第一篇：高中數(shù)學(xué)(人教版)選修2-3典型教學(xué)設(shè)計(jì)：二項(xiàng)式定理(之二)

《二項(xiàng)式定理(一)》教案

教材：人教A版選修2-3第一章第三節(jié)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

(1)理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.(2)理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.過(guò)程與方法：

通過(guò)學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式．

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn)．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析(a?b)3的展開(kāi)式，得到二項(xiàng)式定理． 難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開(kāi)成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.三、教學(xué)過(guò)程

（一）提出問(wèn)題，引入課題

引入：二項(xiàng)式定理研究的是(a?b)n的展開(kāi)式，如：(a?b)2?a2?2ab?b2，(a?b)3??(a?b)4??(a?b)100?? 那么(a?b)n的展開(kāi)式是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】把問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，直接引出課題．激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確本課要解決的問(wèn)題.（二）引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1、多項(xiàng)式乘法的再認(rèn)識(shí)．

問(wèn)題1.(a1?a2)(b1?b2)的展開(kāi)式是什么？展開(kāi)式有幾項(xiàng)？每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？ 問(wèn)題2.(a1?a2)(b1?b2)(c1?c2)展開(kāi)式中每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？展開(kāi)式有幾項(xiàng)？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來(lái)解決項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，明確每一項(xiàng)的特征，為后續(xù)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.2、(a?b)3展開(kāi)式的再認(rèn)識(shí)

探究1：不運(yùn)算(a?b)3，能否回答下列問(wèn)題（請(qǐng)以?xún)扇藶橐恍〗M進(jìn)行討論）：(1)合并同類(lèi)項(xiàng)之前展開(kāi)式有多少項(xiàng)？

(2)展開(kāi)式中有哪些不同的項(xiàng)？

(3)各項(xiàng)的系數(shù)為多少？

(4)從上述三個(gè)問(wèn)題，你能否得出(a?b)3的展開(kāi)式？ 探究2：仿照上述過(guò)程，請(qǐng)你推導(dǎo)(a?b)4的展開(kāi)式.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題的層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)(a?b)3的展開(kāi)式進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)的形式、項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)(a?b)的展開(kāi)式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有“法”可依．

n(三)形成定理，說(shuō)理證明

探究3：仿照上述過(guò)程，請(qǐng)你推導(dǎo)(a?b)n的展開(kāi)式．

0n1n?1kn?kknn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)——— 二項(xiàng)式定理

證明：(a?b)是n個(gè)(a?b)相乘，每個(gè)(a?b)在相乘時(shí)，有兩種選擇，選a或選b，由分步計(jì)數(shù)原理可知展開(kāi)式共有2項(xiàng)（包括同類(lèi)項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是annn?kbk(k?0,1,?n)的形 式，對(duì)于每一項(xiàng)an?kbk，它是由k個(gè)(a?b)選了b，n－k個(gè)(a?b)選了a得到的，它出現(xiàn)的k次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)(a?b)中取k個(gè)b的組合數(shù)Cn，將它們合并同類(lèi)項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開(kāi)式，這就是二項(xiàng)式定理．

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)仿照(a?b)

3、(a?b)4展開(kāi)式的探究方法，由學(xué)生類(lèi)比得出(a?b)n的展開(kāi)式．二項(xiàng)式定理的證明采用“說(shuō)理”的方法，從計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行分析，概括出項(xiàng)的形式，用組合知識(shí)分析展開(kāi)式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開(kāi)式．

(四)熟悉定理，簡(jiǎn)單應(yīng)用

二項(xiàng)式定理的公式特征：（由學(xué)生歸納，讓學(xué)生熟悉公式）1.項(xiàng)數(shù)：共有n?１項(xiàng).2.次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n．

各項(xiàng)的次數(shù)都等于n．

012knk3.二項(xiàng)式系數(shù): 依次為Cn，這里Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn(k?0,1,???,n)稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù).kn?kk4.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng): 式中的Cnab叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng).用Tk?1表示.kn?kk即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第k?１項(xiàng): Tk?1=Cnab

