第一篇：三年級奧數重疊問題

重疊問題

例

1、同學們排隊做操，從前數丁丁是第6個，從后數他排在第8個，這一隊一

共有多少個同學？

同類練習：

1、同學們排隊做操，從前數小王是第8個，從后來數小王是第9個，這一隊

一共有多少個同學？

2、同學們排隊，從前數小明是第9個，從后數樂樂是第7個，小明和樂樂中間

還有5個人，這一隊可能是多少個同學？還可能是多少個同學？

例

2、為慶祝“六一”，同學們排成每行人數相等的鮮花隊，小華的位置是從左邊

是第2個，從右邊是第4個，從前數是第3個，從后面數是第5個，鮮花隊有多少人？

同類練習：

1、三（4）班排成每行人數相同的隊伍參加學校運動會，梅梅位置從前數是第6個，從后數是第4個，從左邊、從右邊數都是第3個，三（4）班共有多少人？

2、小朋友排成方陣跳集體舞，笑笑不管從前數，從后數，還是從左數、從右

數，都是第5個，這個方陣中一共有多少個小朋友？

例

3、有兩塊木板，一塊長80cm，另一塊長70cm，把它們釘在一起，中間重疊的部分是10cm，這塊釘在一起的木板全長多少厘米？

同類練習：

1、小張把兩根長20cm的彩色紙條粘貼成一根長紙條，黏貼部分長3cm，貼好

后的長紙條長多少厘米？

2、王師傅把兩根木條釘成一根長木條，這兩根木條，一根長50cm，另一根比第一根短10cm，釘成的木條重疊部分長10cm，釘成的木條全長多少厘米？

例

4、把兩塊一樣長的木板釘在一起，成一塊長木板，這塊釘成的木板長14分米，中間重疊部分長2分米，這兩塊木板分別長多少分米？

同類練習：

1、把兩條一樣長的紙條粘貼成一根長16分米的紙條，中間粘貼部分長2分米，這兩根紙條的長多少分米？

2、把兩塊木板釘成一條較長的木板，釘成的木板長8分米，中間重疊部分長1分米，已知一塊長3分米，另一塊長是多少分米？

例

5、有一塊長5分米的木板和一塊長7分米的木板釘在一起，得到一塊長10分

米的木板，中間重疊部分有多長？

同類練習：

1、把兩根長度分別是60cm和40cm的繩子打一個結，結成一根長90cm的繩

子，打結部分的長度是多少？

2、把3塊長度都是5dm的木板釘成一塊木板，每個重疊處的長度都是一樣，釘成的這塊木板總長度為13dm，每個重疊處長度分別是多少分米？

例

6、自習課商，做完語文作文的有35人，做完數學作業的有28人，全班總人

數是50人，每人至少完成一項作業，有多少同學兩項作業都做完？

同類練習：

1、三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種，三年級既帶礦泉水，又帶水果的小朋友有多少人？

2、在一次數學測試中，三（3）班50人中有12人兩道思考題都沒有做對，有32人做對第一道，有20人做對第二道，有多少人兩道題都做對？

例

7、上美術課，三（6）班同學每人都帶一種彩色筆，有18人帶水彩筆，有37

人帶油畫棒，還有6人兩種筆都帶，三（6）班一共有多少人？

同類練習：

1、同學們去圖書室借文藝書和科技書，每人都借了書，有27人借文藝書，有

32人借科技書，其中5人兩類書都借了，去圖書室借書一共有多少人？

2、40人參加智力比賽，答對第一題的有28人，答對第二題的有21人，兩題

都答對的有15人，兩題都沒答對的有多少人？

2、三（5）班的同學參加跳繩和踢毽子比賽，有8人沒有參加，有21人參加

踢毽子比賽，有24人參加跳繩比賽，還有6人兩項都參加，三（5）班一共有多少名同學？

例

8、朝陽小學有50人參加象棋比賽和圍棋比賽，參加象棋比賽的有38人，有

12人既參加象棋比賽，又參加圍棋比賽，參加圍棋比賽的有多少人？

同類練習：

1、50個同學報名參加文體活動，每人至少參加體育組和文娛組中的一個，其

中參加體育組的有29人，既參加體育組又參加文娛組的有8人，參加文娛組有多少人？

綜合練習

1、同學們做早操，從前數小剛是第7個，從后數他是第4個，這一隊一共有多

少個同學？

2、同學們排成方陣跳舞，從前數小玉是第5人，從后面數她是第4人，從左數

她是第4個，從右數她是第2個，這個方陣一共有多少人？

3、同學們排隊跳舞，每行，每列人數同樣多，小紅的位置無論從前數、從后數、從左數還是右數都是第3個，一共有多少個同學跳舞？

4、王師傅把兩根長度都是25cm的鐵絲焊接在一起，焊接部分長5cm，焊接部

分長5cm，焊接好的鐵絲共長多少厘米？

5、張師傅把兩塊一樣長的木板釘成一塊木板，釘好的木板長9分米，中間重疊

部分長1分米，這兩塊木板分別長多少分米？

6、把一塊長45cm和一塊長50cm的木板釘在一起，得到一塊長85cm的木板，中間重疊部分是多長？

7、三（2）班同學每人至少訂一份《英語學習報》或《中國少年報》，其中30

人訂《英語學習報》，有21人訂《中國少年報》，全班40人，有多少人兩份報紙都訂了？

8、三（2）班有學生46人，做對第一道思考題的有29人，兩道思考題都做對的有5人，兩道題都做錯的有5人，做對第二道思考題的有多少人？

9、三（2）班有學生46人，做對第一道題思考題的有29人，做對第二道思考

題的有17人，兩道題都做錯的有5人，兩道題都做對的有多少人？

10、三（5）班43人上美術課，有2人沒帶畫筆，帶油畫筆的有25人，帶水彩

筆的有23人，兩種筆都帶的有多少人？

11、五（1）班同學排成5條隊做操，每隊人數一樣多，小華的位置是：從前面

數第6個，從后面數第4個。這個班共有學生多少人？

12、某班有58個同學，其中35人參加數學興趣小組，31人參加科技興趣小組，有27人兩個小組都參加，那么，有多少人兩個小組都沒有參加？

第二篇：三年級奧數《重疊問題》

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第九講：重疊問題

【知識要點】：

