式：＋2成立的一個充分不必要條件是()ba

A．a(chǎn)b>0

B．a(chǎn)b<0 D．a(chǎn)>0，b>0 C．a(chǎn)>0，b<0

二、能力提升

16．設(shè)0

A．a(chǎn)B．b()

C．cD．不能確定

()1117．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，則＋的值abc

A．一定是正數(shù)

C．可能是0B．一定是負數(shù)D．正、負不能確定

8．設(shè)a＝2，b73，c＝6－2，則a，b，c的大小關(guān)系為________．

9．已知p＝a＋1a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p、q的大小關(guān)系為________． a－

210．如果aa＋b>b＋a，求實數(shù)a，b的取值范圍．

11．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.11112．已知a>0，－>11＋a>.ba1－b

三、探究與拓展

13．已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0

答案

1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B

8．a(chǎn)>c>b

9．p>q

10．解 aa＋b>b＋a

?a－b>a－b

?aa－b)>ba－b)

?(a－b)(a－b)>0

?(a＋bab)2>0，只需a≠b且a，b都不小于零即可． 即a≥0，b≥0，且a≠b.11．證明 方法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)

＝(3a2－2b2)(a－b)．

因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.方法二 要證3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需證3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需證(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．

1112．證明 >1及a>0可知0

1＋a>1 1－b

只需證1＋a1－b>1，只需證1＋a－b－ab>1，a－b11只需證a－b－ab>0即>1，abba

這是已知條件，所以原不等式得證．

a＋bb＋ca＋c13．證明 要證logxlogx＋logx

a＋bb＋ca＋c只需證logx()

由已知0abc.222

a＋bb＋c由公式ab>0，bc>0，22a＋c≥ac>0.2又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴

即a＋bb＋ca＋cabc＝abc.222a＋bb＋ca＋cabc成立． 222

a＋bb＋ca＋c∴l(xiāng)og＋loglogxxa＋logxb＋logxc成立． 222

第四篇：《步步高 學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計》2013-2014學(xué)年 高中數(shù)學(xué)人教B版必修4第三章 3.1.1兩角和與差的余弦

第三章 三角恒等變換

§3.1 和角公式

3．1.1 兩角和與差的余弦

一、基礎(chǔ)過關(guān)

1． 化簡cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得

A.21B

()

()

D．－ 12

2． 計算cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的結(jié)果是

A．

1B.2

3． 若cos(α－β)＝

πA.6

510，cos 2α＝α、β均為銳角且α<β，則α＋β的值為()510πB.43π

45π6

()

→

4． 已知點A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，則|AB|＝

A.2B.2

D．1

π35＋φ?＝－5． 若sin(π＋θ)θ是第二象限角，sin?，φ是第三象限角，則cos(θ－φ)?2?55的值是A．－

()

5525

D.56． 若cos(α－β)＝(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.311

7． 已知cos α－cos β＝sin α－sin β＝－cos(α－β)．

311

8． 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－，α、β均為銳角，求cos β的值．

4二、能力提升

9． 已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，則cos(α－β)的值是________．

10．已知α、β均為銳角，且sin α11．已知：cos(2α－β)＝－

2cos 50°－3sin 1012．求 cos 10°

三、探究與拓展

π0，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值． 13．已知α、β、γ∈??2510，cos β＝，則α－β的值為________． 51022πππ，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β

答案

8591．A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.7.372

π0，tan α＝43，8． 解 ∵α∈??2431∴sin α＝，cos α77

11∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)14

3∴sin(α＋β).14

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

11153431－?×＝??14?7147＝2.1ππ9． －10.－11.0 12.1 13.243

第五篇：高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選修2-3第一章第3節(jié)二項式定理復(fù)習(xí)學(xué)案

高二數(shù)學(xué)選修2-3第一章第3節(jié)二項式定理復(fù)習(xí)學(xué)案

教學(xué)目標：1.復(fù)習(xí)梳理二項式定理及其性質(zhì)

2.練習(xí)講解二項式定理有關(guān)題型

教學(xué)重難點：解二項式定理有關(guān)習(xí)題

知識點梳理：

1．二項式定理

(a＋b)n＝C0nan＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)C(r＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數(shù)．式中的Can－rbr叫做二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即展開式的第r+1項；Tr＋1＝Can－rbr.2．二項展開式形式上的特點

(1)項數(shù)為

n+1

.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從

C，C，一直到C，C

.3．二項式系數(shù)的性質(zhì)

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C.(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C，當r＜

時，二項式系數(shù)是遞增的；當r＞

時，二項式系數(shù)是遞減的．

當n是偶數(shù)時，中間的一項Cn取得最大值．

當n是奇數(shù)時，中間兩項Cn

和

Cn

相等，且同時取得最大值．

(3)各二項式系數(shù)的和

(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1.注：二項式的項數(shù)與項

(1)二項式的展開式共有n＋1項，Can－rbr是第r＋1項．即r＋1是項數(shù)，Can－rbr是項．

(2)通項是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，……，n)．其中含有Tr＋1，a，b，n，r五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素．

一個區(qū)別

在Tr＋1＝Can－rbr中，C就是該項的二項式系數(shù)，它與a，b的值無關(guān)；Tr＋1項的系數(shù)指化簡后除字母以外的數(shù)，如a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝C2n－r3rxn－ryr，其中C2n－r3r就是Tr＋1項的系數(shù)．

例題講練

考點一　二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù)

【例1】?已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項．

(1)求n；

(2)求含x2的項的系數(shù)；

(3)求展開式中所有的有理項．

【訓(xùn)練1】若6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為________．

考點二　二項式定理中的賦值

【例2】?二項式(2x－3y)9的展開式中，求：

(1)

二項式系數(shù)之和；

(2)各項系數(shù)之和；

(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和．

【訓(xùn)練2】

已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.考點三　二項式的和與積

【例3】?(1＋2x)3(1－x)4展開式中x項的系數(shù)為________．

【訓(xùn)練3】

x7的展開式中，x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．

考點四　二項式定理的應(yīng)用

【例4】?(1)已知n∈N*，求1＋2＋22＋23＋…＋24n－1除以17的余數(shù)；

(2)求(1.999)5精確到0.001的近似值．

【訓(xùn)練4】

求證：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；

(2)3n＞(n＋2)·2n－1(n∈N*，n＞2)．

課堂檢測

1．(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于________．

2．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝________.3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為________．

4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝________.5．設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________.課后練習(xí)

1．(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數(shù)項是________．

2．若二項式n的展開式中第5項是常數(shù)項，則正整數(shù)n的值可能為________．

3．在6的二項展開式中，x2的系數(shù)為________．

4．已知8展開式中常數(shù)項為1

120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是________．

5．設(shè)n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為________．

6．(1＋x＋x2)6的展開式中的常數(shù)項為________．

7．18的展開式中含x15的項的系數(shù)為________(結(jié)果用數(shù)值表示)．

8．6的展開式中的第四項是________．

9．在二項式5的展開式中，含x4的項的系數(shù)為________．

10．5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為________．

11．已知(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N*且2≤n≤8，則n＝________.12．設(shè)二項式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B.若B＝4A，則a的值是________．

13．已知二項式n的展開式中各項的系數(shù)和為256.(1)求n；(2)求展開式中的常數(shù)項．

14．(1)當k∈N*時，求證：(1＋)k＋(1－)k是正整數(shù)；

(2)試證明大于(1＋)2n的最小整數(shù)能被2n＋1整除．(n∈N*)