第一篇：曲線積分與曲面積分重點(diǎn)總結(jié)+例題
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
第十章
曲線積分與曲面積分
【教學(xué)目標(biāo)與要求】
1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2.掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。
3.熟練掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。4.了解第一類曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握計(jì)算第一類曲面積分的方法。
【教學(xué)重點(diǎn)】
1.兩類曲線積分的計(jì)算方法； 2.格林公式及其應(yīng)用；
3.第一類曲面積分的計(jì)算方法；
【教學(xué)難點(diǎn)】
1.兩類曲線積分的關(guān)系及第一類曲面積分的關(guān)系； 2.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算； 3.應(yīng)用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分； 6.兩類曲線積分的計(jì)算方法；
7.格林公式及其應(yīng)用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分；
【參考書】
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
§11.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分
一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)
曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上? 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長(zhǎng))?
任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質(zhì)量的近似值?(?i ? ?i)?si?
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曲線積分與曲面積分
整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M???(?i,?i)?si?
i?1n
令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為
M?lim??(?i,?i)?si?
??0i?1n
這種和的極限在研究其它問(wèn)題時(shí)也會(huì)遇到?
定義
設(shè)函數(shù)f(x? y)定義在可求長(zhǎng)度的曲線L上? 并且有界?，將L任意分成n個(gè)弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長(zhǎng)? 在每一弧段?si上任取一點(diǎn)(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si? 令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此i?1n極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作
?Lf(x,y)ds? 即
n
lim?f(?i,?i)?si?
?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?
曲線積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)? 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分?Lf(x,y)ds是存在的?
以后我們總假定f(x? y)在L上是連續(xù)的?
根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分中?(x? y)為線密度?
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣?
?L?(x,y)ds的值? 其
lim?f(?i,?i,?i)?si?
??f(x,y,z)ds???0i?1n
如果L(或?)是分段光滑的? 則規(guī)定函數(shù)在L(或?)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規(guī)定
?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?
L1L
2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數(shù)f(x? y)在閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作
?Lf(x,y)ds?
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曲線積分與曲面積分
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)?
性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則
?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?
性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則
?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?
2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x? y)?g(x? y)? 則
特別地? 有
|?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?
?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds
二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法
根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義? 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 ?Lf(x,y)ds?
x??(t)? y??(t)(??t??)?
另一方面? 若曲線L的參數(shù)方程為 則質(zhì)量元素為
f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質(zhì)量為
即
??2(t)???2(t)dt?
???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
???L
定理 設(shè)f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)? L的參數(shù)方程為 x??(t)? y??(t)(??t??)?
其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分在? 且
應(yīng)注意的問(wèn)題? 定積分的下限?一定要小于上限??
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?Lf(x,y)ds存?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?
??高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
討論?
(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?
ab
(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[?(y),y]??2(y)?1dy?
cd
(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?
則??f(x,y,z)ds??
提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?
??
例1 計(jì)算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點(diǎn)O(0? 0)與點(diǎn)B(1? 1)之間的一段弧?
解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此
?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?
001
2例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為??1)?
解 取坐標(biāo)系如圖所示? 則I??Ly2ds?
曲線L的參數(shù)方程為
x?Rcos?? y?Rsin?(????
于是
I??Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?
???
?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)? 3?
例3 計(jì)算曲線積分??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2?的一段弧?
解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且
ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?
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曲線積分與曲面積分
于是
?22z2)ds??2??(x?y?0(a2?k2t2)a2?k2dt
?23?a2?k2(3a2?4?2k2)?
小結(jié)
用曲線積分解決問(wèn)題的步驟?
(1)建立曲線積分?
(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)? 確定參數(shù)的變化范圍?
(3)將曲線積分化為定積分?
(4)計(jì)算定積分?
教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題
在教學(xué)過(guò)程中要注意曲線積分解決問(wèn)題的步驟，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動(dòng)設(shè)計(jì)
1.已知橢圓L:x2y2??1周長(zhǎng)為a，求?(2xy?3x2?4y243)ds。L2.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線r?a,??0及???4所圍成區(qū)域的邊界，I??ex2?y2ds
C講課提綱、板書設(shè)計(jì)
作業(yè) P190: 3（1）（3）（5）（7）
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§11? 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分
一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)
變力沿曲線所作的功?
設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B? 試求變力F(x? y)所作的功?
用曲線L上的點(diǎn)A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個(gè)小弧段?
設(shè)Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長(zhǎng)度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則
AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?
???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為
F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功
W??從而
W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?
L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(diǎn)(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?
把L分成n個(gè)小弧段? L1?
L2? ? ? ??
Ln?變力在Li上所作的功近似為?
F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?
變力在L上所作的功近似為?
n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?
k?1?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1nn
變力在L上所作的功的精確值?
W?lim ??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
其中?是各小弧段長(zhǎng)度的最大值?
提示?
用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量? 用?si表示?si的模?
對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義?
定義 設(shè)函數(shù)f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個(gè)有向小弧段L1?
L2? ? ? ??
Ln? 小弧段Li的起點(diǎn)為(xi?1? yi?1)? 終點(diǎn)為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為L(zhǎng)i上任意一點(diǎn)? ?為各小弧段長(zhǎng)度的最大值?
如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)i?1nx的曲線積分? 記作
lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx? 即?Lf(x,y)dx???0i?1n
設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?
如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?
?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?
前者稱為函數(shù)P(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分? 后者稱為函數(shù)Q(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分? 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分?
定義的推廣?
設(shè)?為空間內(nèi)一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(diǎn)(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)
??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?
??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?
nnlim?f(?i,?i,?i)?xi? ?f(x,y,z)dy?lim?f(?i,?i,?i)?yi?
?Lf(x,y,z)dx??L?0??0i?1i?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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曲線積分與曲面積分
lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫形式?
n?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?
?對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)?
(1)如果把L分成L1和L2? 則
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
2(2)設(shè)L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則
??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
兩類曲線積分之間的關(guān)系?
設(shè){cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?
lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n
?lim??0?f(?i,?i)cos?i?si??Lf(x,y)cos?ds?
i?1nn
lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?
i?1n即
?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?
?LA?dr??LA?tds?
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其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?
類似地有
或
??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?
??A?dr???A?tds???Atds?
其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(diǎn)(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?
二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算?
定理? 設(shè)P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線L? x??(t)? y??(t)? 上的連續(xù)函數(shù)? 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由?變到?時(shí)? 點(diǎn)M(x? y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B? 則
??L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
?Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?
??討論?
提示?
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？
???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?
定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線 L?
x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續(xù)函數(shù)? L的方向與t的增加方向一致? 則
??LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
?
簡(jiǎn)要證明? 不妨設(shè)???? 對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}?
所以
cos????(t)?
22??(t)???(t)從而
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds
????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt
??2(t)???2(t)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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曲線積分與曲面積分
?
?應(yīng)注意的問(wèn)題? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
下限a對(duì)應(yīng)于L的起點(diǎn)? 上限? 對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn)? ?不一定小于? ?
討論?
若空間曲線?由參數(shù)方程x??t)? y =?(t)? z??(t)給出? 那么曲線積分
如何計(jì)算？提示?
???P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
? ?{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt? ?其中?對(duì)應(yīng)于?的起點(diǎn)? ?對(duì)應(yīng)于?的終點(diǎn)?
例題?
例1?計(jì)算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點(diǎn)A(1? ?1)到點(diǎn)B(1? 1)的一段弧?
2例2? 計(jì)算?Ly2dx?
(1)L為按逆時(shí)針?lè)较蚶@行的上半圓周x2+y2=a2 ?
(2)從點(diǎn)A(a? 0)沿x軸到點(diǎn)B(?a?