三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學和參加朗讀比賽的12位同學每人發一份紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有5位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數學中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。

解答重疊問題要用到數學中的一個重要原理——包含與排除原理，即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分。

解答重疊問題的應用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出圖示，借助圖形進行思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。

【例1】 六一兒童節，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數起，紅旗是第8面；從后數起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？

【思路導航】根據題意畫出下圖。

從圖上可以看出，從前數起紅旗是第______面，從后數起是第______面，這樣紅旗就數了______次，重復了______次，所以這行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。

【課堂反饋1】

1、小朋友排隊做操，小明從前數起排在第4個，從后數起排在第7個。這隊小朋友共有多少人？

2、學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數起是第12個，從右數起是第21個。這一行座位有多少個？

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【例2】 同學們排隊做操，每行人數同樣多。小明的位置從左數起是第4個，從右數起是第3個，從前數起是第5個，從后數起是第6個。做操的同學共有多少個？

【思路導航】根據題意畫出下圖。

由圖可看出：

小明的位置從左數第____個，從右數第____個，說明橫行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]個人；

從前數第_____個，從后數第_____個，說明豎行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。所以做操的同學共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。

【課堂反饋2】

1、同學們排隊跳舞，每行、每列人數同樣多。小紅的位置無論從前數從后數，從左數還是從右數起都是第4個。跳舞的共有多少人？

2、為慶祝“六一”，同學們排成每行人數相同的鮮花隊，小華的位置從左數第2個，從右數第4個；從前數第3個，從后數第5個。鮮花隊共多少人？

【例3】 把兩塊一樣長的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長多少厘米？

【思路導航】把等長的兩塊木板的一端釘起來，釘在一起的長度就是重疊部分，重疊的部分是____ _厘米，所以這兩塊木板的總長度是[ ]＋[ ]＝[ ]厘米，每塊木板的長度是[ ]÷[ ]＝[ ]厘米。

【課堂反饋3】

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1、把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條長30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長多少厘米？

2、兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米，中間重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？

【例4】 一次數學測試，全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第二道聰明題的有18人，每人至少做對一道。問兩道聰明題都做對的有幾人？

【思路導航】根據題意，畫出下圖：

圖中間重疊部分表示兩道題都做對的人數，把做第一道題和做對第二道題的人數加起來得[ ]＋[ ]＝[ ]人，這____ _人比全班總人數____ _多出了[ ]－[ ]＝[ ]人，這多出的____ _人既在做對第一題的人數中算過，也在做對第二道題的人數中算過，即表示兩道題都做對的人數。

【課堂反饋4】

1、三（1）班有學生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？

2、兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合部分是多少厘米？

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【例5】

三（1）班訂《數學報》的有32人，訂《閱讀報》的有30人，兩份報紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報紙。三（1）班有學生多少人？

【思路導航】根據題意，畫出下圖：

從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份報紙都訂的____ _人，這10人既被包括在訂《數學報》的____ _人內，又被包括在訂《閱讀報》的____ _人內，重復算了____ _次，所以要算出全班人數，必須從[ ]＋[ ]＝[ ]人中去掉被重復算過的____ _人。所以全班人數應是[ ]－[ ]＝[ ]人。

