第一篇：培養幾何直觀能力的教學思考

《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》提出：在“圖形與幾何”的教學中，應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析數學問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準》也提出要培養和發展學生的幾何直觀能力以及借助幾何直觀進行推理論證的能力。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數學學習過程中。在小學數學教學中，教師應該選擇適當的教學內容，培養學生幾何直觀的能力。

一、對幾何直觀的本質把握

數學家克萊因認為：“數學的直觀是對概念、證明的直接把握”。蔣文蔚先生指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。（《數學教育學報》，1997年第4期）徐利治先生提出，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。

這些數學家對直觀包括幾何直觀下了定義。綜合這些定義，我們認為

一是透過現象看本質；二是一眼能看出不同事物之間的關聯。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。幾何直觀是利用圖形洞察問題本質的一種方式，既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點。

二、培養幾何直觀能力的教學方法

在小學數學中培養學生的幾何直觀能力，要先從直觀教學開始，引導學生學會用畫圖的策略分析題意，解決簡單的實際問題，逐步上升到能將直觀圖與數學語言、符號語言進行合情轉換，并逐步在解決數學問題的過程中滲透數形結合思想，感悟數與形、形與數之間的轉化。

1．重視直觀感知，突出畫圖策略的教學。

蘇教版四年級（下冊）《解決問題的策略》主要教學用畫直觀示意圖的方法解決有關面積計算的實際問題。在教學面積計算的問題時，關鍵要使學生想到畫圖、正確畫圖、用圖分析和體驗畫圖解決問題的好處。首先可以向學生呈現純文字的例題，面對比較復雜的數學問題，引導學生想到用畫圖的方法整理條件和問題。接著鼓勵學生嘗試畫草圖，讓學生的思維集中于用畫圖來表達題意，并通過師生交流，進一步完善畫出的示意圖，使學生感受到畫圖能清楚地理解題意。然后借助示意圖分析數量關系，明確先求什么，再求什么，列式解答后，要

再結合算式和圖說說解題思路。最后反思整個解題的過程，突出示意圖對解決這個數學問題的重要作用，感受畫圖策略的價值?！霸囈辉嚒焙汀跋胂胱鲎觥钡念}目與例題相比有一定變化，解決這些問題后，要引導學生思考：“不畫圖能準確解決這些問題嗎？畫圖時要注意什么？”加深學生對應用畫圖策略價值的直觀體驗。

第二篇：如何培養學生的幾何直觀能力

在數學教學中如何培養學生的幾何直觀能力

如何培養學生的幾何直觀能力？要遵循學生的認知規律，了解學生的知識結構，依據學生的年齡特點，遵循知識的循序漸進。應注重使學生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大?。粦⒅赝ㄟ^觀察物體、制作模型、設計圖案等活動，發展學生的空間觀念。

我們的教學要立足教材，領著學生從教材中走出來。教材承載著提升學生空間觀念的點滴作用，一點一滴雖然微小，但能小中見大、滴水穿石。

一、遵循“滲透——推導——驗證——應用”的教學過程。

二、重視學生動手操作實踐，發展學生數學思維。數學教學的核心是促進學生思維的發展。教學中，通過學生學習數學知識，全面通過幾何直觀的數學思維過程，啟迪和發展學生思維，將知識發生、發展過程與學生學習知識的心理活動統一起來。課堂教學中充分有效地進行思維訓練，是數學教學的核心，它不僅符合素質教育的要求，也符合知識的形成與發展以及人的認知過程，體現了數學教育的實質性價值。

三、注重師生互動、生生互動 新課程標準提倡學生的自主學習，在課堂教學中主張以學生為主體，注重師生互動和生生互動。師生應該互有問答，學生與學生之間要互有問答。要始終面向全體學生，以學生為主體，教師為主導，通過教學中師生之間、同學之間的互動關系，產生教與學之間的共鳴。

借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路，可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法；抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考的機會；揭示經驗的策略，創設不同的數學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程，提高學生的數學思維能力。直觀常常提供證明的思路和技巧,有時嚴格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴格化和數學加工。幾何直觀是認識的基礎, 有助于學生對數學的理解。幾何直觀已經成為數學界和數學教育界關注的問題，如何培養學生的幾何直觀能力，還有待于我們進一步去研究。只要我們做個有心人，幫助學生建立起實物與概念間的聯系，化抽象為具體，就可以促使學生更好地理解數學概念的本質，也能夠提高學生學習的興趣。