0)的直線段?
例3 計(jì)算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?
例4? 計(jì)算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點(diǎn)A(3? 2? 1)到點(diǎn)B(0? 0? 0)的直線段AB?
例5? 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比? F
x2?y2?1的方向恒指向原點(diǎn)?
此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a? 0)沿橢圓2按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?
小結(jié)
1.第二類曲線積分的定義；
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
2.第二類曲線積分的計(jì)算方法。
教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題
在教學(xué)過(guò)程中要注意第二類曲線積分的定義和計(jì)算方法，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動(dòng)設(shè)計(jì)
1.已知?為折線ABCOA，計(jì)算I?dx?dy?ydz
??講課提綱、板書設(shè)計(jì) 作業(yè) P200: 3（1）（3）（5）（7），4
§11?3 格林公式及其應(yīng)用
一、格林公式
單連通與復(fù)連通區(qū)域?
設(shè)D為平面區(qū)域? 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D?
則稱D為平面單連通區(qū)域? 否則稱為復(fù)連通區(qū)域?
對(duì)平面區(qū)域D的邊界曲線L? 我們規(guī)定L的正向如下? 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)? D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊?
區(qū)域D的邊界曲線L的方向?
定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?
L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?
簡(jiǎn)要證明? 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明?
設(shè)D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因?yàn)?/p>
?P連續(xù)? 所以由二重積分的計(jì)算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?
21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有
?Pdx??Pdx??Pdx??P[x,?1(x)]dx??P[x,?2(x)]dx
LL1L2abba
?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
?ab高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
因此
??Pdxdy?Pdx?
???y?LD
設(shè)D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證
?Q???xdxdy??LQdx?
D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時(shí)成立? 兩式合并即得
??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?
???L?x?y?D?
應(yīng)注意的問(wèn)題?
對(duì)復(fù)連通區(qū)域D? 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來(lái)說(shuō)都是正向?
設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng)? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得
21xdy?ydx? dxdy?xdy?ydx? 或A?dxdy????L???L2DD
例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?
分析?
只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?
?x?y?x?yDD
例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明
?L2xydx?x2dy?0?
??e?ydxdy? 其中D是以O(shè)(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域?
D
2例3? 計(jì)算
分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?
?x?y
例4 計(jì)算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線?
L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
?y?Qy2?x2?Px2
2解? 令P?2? Q?2? 則當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈? 當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Lx2?y2?0?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1? 應(yīng)用格林公式得
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針?lè)较?
于是
2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydx?d??2?? ? 2?Lx2?y2?lx2?y2?0r記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?
D?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2
二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件
曲線積分與路徑無(wú)關(guān)?
設(shè)G是一個(gè)開(kāi)區(qū)域? P(x? y)、Q(x? y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L
1、L 2? 等式
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy
12恒成立? 就說(shuō)曲線積分
設(shè)曲線積分的曲線? 則有
?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)? 否則說(shuō)與路徑有關(guān)?
1和?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)? L
L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
12高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
因?yàn)?/p>
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0
121
2??LPdx?Qdy??L1?2Pdx?Qdy?0??L1?(L2?)Pdx?Qdy?0?
所以有以下結(jié)論?
曲線積分?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意
?LPdx?Qdy等于零? 閉曲線C的曲線積分
定理2 設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則曲線積分?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）
?P??Q ?y?x的充分必要條件是等式
在G內(nèi)恒成立?
充分性易證?
若?P??Q? 則?Q??P?0? 由格林公式? 對(duì)任意閉曲線L? 有
?y?x?x?y
??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0?
?L????x?y?D?
必要性?
假設(shè)存在一點(diǎn)M0?G? 使?Q?P?Q?P????0? 不妨設(shè)?>0? 則由?的連續(xù)性? 存在?x?y?x?y?Q?P???? 于是沿鄰域U(M0, ?)邊界l 的?x?y2M0的一個(gè)? 鄰域U(M0, ?)? 使在此鄰域內(nèi)有閉曲線積分
?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0?
?x?y2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
這與閉曲線積分為零相矛盾? 因此在G內(nèi) 應(yīng)注意的問(wèn)題?
?Q?P??0?
?x?y
定理要求? 區(qū)域G是單連通區(qū)域? 且函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?
如果這兩個(gè)條件之一不能滿足? 那么定理的結(jié)論不能保證成立?
破壞函數(shù)P、Q及?P?Q、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)?
?y?x
例5 計(jì)算?L2xydx?x2dy? 其中L為拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?
解? 因?yàn)?P??Q?2x在整個(gè)xOy面內(nèi)都成立?
?y?x所以在整個(gè)xOy面內(nèi)? 積分
?L2xydx?x2dy與路徑無(wú)關(guān)?
?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy
?12dy?1? ?01討論?
設(shè)L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線? L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较? 問(wèn)xdy?ydx?Lx2?y2?0是否一定成立？
?yx在點(diǎn)(0? 0)不連續(xù)?
Q?和x2?y2x2?y2提示? 這里P??Qy2?x2?P因?yàn)楫?dāng)x?y?0時(shí)? ? 所以如果(0? 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi)? 則結(jié)論???x(x2?y2)2?y22成立? 而當(dāng)(0? 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí)? 結(jié)論未必成立?三、二元函數(shù)的全微分求積
曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)? 表明曲線積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0? y0)與終點(diǎn)(x? y)有關(guān)?
如果
(x,y)?LPdx?Qdy與路徑無(wú)關(guān)? 則把它記為?(x0,y0)Pdx?Qdy
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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曲線積分與曲面積分
(x,y)
即 ?L0Pdx?Qdy??(x0,y0)Pdx?Qdy?
若起點(diǎn)(x0? y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn)? 終點(diǎn)(x? y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)? 則
u(x? y)??(x,y)Pdx?Qdy
0(x,y)為G內(nèi)的的函數(shù)?
二元函數(shù)u(x? y)的全微分為du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy?
表達(dá)式P(x? y)dx+Q(x? y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)? 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分? 那么在什么條件下表達(dá)式P(x? y)dx+Q(x? y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x? y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？
定理3 設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x? y)的全微分的充分必要條件是等式
?P??Q ?y?x在G內(nèi)恒成立?
簡(jiǎn)要證明?
必要性? 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x? y)? 使得du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy?
則有 ?P??(?u)??2u? ?Q??(?u)??2u? 因?yàn)?2u??P、?2u??Q連續(xù)?
?y?y?x?x?y?x?x?y?y?x?x?y?y?y?x?x22?Q?u??u?
即?P?所以?
?y?x?x?y?y?x
充分性? 因?yàn)樵贕內(nèi)?P??Q? 所以積分P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)?
?L?y?x在G內(nèi)從點(diǎn)(x0? y0)到點(diǎn)(x? y)的曲線積分可表示為 u(x? y)?因?yàn)?/p>
u(x? y)?
?所以
y?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
00(x,y)?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy
00(x,y)?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?
00x?u??yQ(x,y)dy??xP(x,y)dx?P(x,y)? 0?x?x?y0?x?x0高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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曲線積分與曲面積分
類似地有數(shù)的全微分? ?u?Q(x,y)? 從而du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某一函?y
求原函數(shù)的公式?
u(x,y)?
u(x,y)?
u(x,y)?
例6 驗(yàn)證?數(shù)?
解? 這里P??(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
00(x,y)?xx0P(x,y0)dx??Q(x,y)dy?
y0x0y?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?
0yxdy?ydx在右半平面(x>0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分? 并求出一個(gè)這樣的函x2?y2?yx?
Q??
x2?y2x2?y
2因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且有
?Qy2?x2?P
?