變一變（1）(a?b)（2）(1?x)例.求(2x?nn16)的展開(kāi)式.x思考1：展開(kāi)式的第３項(xiàng)的系數(shù)是多少？

思考2：展開(kāi)式的第３項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？ 思考3：你能否直接求出展開(kāi)式的第３項(xiàng)？

【設(shè)計(jì)意圖】熟悉二項(xiàng)展開(kāi)式，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．

(五)課堂小結(jié)，課后作業(yè)

小結(jié)（由學(xué)生歸納本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想）

0n1n?1kn?kknn1.公式：(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)

2.思想方法：1.從特殊到一般的思維方式.2.用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程.作業(yè)

鞏固型作業(yè)：課本36頁(yè)習(xí)題1.3 A組 1、2、3

012kn思維拓展型作業(yè)：二項(xiàng)式系數(shù)Cn有何性質(zhì)． ,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn

教案設(shè)計(jì)說(shuō)明

二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是“使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程”，在教學(xué)中，采用“問(wèn)題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問(wèn)題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段．讓學(xué)生體會(huì)研究問(wèn)題的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式，讓學(xué)生體驗(yàn)定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程．

本節(jié)課的難點(diǎn)是用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開(kāi)成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．在教學(xué)中，設(shè)置了對(duì)多項(xiàng)式乘法的再認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來(lái)解決項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，明確每一項(xiàng)的特征，為后面二項(xiàng)展開(kāi)式的推導(dǎo)作鋪墊．再以(a?b)為對(duì)象進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)以及項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)(a?b)的展開(kāi)式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有“法”可依．

n3總之，本節(jié)課遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學(xué)生的參與過(guò)程，問(wèn)題引導(dǎo)，師生互動(dòng)．重在培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，歸納推理問(wèn)題的能力，從而形成自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

第二篇：《步步高 學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年 高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-3第一章二項(xiàng)式定理

§1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.1 二項(xiàng)式定理

一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1．(x＋2)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是A．20B．40

2x－?6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是2.?2x??A．20A．33

()A．－5

()A．840

二、能力提升

6．設(shè)S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于A．(x－1)3C．x

3B．(x－2)3 D．(x＋1)3

()

B．－840

C．210

D．－210

B．

5C．－10

D．10

5．(x2y)10的展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)是

B．－20B．29

()

C．80

D．160

()

C．40C．23

D．－40

()

D．19

3．若(1＋2)4＝a＋b2(a、b為有理數(shù))，則a＋b等于4．在(1－x)5－(1－x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是

7．(1＋2x)3(1－x)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)是

()A．－

4B．－2

C．2D．4

3x2－n的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為8．在?2x?A．4

B．

5C．6

D．7

()

9．若(1－2x)5的展開(kāi)式中，第2項(xiàng)小于第1項(xiàng)，且不小于第3項(xiàng)，則x的取值范圍是()

11111

A．x<－B．－

10104104

10．(1＋x＋x2)(x6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．

x

?x＋2n11.??展開(kāi)式第9項(xiàng)與第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，求x的一次項(xiàng)系數(shù)．

x??

12．設(shè)a>0，若(1＋n的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)等于含x項(xiàng)的系數(shù)的9倍，且展開(kāi)式中第2

3項(xiàng)等于135x，求a的值．

三、探究與拓展

13．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，求展開(kāi)式中含

x2項(xiàng)的系數(shù)最小值．

答案

1．D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C8．B 9.B 10.－5

911．解 C8n＝Cn，17－rrr∴n＝17，Tr＋1＝Crx2·x－ 1723

17－rr∴1，∴r＝9，23

9∴T10＝C17·x4·29·x3＝C929·x，17·－

9其一次項(xiàng)系數(shù)為C9172.12．解 通項(xiàng)公式為

1rrrrTr＋1＝Cr(ax＝Cax.nn·22

若含x2項(xiàng)，則r＝4，此時(shí)的系數(shù)為C4a4； n·

若含x項(xiàng)，則r＝2，此時(shí)的系數(shù)為C2a2.n·

422根據(jù)題意，有C4na＝9Cna，22即C4na＝9Cn.①

2又T3＝135x，即有C2na＝135.② 2C49C由①②兩式相除，得Cn135

5結(jié)合組合數(shù)公式，整理可得3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝(舍去)． 3