第三篇：培養幾何直觀能力 讓數1

培養幾何直觀能力 讓數學“活”起來

高安市第三小學：劉永維

當我翻開《數學新課標》，就被一個全新教學理念深深地吸引，那就是—— 幾何直觀。書中是這樣說的：“幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數學問題、探索解決問題的思路、預測結果。簡單的說——就是用圖形說話，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數學素質?！弊x到這時我終于茅塞頓開，因為在自己還是學生的時候就是用這種方法學習數學的，既簡單又有趣，只是不知道怎么用文字來表達?，F在自己已經是教了三年的數學老師，也可以說一直在嘗試如何提高小學生的幾何直觀能力，因為它反映了一個學生能否把他的理解用一種適當的方式表達出來，能否用圖形的方式來理解一個比較復雜的問題。幾何直為觀不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數學學習過程中。幾何直觀能力可以說是學生學習數學的金鑰匙，所以教師應十分重視學生幾何直觀能力的培養，下面我就從自己的教學實中踐中談談培養學生幾何直觀能力的方法。

一．注重直觀感知。數學中有很多推理的過程，需要學生自己憑借生活經驗，采用有效的數學手段去解決。這里，幾何直觀就扮演著至關重要的角色。學生要是能善于運用幾何直觀，很多問題就能直觀形象的展現出來，理解的問題攻克了，解決就不是問題。所以教學中，教師要再學生面對問題時，讓他們充分的思考，探究解決問題的多種方法，讓學生體會到幾何直觀是解決問題的一種有效手段，感知幾何直觀的重要性。例如在教學二年級的“分一分與除法”時，教師要給學生創造充分的活動空間，讓學生親自動手分一分，圈一圈，畫一畫，擺一擺等，體驗平均分的過程，加深學生的直觀感知，從而理解平均分的意義及與除法的關系，辨析出乘除法之間的不同，為后面的解決問題打下堅實的基礎。

二．重視數與形的結合。我國著名的數學家華羅庚說：“形缺數時難入微，數缺形時少直觀”。“數形結合”的思想是重要的數學思想，其實質是使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。小學數學教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數形結合思想更好地反映出來。例如：小麗前面有9人，后面有4人，這一隊有多少人？“對于一年級的學生，他們有時很難想到題中還有個隱含的“小麗”，往往列出來的算是“9+4=13（人）”。要是借助直觀圖形展現出排隊的情況，學生就非常醒目的發現隊伍由3部分構成，前面的人﹑小麗和小麗后面的人，算式也自認會變成“9+1+4=14（人）”。”學生就會聯想起直觀圖的作用，以直觀圖形作橋梁，分析題中數量關系，從而解決數學問題。三.重視直觀圖形與數學符號的合情轉換。直觀圖形的應用要能充分的體現數量關系，展現數學的本質。有時兩者合情轉換更能體現數與形的密切關系。例如在統計的教學中，統計圖中一格代表多少數量，一定的數量需要幾格來表示，從圖中你能得到哪些數學信息等等。學生在畫圖和分析數據中了解直觀圖形和數學符號的相互轉化，體會數與形的統一。

四．注重多媒體應用。多媒體技術不但給學生展現出豐富多彩的圖形世界，提供直觀的演示和展示，表現圖形的直觀變化，也給學生展示其不易想像的圖形，擴大其空間視野，并多了一條解決問題的途徑。多媒體的應用給教師的教學提供了有力的工具，也為學生的學建立了直觀基礎。例如教學鐘表一節課時，由于課堂時間有限，要驗證1時=60分時，要是僅僅靠老師的講，學生只能是機械記憶，很難真正理解。利用多媒體展現時針走一大格分針正好走一圈的過程，給予學生視覺感知，使他們從中發現時和分的關系，學生的印象才深刻，才能真正的理解其中所以然，后面的解決問題才能有依據，做到得心應手。