???x(x2?y2)2?y所以在右半平面內(nèi)? xdy?ydx是某個(gè)函數(shù)的全微分?
22x?y
取積分路線為從A(1? 0)到B(x? 0)再到C(x? y)的折線? 則所求函數(shù)為
u(x,y)??(1, 0)(x,y)yxdyxdy?ydxy?0??
?arctan?0x2?y2x2?y2x問(wèn)? 為什么(x0? y0)不取(0? 0)?
例7 驗(yàn)證? 在整個(gè)xOy面內(nèi)? xy2dx?x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分? 并求出一個(gè)這樣的函數(shù)?
解
這里P?xy2? Q?x2y?
因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且有
?Q?2xy??P?
?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
所以在整個(gè)xOy面內(nèi)? xy2dx?x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分?
取積分路線為從O(0? 0)到A(x? 0)再到B(x? y)的折線? 則所求函數(shù)為
u(x,y)?(x,y)yy?(0, 0)xydx?xydy?0??0x222ydy?x2?0x2y2ydy??
2思考與練習(xí)?
1?在單連通區(qū)域G內(nèi)? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且恒有
?Q?P?? 那么 ?x?y(1)在G內(nèi)的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無(wú)關(guān)? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?
?Q?P?? ?x?y(2)在G內(nèi)的閉曲線積分(3)在G內(nèi)P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數(shù)u(x? y)的全微分?
2?在區(qū)域G內(nèi)除M0點(diǎn)外? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且恒有G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域? 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無(wú)關(guān)? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分(3)在G 1內(nèi)P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數(shù)u(x? y)的全微分?
3? 在單連通區(qū)域G內(nèi)? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)? ?P??Q? 但?Q??P非常簡(jiǎn)單? 那么 ?y?x?x?y(1)如何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分?(2)如何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分?(3)計(jì)算?L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy? 其中L為逆時(shí)針?lè)较虻?/p>
上半圓周(x?a)2?y2?a 2? y?0?
小結(jié)
Pdx?Qdy?1.格林公式 L
2.格林公式中的等價(jià)條件。???Q?P???D???x??y??dxdy??教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
在教學(xué)過(guò)程中要注意格林公式和其中的等價(jià)條件，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動(dòng)設(shè)計(jì)
講課提綱、板書設(shè)計(jì)
作業(yè) P214: 2(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)
§11? 4 對(duì)面積的曲面積分
一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)
物質(zhì)曲面的質(zhì)量問(wèn)題? 設(shè)?為面密度非均勻的物質(zhì)曲面? 其面密度為?(x? y? z)? 求其質(zhì)量?
把曲面分成n個(gè)小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)?求質(zhì)量的近似值?
??(?i,?i,?i)?Sii?1nn((?i? ?i? ?i)是?Si上任意一點(diǎn))? 取極限求精確值?
M?lim??(?i,?i,?i)?Si(?為各小塊曲面直徑的最大值)?
??0i?
1定義
設(shè)曲面?是光滑的? 函數(shù)f(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)? 在?Si上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值??0時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?Si總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在曲面?上對(duì)??0i?1n面積的曲面積分或第一類曲面積分? 記作n??f(x,y,z)dS? 即
?
lim?f(?i,?i,?i)?Si? ??f(x,y,z)dS???0i?1?其中f(x? y? z)叫做被積函數(shù)? ?叫做積分曲面?
對(duì)面積的曲面積分的存在性?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
我們指出當(dāng)f(x? y? z)在光滑曲面?上連續(xù)時(shí)對(duì)面積的曲面積分是存在的? 今后總假定f(x? y? z)在?上連續(xù)?
根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)?(x? y? z)的光滑曲面?的質(zhì)量M可表示為?(x? y? z)在?上對(duì)面積的曲面積分?
M???f(x,y,z)dS
?如果?是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在?上對(duì)面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的
各片曲面上對(duì)面積的曲面積分之和? 例如設(shè)?可分成兩片光滑曲面?1及?2(記作???1??2)就規(guī)定
?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
?1?
2對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)?
(1)設(shè)c
1、c 2為常數(shù)? 則
??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS?
???
(2)若曲面?可分成兩片光滑曲面?1及?2? 則
??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
??1?
2(3)設(shè)在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 則
(4)??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS?
????dS?A? 其中A為曲面?的面積?
?
二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算
面密度為f(x? y? z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為M?lim?f(?i,?i,?i)?Si???0i?1n??f(x,y,z)dS?
?另一方面? 如果?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 ? 那么 曲面的面積元素為
2dA?1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
質(zhì)量元素為
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
2f[x,y,z(x,y)]dA?f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
根據(jù)元素法? 曲面的質(zhì)量為
M?y(x,y)dxdy?
??f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2D因此
y(x,y)dxdy?
??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?D
化曲面積分為二重積分? 設(shè)曲面?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy? 函數(shù)z?z(x? y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 被積函數(shù)f(x? y? z)在?上連續(xù)? 則
y(x,y)dxdy?
??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?Dxy
如果積分曲面?的方程為y?y(z? x)? Dzx為?在zOx面上的投影區(qū)域? 則函數(shù)f(x? y? z)在?上對(duì)面積的曲面積分為
??f(x,y,z)dS???f[x,y(z,x),z]?Dzx221?yz(z,x)?yx(z,x)dzdx?
如果積分曲面?的方程為x?x(y? z)? Dyz為?在yOz面上的投影區(qū)域? 則函數(shù)f(x? y? z)在?上對(duì)面積的曲面積分為
22f(x,y,z)dS?f[x(y,z),y,z]1?x(y,z)?x(y,z)dydz? yz?????Dyz
例1 計(jì)算曲面積分1dS? 其中?是球面x2?y2?z2?a2被平面 ??z?z?h(0?h?a)截出的頂部?
解 ?的方程為z?a2?x2?y2? Dxy ?
x2?y2?a2?h2?
因?yàn)?/p>
zx??y?x? zy??
222222a?x?ya?x?yadxdy?
222a?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 dS?1?zx?z2ydxdy? 高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
所以
1dS?a??z??a2?x2?y2dxdy
?Dxy
?a提示? ?02?d??a2?h20rdr1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna?
?2?a[?0a2?r2h221?zx?z2y2y2xa?1?222?222??
222a?x?ya?x?ya?x?y
例2 計(jì)算邊界曲面?
??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所圍成的四面體的整個(gè)?
解 整個(gè)邊界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次記為?
1、?
2、?3及?4? 于是
??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS
??1?2?3??0?0?0???xyzdS????43xy(1?x?y)dxdy
1Dxy
?3xdx提示? ?4? z?1?x?y? ?021?01?x(1?x)3dx?3?
y(1?x?y)dy?3?x?06120
dS?1?z?