將n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9.∵a>0，∴a＝3.1113．解(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為Cm·2x＋C14x＝(2C1n·m＋4Cn)x，1∴2C1m＋4Cn＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為

22222t＝C2m2＋Cn4＝2m－2m＋8n－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n

＝16n2－148n＋612

37153n2－＋?，＝16?44??

37∴當(dāng)nt取最小值，但n∈N*，8

∴n＝5時(shí)，t即x2項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為272.

第三篇：二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)

《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1．教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能：理解二項(xiàng)式定理，記憶二項(xiàng)展開(kāi)式的有關(guān)特征，能對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．

過(guò)程方法：通過(guò)從特殊到一般的探究活動(dòng)，經(jīng)歷“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識(shí)，獲得學(xué)習(xí)和成功的體驗(yàn)．

情感、態(tài)度和價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的研究，掌握展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式的對(duì)稱(chēng)美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數(shù)學(xué)家做出的巨大貢獻(xiàn)．

2.教學(xué)過(guò)程

探索研究二項(xiàng)式定理的內(nèi)容

從學(xué)生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想

02122(a?b)2?a2?2ab?b2?C2a?C2ab?C2b

三次方的讓學(xué)生按照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行運(yùn)算在合并，不合并之前是幾項(xiàng)，為什么？

（分步乘法計(jì)數(shù)原理）

0312233(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?C3a?C3ab?C3ab2?C3b

每一項(xiàng)中字母a，b的指數(shù)和相同,項(xiàng)的個(gè)數(shù)有n?1項(xiàng)

00每個(gè)都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數(shù)是C4； 11恰有1個(gè)取b的情況下有C4種，所以a3b的系數(shù)是C4； 22恰有2個(gè)取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數(shù)是C4； 33恰有3個(gè)取b的情況下有C4種，所以ab3的系數(shù)是C4； 444個(gè)都取b的情況下有C4種，所以b4的系數(shù)是C4； 0413222344因此(a?b)4?C4a?C4ab?C4ab?C4ab3?C4b．

歸納、猜想(a?b)n?

0n1n?12n?22(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?kn?kk?Cnab?nnCnb(n?N?)

設(shè)問(wèn)：

（1）將(a?b)n展開(kāi)，有多少項(xiàng)？

（2）每一項(xiàng)中，字母a，b的指數(shù)有什么特點(diǎn)？（3）字母a，b指數(shù)和始終是多少？（4）如何確定an?kbk的系數(shù)？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二項(xiàng)式定理，從以下幾方面強(qiáng)調(diào)：（1）項(xiàng)數(shù)規(guī)律：n?1項(xiàng)；

（2）次數(shù)規(guī)律：字母a，b的指數(shù)和為n，字母a的指數(shù)由n遞減至0，同時(shí)，字母b的指數(shù)由0遞增至n；

（3）二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：下標(biāo)為n，上標(biāo)由0遞增至n；

kn?kk（4）通項(xiàng)：Tk?1?Cnab指的是第k?1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系k數(shù)是Cn

板書(shū)以上幾點(diǎn) 3.例題處理

51??例1：（1）在?2x??的展開(kāi)式中

x??（1）請(qǐng)寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)。（2）求展開(kāi)式的第4項(xiàng)。

（3）請(qǐng)指出展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)。

3（4）求展開(kāi)式中含 x 的項(xiàng)。

課件展示解題過(guò)程

自主探究：在?1?2x?的展開(kāi)式中，求第4項(xiàng)，并指出它的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)