總之幾何直觀能力是一種非常重要的數學學習能力，它已經成為數學界和數學教育界關注的問題，幾何直觀能力的培養應隨時體現在我們適時的教學中。教學中應關注學生的基本生活經驗和生活經歷，注重引導學生把生活中對圖形的感受與有關知識建立聯系，在學生積極主動的參與學習中，幾何直觀能力的培養不是一道題解決，不是一節課講授，而是潛移默化的一種方法的探究和深入。在數學教學中，教師應該指導學生養成一種用直觀的圖形語言，刻畫、思考問題的習慣，有機滲透數學思想方法的同時，培養學生的幾何直觀能力，提高學生的思維能力和解決問題的能力，讓數學真正能活學活用。

第四篇：關于幾何直觀的思考

關于幾何直觀的思考

作者：秦德生，? 文章來源：《中學數學教學參考》2005年第10期 [摘要] 隨著數學課程標準提出培養和發展學生的幾何直觀能力，幾何直觀已經成為數學教育中的一個關注問題。本文從幾何課程基本要求的演變出發，探討幾何直觀的概念以及與相關概念的辨析，追溯幾何直觀的哲學基礎，提倡“直觀型”的課程設計，挖掘幾何直觀能力培養的教育價值。

[關鍵詞] 幾何直觀；課程標準；哲學基礎；教育價值

當前，數學教育界都在關注數學課程標準[1][2]的制訂與實施，關注數學課程改革，而幾何直觀是數學中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內容上、意義上和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究意義。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！边@也與康德的“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的”觀念是相同的。隨著《普通高中數學課程標準》[2]提出培養和發展學生的幾何直觀能力，幾何直觀成為數學教育中的一個關注問題；經過適當的發展，相信對幾何直觀的研究能夠成為數學教育的核心問題。

在此，筆者試圖從幾何課程基本要求的演變出發，探討幾何直觀的概念以及與相關概念辨析，追溯幾何直觀的哲學基礎，挖掘幾何直觀能力培養的教育價值。現將自己的一些想法就正于各位同行專家．

1．我國對幾何課程基本要求的演變

我國解放后首次制定(1952年)的中小學數學教學大綱中提出，小學“算術教學應該培養和發展兒童的邏輯思維”，中學數學應“發展學生生動的空間想像力,發展學生邏輯的思維力和判斷力”[3]。以后的中小學數學教學在能力培養方面的要求一直是“通過數學教學，發展學生的邏輯思維和空間想像力”。1963年根據華羅庚、關肇直等專家的意見，中小學數學教學的能力培養任務修改為“計算能力、邏輯推理能力和空間想像力”(傳統的三大能力)。1978年的中小學數學教學大綱中，又增加了“培養學生分析問題和解決問題的能力”。1988年的九年義務教育數學教學大綱中，能力培養任務改為“培養運算能力，發展邏輯思維能力和空間觀念”,這種要求一直持續至今。《義務教育階段國家數學課程標準》

(征求意見稿，2000年)在發展性領域中，明確提出能力培養任務是思維能力的培養，“應使學生在定量思維、空間觀念、合情推理的演繹論證等方面獲得發展”。2000年3月頒布的《九年義務教育全日制小學數學教學大綱(試用修訂版)》中指出，要“培養初步的思維能力和空間觀念”。

2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》[1]提出“豐富對現實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維”[1]．2003年頒布的《普通高中數學課程標準》[2]指出：“幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。人們通常采用直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質。三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數學課程的基本要求?！盵2] 從我國幾何課程基本要求的演變來看，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，對幾何教學的要求不盡相同，那么，什么是幾何直觀，它與直覺、空間觀念、空間想像能力等名詞之間有聯系或者區別么？我們來進一步探討。

2．幾何直觀概念的內涵及典型觀點辨析 2.1 什么是直觀

數學家克萊因認為，“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”[4]；而西方哲學家通常認為“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識”；心理學家則認為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”。

蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態[5]。

徐利治先生提出，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知[6]。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。

他們從數學、哲學、心理學等角度給直觀包括幾何直觀下了定義，但我們認為直觀一般有兩種：一是透過現象看本質；二是一眼能看出不同事物之間的關聯，2

可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。

2.2 直觀與直覺

直觀與知覺在英文中都是單詞Intuition，但二者并不是完全相同，直覺不等于直觀。

從研究對象來看直覺的對象不一定是可視的對象，直觀的對象一定是可視的。從過程來看，直觀與個人的經驗、經歷有關，直觀有層次性，直觀是從一個層次看到更深刻的層次或本質；在同一個層次不是直觀而是直覺，直覺是有原因與結果的關聯，是一個平面上的，屬于同一個層次。從功能來看，直觀是用來發現定理的，而直覺用來證明定理的。