y3dxd?yx?z?ydxd?2小結(jié)
1.對(duì)面積的曲面積分的定義和計(jì)算
2.格林公式中的等價(jià)條件。
教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題
在教學(xué)過(guò)程中要注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式，簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動(dòng)設(shè)計(jì)
課后習(xí)題：1，3，7 講課提綱、板書設(shè)計(jì)
作業(yè) P218: 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
第二篇：曲線、曲面積分方法小結(jié)
求曲線、曲面積分的方法與技巧
一.曲線積分的計(jì)算方法與技巧
計(jì)算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件通過(guò)改變積分路徑進(jìn)行計(jì)算、利用全微分公式通過(guò)求原函數(shù)進(jìn)行計(jì)算等方法。
例一．計(jì)算曲線積分?ydx?xdy,其中L是圓x2?y2?2x(y?0)上從原點(diǎn)
LO(0,0)到A(2,0)的一段弧。
本題以下采用多種方法進(jìn)行計(jì)算。
??1?x?x?x,L由O?A,x由0?2,dy?dx.解1：OA的方程為?22?2x?x?y?2x?x,2?[2x?x?ydx?xdy??2x(1?x)2x?x202L0]dx
?x2x?x220??x(1?x)2x?x2dx??2x(1?x)2x?x20dx
?24?4?0?0.分析：解1是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進(jìn)行計(jì)算的，選用的參變量為x.因所求的積分為第二類曲線積分，曲線是有方向的，在這種解法中應(yīng)注意參變量積分限的選定，應(yīng)選用對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。
?解2：在弧OA上取B(1,1)點(diǎn)，??y?y?y,L由O?B,y由0?1,dx?OB的方程為?dy.22?1?y?x?1?1?y,??y?y?y,L由B?A,y由1?0,dx??BA的方程為?dy.22?1?y?x?1?1?y,?ydx?xdy??(L01y21?y2?1?1?y)dy??(?120y21?y2?1?1?y2)dy
?2?10y21?y2dy?2?101?ydy?2?021y21?y2dy?2y1?y210?2?10?y21?y2dy
??2(1?1?0)?0.分析：解2是選用參變量為y,利用變量參數(shù)化直接計(jì)算所求曲線積分的，在方法類型上與解1相同。不同的是以y為參數(shù)時(shí)，路徑L不能用一個(gè)方程表示，因此原曲線積分需分成兩部分進(jìn)行計(jì)算，在每一部分的計(jì)算中都需選用在該部分中參數(shù)的起始值作為定積分的下限。
?解3：OA的參數(shù)方程為x?1?cos?,y?sin?,L由O?B?A,?由??0，dx??sin?d?,dy?cos?d?.?ydx?xdy???[?sin??(1?cos?)cos?]d???20?L0[?cos??cos2?]d?
?1?(?sin??sin2?)0?0.2?解4：OA的極坐標(biāo)方程為r?2cos?,因此參數(shù)方程為
x?rcos??2cos2?,dy?rsin??2sin?cos?,L由O?B?A,?由dx??4sin?cos?d?,dy?2(cos2??sin2?)d?.22222?[?8sin?cos??4cos?(cos??sin?)]d?ydx?xdy???0?2?0，L21?31??4?2[3cos2??4cos4?]d??4(3???4???)?0.022422 ?分析：解3和解4仍然是通過(guò)采用變量參數(shù)化直接計(jì)算的?？梢?jiàn)一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的，采用不同的參數(shù)，轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的，但都需用對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。
解5：添加輔助線段AO，利用格林公式求解。因P?y,Q?x,?Q?P??1?1?0,于是 ?x?yL?AO?ydx?xdy????0dxdy，D而AO?ydx?xdy??0dx?0, 2 故得?ydx?xdy?LL?AO??AO??0.分析：在利用格林公式?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???(LD?Q?P?)dxdy將所求曲線?x?y積分轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算時(shí)，當(dāng)所求曲線積分的路徑非封閉曲線時(shí)，需添加輔助曲線,采用“補(bǔ)路封閉法”進(jìn)行計(jì)算再減去補(bǔ)路上的積分，但P,Q必須在補(bǔ)路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。L是D的正向邊界曲線。解5中添加了輔助線段AO,使曲線L?AO為正向封閉曲線。
解6：由于P?y,Q?x,?Q?P??1,于是此積分與路徑無(wú)關(guān)，故 ?x?y(2,0)(0,0)?ydx?xdy?LOA?ydx?xdy??ydx?xdy??0dx?0.02
?Q?P?,?x?y分析：由于P,Q在閉區(qū)域D上應(yīng)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在D內(nèi)因此所求積分只與積分路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，因此可改變?cè)贚上的積分為在OA上積分，注意O點(diǎn)對(duì)應(yīng)L的起點(diǎn)。一般選用與坐標(biāo)軸平行的折線段作為新的積分路徑，可使原積分得到簡(jiǎn)化。
解7：由全微分公式y(tǒng)dx?xdy?d(xy)，?ydx?xdy??L(2,0)(0,0)d(xy)?xy(2,0)(0,0)?0.分析：此解根據(jù)被積表達(dá)式的特征，用湊全微分法直接求出。例二．計(jì)算曲線積分?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中C是曲線
C?x2?y2?1,從z軸正向往z軸負(fù)向看C的方向是順時(shí)針的。??x?y?z?2,解1：設(shè)?表示平面x?y?z?2上以曲線L為邊界的曲面，其中?的正側(cè)與L的正向一致，即?是下側(cè)曲面，?在xoy面上的投影區(qū)域Dxy：x2?y2?1.由斯托克斯公式
dydzdzdxdxdy???(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz ?????x?y?zC?z?yx?zx?y ?2??dxdy??2??dxdy??2?.?Dxy解2：利用兩類曲面積分間的聯(lián)系，所求曲線積分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出
cos?cos?cos????(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz?dS ????x?y?zC?z?yx?zx?y???(0?0?2cos?)dS，?而平面?：x?y?z?2的法向量向下，故取n?{?1,1,?1},cos??于是上式??13,?23??dS???23x2?y2?1??1?(?1)2?1dxdy??2?.分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積
dydzdzdxdxdy???分計(jì)算的。在利用斯托克斯公式????Pdx?Qdy?Rdz計(jì)算時(shí)
?x?y?z?LPQR首先應(yīng)驗(yàn)證函數(shù)P,Q,R在曲面?連同邊界L上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且L的正向與?的側(cè)符合右手規(guī)則。在計(jì)算空間曲線積分時(shí)，此法也是常用的。
解3：將積分曲線用參數(shù)方程表示，將此曲線積分化為定積分。設(shè)x?cos?,y?sin?,則z?2?x?y?2?cos??sin?,?從2??0.C?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz
??[(2?cos?)(?sin?)?(2cos??2?sin?)cos??
2?0(cos??sin?)(sin??cos?)]d?
??[2(sin??cos?)?2cos2??cos2?]d?