【課堂反饋5】

1、三（4）班做完語文作業的有37人，做完數學作業的有42人，兩種作業都完成的有31人，每人至少完成一種作業。三（4）班共有學生多少人？

2、兩塊木板各長90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一起的木板總長多少厘米？

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【課后作業】

1、同學們排隊去參觀展覽，無論從前數還是從后起起，李華都排在第8個。這一排共有多少個同學？

2、三（4）班排成每行人數相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數是第6個，從后數是第5個；從左數、從右數都是第3個。三（4）班共有學生多少人？

3、把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分長11厘米，這兩塊木板各長多少厘米？

4、三（5）班有42名同學，會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩種棋都不會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？

5、三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。三年級既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？

第三篇：4.2三年級奧數(教案重疊問題)

能動英語——小學三年級奧數(重疊問題)

學法指導：解答重疊問題，必須從條件入手認真分析，有時可以根據條件畫一畫圖來幫助我們思考，找出哪些是重復的，重復了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解題的方法。分類游戲：1.企鵝，大雁，金魚，鴿子，小燕子，黑天鵝 師：找同學說出會游泳的動物。

找同學說出會飛的動物。

問：那個動物既會游泳又會飛呢？是不是這個動物重疊了。好的，今天偶們學習重疊問題。練習一

1、小朋友排隊做操，小明從前數起排在第4個，從后數起排在第7個。這隊小朋友共有多少人？ 【解析】

○○○●○○○○○○

如圖：4＋7－1 = 10（人）

2、學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數起是第12個，從右數起是第21個。這一行座位有多少個？ 【解析】

12＋21－1 = 32（個）

3、同學們排隊去參觀展覽，無論從前數還是從后起起，李華都排在第8個。這一排共有多少個同學？ 【解析】

8＋8－1 = 15（個）

練習二

1、同學們排隊跳舞，每行、每列人數同樣多。小紅的位置無論從前數從后數，從左數還是從右數起都是第4個。跳舞的共有多少人？ 【解析】

每排（列）有：4＋4－1 = 7（人）共有：7×7 =49（人）

2、為慶祝“六一”，同學們排成每行人數相同的鮮花隊，小華的位置從左數第2個，從右數第4個；從前數第3個，從后數第5個。鮮花隊共多少人？ 【解析】

從左到右人數：2＋4－1 = 5 從前到后人數：3＋5－1 = 7 5×7 = 35（人）

3、三（4）班排成每行人數相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數是第6個，從后數是第5個；從左數、從右數都是第3個。三（4）班共有學生多少人？ 【解析】 6＋5－1 = 10 3＋3－1 = 5

練習三

1、把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條長30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長多少厘米？ 【解析】

（30＋6）÷2 = 18（厘米）

2、把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分長11厘米，這兩塊木板各長多少厘米？ 【解析】

（35＋11）÷2 = 23（厘米）

3、兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米，中間重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？

【解析】

66－48＋12 = 30（厘米）

練習四

1、三（1）班有學生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？ 【解析】

36＋38－55 = 19（人）

2、兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合部分是多少厘米？

【解析】

（75×2－130）×2 = 40（厘米）

3、三（5）班有42名同學，會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩種棋都不會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？ 【解析】

21＋17－（42－10）= 6（人）

練習五

1、三（4）班做完語文作業的有37人，做完數學作業的有42人，兩種作業都完成的有31人，每人至少完成一種作業。三（4）班共有學生多少人？ 【解析】

37＋42－31 = 48（人）

2、兩塊木板各長90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一起的木板總長多少厘米？

【解析】

90×2－15 = 165（厘米）

3、三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。三年級既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？ 【解析】

78＋77－107 = 48（人）

第四篇：三年級奧數 盈虧問題

第4講盈虧問題

教學目標

本講主要學習三種類型的盈虧問題： 1.理解掌握條件轉型盈虧問題： 2.理解掌握關系互換性盈虧問題;3.理解掌握其他類型的盈虧問題，本節課要求老師首先上學生理解盈虧問題其本公式的含義，在通過例題讓學生掌握解答應困問題的其本技巧，培養學生的思維分析能力。經典精講

盈虧問題，故名思意有剩下就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經常會產程這種盈虧現象。盈虧問題的關鍵是專注兩次分配時盈虧總量的變化。我們把盈虧問題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”“兩虧”。1.“盈虧”型

例如：學而思學校四年級基礎班的同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？

【分析】由題目條件知道，同學的人數與糖果的粒數不變，比較兩種分配方案，第一種沒人分4粒就多9粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于兩種方案分配數不同，兩次分配數之差為15?1?15（位），糖果的粒數為：4?15?9?69（粒）。2.“盈盈”型