2.3 直觀與想象

傳統的數學教學中,空間想像力“指的是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象的能力。麥吉(Megee,1979)認為，空間想像力包括“在心理上操作、旋轉、翻轉或逆轉形象刺激物的能力”，朱文芳認為“空間想像能力是完成空間認知任務的橋梁,空間思維能力起著決定性的核心作用”[7]。心理學家通常認為,想像(imagination)以表象為基本材料,但不是表象的簡單再現，是指“在頭腦中對已有表象進行加工、改造、重新組合形成新形象的心理過程”。

我們認為，空間想象能力是指脫離背景也能想象出圖形的形狀、關系的能力。直觀是在有背景的條件下進行，想象是沒有背景的；幾何中的推理證明始終在利用幾何直觀，在想象圖形。

所以，我們建議：普通高中數學課程標準中對幾何目標的敘述修改為“培養和發展學生的幾何直觀能力和借助幾何直觀進行推理論證的能力，從而培養運用圖形語言進行交流的能力以及空間想象能力，是高中階段數學課程的基本要求?！边@樣敘述應該更恰當和準確。

3．幾何直觀的哲學分析 3.1 直觀主義

直觀化，本來是數學基礎中的直觀主義流派，出于數學概念和方法的“可信性”考慮而提出的基本主張，其中心內容是“存在必須是被構造”?？梢姅祵W中的直觀主義就是哲學中的康德主義，主張數學的概念由人類理性構造而成。數學對象的構造就是人們先驗地在直觀中畫出與概念相應的圖形，所以構造數學對象 3

需要非經驗的直觀。人們在這種純粹直觀中構造出一個具體的圖形，這一圖形能夠代表所有與某概念相應的圖形，這說明人們在純直觀中構造的圖形具有與概念相同的普遍意義，因此在幾何直觀中構造出了具體的圖形就是構造出了相應的概念與數學實體。

笛卡兒認為，直觀是純粹理性的，但作為理性的東西并不能完全擺脫或無視某些經驗，可見這二者是矛盾的，直觀的確定性與與非邏輯性相矛盾，直觀不能保證普遍原理的確定性，直觀具有發現真理功能，但不能兼備證明真理、確保真理可靠性的功能。

3.2 幾何直觀的歷史性

畢達哥拉斯時代,人們的數學直觀里浸透了整數是萬物本質的哲理；非歐幾何產生以前,人類的數學直觀里有著歐氏公理是先驗不變的真理的觀念；非標準分析又使一度失去了對無窮小的直觀在更抽象的層次上恢復；而今計算機造成的外移動的超立體的圖象,又對我們關于高維空間的抽象直觀充實了具體感性。所以數學直觀是歷史概念，數學直觀在每個歷史時期,其抽象性和直觀性都具有不同的內涵。

數學中的抽象性帶有理論和哲學色彩，幾何直觀帶有經驗、思想和感情因素。復數的引入，是因邏輯上的需要而直接引進的“理想元素”，被賦予某種實際意義后，以幾何直觀解釋為中介，同現實世界建立了間接聯系，從而提高了它的可信性。復數，在它被引入后的最初兩個半世紀中一直“給人虛無縹緲的感覺”，直至維塞爾、高斯等人相繼對它作出了幾何解釋與代數解釋，把它與平面向量a+bi或數偶 對應，才“幫助人們直觀地理解它的真實意義”，并取得了實際應用．所以，它不僅被數學理論所決定，并隨著數學理論的發展而發展，而且它也避免不了當時人類整個文化情境對個人心理上的影響。直觀是隨著人類理性的進步而進步的。換言之,幾何直觀的建立和發展是一個歷史過程。它并不是一個從古到今就一直存在著的永恒的人類用來認識數學現象的中性框架，幾何直觀是一種進化的產物，可以進行更高層次的創造性活動。因此一個人在不同年齡階段所表現出的數學直觀能力可以看作是整個人類在這方面歷史發展過程的縮影。