7是什么？

獨(dú)立完成，爬黑板

01合作探究：設(shè)n為自然數(shù)，化簡(jiǎn)Cn?2n?Cn?2n?1???????1?Cnk?2n?k???????1??Cnn?

kn

分組討論，交流想法

4.歸納小結(jié)

學(xué)生的學(xué)習(xí)體會(huì)與感悟； 教師強(qiáng)調(diào)：

（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）從特殊情況入手，“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證”的良好習(xí)慣．

（3）二項(xiàng)式定理每一項(xiàng)中字母a，b的指數(shù)和為n，a的指數(shù)從n遞減至0同時(shí)b的指數(shù)由0遞增至n，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美、和諧美．二項(xiàng)式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學(xué)們?cè)谡n下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn)． 5.作業(yè)（1）鞏固型作業(yè)：

課本36頁(yè)習(xí)題1.3 A組 1、3、4（1）（2）5（2）思維拓展型作業(yè)：（查閱相關(guān)資料）查閱有關(guān)楊輝一生的主要成就。

012探究二項(xiàng)式系數(shù)Cn,Cn,Cn,n 有何性質(zhì).,Cn3

第四篇：二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)

二項(xiàng)式定理（第一課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo)： 1．知識(shí)技能：

（1）理解二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)-------分步乘法計(jì)數(shù)原理的使用（2）掌握二項(xiàng)式定理極其簡(jiǎn)單應(yīng)用 2．過(guò)程與方法

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納猜想的能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項(xiàng)公式 難點(diǎn)：展開(kāi)式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別

三、教學(xué)方法：師生互動(dòng)，講練結(jié)合

四、教 具：多媒體、電子白板

五、教學(xué)過(guò)程

(一)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：

今天是星期二，8天后是星期幾?82天后是星期幾?8100天后是星期幾呢？ 前面兩個(gè)問(wèn)題全班所有學(xué)生都能回答出來(lái)，最后一個(gè)問(wèn)題大家都很迷惑，覺(jué)得很復(fù)雜，今天我們學(xué)習(xí)的這節(jié)課就是告訴我們?nèi)绾慰焖贉?zhǔn)確知道答案，并且我們不用查日歷就能知道未來(lái)任何一天是星期幾。解決這一問(wèn)題我們應(yīng)用的就是二項(xiàng)式定理。

(二)引出問(wèn)題：二項(xiàng)式定理研究的是(a?b)n的展開(kāi)式。

我們知道(a?b)2?a2?2ab?b2，那么：(a?b)3=?(a?b)4=?

(a?b)100=?

更進(jìn)一步：(a?b)n=？(1)對(duì)(a?b)2展開(kāi)式的分析:(a?b)2?(a?b)(a?b)展開(kāi)后其項(xiàng)的形式為：a2,ab,b2

00考慮b，每個(gè)都不取b的情況有1種，即c2 ,則a2前的系數(shù)為c2 1恰有1個(gè)取b的情況有c12種，則ab前的系數(shù)為c2 22恰有2個(gè)取b的情況有c2 種，則b2前的系數(shù)為c2 0222所以(a?b)2?a2?2ab?b2?c2a?c12ab?c2b

(2)探究1：推導(dǎo)(a?b)3的展開(kāi)式

(a?b)3?(a?b)(a?b)(a?b)① 項(xiàng)：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系數(shù)：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展開(kāi)式(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

(3)探究2：仿照上述過(guò)程，推導(dǎo)(a?b)4的展開(kāi)式

0432223344(a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b 0312233與(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

0222和(a?b)2?c2a?c12ab?c2b

一起比較猜想：

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1ab?cab?...cab?...cnnnnb(n?N?)

但這種歸納猜想是不完全歸納。

(4)探究3：請(qǐng)分析(a?b)n的展開(kāi)過(guò)程，證明猜想

...ab

...b ②系數(shù)：C

C

...C

...C ①項(xiàng)：

an

an?1b

0n1nn?kknknnn0nn?12n?22kn?kknn③展開(kāi)式：(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na(三)二項(xiàng)式定理的分析

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na①項(xiàng)數(shù)：共有n?1項(xiàng)；

②次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都是n；

k③二項(xiàng)式系數(shù)：Cn(k??0,1,2,...n?)

kn?kk④ 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：Tk?1?Cnab,(k??0,1,2,...n?)