例如：老猴子給小猴子分桃，每只小猴10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？

分析：老猴子的第一種方案盈9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧綜合是9-2=7（個），兩次分配之差是11-10-1（個）有盈虧問題公式得，有小猴子：7?1?7（只），老猴子有7?10?9?79（個）桃子。3.“虧虧”型

例如：學而思學校新近一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發10本，還差9本，每人發9本，還差9本，第二次就只差2本了呢？因為兩次分配數量不一樣，第一次分配時每人少發一本，也就是共有7?1?7（人）書有7?10?9?61（本）。

根據以上具體題目的分析，可以得出盈虧問題的基本關系式：

(盈+虧)?兩次分得之差=人數或單位數

（盈-盈）?兩次分得之差=人數或單位數

（虧-虧）?兩次分得之差=人數或單位數

條件轉化型的盈虧問題

這種類型的題目不能直接計算，要將其中的一個條件轉化，使之成為普通盈虧問題。

【例1】 軍隊分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人住一個房間，現在每間住10人，可以空出多少個房間？

【分析】每間住6人，余下2人可以每人各住一個房間，說明多出兩個房間，同時多出兩個人，也就是第二次分配少6?2?2?10（人），那么兩次分配方案人數相差20+10=30（人），即可以空出10-50?10?5（間）房間。【鋪墊】學校給一批新入學分配宿舍。如果每個房間住12人，則34人沒有位置；如果每個房間住14人，則空出4個房間。求學生宿舍有多少間，住宿學生有多少人？

【分析】把“每個房間住14人，則空出4個房間”轉化為“每間住14人，則少14?4?56（人）”這樣兩種方案就可以比較了。

第一種方案多出34人，第二種方案少56人，90?2?45（間），學生數為：12?45?34?574（人）

[例2]媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6人，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個？全加共有多少人？ 【分析】由“其中兩人分4個，其余每人分2個，則多出4個，”轉化為全家每人都分2個，這分4個的兩人每人都拿出2個，共拿出4個，結果就多了4+4=8個：由“一人分6個，其余每人分4個，則缺少12個”轉化為全家每人都分4個，分6個的人拿出2個。結果就少了12-2=10個，轉變成了盈虧問題的一半類型,則：

全家的人數：[4?2?2?(12?2)]?(4?2)?18?2?9（人）

橘子的個數：2?9?8?26（個）

【鋪墊】實驗小學的少先隊員去植樹。如果每人種5棵還有3棵每人種；如果其中2人各種4棵。其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完，問有多少少先隊員參加植樹，一共iozhong多少課樹苗？

【分析】這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹的情況——2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把他們統一成一種情況，讓每人種六棵，那么，就可以多種樹（6-4）?2?4（棵）。因此，原問題就轉化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種;如果每人種6棵數樹苗，還缺4棵。問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？ 人數：[3+(6-4)?2]?(6?5)?7(人)，棵樹：5?7?3?38（棵）或6?7?4?38（棵）【小結】盈虧問題必須是將一定數量的物體平均分給固定對象，而本題中兩次分橘子均不是每人分別的橘子數相同。碰到此類似情況時，不需將其調整成兩次都是平均分，然后解答。

【例2】 學校規定上午8時到校，小明去上學，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？

【分析】小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60?10?600米，如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50?8=400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60-50=10（米），就可以奪走600-400=200（米），從而可以求出小明由家道校所需時間。（1）10分鐘走多少米？60?10?600（米），（2）8分鐘走多少米？50?8?400（米）

（3）需要時間：（600-400）?(60?50)?20（分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到校。（4）由家到校的路程：60?(20?10)?600（米）或50?(20?8)?600（米）.【鋪墊】童童從家到學校，如果每分鐘走50 米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘60米，就可以比上課時間提前2分鐘奪走60-50=10（米），就可以奪走150+120=270（米），童童從家到學校所用時間是：270?10?27（分鐘），加到學校的距離是：50?(27?3)?50?30?1500（米）。

【例4】（第二屆“華杯賽”試題）有一個半同學去劃船。他們計算以下，如果增加一條船，正好每條船作6人；跑如果減少一條船，正好每條船坐6人。如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個班共有多少學生 【分析】先增加一條船，那么正好每條船坐6人。然后去掉兩條船，就會余下6?2?12（名）同學。改為每條船9人，也就是說，每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同學全部安排上去，所以現在還有12?3?4（條）船，而全班同學的人數是9?4?36（人）。【鞏固】增加兩條船，正好每條船坐6人，然后去掉四條船，就會余下6?4?24（人），改為每只船9人，即每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的24人全部安排上去，所以現在船數為24?3?8（條），這個班的人數為9?8?72（人）。【小結】這部分的題目不能直接運用公式計算，首先需要將一定的條件轉化，使之成為跟第一步分相似的題型，在運用公式計算。關系互換型的盈虧問題