3.3 直觀與形式的統一

數學作為一門精確科學，其研究活動必須以量和質、形式和內容的分離為前 4

提，把前者從自然界的普遍聯系中抽取出來，加以抽象，在不斷形式化的過程中實現它的精確性，這個過程就是數學化，換言之，就是數學抽象發展與現實世界的緊密結合，它既可以描述具體問題的數學模型，也可以反映各種層次的數學概念或規律的更高層次抽象．數學抽象概念發展的“直觀——形式——直觀”模式，是一般科學概念發展的“具體——抽象——具體”模式的特殊表現形式，它深刻地反映了數學活動的基本矛盾，數學通過形式化而實現精確性，又因為形式化而減弱客觀性，直觀化具有原始的創造性，它的歷史性決定不允許完全客觀的有理化．

直觀與形式之間矛盾的解決，只有在形式化和直觀化的矛盾運動中才可能實現，正是二者之間的矛盾推動了數學的發展以及科學的發展。從創造力來看，直觀能引出數學的發明,直觀能決定理論的形式和研究方向；從在數學證明上看,直觀常常提供證明的思路和技巧,有時嚴格的邏輯證明無非是直觀思考的嚴格化和數學加工。數學直觀的世界與因果感覺的世界是對立的，數學思維不能完全形式化，數學思想是獨立于語言的形式之外，但數學又必須通過形式來表達，使其嚴格化。因此，數學經過形式化而趨于完美，又通過直觀化而返樸歸真，這正是數學發展的辯證過程。

4．幾何直觀的課程設計

課程設計已經走向多流派、多元化。而強調知識之間有機地融合、依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數學課程設計的主流之一。我國新課程已經把幾何直觀看作是貫穿高中數學課程的線索之一。從函數的圖象教學、三角函數的單位圓、到導數的圖象判斷；從不等式的直觀解釋到線性規劃的區域刻畫，此外，還有數系擴充中復數、概率統計中的直觀圖以及向量的使用等等。幾何課程設計更離不開幾何直觀。可見，幾何直觀是高中數學教學中必不可少的有效工具。因此，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質和關系，使學生認識幾何直觀在數學學習中的意義和作用，同時也學會數學的一種思考方式和學習方式。

當然，我們也要注意不能用幾何直觀來代替證明、注意幾何直觀帶來的認識上的片面性。例如，對指數函數 與直線 的關系的認識，因為教材中通常都是以2或10為底來給出指數函數的圖形，在這兩種情況下，指數函數 的圖形都在直線 的上方，于是，便認為指數函數 的圖形都在直線 的上方。教學中應避免這 5

種因特殊賦值和特殊位置的幾何直觀得到的結果所帶來的對有關概念和結論本質認識的片面性和錯誤判斷。[2] 5．幾何直觀能力培養的教育價值

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數學研究中起著其實、聯絡、理解、甚至提供方法的作用，而幾何直觀具有發現功能，同時也是理解數學的有效渠道。數學家依賴直觀來推動對數學的思考，數學教育家們依賴直觀來加強對數學的理解。直觀推動了數學和科學的發展。而數學概念經過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數學對象為基礎進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應用性要求,這要求數學的直觀與形式的統一，才使得數學的完美。

首先，幾何直觀是一種創造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發現過程中起到不可磨滅的作用。對于數學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數學發現的向導，隨著現代科技的發展，幾何直觀在計算機圖形學、圖象處理、圖象控制等領域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎, 有助于學生對數學的理解。借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考的機會，揭示經驗的策略，創設不同的數學情景，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程；使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數學觀。

最后，幾何直觀是揭示現代數學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質和關系，使思維很容易轉向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數學創造性工作歷程，能夠開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。

幾何直觀已經成為數學界和數學教育界關注的問題，那么如何培養學生的幾何直觀能力、如何更好地發揮幾何直觀性的教學價值，是每個數學教育工作者都應該深思的問題。

[參考文獻] [1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]，北京師范大學出版社，2001.[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗稿）[M]，人民教育出版社，2003.[3]建國以來中小學《數學教學大綱匯編(1949—1985)》[M],國家教委編印,1986.[4]M.克萊因.古今數學思想[M]，第四冊.上海：上?？萍汲霭嫔?，1979.[5]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學研究及數學教學研究中的作用[J]，數學教育學報.1997(4)[6]徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J],數學通報，2000(5)[7]朱文芳.關于義務教育階段對空間能力培養的思考[J],課程·教材·教法.2001(3)[8]數學課程標準研制組，普通高中數學課程標準（實驗稿）解讀[M].江蘇教育出版社，2004.[9]史寧中.關于數學的反思[J],東北師大學報(哲學社會科學版), 1997(2)[10]M.阿蒂亞.數學的統一性[M].南京：江蘇教育出版社，1995.