02???[2sin??1?cos2?]d???2?.02??x2?y2?z2?R2,例三．計(jì)算?(x?y?2z)ds,其中?為曲線??x?y?z?0.?22(1)(2)4 解1：由于當(dāng)積分變量x,y,z輪換位置時(shí)，曲線方程不變，而且第一類曲線積分與弧的方向無(wú)關(guān)，故有
1R2222??xds???yds???zds?3??(x?y?z)ds?3??ds.222由曲線?是球面x2?y2?z2?R2上的大圓周曲線，其長(zhǎng)為2?R.故
??(x2?y2)ds?224R?2?R??R3.33?由于?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由被積函數(shù)為奇函數(shù)，得 ?zds?0.于是
4322(x?y?2z)ds??R.?3?解2：利用在?上，x2?y2?z2?R2，原式??(x2?y2?z2?z2?2z)ds?R2?ds??z2ds?2?zds
????R2再由對(duì)稱性可得?zds?，于是 ?2?R（同解1）
3?2R24?2?R?2?0??R3.上式?R?2?R?332分析：以上解1解2利用對(duì)稱性，簡(jiǎn)化了計(jì)算。在第一類曲線積分的計(jì)算中，當(dāng)積分變量在曲線方程中具有輪換對(duì)稱性（即變量輪換位置，曲線方程不變）時(shí)，采用此法進(jìn)行計(jì)算常常是有效的。
例四．求?(x?1)2ydx?xdy?y2?1上在上半平面內(nèi)從,其中L為橢圓曲線229x?yLA(?2,0)?B(4,0)的弧。
解：添加輔助線 l為x2?y2??2的順時(shí)針?lè)较虻纳习雸A周以及有向線段AC,DB，其中?是足夠小的正數(shù)，使曲線x2?y2??2包含在橢圓曲線(x?1)2?y2?1內(nèi)。由于 9??x?yx2?y2(2，)?(2)?22222?xx?y?yx?y(x?y)由格林公式，有??L??AC????lDB?0.5 設(shè)y??sin?,x??cos?,有
?lydx?xdy??2sin2???2cos2???d???,222x?y??0
再由AC?ydx?xdyydx?xdy?0,?0.于是 2222?x?yx?yDB?Lydx?xdyydx?xdy??.?2222?x?ylx?y分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮被積函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件。由于本題中在(0,0)點(diǎn)附近P?y?x 無(wú)定義，于是采用在橢圓內(nèi)部(0,0)附近挖去一個(gè)小圓，,Q?x2?y2x2?y2使被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上滿足格林公式條件。這種采用挖去一個(gè)小圓的方法是常用的，當(dāng)然在內(nèi)部挖去一個(gè)小橢圓也是可行的。同時(shí)在用格林公式時(shí)，也必須注意邊界曲線取正向。
例五．求八分之一的球面x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度??1.解：設(shè)邊界曲線L在三個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)的弧段分別為L(zhǎng)1,L2,L3,則L的質(zhì)量為
m???ds??ds?3?LL2?R3??R.42設(shè)邊界曲線L的重心為(x,y,z)，則
x?11xds?{?xds??0ds??xds} m?mLL1L2L322R?x??xds??x1?()2dx mL1m0R2?x2?2RR?2R22xdx?R?xm?0mR2?x2R0
2R22R24R???.3m?R3?2由對(duì)稱性可知x?y?z?4R.3? 6 分析：這是一個(gè)第一類曲線積分的應(yīng)用題。在計(jì)算上要注意將曲線L分成三個(gè)部分：L1:y?0,0?x?R,z?R2?x2,L2:z?0,0?x?R,y?R2?x2，L3:x?0,0?y?R,z?R2?y2.另一方面由曲線關(guān)于坐標(biāo)系的對(duì)稱性，利用可x?y?z簡(jiǎn)化計(jì)算。
二.曲面積分的計(jì)算方法與技巧
計(jì)算曲面積分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三換”的法則，將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投，二代，三定號(hào)”的法則將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分，利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域上的三重積分等。
例六．計(jì)算曲面積分??zdS,其中?為錐面z?x2?y2在柱體x2?y2?2x內(nèi)
?的部分。
解：?在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈:x2?y2?2x，曲面?的方程為
z?x2?y2,(x,y)?D.2?22??x2?y2dxdy.因此 ??zdS???x2?y21?(z?x)?(zy)dxdy??DD對(duì)區(qū)域D作極坐標(biāo)變換?域D:??x?rcos?,則該變換將區(qū)域D變成(r,?)坐標(biāo)系中的區(qū)
?y?sin?,?2(r,?)????2,0?r?2cos?,因此
?2cos???Dx2?y2dxdy??2?d???20832r2dr??2?cos3?d??.3?29?分析：以上解是按“一投，二代，三換”的法則，將所給的第一類曲面積分化為二重積分計(jì)算的?！耙煌丁笔侵笇⒎e分曲面?投向使投影面積不為零的坐標(biāo)面。“二代”是指將?的方程先化為投影面上兩個(gè)變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式?！叭龘Q”是指將dS換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素，即dS?1?(?y?y?z2?z)?()2dxdy,或dS?1?()2?()2dzdx,?x?z?x?y或dS?1?(?x2?x2y)?()dxdz.上解中的投影區(qū)域在xOy平面上，因此用代換?x?z7 dS?1?(?z2?z)?()2dxdy,由于投影區(qū)域是圓域，故變換成極坐標(biāo)計(jì)算。?x?y例七．設(shè)半徑為R的球面?的球心在定球面x2?y2?z2?a2(a?0)上，問(wèn)R為何值時(shí)，球面?在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？
解：不妨設(shè)?的球心為(0,0,a)，那么?的方程為x2?y2?(z?a)2?R2,它
2222??x?y?z?a,與定球面的交線為?2即 222??x?y?(z?a)?R,?2R2(4a2?R2)2x?y?,?2?4a ?2?z?a?R.?2a?設(shè)含在定球面內(nèi)部的?上那部分球面?1在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈，那么R2(4a2?R2)D:x?y?,且這部分球面的方程為
4a222z?a?R2?x2?y2,(x,y)?D.則?1的面積為
2?2S???dS???1?(z?x)?(zy)dxdy?R???1DDdxdyR?x?y2222
?R?2?0d??R4a2?R22a0rdrR?r22?2?R(?R?r)2R4a2?R22a0
?2?R2?2a?R.2a2a?R在[0,2a]上的最大值。2a以下只需求函數(shù)S(R)?2?R2?4a4a3R2,且S??()??4??0.由問(wèn))?0,得唯一駐點(diǎn)R?由令S?(R)?2?(2R?332a題的實(shí)際意義知S(R)在R?322a?.274a4a處取得最大值。即R?時(shí)，?1的面積最大，為33分析：本題是第一類曲面積分的應(yīng)用題，在計(jì)算中關(guān)鍵是利用了球面的對(duì)稱性，和確定了含在定球面內(nèi)部的?上那部分球面?1在xOy面上的投影區(qū)域D。在此基礎(chǔ)上，按上題分析中的“一投，二代，三換”的法則即可解得結(jié)果。
例八．計(jì)算曲面積分??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S為有向曲面
Sz?x2?y2(0?z?1), 其法向量與z軸正向的夾角為銳角。解1：設(shè)Dyz,Dxy分別表示S在yoz平面，xoy平面上的投影區(qū)域，則，??(2x?z)dydz?zdxdy
S?Dyz2222?(x?y)dxdy(2z?y?z)(?dydz)?(?2z?y?z)dydz??????DyzDxy??4??z?y2dydz???(x2?y2)dxdy.DyzDxy其中??z?y2dydz??dy?Dyz?111y2412z?ydz??(1?y2)3dy
30?2令y?sint，??Dyz4431??z?ydydz??2cos4tdt?????，30342242又 ??(x2?y2)dxdy??d??r2?rdr?Dxy002?1?2，所以 ??(2x?z)dydz?zdxdy??4?S?4????.22?分析：計(jì)算第二類曲面積分，若是組合型，常按“一投，二代，三定號(hào)”法則將各單一型化為二重積分這里的“一投”是指將積分曲面?投向單一型中已指定的坐標(biāo)面。“二代”是指將?的方程先化為投影面上兩個(gè)變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式?！叭ㄌ?hào)”是指依曲面?的定側(cè)向量，決定二重積分前的“+”，“-”符號(hào)，當(dāng)?的定側(cè)向量指向坐標(biāo)面的上（右，前）方時(shí)，二重積分前面取“+”，反之取“-”。
解2:利用dS?dydzdzdxdxdy??化組合型為單一型.cos?cos?cos???(2x?z)dydz?zdxdy???[(2x?z)SScos??z]dxdy.cos?cos????2x, 因S的法向量與z軸正向的夾角為銳角,取n?{?2x,?2y,1},故有
cos?于是 原式???[(2x?z)(?2x)?z]dxdy
S?因?yàn)閤2?y2?122222[?4x?2x(x?y)?(x?y)]dxdy.??x2?y2?122?2x(x?y)dxdy?0,所以 ??上式?x2?y2?12?0222[?4x?(x?y)]dxdy??