這種題型中會出現兩種物品，一半兩者之間還存在數量關系，如和差關系、倍數關系等，我們應該先利用數量關系將已知條件轉化為一種物品的盈虧關系，再根據盈虧問題的 解法計算。

【例5】（2004“走進美妙的數學花園”數學邀請賽）

幼兒園老師把一袋糖果分給下朋友。如果分給打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分給小班的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2個小朋友這袋糖果共有多少粒？ 【分析】如果大班增加2個小朋友，大、小班人數就相等了，變為“每人5粒缺16粒，每人4粒多4粒”的盈虧問題。小班有(16?4)?(5?4)?20（人）。這袋糖果有4?20?4?84（粒）。【拓展】（2007年湖北省“創新杯”決賽）

四（2）班舉行“六一”聯歡晚會，輔導員老師帶著一筆錢取買糖果。如果買芒果13千克，還差4元;如果買奶糖15千克，則還剩2元。已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導員老師帶了_____________元錢.[分析]這筆錢買了13千克芒果還差4元,若把13千克芒果換成奶糖就會多出13?2?26元，所以這筆錢買13千克奶糖會多出26-4=22元。而這筆錢埋15千克奶糖會多出2元，所以每千克奶糖的價格為：（22-2）?(15?13)?10（元）。輔導老師共帶了10?15?2?152（元）

【例6】（2004南京市少年數學智力冬令營）

甲、乙兩人各買了相同數量的信封與相同數量的信封與相同數量的信封，甲每封信用2張信紙信紙，乙每封信用3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩20張信封，乙用完所有信紙還剩下10個信封，則他們每人各買了多少張信紙？ 【分析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙。這是盈虧問題，盈虧總額為（20+30）張信紙，兩次分配的差為（3-2）張信紙，所有的信封（20+30）?(3?2)?50（個），有信紙2?50?20?120）（張）【鞏固】甲、乙兩人的信紙一樣多，信封也一樣多，甲寫一封信用一張信紙，乙寫一封信用3張信紙。結果甲的信封用完時還剩50張信紙，乙的信紙用完時還剩50個信封，原來他們

各自有信封多少個？信紙多少張？

【分析】乙要想用完剩余的50個信封，還需再多50?3=150張信紙，也就是要用完同樣多的信封，甲多50張信紙，乙少150張信紙。

信封的個數：(50?3?50)?(3?1)?100（個）信紙的張數：100+50=150（張）

【小結】不同的人，相同的物品，假設都用完同樣多的信封，這就是“盈虧”的關聯點，問題便于解決了。【例7】體育中心將一些乒乓球分給若干人，每人5個還多余10個乒乓球，如果人數增加到3倍，那么每人分2個乒乓球還缺少8個，問有乒乓球多少個？

【分析】考慮人數增加3倍后，相當于按原人數每人給2?3?6（個），每人給5個與給6個，總數相差10+8=18（個），所以原有人數18?(6?5)?18（人），乒乓球總數是5?18?10?100（個）

【拓展】臥龍自然保護區管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數增加到3倍還少5只大熊貓，那么每只大熊貓分2個還缺8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少課？

【注意】以上題型中會出現兩種物品，一般兩者之間還存在數量關系，如和差關系、倍數關系等，我們應該先利用數量關系將已知條件轉化為一種物品的盈虧關系，再根據普通盈虧問題的解法計算。

【例8】幼兒園阿姨拿來水果糖和奶糖分給小朋友，且水果糖的個數是奶糖的2倍。如果每個小朋友分2個奶糖，就多余4個奶糖；如果每個小朋友分5個水果糖，則少2個水果糖。阿姨拿來了水果糖和奶糖個多少個？ 【分析】水果糖和奶糖的個數不相等，不能將兩者直接比較，如果本題中水果糖和奶糖一樣多就好了。所以，我們可以假設水果糖和奶糖一樣多，也就是假設奶糖是實際數量的2倍，那么，分給同樣多的小朋友后，每個小朋友可以分到2?2=4個，而多余的奶糖是4?2?8（個）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10個，原因是每個小朋友多分了5-4=1個，這樣就可以求出小朋友的人數，然后根據太燙和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數，然后根據奶糖和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數，即：

(4?2?2)?(5?2?2)?10?1?10（個）小朋友的人數

10?2?4?24(個)

奶糖的個數 10?5?2?48（個）水果糖的個數

【注意】本題的解題關鍵在于通過假設，使兩種糖的個數變得同樣多在解答。其他類型的盈虧問題

盈虧問題有的題型不想普通的盈虧問題那么標準，它是經過普通盈虧問題的變形和拓展，解答這類問題也要利用其本盈虧問題解答方法，根據不同的題型作出相應的應對。

【例9】幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8快，還剩10快；若沒人分9塊，左后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？