第五篇：小學生幾何直觀能力培養的三個著眼點專題

小學生幾何直觀能力培養的三個著眼點

數學是研究數量關系和空間形式的科學。幾何直觀是貫穿小學數學教學始終的基本內容。俄國教育家烏申斯基說過：“兒童是用形式、聲音、色彩和感覺來思維的。”直觀性是一種發展觀察力和發展思維的力量，它能給認識帶來一種情緒色彩。如果不形成發達的、豐富的情緒記憶，就談不上童年時期的完美的智力發展。

幾何直觀則是借助見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生的對事物的性質或數量關系的直接感知。它憑借圖形的直觀性特點，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，使復雜的問題簡單化，隱蔽的問題明朗化，抽象的問題直觀化，能迅速、簡捷、合理地解決問題，更好地幫助學生學好數學、研究數學。因此，在小學階段著眼于培養學生的幾何直觀能力顯得尤為重要。

一、著眼于畫圖策略的掌握

培養學生看圖、讀圖、想圖、作圖能力是發展學生幾何直觀能力的重要環節。在實際學習中，學生由于年齡特點的影響，再加上抽象思維能力差，頭腦中難以形成較為準確、直觀的幾何模型，主要反映在做題時不會畫圖或即使畫出來的圖也不易辨認，甚至畫出錯誤的圖形來，從而誤導了解題的思路且不易查錯，嚴重地影響了解題的正確性。因此，著眼于畫圖策略的教學是提高學生幾何直觀能力的有效方法。

（一）強化畫圖意識，激發興趣

小學生因年齡小，生活經驗有限，再加上空間想象能力不足，對數學問題的感知程度往往很低，認識模糊、思路不清。但他們好奇心強，大多數孩子喜歡畫畫。教師可引導學生將有些數學題中的數學信息以自己喜歡的形式畫下來，或用圖形擺出來，這樣原本枯燥的數學突然間就會變得直觀形象起來。學生通過運用畫圖策略解決問題，就能體驗畫圖策略的有效性，感受直觀圖形對于解題的作用，形成應用畫圖策略的興趣和自覺性。

如一年級教材中有一道思考題：12個男生排隊，老師讓每兩個男生中間站一個女生，一共有多少個女生？當學生表示解決有困難時，教師提示：畫一畫，想一想。許多學生畫了12個圓表示男生，然后再在間隔處畫上另外的記號表示女生，最后數出一共有多少個女生。得到解題的結果后，教師進行適當的提升，如果有15個男生呢？然后提問：如果有100個男生呢？用畫圖的方法還好嗎？讓學生感覺到畫圖的作用是幫助理解題意，但不是永遠的“救命稻草”，而是需要在題目中進行抽象和理解，最后學會理性思考，獨立解題。

又如在學生解決三年級的“學校里有一塊長方形花壇，如果將它的寬增加3米，長不變，這樣花壇就變成了一個正方形，面積增加了24平方米。原來長方形花壇的面積是多少平方米”這一問題時，很多學生對題意不是很理解，覺得無從下手。這時教師問：“有什么辦法可以清楚地看出花壇的擴建情況？”在這時學生很自然地產生了畫圖的需要，因為畫圖能使題意直觀可見。

因此，學生在解決實際問題中，通過教師的引導，可以真切體會到畫圖的方便和直觀，當圖形和題目意思有機結合時，很多的問題自然會水到渠成、迎刃而解。在這個教學過程中，學生學會的不僅僅是畫圖的方法，而是很好地培養了學生畫圖的意識，激發了學習數學的興趣。