?4?d??(?4r2cos2??r2)rdr??01?2.分析：計(jì)算第二類曲面積分，若是組合型，也可利用公式dS?dydzdzdxdxdy??，先化組合型為統(tǒng)一的單一型，再按“一投，二代，cos?cos?cos?三定號(hào)”法則將單一型化為為二重積分求得。
解3：以S1表示法向量指向z軸負(fù)向的有向平面z?1(x2?y2?1)，D為S1在xoy平面上的投影區(qū)域，則
??(2x?z)dydz?zdxdy???(?dxdy)???.S1D設(shè)?表示由S和S1所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式得
S?S1??(2x?z)dydz?zdxdy?????(2?1)dv
???3?d??rdr?2dz??6??(r?r3)dr
00r02?111r2r413??6?[?]0???.2423?因此 ??(2x?z)dydz?zdxdy????(??)??.22S分析：利用高斯公式??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(???P?Q?R??)dxdydz，?x?y?z可將曲面積分化為三重積分求得。但必需滿足P,Q,R在閉區(qū)域?上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，?是邊界曲面的外側(cè)。本題中的曲面S不是封閉曲面，故添加了S1，使S?S1為封閉曲面，并使S?S1的側(cè)符合高斯公式對(duì)邊界曲面的要求。
例九：計(jì)算曲面積分I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,其中?是由
???z?y?1,1?y?3,曲線?繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與y軸正向的??x?0?夾角恒大于.2?x2?z2?2,解：設(shè)?1:?表示y?3上與y軸正向同側(cè)的曲面，由?和?1所圍?y?3立體記為?.由高斯公式得
???1??x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy????dxdydz，?因此I????dxdydz???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy.??1由于?在xOz面上的投影區(qū)域?yàn)镈:x2?z2?2.注意到?1在xOz面，yOz面上的投影不構(gòu)成區(qū)域，且在?1上y?3,從而?:x2?z2?1?y?3,(x,y)?D，I???(2?x2?z2)dxdz?16??dxdz?18??dxdz???(x2?z2)dxdz
DDDD36??2??34?.分析：?是旋轉(zhuǎn)曲面y?x2?z2?1,1?y?3且指向外側(cè)，在?上補(bǔ)上曲面?x2?z2?2,?1:?指向與y軸正向相同，那么由高斯公式就可將原式化成三重積分y?3?和?1上的曲面積分進(jìn)行計(jì)算。
例十．設(shè)空間區(qū)域?由曲面z?a2?x2?y2與平面z?0圍成，其中a為正常數(shù)。記?表面的外側(cè)為S,?的體積為V,證明
2222xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy?V.??S證明：設(shè)P(x,y,z)?x2yz2, Q(x,y,z)??xy2z2, R(x,y,z)?z(1?xyz),則
?P?R?Q?2xyz2,?1?2xyz.??2xyz2,?x?z?y由高斯公式知
??xS2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy
????(2xyz2?2xyz2?1?2xyz)dv????dv?2???xyzdv
????V?2???xyzdv.????xyzdv???[??x?y?a222a2?x2?y20xyzdz]dxdy?2x?y2?a2??xy(a2?x2?y2)dxdy2 ??2?02?0d??a0r3sin?cos?(a2?r2)2dr，2由于?sin?cos?d??0,則???xyzdv?0,因此
?2222xyzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy?V.??S分析：由于求證的是給定的曲面積分等于某個(gè)區(qū)域的體積值，而高斯公式給出了曲面積分與該曲面包含的區(qū)域上的某個(gè)三重積分間的關(guān)系，考慮到體積值可用相應(yīng)的三重積分表示，故選用高斯公式進(jìn)行證明。
第三篇：數(shù)學(xué)分析 曲面積分
《數(shù)學(xué)分析》教案
第二十二章 曲面積分
教學(xué)目的：1.理解第一、二型曲面積分的有關(guān)概念，并掌握其計(jì)算方法，同時(shí)明確它們的聯(lián)系；2.掌握高斯公式與斯托克斯公式；3.理解有關(guān)場(chǎng)的概念，掌握梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)、旋度場(chǎng)、管理場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng)的性質(zhì)及應(yīng)用。
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是曲面積分的概念、計(jì)算；難點(diǎn)是第二型曲面積分。教學(xué)時(shí)數(shù)：18學(xué)時(shí)
§ 1 第一型曲面積分
一.第一型面積分的定義:
1.幾何體的質(zhì)量: 已知密度函數(shù) , 分析平面區(qū)域、空間幾何體的質(zhì)量定義及計(jì)算 2.曲面的質(zhì)量:
3.第一型面積分的定義: 定義及記法., 面積分
.4.第一型面積分的性質(zhì):
二.第一型面積分的計(jì)算:
1.第一型曲面積分的計(jì)算: Th22.2 設(shè)有光滑曲面 續(xù)函數(shù),則
.為 上的連.例4 計(jì)算積分, 其中 是球面
被平面
所截的頂部.P281
《數(shù)學(xué)分析》教案
D
上的連續(xù)函數(shù), 以 的上側(cè)為正側(cè)(即), 則有
.證 P 類似地, 對(duì)光滑曲面
D., 在其前側(cè)上的積分
對(duì)光滑曲面 D , 在其右側(cè)上的積分
.計(jì)算積分 ，時(shí), 通常分開(kāi)來(lái)計(jì)算三個(gè)積分
,.為此, 分別把曲面 投影到Y(jié)Z平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計(jì)算.投影域的側(cè)由曲面 的定向決定.例1 計(jì)算積分,其中 是球面
在
部分取外側(cè).P287 例2 計(jì)算積分，為球面
取外側(cè).《數(shù)學(xué)分析》教案
對(duì)積分則有
:
;, 分別用
和
記上半球面和下半球面的外側(cè)，:
.因此, =
+ =
.綜上, =
§ 3 Gauss公式和Stokes 公式
.一.Gauss公式:
Th22.6 設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面 圍成.若函數(shù)
在V
上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則
, 其中 取外側(cè).稱上述公式為Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.《數(shù)學(xué)分析》教案
解
.由Gauss公式.例2 計(jì)算積分，其中 是邊
.P291 長(zhǎng)為的正方體V的表面取外側(cè).V : 解 應(yīng)用Gauss公式 , 有
.例1 計(jì)算積分
在平面，為錐面
下方的部分，取外法線方向.解 設(shè) 為圓
取上側(cè) , 則
構(gòu)成由其所圍錐體 V的表面外側(cè) , 由Gauss公式 , 有 =
而
錐體V的體積
;
《數(shù)學(xué)分析》教案
二.Stokes公式:
空間雙側(cè)曲面的正側(cè)與其邊界閉合曲線L正向的匹配關(guān)系: 右手螺旋法則, 即當(dāng)人站在曲面的正側(cè)上, 沿邊界曲線L行走時(shí), 若曲面在左側(cè), 則把人的前進(jìn)方向定為L(zhǎng)的正向.1.Stokes定理:
Th22.7 設(shè)光滑曲面 的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù)、導(dǎo)數(shù) , 則
和
在(連同L)上連續(xù) ,且有一階連續(xù)的偏
.其中 的側(cè)與L的方向按右手法則確定.稱該公式為Stokes公式.證 先證式.具體證明參閱P292.Stokes公式也記為.例5 計(jì)算積分 , 其中 L為平面
與各坐標(biāo)平面的交線, 方向?yàn)? 從平面的上方往下看為逆時(shí)針?lè)较?P294
第四篇：曲線積分與格林公式總結(jié)
一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)
曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上? 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長(zhǎng))?
任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質(zhì)量的近似值?(?i ? ?i)?si?
整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M???(?i,?i)?si?
i?1n
令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為
M?lim??(?i,?i)?si?
??0i?1n
這種和的極限在研究其它問(wèn)題時(shí)也會(huì)遇到?
