第一篇：北師大版高中數學選修2-3：第一章第5節《二項式定理》教學設計說明

北師大版高中數學選修2-3

《二項式定理》教 案 說 明

一、授課內容的數學本質與教學目標定位 教學內容：

本節課是北師大版高中數學選修2-3第一章《計數原理》第5節“二項式定理”的第一課時。主要內容是經歷利用計數原理求解(a+b)、(a+b)、23(a+b)４展開式的過程，進一步鞏固計數原理。理解計數原理是本章節的核心。組合、排列都是依托計數原理而來。并由此探索推導(a+b)n展開式，介紹二項式定理、二項式展開式、展開式通項、區分二項式系數與項的系數，并應用二項式定理解決實際問題。

教學目標: ●知識與技能：

（1）通過利用計數原理證明二項式定理；

（2）理解并掌握二項式定理及二項式展開式，并能簡單應用.（3）能區分二項式系數與二項式展開式項的系數

●過程與方法：

（1）通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、類比、概括的能力，以及化歸的意識與知識遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，并形成從特殊到一般的歸納，然后證明，最后再應用的思想意識。

（2）通過學習進一步理解由“特殊”到“ 一般”的數學思想.●情感與態度：

（1）培養學生的自主探究意識、創新精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹。

二、教材的地位及作用

本節教材是建立在學生已經掌握了本章的計數原理、組合數知識，能夠使用分類、分步計數原理求解數學問題的基礎上，通過探索(a+b)

2、(a+b)

3、(a+b)４展開式的過程，推導二項式展開式，二項式定理，展開式通項。解釋二項式系數與項的系數。為下一節二項式系數性質奠定必要的基礎．本節在教學內容上起了承上啟下的作用。

本節中會聯系到初中七年級項的系數、合并同類項的相關知識，對于區分二項式系數與項的系數有重要作用。同時，本節中利用二項式定理化解整除數的奧秘，培養學生成就感。培養利用二項式展開式分析理解整除問題的實際意義。

二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇,它把數形結合帶進了計算數學.求二 北師大版高中數學選修2-3

項式展開式系數的問題,實際上是一種組合數的計算問題.用系數通項公式來計算,稱為“式算”；用楊輝三角形來計算,稱作“圖算”。

三、教學診斷分析

1.二項式開展式中通項中r是組合數上標，并不是項數，因此要在課堂中強調是第r+1項，不是第r項。

2.在學習二項式展開式項的系數的時候,學生常常將二項式系數與二項式開展式項的系數弄混淆，因此在教學過程中作了特別強調，二項式系數是組合數，而項的系數是中包含因式中的數，并且可正可負。

3.運用二項式展開式解決問題時，學生常常會疏忽二項式項的系數中(-1)的存在。容易犯錯誤，因此會在例題中做出強調。r為偶數時系數為正，奇數時系數為負。

r

四、本節課的教法特點以及預期效果分析

1．根據新課程課堂教學理念“教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗” ．本節課的設計遵循了這一理念，注意通過動畫導入激發學生學習本課的積極性，注意讓學生自己思考，在操作中進行自主探索和生生、師生互動交流，從而使學生能很好地掌二項式定理，并獲得用計數原理推導二項式定理的的活動經驗。教師也由此將信息技術與數學學科的整合理論用于實際，將信息技術融入數學教育，輔助課堂，實現課堂效果的最優化。

2．在本節課的教材內容處理上，既注意了教材是最基本的課程資源，它是滿足所有高二學生最基本的知識內容，又注意了我校學生的實際情況，因此，本節課突出了課程資源的開發，即對原有例題作了補充，又增加了反饋練習活動，讓學生學會二項式展開式中項的系數問題。理解系數可正可負，與組合數是完全不同的概念。例題

1、求解(2x+y)展開式是對二項式展開式應用的一基礎題。由此題標記出二項式系數與項的系數的值，從而說明二項式系數與項的系數的區別。例題

2、例題3，同樣是求x平方項的系數，但區別在于例2中系數全為正，例3中的系數有正有負。并且例3有分數指數冪。考驗學生的細心程度。在二項式定理應用之后，就是回答開課之前的疑問，為什么各位數之和是9的倍數就能被9整除。這是二項式定理的實際應用之一，與此同時為“4x6+5除以20的余數”留下伏筆。還有能被11整除的數的特點。