（二）掌握畫圖方法，習得技能

在實際教學中，要幫助學生掌握用畫圖策略解決問題的過程，促進學生體驗畫圖策略解決問題的優越性。教師要提高自身的數學專業素養，尤其是在“畫圖策略”技能上的素質。教師需要在對數學知識和畫圖策略的應用上進行透徹的研究，尋找最精當的方式，從而達到教學目的。只有這樣，教師才能對教材進行精心分析，尋求對不同知識板塊個性化的圖解。

1.正確示范畫圖

在平時教學過程中，教師要主動地運用幾何直觀進行教學。首先，教師要正確示范畫圖。教師是學生學習和模仿的對象，教師的示范作用對學生來說至關重要。比如，在“倍的認識”一課教學時，教師在畫圖過程中，要非常清楚地表示出一倍數，當畫幾倍數的時候，就要很清楚地表示出有這樣的幾個。精確的畫圖示范，對于學生有效地建構倍的概念、形成倍這個知識的正確表象，具有非常重要的作用。當然，教師也不能為了畫圖而畫圖，把畫圖停留在表象上，而是要深入地揭示數學的本質，挖掘知識的內涵和外延。

2.教給作圖技巧

小學生學會獨立畫圖有一定的難度，但是讓他們學會一些基本的畫圖技能，對于數學的學習非常重要。因此，教師要結合教學的內容和數學學科的一些特點，教給學生一些作圖技巧。如畫線段圖時，幾個對比的量用不同的線段來表示；互相包含的量可以畫一條線段；去掉的部分可以用斜線畫去，但不要擦掉，這樣便于對比和還原。畫圖時，一般要按問題陳述的順序，題中先說什么，就先畫什么，要在圖中依次表示出所有的條件，還要標清問題。不是規定的作圖題，可畫草圖，但要能看得清楚。這樣的畫圖技巧，對于學生今后畫圖水平的提高和運用畫圖技能解決實際問題非常有用。

（三）豐富畫圖形式，積累經驗

學生可以根據自己的需要畫出不同的圖來幫助自己分析、理解數量關系，解決實際問題。因此，教師應鼓勵學生運用多種圖的形式分析和解決問題。在這個過程中要遵循這樣一個原則，即能把數量關系最清晰、最直接地表示出來的圖形，就是最佳的選擇。

如一位教師在教學“分數的意義”一課時，讓學生畫出你心目中的四分之一。學生根據自己的經驗和理解，用了各種不同的素材畫下了心目中的四分之一。有的學生畫了一個圓平均分成了4份，取其中的一份；有的學生畫了4顆星，平均分成了4份，取其中的一份；還有人寫了一句話，共12個字，把12個字平均分成了4份，取了其中一份（3個字）……總之，表現的形式各式各樣，但在課堂上師生共同評議總結得出了共同的特征：都是把單位“1”平均分成了4份，取了其中的一份，本質是一樣的……

用畫圖的方法表征數學的形式很多很多，教師在教學的時候要盡可能地拓寬教學的內容，提供開放的教學素材，從源頭上豐富學生畫圖的形式，讓學生用各種不同的畫圖形式來進行表示。在這樣實實在在的畫圖訓練中，積累經驗，提高畫圖的實際水平。當然，“畫圖策略”的能力訓練需要教師從學生一年級起就引起重視，長抓不懈。

（四）評議畫圖呈現，滲透思想

在學生根據題意畫好圖后，還要引導學生對所畫的圖進行觀察思考，讓學生體驗畫圖“化抽象為直觀”“化模糊為清晰”的價值。最后，通過回顧解題過程，說說開始解題時有什么困難，后來依靠什么辦法弄清題意并解決問題的。引導他們感知畫圖法的優勢，并表揚自覺運用畫圖方法的學生。在教師反復強調中，學生在“運用―回顧―反思―再運用―總結”中，逐步形成自覺運用的意識，從而使“畫圖”內化成一種解決問題的策略。

教師在培養學生利用畫圖策略解決實際問題的過程中應有意識地滲透數學思想，如轉換思想、對應思想、歸納思想、化歸思想、類比思想等，從而培養和發展學生的數學能力。學生把圖畫好后，師生評議時教師要有意識地選擇一些較好的滲透數學思想的圖，給全體同學一個示范。