【分析】最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。根據盈虧計算公式，人數有（1+10）?（9-8）=11（人），糖果最多有9?11?1?98（塊）；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據盈虧計算公式，人數有（8+10）?(9?8)?18（人），糖果最多有9?18?8?154（塊）；所以，這批糖果最多有154塊。

【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片數一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則缺少5張。現在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？ 【分析】60?7?8…4，60?8?7…4，說明卡片的盒數是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8?8?64（張），現在時機每人得到60張，即每人需要退4張，其中要有4張式每人60張后多下來的，還有40張我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，44?4?11（人），說明有11人。

【例10 】媽媽給了紅紅一些錢去買賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡，甲種卡每張1元，丙種卡片每張2元。用完這些錢買甲種卡要比乙種卡多買8張，買乙種卡要比買丙種卡多買6張。媽媽給了紅紅多少錢？乙種卡每張多少錢？

【分析】“用這些錢買甲種卡要比買乙種卡多買8張，買乙種要比買丙種卡多買6張”所以盈虧總額是：1?8?2?6?20（元），單價相加2-1=1（元），所以工可以買衣種卡20?1?20（張），媽媽給紅紅的錢數是：

（20+8）?1=28（元），乙種卡每張：28?20=1元4角。

【拓展】樂樂有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個;按錢數算，5分幣比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣。樂樂共花了多少錢？

【分析】假設去掉22個2分幣，那么按錢數算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個二分幣多3分，所（5-2）=28個 以5分幣有：84 ?2分幣有：28+22=50（個）

所以樂樂共存錢：5 ?28?2?50?1?36?140?100?36?276（分）。鞏固精煉

1.小明讀一本書，如果每天讀6頁，還剩20頁沒有讀完，如果每天讀10也，書還少24頁，這本書共有多少頁，小明打算幾天讀完？ 【分析】在兩種方法中，數的頁數和打算讀的天數沒有改變，而第一種讀法，書沒讀完，還剩20頁；第二種讀法，不僅可將余下的29頁讀完，如果書還有24頁也能恰好讀完。兩種不同讀法總頁數相差20+24=44頁，造成這個差異的原因就是每天多讀天了 10-6=4頁。每天多讀4頁就要多讀44頁，因此打算毒的天數是44 ?4?11天，即：

（20+24）?（10-6）=44?4=11（天）6?114?20?86（頁）

2.陽光小學學生乘汽車到香山春游。如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果沒車多坐5人，恰好多于一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學生? [分析]每車多坐5人，實際是每車可坐5+65=70（人），恰好多余一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人，因而原因問題轉化為：如果沒車坐65人，則多出5人無人乘坐；如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？車數是（5+5+65）?5?15（輛）人數是65?15?5?980（人）或（5+65）?(15?1)?980（人）3.王老師由家里到學校，如果騎車每分鐘每分鐘500米，上課就要遲到3分鐘；如果騎車每分鐘600米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。王老師家到學校的路程是多少米？ 【分析】遲到3分鐘轉化成米數：500?3=1500（米），提前兩分鐘到校轉化成米數：600?2=1200（米），（1500+1200）?（600-500）=27（分鐘）500?(27?3)?15000（米）

4.王阿姨去買水果。如果買5千克橙子，就差10元錢；如果買6千克葡萄，則余2元錢。已知每千克橙子比每千克葡萄貴4元，每千克橙子和每千克葡萄個多少元？ 【分析】本題涉及到兩種水果，較難入手。但題中告訴我們每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以可以設法把兩種水果轉化為一種水果。

因為每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以將買5千克橙子換成買5千克葡萄，就要少用4?5=20（元），于是，“買5千克橙子差10元錢”就可以變成“買5千克葡萄余20-10=10元”，則題目乘為：王阿姨買水果，如果買5千克葡萄，就余下10元錢；如果買6千克葡萄就余2元錢，而每千克橙子比每千克葡萄貴4元，求每千克橙子和葡萄各多少元？解答這個問題就不難了。

每千克葡萄的價錢：(5?4?10?2)?(6?5)?8?1?8（元）每千克橙子的價錢：8+4=12（元）

5.媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為8元和10元，媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢。問：媽媽帶了多少錢？ 【分析】（法一）“多買3袋，”這三袋洗衣粉多花8?3?24（元）又因為花的錢總數一樣多多，所以在買碧浪洗衣粉的時候要把這些錢補上，而碧浪比雕牌每袋貴2元，所以要買碧浪洗衣粉袋數24?2?12（袋。）這樣媽媽帶的錢數是10?12?120（元）。（法2）如果買雕牌與碧浪洗衣粉數量一樣多，則買雕牌洗衣粉以后還剩3?8?24（元），買碧浪洗衣粉的數量是：24?(10?8)?24?2?12（袋）所以媽媽帶的錢數是12?10?120（元）