3．本節課在教法上選用了“探索——發現”教學模式，這是基于本節課的知識內容，通過探討（a+b）中n=2、3、4的展開式，解決該（a+b）展開式問題，將會得心應手，并對計數原理有更深刻的理解。將新問題回歸到已掌握的知識上，便于新問題的解決.故二項式定理展開式的核心問題依舊是計數原理的使用。是組合數的應用。故在本節課中要求學生通過前4節中的知識內容，掌握二項式展開式的展開過程，進一步鞏固計數原理中分類計數方法。例如：當a1=a2=a3=a, b1=b2=b3=b,時就存在著可以合并的項，即七年級時所學的合并 n

n

n

n+

15北師大版高中數學選修2-3

同類項，合并同類項最終的結果就是組合數公式，由于學生已學習了組合數公式，對于解決該問題的優勢就顯而易見了。讓學生體會分類記數原理和分步記數原理解決3次展開式問題的過程。與此同時也復習了七年級的合并同類項知識，單項式系數。此處學生應該能容易理解、接受并且提升。

第二篇：高中數學知識點總結---二項式定理

高中數學知識點總結---二項式定理

0n01n?1rn?rrn0n1.⑴二項式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.展開式具有以下特點：

① 項數：共有n?1項；

012r,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn② 系數：依次為組合數Cnn;

③ 每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項展開式的通項.（a?b)n展開式中的第r?1項為：Tr?1?Cnarn?rrb(0?r?n,r?Z).⑶二項式系數的性質.①在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等；

②二項展開式的中間項二項式系數最大.．．．．．

nI.當n是偶數時，中間項是第?1項，它的二項式系數C2n最大； 2

n?1n?1II.當n是奇數時，中間項為兩項，即第項和第它們的二項式系數C?1項，22n?1n?12?C2nnn

最大.③系數和：

01nCn?Cn???Cnn?2

02413Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1

附：一般來說(ax?by)n(a,b為常數）在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求．．．．．．．．．．．

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1或?(Ak為Tk?1的系數或系數A?AA?Ak?1k?1?k?k解.當a?1或b?1時，一般采用解不等式組?的絕對值）的辦法來求解.⑷如何來求(a?b?c)n展開式中含apbqcr的系數呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把

r(a?b?c)n?[(a?b)?c]n視為二項式，先找出含有Cr的項Cn(a?b)n?rCr，另一方面在npqrqn?r?qqqpq(a?b)n?r中含有bq的項為Cn?rab?Cn?rab，故在(a?b?c)中含abc的項為

rqpqrrCnCn?rabc.其系數為CnCn?qr?(n?r)!n!n!pqr???CnCn?pCr.r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!

第三篇：高中數學 排列組合與二項式定理

排列組合與二項式定理

1．（西城區）在(2x2?

A．－5 1x)的展開式常數項是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（東城區）8名運動員參加男子100米的決賽.已知運動場有從內到外編號依次為1，2，3，4，5，6，7，8的八條跑道，若指定的3名運動員所在的跑道編號必須是三個連續

數字（如：4，5，6），則參加比賽的這8名運動員安排跑道的方式共有（）A．360種 B．4320種 C．720種 D．2160種

3．（海淀區）從3名男生和3名女生中，選出2名女生1名男生分別擔任語文、數學、英語的課代表，則選派方案共有（）

A．18種B．36種C．54種D．72種

4．(崇文區)某運動隊從5名男運動員和6名女運動員中選出兩名男運動員和兩名女運動員舉行乒乓球混合雙打比賽，對陣雙方各有一名男運動員和一名女運動員，則不同的選法共有