（四）課堂練習(xí)1.寫(xiě)出(1?x)n得展開(kāi)式.2.寫(xiě)出(a?b)n得展開(kāi)式.（五）例題 例1.求(2x?1x)6得展開(kāi)式.（1）強(qiáng)調(diào)：對(duì)于形式較復(fù)雜的二項(xiàng)式，應(yīng)先化簡(jiǎn)再展開(kāi).（2）針對(duì)(2x?1x)6得展開(kāi)式，提出下列問(wèn)題

思考1：展開(kāi)式的第二項(xiàng)的系數(shù)是多少？

思考2：展開(kāi)式的第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？ 思考3：你能否直接求出展開(kāi)式的第二項(xiàng)？ 思考4：你能否直接求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)？ 引出例2 例2（1）求(1?2x)7的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

1??

（2）?x??的展開(kāi)式中x3的系數(shù)

x??

（六）小結(jié)

（七）作業(yè)（提前板書(shū)）1.P374,5題

2.思考：8100天后星期幾？

第五篇：二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)

二項(xiàng)式定理

一、教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)目標(biāo)：掌握二項(xiàng)式定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

2．過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求問(wèn)題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。

3．情感態(tài)度和價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美和對(duì)稱(chēng)美。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項(xiàng)公式 難點(diǎn)：展開(kāi)式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別

三、教學(xué)過(guò)程

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：

今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

前面幾個(gè)問(wèn)題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來(lái)了，最后一個(gè)問(wèn)題大家都很迷惑，有些學(xué)生試圖用計(jì)算器算，還是覺(jué)得很復(fù)雜，學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來(lái)任何一天是星期幾

新課講解：

問(wèn)題

1?a?b?d??c?的展開(kāi)式有多少項(xiàng)？有無(wú)同類(lèi)項(xiàng)可以合并？

由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合知識(shí)之后學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生能夠快速的說(shuō)出答案。

問(wèn)題

2?a?b??b的?a?b?原始展開(kāi)式有多少項(xiàng)？有幾項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng)？項(xiàng)是怎樣構(gòu)成??a的？有規(guī)律嗎？

學(xué)生根據(jù)乘法展開(kāi)式也很快得出結(jié)論 問(wèn)題

3?a?b???b?a??a2b?a?b??的3原始展開(kāi)式有多少項(xiàng)？經(jīng)合并后又只能有幾項(xiàng)？是哪幾項(xiàng)？

學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案 問(wèn)題

4?a?b???b?a??a??b?a?的b?a?b?的原始展開(kāi)式有多少項(xiàng)？

44問(wèn)題

5你能準(zhǔn)確快速地寫(xiě)出?a?b?的原始展開(kāi)式的16項(xiàng)嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾項(xiàng)？

此時(shí)，學(xué)生能說(shuō)出其中的一兩項(xiàng)，并不能全部回答出來(lái)所有的項(xiàng)，思維覺(jué)察到麻煩，困難，易出錯(cuò)——借此“憤悱”之境，有效的實(shí)現(xiàn)思維的烘熱）

啟發(fā)類(lèi)比：4個(gè)袋中有紅球a，白球b各一個(gè)，每次從4個(gè)袋子中各取一個(gè)球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？ 在4個(gè)括號(hào)（袋子）中 問(wèn)題6

其個(gè)數(shù)，為何恰好應(yīng)為該項(xiàng)的系數(shù)？

n?rr問(wèn)題7 ?a?b?在合并后的展開(kāi)式中，ab的系數(shù)應(yīng)該是多少？有理由嗎？ n問(wèn)題8

那么，該如何將?a?b?輕松、清晰地展開(kāi)？請(qǐng)同學(xué)們歸納猜想 學(xué)生們快速地說(shuō)出

n?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴(yán)密性和知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，大家猜想地很正確，那么我們?cè)趺磥?lái)證明呢？