第五篇：三年級奧數

發到

三年級奧數--年齡問題

教學目標

1.掌握用線段圖法來分析題中的年齡關系.2.利用已經學習的和差、和倍、差倍的方法求解年齡問題．

知識點說明：

一、年齡問題變化關系的三個基本規律：

1.兩人年齡的倍數關系是變化的量.2.每個人的年齡隨著時間的增加都增加相等的量； 3.兩個人之間的年齡差不變

二、年齡問題的解題要點是：

1．入手：分析題意從表示年齡間倍數關系的條件入手理解數量關系． 2．關鍵：抓住“年齡差”不變．

3．解法：應用“差倍”、“和倍”或“和差”問題數量關系式． 4．陷阱：求過去、現在、將來。

年齡問題變化關系的三個基本規律： 1．兩人年齡的差是不變的量； 2．兩人年齡的倍數關系是變化的量；

年齡問題的解題正確率保證：驗算！

例題精講

【例 1】 小卉今年6歲，媽媽今年36歲，再過6年，小卉讀初中時，媽媽比小卉大多少歲？ 【解析】 這道題有兩種解答方法：

方法一：解答這道題，一般同學會想到，小卉今年6歲，再過6年6?6?12（歲）；媽媽今年36歲，再過6年是（36?6）歲，也就是42歲，那時，媽媽比小卉大42?12?30（歲）．

列式：（36?6）?（6?6）?42?1

2?30（歲）

方法二：聰明的同學會想，雖然小卉和媽媽的歲數都在不斷變大，但她們兩人相差的歲數永遠不變．今年媽媽比小卉大（36?6）歲，不管過多少年，媽媽比小卉都大這么多歲．通過比較第二種方法更簡便．

列式：36?6?30（歲）

答：再過6年，小卉讀初中時，媽媽比小卉大30歲．

【鞏固】 小英比小明小3歲，今年他們的年齡和是老師年齡的一半，再過15年，他們的年齡和就等于老師的年齡，今年小英的年齡是多少歲？

【解析】 經過15年，小英和小明的年齡和比老師多增加15歲，所以老師今年年齡的一半是15歲，即小英和小明今年的年齡和是15歲，小英今年的年齡是（15-3）÷2=6（歲）.【鞏固】 爸爸媽媽現在的年齡和是72歲；五年后，爸爸比媽媽大6歲．今年爸爸媽媽二人各多少歲？

【解析】 五年后，爸爸比媽媽大6歲，即爸媽的年齡差是6歲．它是一個不變量．所以爸爸、媽媽現在的年齡差仍然是6歲．這樣原問題就歸結成“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”發到 的和差問題．

爸爸的年齡：（72?6）?2?39(歲)媽媽的年齡：39?6?33(歲)【鞏固】 今年小寧9歲，媽媽33歲，那么再過多少年小寧的歲數是媽媽歲數的一半？

【解析】 今年小寧比媽媽小33?9?24（歲），那么小寧永遠比媽媽小24歲．幾年后小寧是媽媽歲數的一半時，即媽媽年齡是小寧的2倍時，媽媽仍比小寧大24歲．這是個差倍問題．以小寧的年齡作為1倍量，媽媽年齡是2倍量，所以媽媽比小寧大的歲數也是1倍量，即1倍量代表著24歲．所以小寧24歲時是媽媽年齡的一半，因此再過24?9?15（年）．

【鞏固】 6年前，母親的年齡是兒子的5倍，6年后母子年齡和是78歲．問：母親今年多少歲? 【解析】 6年后母子年齡和是78歲，可以求出母子今年年齡和是78－6×2＝66(歲)．6年前母子年齡和是66－6×2＝54(歲)．又根據6年前母子年齡和與母親年齡是兒子的5倍，可以求出6年前母親年齡，再求出母親今年的年齡．

母子今年年齡和： 78－6×2＝66(歲)，母子6年前年齡和： 66－6×2＝54(歲)，母親6年前的年齡： 54÷(5＋1)×5＝45(歲)，母親今年的年齡： 45＋6＝51(歲)．

【鞏固】 學而思學校張老師和劉備、張飛、關羽三個學生，現在張老師的年齡剛好是這三個學生的年齡和；9年后，張老師年齡為劉備、張飛兩個學生的年齡和；又3年后，張老師年齡為劉備、關羽兩個學生的年齡和；再3年后，張老師年齡為張飛、關羽兩個學生的年齡和．求現在各人的年齡．

【解析】 張老師?劉備?張飛?關羽，張老師?9?劉備?9?張飛?9，比較一下這兩個條件，很快得到關羽的年齡是9歲；同理可以得到張飛是9?3?12（歲），劉備是9?3?3?15（歲），張老師是9?12?15?36（歲）．