定義
設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧? 函數(shù)f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一點(diǎn)列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為?si? 又(?i? ?i)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)? 作乘積f(?i? ?i)?si?(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果當(dāng)各小弧
i?1n段的長(zhǎng)度的最大值??0? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)
n的曲線積分或第一類曲線積分? 記作
lim?f(?i,?i)?si?
?Lf(x,y)ds? 即?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?
設(shè)函數(shù)f(x? y)定義在可求長(zhǎng)度的曲線L上? 并且有界?
將L任意分成n個(gè)弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長(zhǎng)?
在每一弧段?si上任取一點(diǎn)(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si?
i?1n
令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作
n?Lf(x,y)ds? 即
lim?f(?i,?i)?si?
?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?
曲線積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)? 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是存在的?
以后我們總假定f(x? y)在L上是連續(xù)的?
?Lf(x,y)ds
根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分
?L?(x,y)ds的值? 其中?(x? y)為線密度?
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣?
lim?f(?i,?i,?i)?si?
??f(x,y,z)ds???0i?1n
如果L(或?)是分段光滑的? 則規(guī)定函數(shù)在L(或?)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規(guī)定
?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?
L1L
2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數(shù)f(x? y)在閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作
?Lf(x,y)ds?
對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)?
性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則
?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?
性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則
?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?
2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x? y)?g(x? y)? 則
?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?
?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds 特別地? 有
|
二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法
根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義? 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為
?Lf(x,y)ds?
x??(t)? y??(t)(??t??)?
另一方面? 若曲線L的參數(shù)方程為 則質(zhì)量元素為
f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質(zhì)量為
即
??2(t)???2(t)dt?
???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
???L
定理 設(shè)f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)? L的參數(shù)方程為
x??(t)? y??(t)(??t??)?
其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分且
?Lf(x,y)ds存在?
?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?
??
證明（略）
應(yīng)注意的問(wèn)題? 定積分的下限?一定要小于上限??
討論?
(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?
ab
(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??cdf[?(y),y]??2(y)?1dy?
(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?
則??f(x,y,z)ds??
提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?
??
例1 計(jì)算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點(diǎn)O(0? 0)與點(diǎn)B(1? 1)之間的一段弧?
解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此
?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?
001
2例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為??1)?
解 取坐標(biāo)系如圖所示? 則I?
曲線L的參數(shù)方程為
x?Rcos?? y?Rsin?(????
于是
I???Ly2ds?
?Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?
??
?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)?
3?
例3 計(jì)算曲線積分
??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2?的一段弧?
解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且
ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?
于是
??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt
02?
?2?a2?k2(3a2?4?2k2)?
3小結(jié)? 用曲線積分解決問(wèn)題的步驟?
(1)建立曲線積分?
(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)? 確定參數(shù)的變化范圍?
(3)將曲線積分化為定積分?
(4)計(jì)算定積分?
§10? 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分
一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)
變力沿曲線所作的功?
設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B? 試求變力F(x? y)所作的功?
用曲線L上的點(diǎn)A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個(gè)小弧段?
設(shè)Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長(zhǎng)度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則
AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?
???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為
F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功
W??從而
W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?
L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(diǎn)(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?
n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?
k?
1把L分成n個(gè)小弧段? L1?
L2? ? ? ??
Ln?
變力在Li上所作的功近似為?
F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?
變力在L上所作的功近似為?
?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1nn
變力在L上所作的功的精確值?
W?lim??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1其中?是各小弧段長(zhǎng)度的最大值?
提示?
用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量? 用?si表示?si的模?
對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義?
定義 設(shè)函數(shù)f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個(gè)有向小弧段L1?
L2? ? ? ??
Ln? 小弧段Li的起點(diǎn)為(xi?1? yi?1)? 終點(diǎn)為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為L(zhǎng)i上任意一點(diǎn)? ?為各小弧段長(zhǎng)度的最大值?
如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數(shù)
i?1n f(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分? 記作
?Lf(x,y)dx? 即
lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx???0i?1
如果極限limn??0?f(?i,?i)?yi總存在? 則稱此極限為函數(shù)
i?1n f(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分? 記作
?Lf(x,y)dy? 即
lim?f(?i,?i)?yi?
?Lf(x,y)dy???0i?1
設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?
如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義
n?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?
?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds? 前者稱為函數(shù)P(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分? 后者稱為函數(shù)Q(x? y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分? 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分?
定義的推廣?
設(shè)?為空間內(nèi)一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(diǎn)(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)
??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?
??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?
nlim?f(?i,?i,?i)?xi?
?Lf(x,y,z)dx???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?yi?
?Lf(x,y,z)dy???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫形式?
nn?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?
?
對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)?
(1)如果把L分成L1和L2? 則
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
2(2)設(shè)L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則
??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
兩類曲線積分之間的關(guān)系?
設(shè){cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?
lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n
?limf(?i,?i)cos?i?si??f(x,y)cos?ds?
?L??0i?1nn
lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?
i?1n即
?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?
?LA?dr??LA?tds? 或
其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?
類似地有
或
??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?
??A?dr???A?tds???Atds?
其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(diǎn)(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?
二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算?
定理? 設(shè)P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線 L? x??(t)? y??(t)?
上的連續(xù)函數(shù)? 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由?變到?時(shí)? 點(diǎn)M(x? y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B? 則
討論? 提示?
??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?
?LQ(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?
???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?
??
定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線
L?
x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續(xù)函數(shù)? L的方向與t的增加方向一致? 則
??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?
簡(jiǎn)要證明? 不妨設(shè)???? 對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}? 所以cos????(t)?
22??(t)???(t)從而
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds
?????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt
??2(t)???2(t)
? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
應(yīng)注意的問(wèn)題?
下限a對(duì)應(yīng)于L的起點(diǎn)? 上限? 對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn)? ?不一定小于? ?
例1?計(jì)算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點(diǎn)A(1? ?1)到點(diǎn)B(1? 1)的一段弧?
2解法一? 以x為參數(shù)? L分為AO和OB兩部分?
AO的方程為y??x? x從1變到0? OB 的方程為y?x? x從0變到1?
因此
?Lxydx??AOxydx??OBxydx
??1x(?10x)dx??xxdx?2?0113x2dx?4? 05
第二種方法? 以y為積分變量? L的方程為x?y2? y從?1變到1? 因此?
22?4xydx?yy(y)dy?2ydy??L??1??1
51例2? 計(jì)算?Ly2dx?
(1)L為按逆時(shí)針?lè)较蚶@行的上半圓周x2+y2=a2 ?
(2)從點(diǎn)A(a? 0)沿x軸到點(diǎn)B(?a?
0)的直線段?
解
(1)L 的參數(shù)方程為 x?a cos?? y?a sin??
?從0變到??
因此
4a3?
22232ydx?asin?(?asin?)d??a(1?cos?)dcos????L?0?032?a??(2)L的方程為y?0? x從a變到?a?
因此
?Lydx??a0dx?0?
2例
3計(jì)算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?
解
(1)L? y?x2? x從0變到1? 所以
?L2xydx?x2dy??(2x?x2?x2?2x)dx?4?x3dx?1?
0021211(2)L? x?y2? y從0變到1? 所以
?L2xydx?xdy??0(2y?y?2y?y)dy?5?y4dy?1 ?
041
(3)OA? y?0? x從0變到1? AB? x?1? y從0變到1?
?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy
?(2x?0?x2?0)dx?(2y?0?1)dy?0?1?1? ?01?01
例4? 計(jì)算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點(diǎn)A(3? 2? 1)到點(diǎn)B(0? 0? 0)的直線段AB?
解? 直線AB的參數(shù)方程為
x?3t? y?2t? x?t?
t從1變到0? 所以 所以
I?87?