A．50種B．150種C．300種 D．600種（）

5．（豐臺區）把編號為1、2、3、4的4位運動員排在編號為1、2、3、4的4條跑道中，要求有且只有兩位運動員的編號與其所在跑道的編號相同，共有不同的排法種數是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝陽區）從4位男教師和3位女教師中選出3位教師，派往郊區3所學校支教，每校1人.要求這3位教師中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）

A．210種

x

6B．186種 7C．180種 D．90種 7．（東城區）已知(x?)展開式的第4項的值等于5，則x= 48．（海淀區）在(ax?1)的展開式中x的系數是240，則正實數a9．（宣武區）設二項式(33x?1

x)的展開式的各項系數的和為P，所有二項式系數的和為S，n

若P+S=272，則n=,其展開式中的常數項為.210．(崇文區)若(x?1

x2)展開式中只有第四項的系數最大，則，展開式中的第五n

項為

11．（豐臺區）.在(x?1

a)的展開式中，含x與x項的系數相等，則a的值是 754

12．（朝陽區）若(1－ax)6的展開式中x4的系數是240，則實數a的值是

13．（宣武區）現有A、B、C、D、E、F、共6位同學站成一排照像，要求同學A、B相鄰，C、D不相鄰，這樣的排隊照像方式有

DBCCBC7.?1715x411.53;12.±213.144

第四篇：高中數學(人教版)選修2-3典型教學設計：二項式定理(之二)

《二項式定理(一)》教案

教材：人教A版選修2-3第一章第三節

一、教學目標

1.知識與技能：

(1)理解二項式定理是代數乘法公式的推廣.(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數原理證明二項式定理.2.過程與方法：

通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．

3.情感、態度與價值觀：

培養學生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，體會數學語言的簡潔和嚴謹．

二、教學重點、難點

重點：用計數原理分析(a?b)3的展開式，得到二項式定理． 難點：用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項系數的規律.三、教學過程

（一）提出問題，引入課題

引入：二項式定理研究的是(a?b)n的展開式，如：(a?b)2?a2?2ab?b2，(a?b)3??(a?b)4??(a?b)100?? 那么(a?b)n的展開式是什么？

【設計意圖】把問題作為教學的出發點，直接引出課題．激發學生的求知欲，明確本課要解決的問題.（二）引導探究，發現規律

1、多項式乘法的再認識．

問題1.(a1?a2)(b1?b2)的展開式是什么？展開式有幾項？每一項是怎樣構成的？ 問題2.(a1?a2)(b1?b2)(c1?c2)展開式中每一項是怎樣構成的？展開式有幾項？

【設計意圖】引導學生運用計數原理來解決項數問題，明確每一項的特征，為后續學習作準備.2、(a?b)3展開式的再認識

探究1：不運算(a?b)3，能否回答下列問題（請以兩人為一小組進行討論）：(1)合并同類項之前展開式有多少項？

(2)展開式中有哪些不同的項？

(3)各項的系數為多少？

(4)從上述三個問題，你能否得出(a?b)3的展開式？ 探究2：仿照上述過程，請你推導(a?b)4的展開式.【設計意圖】通過幾個問題的層層遞進，引導學生用計數原理對(a?b)3的展開式進行再思考，分析各項的形式、項的個數，這也為推導(a?b)的展開式提供了一種方法，使學生在后續的學習過程中有“法”可依．

n(三)形成定理，說理證明

探究3：仿照上述過程，請你推導(a?b)n的展開式．

0n1n?1kn?kknn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)——— 二項式定理

證明：(a?b)是n個(a?b)相乘，每個(a?b)在相乘時，有兩種選擇，選a或選b，由分步計數原理可知展開式共有2項（包括同類項），其中每一項都是annn?kbk(k?0,1,?n)的形 式，對于每一項an?kbk，它是由k個(a?b)選了b，n－k個(a?b)選了a得到的，它出現的k次數相當于從n個(a?b)中取k個b的組合數Cn，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理．

【設計意圖】通過仿照(a?b)

3、(a?b)4展開式的探究方法，由學生類比得出(a?b)n的展開式．二項式定理的證明采用“說理”的方法，從計數原理的角度對展開過程進行分析，概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數，從而得出用組合數表示的展開式．