思路：證明中主要運(yùn)用了計(jì)數(shù)原理！

① 展開(kāi)式中為什么會(huì)有那幾種類(lèi)型的項(xiàng)？

?a?b?n是n個(gè)?a?b?相乘，展開(kāi)式中的每一項(xiàng)都是從這n個(gè)?a?b?中各任取一個(gè)字母相

n?k乘得到的，每一項(xiàng)都是n次的。故每一項(xiàng)都是a② 展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是怎么來(lái)的？

bk的形式，k?0,1,2,?,n

kan?kbk是從n個(gè)?a?b?中取k個(gè)b，和余下n?k個(gè)a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

kan?kbk，因此，該項(xiàng)的系數(shù)為Cn

定義：一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

n注：（1）公式左邊叫做二項(xiàng)式，右邊叫做?a?b?的二項(xiàng)展開(kāi)式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號(hào)，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項(xiàng)相加的n次冪，就能用二項(xiàng)式定理展開(kāi)

例：把b換成?b，則

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb?n?N*?

kn練習(xí)：令a?1,b?x，則

?1?x?n01122kknn?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?n?N*?

問(wèn)題9 二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點(diǎn)是什么？哪一項(xiàng)最有代表性

公式特征：

（1）項(xiàng)數(shù)：共有n?1項(xiàng)

（2）指數(shù)規(guī)律：

① 各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式）

② 字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n

kn?kk（3）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,?,n

012knk（4）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為Cn。這里Cn（k?0,1,2,?,n）稱(chēng)為二,Cn,Cn,?Cn?,Cn項(xiàng)式系數(shù)

現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

思考了一會(huì)兒，馬上有同學(xué)大聲喊：把8寫(xiě)成7+1，再進(jìn)行展開(kāi)，余數(shù)是多少，就是星期幾 老師故意問(wèn)：為什么要寫(xiě)成7+1，這時(shí)，所有學(xué)生都明白了，因?yàn)橐粋€(gè)星期7天，所以

n8100??7?1?展開(kāi)式中除了最后一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為Cn?1，故100應(yīng)為星期四。

1??例

1求?2x??的展開(kāi)式

x??方法一：直接展開(kāi)

1???1技巧：將根式先化成冪的形式，再進(jìn)行計(jì)算，要簡(jiǎn)單很多。即原式變成?2x2?x2?

??66方法二：先合并化簡(jiǎn)，再展開(kāi)

建議用第二種方法簡(jiǎn)單些。

變式一：展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？ 變式二：展開(kāi)式中的第3項(xiàng)是多少？

變式三：展開(kāi)式中的第3項(xiàng)的系數(shù)是多少？ 變式四：展開(kāi)式中的第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是多少？

注意：二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)就是一個(gè)組合數(shù)，與a,b無(wú)關(guān)；系數(shù)與a,b有關(guān)。

例

2（1）求(1?2x)7的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

1??

3（2）?x??的展開(kāi)式中x的系數(shù)和中間項(xiàng)

x??例3

求(x?a)12的展開(kāi)式中的倒數(shù)第4項(xiàng) 小結(jié)：（1）注意二項(xiàng)式定理中二項(xiàng)展開(kāi)式的特征

（2）區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)

（3）掌握用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)及項(xiàng)。作業(yè)：P37 4，5 教學(xué)反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問(wèn)題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，一下子把全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都調(diào)動(dòng)起來(lái)了，當(dāng)大家不知道老師葫蘆里賣(mài)的什么藥時(shí)，老師由淺入深的提問(wèn)，最后問(wèn)到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項(xiàng)式定理。給大家設(shè)置這個(gè)懸念后，緊接著又進(jìn)行一系列的問(wèn)題教學(xué)，讓學(xué)生自己去探究去回答，最后學(xué)生之間合作交流歸納猜想出二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，整個(gè)過(guò)程順理成章地完成。