二、著眼于空間觀念的提升

空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化。教學中可著眼于幾何模型、幾何畫板、多媒體等直觀教學方式的運用來提升學生的空間觀念。

（一）培養學生的直覺思維

直覺思維是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式，在看到題目的條件或題里的圖形，能很快說出它的特點、隱藏的意思等。

它在數學學習中有其他思維不可替代的優點。這就要求教師轉變教學觀念，把主動權交給學生，對于學生大膽的設想給予充分的肯定，對于其合理的成分及時給予鼓勵、愛護。

（二）重視學生的直觀操作

空間觀念的發展依賴于學生的實踐操作活動，在教學中應設計一定的實踐操作活動，以發展學生的空間觀念。教學中教師要組織學生開展觀察、操作、猜測、想象。觀察和操作是產生猜想的條件，也是驗證猜想的手段，一定要予以足夠的重視。

如教學“長方形和正方形”一課時，筆者給學生充分的操作時間和空間，驗證長方形兩組對邊分別相等，正方形的四條邊都相等。展示時，先讓學生演示量的方法，再演示折的方法，折紙，需要有空間想象力，特別是通過“折紙”證明正方形四條邊都相等，筆者特別要求全班同學都動手經歷這種驗證方法。之后，又讓學生用長方形折一個最大的正方形……實踐證明，學生通過直觀操作，對長方形的特征有了深刻的認識，對后續學習收到較好的效果。

（三）設計有效的想象活動

利用學生已有的生活經驗，設計恰當的教學情境，激發學生學習幾何的興趣。通過學生放眼看、動手做、動口說、動腦想，發展學生的合情推理能力，培養學生的空間想象能力。

如在復習“長方體和正方體的表面積和體積”一課時，筆者先是提供給學生六個面，讓學生想象著求這個長方體的體積，依次慢慢地減少，逐漸變成5個、4個、3個、2個面，讓學生想象著求體積，最后到一個面，學生還要想象它的高可能是多少。這樣的想象活動，既很好地檢查了學生的知識掌握情況，又很好地培養和發展了學生的空間觀念。

三、著眼于“數形結合”的運用

在小學數學學科里，有很多重要的數學內容都既有“數的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面同時認識它們，才能很好地理解、掌握它們的本質意義。數形結合是貫穿于數學教學的一條主線，使數學在實踐中的應用更加廣泛和深遠。一方面，借助于圖形的性質許多抽象的數學概念和數學關系變得形象化、簡單化，給人以直觀感；另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，可以獲得準確的結論?！皵怠焙汀靶巍钡男畔⑥D化、相互滲透，不僅使解題簡潔明快，還開拓解題思路，也只有這樣，才能讓這些內容變得形象、生動起來，變得更容易使學生接受并運用它們去思考問題，形成幾何直觀能力。

（一）計算教學：實現數形間的合理轉化

在計算教學中，往往單純的計算無法激起學生的挑戰欲，教師可以提供給學生一些材料，鼓勵學生思考。如下圖，在教學乘法口訣后，教師出示一個小三角形表示5，那么大三角形表示（）。學生要先思考大三角形里有幾個小三角形，再用口訣算出結果。這樣的設計“數中有形、形中有數”，很好地實現了數形間的合理轉化。

（二）概念教學：突出數形間的直觀感知

學生在學習了概念后，往往只會機械記憶。比如，學習了100以內的數后，學生會數。但如果要解決66離70近還是離60近這個問題，很多學生就不能很快地找到。但如果教學時給學生一根數軸，看看每個數在數軸上的位置，就能有效地避免這個問題。

（三）解決問題教學：借助數形化抽象為直觀

在應用轉化策略解決問題的同時，巧妙借助幾何直觀，把復雜的計算問題轉化成簡單的計算問題，可以培養學生初步的幾何直觀能力。教師要引導學生思考：為什么喜歡用畫直觀圖的方法？使學生體會到數與形的完美結合，可以幫助我們將復雜的計算問題轉化成簡單的算式進行計算。

總之，借助幾何直觀可以使復雜的問題簡單化，隱蔽的問題明朗化，抽象的問題直觀化。幾何直觀不僅在“圖形與幾何“的學習中發揮著不可替代的作用，并且貫穿在整個小學數學學習過程中。

（浙江省臨海市白水洋鎮中心校 317031）