(四)熟悉定理，簡單應用

二項式定理的公式特征：（由學生歸納，讓學生熟悉公式）1.項數：共有n?１項.2.次數：字母a按降冪排列，次數由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數由0遞增到n．

各項的次數都等于n．

012knk3.二項式系數: 依次為Cn，這里Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn(k?0,1,???,n)稱為二項式系數.kn?kk4.二項展開式的通項: 式中的Cnab叫做二項展開式的通項.用Tk?1表示.kn?kk即通項為展開式的第k?１項: Tk?1=Cnab

變一變（1）(a?b)（2）(1?x)例.求(2x?nn16)的展開式.x思考1：展開式的第３項的系數是多少？

思考2：展開式的第３項的二項式系數是多少？ 思考3：你能否直接求出展開式的第３項？

【設計意圖】熟悉二項展開式，培養學生的運算能力．

(五)課堂小結，課后作業

小結（由學生歸納本課學習的內容及體現的數學思想）

0n1n?1kn?kknn1.公式：(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)

2.思想方法：1.從特殊到一般的思維方式.2.用計數原理分析二項式的展開過程.作業

鞏固型作業：課本36頁習題1.3 A組 1、2、3

012kn思維拓展型作業：二項式系數Cn有何性質． ,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn

教案設計說明

二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎．

本節課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題――探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發現和創造歷程．

本節課的難點是用計數原理分析二項式的展開過程，發現二項式展開成單項式之和時各項系數的規律．在教學中，設置了對多項式乘法的再認識，引導學生運用計數原理來解決項數問題，明確每一項的特征，為后面二項展開式的推導作鋪墊．再以(a?b)為對象進行探究，引導學生用計數原理進行再思考，分析各項以及項的個數，這也為推導(a?b)的展開式提供了一種方法，使學生在后續的學習過程中有“法”可依．

n3總之，本節課遵循學生的認識規律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學生的參與過程，問題引導，師生互動．重在培養學生觀察問題，發現問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學習習慣．

第五篇：高中數學知識點總結---二項式定理

高中數學知識點總結---二項式定理

0n01n?1rn?rrn0n1.⑴二項式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.展開式具有以下特點： ① 項數：共有n?1項；

012rn② 系數：依次為組合數Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn;

③ 每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項展開式的通項.（a?b)n展開式中的第r?1項為：Trn?rrbr?1?Cna(0?r?n,r?Z).⑶二項式系數的性質.①在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等；

②二項展開式的中間項二項式系數最大.．．．．．I.當n是偶數時，中間項是第n2n?1項，它的二項式系數C2n最大；

II.當n是奇數時，中間項為兩項，即第最大.③系數和：

Cn?Cn???Cn?2C024n?Cn?Cn?01nn13n?Cn?n?12項和第n?12n?1n?12n?1項，它們的二項式系數C2n?C??C??2n?1

附：一般來說(ax?by)n(a,b為常數）在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求．．．．．．．．．．．

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1?Ak?Ak?1或?(Ak為TA?Ak?1?k解.當a?1或b?1時，一般采用解不等式組?的絕對值）的辦法來求解.k?1的系數或系數⑷如何來求(a?b?c)n展開式中含apbqcr的系數呢？其中(a?b?c)?[(a?b)?c]n?rnnp,q,r?N,且

p?q?r?n把

rn?rr(a?b)C，另一方面在視為二項式，先找出含有Cr的項Cn(a?b)中含有bq的項為pqrCn?raqn?r?qb?Cn?rabqqpq，故在(a?b?c)n中含apbqcr的項為

(n?r)!n!r!q!p!pqrn?pCrCnCn?rabc.其系數為CnCn?r?rqrqn!r!(n?r)!q!(n?r?q)!???CnC.2.近似計算的處理方法.當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式(1?a)n?1?na，因為這時展開式的后面部分Cn2a2?Cn3a3???Cnnan很小，可以忽略不計。類似地，有(1?a)n?1?na但使用這兩個公式時應注意a的條件，以及對計算精確度的要求.