【鞏固】 父親與兩個兒子的年齡和為84歲，12年后父親的年齡正好等于兩個兒子的年齡和，父親現在多少歲？ 【解析】 三人現在的年齡和是84歲，12年后的年齡和是84?12?3?120（歲），那時父親120?2?60（歲），父親現在60?12?48（歲）．

【例 2】 小明與爸爸的年齡和是53歲，小明年齡的4倍比爸爸的年齡多2歲，小明與爸爸的年齡相差幾歲？ 【解析】 把小明的年齡看成是一份，那么爸爸的年齡是四份少2，根據和倍關系：

小明的年齡是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（歲），爸爸的年齡是：53－11＝42（歲），小明與爸爸的年齡差是：42－11＝31（歲）．

【鞏固】 一家三口人，三人年齡之和是72歲，媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的4倍，三人各是多少歲？ 【解析】 媽媽的年齡是孩子的4倍，爸爸和媽媽同歲，那么爸爸的年齡也是孩子的4倍，把孩子的年齡作為1倍數，已知三口人年齡和是72歲，那么孩子的年齡為：72÷（1+4+4）=8（歲），媽媽的年齡是：8×4=32（歲），爸爸和媽媽同歲為32歲.【例 3】 姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當姐弟倆歲數和是40歲時，兩人各應該多少歲？

【分析】 用線段圖顯示數量關系，可以看出這道題實際上就是前面總結過的和差問題.姐弟倆的年齡差總是13?9?4（歲），不管經過多少年，姐弟年齡的差仍是4歲，由圖可見，如果從40歲中減去姐弟年齡的差，再除以2就得到所求的弟弟的年齡，也就可以求出姐姐的年齡了.發到

弟弟的年齡：(40?4)?2?18（歲），姐姐的年齡：18?4?22（歲）．

【例 4】 東東3年前的年齡與西西4年后的年齡之和是25歲，東東3年后的年齡等于西西l年前的年齡，求東東、西西今年的年齡各是多少？

【分析】 東東3年后的年齡等于西西1年前的年齡，說明東東比西西小4歲； 東東3年前的年齡與西西4年后的年齡之和是25歲，所以今年東東和西西的年齡和是25?3?4?24(歲)，今年東東的年齡：(24?4)?2?10(歲)，今年西西的年齡：24?10?14(歲)．

【鞏固】 哥哥5年后的年齡與弟弟3年前的年齡和是29歲，弟弟現在的年齡是兩人年齡差的4倍．哥哥今年多少歲？

【解析】 兄弟二人現在的年齡和是27歲，兩人的年齡差是27?，哥哥現在3?5?15（歲）．（4?5）?3（歲）

【鞏固】 今年彬彬的年齡是表弟年齡的4倍，20年后，彬彬的年齡比表弟的年齡的2倍少l2歲，今年彬彬、表弟各多少歲？

【解析】 表弟今年年齡的4?1?2?2(倍)對應的是：20?2?20?12?8(年)，由此可以求出表弟今年的年齡，使問題得解．8?2?4(歲)，4?4?16(歲)．所以表弟今年4歲，彬彬今年16歲．

【例 5】 父子年齡之和是45歲，再過5年，父親的年齡正好是兒子的4倍，父子今年各多少歲？

【解析】 再過5年，父子倆一共長了10歲，那時他們的年齡之和是45?10=55(歲)，由于父親的年齡是兒子的4倍，因而55歲相當于兒子年齡的4?1=5倍，可以先求出兒子5年后的年齡，再求出他們父子今年的年齡．

5年后的年齡和為：45?5?2?55(歲)5年后兒子的年齡：55?（4?1）?11(歲)兒子今年的年齡：11?5?6(歲)，父親今年的年齡：45?6?39(歲)【鞏固】 父子年齡之和是60歲，8年前父親的年齡正好是兒子的3倍，問父子今年各多少歲？

【解析】 由已知條件可以得出，8年前父子年齡之和是60?8?2?44(歲)，又知道8年前父親的年齡正好是兒子的3倍，由此可得：

兒子：（60?8?2）?（3?1）?8?19(歲)父親：60?19?41(歲)【鞏固】 父親與兩個兒子的年齡和為84歲，12年后父親的年齡正好等于兩個兒子的年齡和，父親現在多少歲？ 【解析】 三人現在的年齡和是84歲，12年后的年齡和是84?12?3?120（歲），那時父親120?2?60（歲），父親現在60?12?48（歲）．

【鞏固】 王老師與王平和李剛兩位同學的平均年齡是20歲，李老師與王平和李剛兩位同學的平均年齡是

18歲．王老師今年32歲，李老師今年多少歲? 【解析】 王老師比李老師大20?3?18?3?6(歲)．故李老師今年的年齡為32?6?26(歲)．