3223[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt?87tdt???1?1400
例5? 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比? F
x2?y2?1的方向恒指向原點(diǎn)?
此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a? 0)沿橢圓2按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?
x2?y2?1
例5? 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下從點(diǎn)A(a? 0)沿橢圓2按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)
ab2B(0? b)? F的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比? 方向恒指向原點(diǎn)? 求力F所作的功W?
解? 橢圓的參數(shù)方程為x?acost? y?bsint ? t從0變到? ??
r?OM?xi?yj? F?k?|r|?(?其中k>0是比例常數(shù)?
r)??k(xi?yj)?
|r|?xdx?ydy?
于是
W??? ?kxdx?kydy??k?A ABB
??k
?02(?a2costsint?b2sintcost)dt
????k(a2?b2)02sintcostdt?k(a2?b2)?
三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系
由定義? 得
?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ?L?L
?{P,Q}?{cos?,sin?}ds?F?dr?
其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x? y)處單位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?
類似地有
??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ????
?{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds?F?dr?
其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(diǎn)(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?
一、格林公式
單連通與復(fù)連通區(qū)域?
設(shè)D為平面區(qū)域? 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D?
則稱D為平面單連通區(qū)域? 否則稱為復(fù)連通區(qū)域?
對(duì)平面區(qū)域D的邊界曲線L? 我們規(guī)定L的正向如下? 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)? D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊?
區(qū)域D的邊界曲線L的方向?
定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?
L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?
簡(jiǎn)要證明?
僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明?
設(shè)D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因?yàn)?/p>
?P連續(xù)? 所以由二重積分的計(jì)算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?
21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有
?LPdx??LPdx??LPdx??aP[x,?1(x)]dx??bP[x,?2(x)]dx
12ba
?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?
因此
??ab?Pdxdy?Pdx? ???y?LD
設(shè)D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證
?Q???xdxdy??LQdx?
D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時(shí)成立? 兩式合并即得
??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?
???L?x?y?D?
應(yīng)注意的問(wèn)題?
對(duì)復(fù)連通區(qū)域D? 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來(lái)說(shuō)都是正向?
設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng)? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得
2??dxdy??Lxdy?ydx? 或A???dxdy?2?Lxdy?ydx?
D1D
例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?
分析?
只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?
?x?y?x?yDD
解? 設(shè)D是由橢圓x=acos? ? y=bsin? 所圍成的區(qū)域?
令P??1y? Q?1x? 則?Q??P?1?1?1?
?x?y2222于是由格林公式?
A?1ydx?1xdy?1?ydx?xdy dxdy?????L222?LD
?2?112?(absin22??abcos?)d??ab?d???ab?
?0220
例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明
?L2xydx?x2dy?0?
?Q?P??2x?2x?0?
?x?y
證? 令P?2xy? Q?x2? 則因此? 由格林公式有?L2xydx?x2dy????0dxdy?0?(為什么二重積分前有“?”號(hào)？)
D2
例3? 計(jì)算??e?ydxdy? 其中D是以O(shè)(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域?
D
分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?
?x?y
2解? 令P?0? Q?xe?y? 則
?Q?P?y2??e? 因此? 由格林公式有 ?x?y?y2
??eD?y2dxdy?OA?AB?BO?xedy??xeOA?y2dy??xe?xdx?1(1?e?1)?
0212
例4 計(jì)算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線? L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?
?y?Qy2?x2?Px22
解? 令P?2? Q?2? 則當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈? 當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Lx2?y2?0?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1? 應(yīng)用格林公式得
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針?lè)较?
2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydxd??2?? ??22 ??于是?0Lx2?y2lx?yr2
解 記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?
D
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r2(r?0)? 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D1? 應(yīng)用格林公式得 xdy?ydx?Q?P?(?L?lx2?y2???x??y)dxdy?0?
D1即xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l(wèi)的方向取順時(shí)針?lè)较?
于是
xdy?ydxxdy?ydx2?r2cos2??r2sin2?d??2?? ??Lx2?y2?l?x2?y2??0r2?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2
第五篇：關(guān)于定積分、曲線積分與二重積分的簡(jiǎn)單總結(jié)
關(guān)于定積分、曲線積分與二重積分的簡(jiǎn)單總結(jié)
***
（吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南 吉首 416000）
摘要：微積分的內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用.在此主要討論和簡(jiǎn)單總結(jié)一些有關(guān)定積分、曲線積分與二重積分的問(wèn)題.關(guān)鍵詞：定積分 曲線積分 二重積分
英文部分
引言：
微積分是一套關(guān)于變化率的理論.積分學(xué)包括求積分運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積提供了一套通用的方法.通常積分計(jì)算問(wèn)題都涉及到天文、力學(xué)、幾何學(xué)等.這里主要通過(guò)有關(guān)定積分、曲線積分與二重積分的一些實(shí)例來(lái)對(duì)這些知識(shí)作一個(gè)回顧性總結(jié).1、定積分
1(1?23?33???n3);4n??n1、1利用定積分求極限：lim
解：lim1333(1?2?3???n)n??n4
1?12n?=lim?()3?()3??()3? n??nnn??n
i1=lim?()3 n??ni?1nn
設(shè)f(x)?x3，則f(x)在[0,1]上連續(xù)且可積.取?xi?1i,?i?為區(qū)間nn
i?1i??xi?1,xi???,?的右端點(diǎn),i=1,2…,n.所以上式為函數(shù)f(x)?x3在區(qū)間[0,1]??nn?
上的一個(gè)積分的極限，從而有
111411333lim4(1?2???n)??xdx?x?.0n??n40
4回顧分析：由定積分的定義知，若f(x)在[a,b]上可積，則可對(duì)[a,b]用某種特定的方法，并可取特殊的點(diǎn)，此時(shí)所得積分的極限就是f(x)在[a,b]上的定積分，因此本題可將和式化為某個(gè)可積函數(shù)的積分和，然后用定積分求此極限.定積分在物理中的某些應(yīng)用1、2 有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條邊各長(zhǎng)為10米和6米，高為20米，計(jì)算當(dāng)水面與上底邊相齊時(shí)閘門一側(cè)所受的靜壓力.解：考慮建立直角坐標(biāo)系，這里B(0,5),C(20,3).1則BC的方程為：x+20y-50=0.即y=5-x.10
由于在相同深度處水的靜壓力相同?gx,故當(dāng)?x很小時(shí)，閘門上從深度x到x+?x 這一狹條A上受的靜壓力為
1x)?x?x???g?dx.10
20202011p??dp??2?(5?x)?x?x???gdx??(10x2?x3)dx 000105
=14373.33(kN).1、3 設(shè)有半徑為r的半圓形導(dǎo)線，均勻帶點(diǎn)電荷密度為?，在圓心處有一單位E電荷，試求它們之間作用力的大小.解：同樣考慮坐標(biāo)，取??所對(duì)應(yīng)的一段導(dǎo)線，電荷電量為d????r?d?.，它圓心處電荷E在垂直方向上的引力為
sr??sin?ks???F?k??sin? rr2?p?dp?2?y?x?dx?x???g?2?(5?
則導(dǎo)線與電荷作用力為??
0k?sin?2k? ??rr
回顧分析：據(jù)以上例題可知，在解決積分實(shí)際問(wèn)題中，確定積分區(qū)域是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，另外對(duì)于定積分我們還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
⑴周期函數(shù)的定積分，其積分上下限可任意改變，只要積分區(qū)間的長(zhǎng)度始終等于周期，則定積分的值不變。
⑵定積分存在的兩個(gè)條件：
①積分區(qū)間有限;②被積函數(shù)有界
⑶對(duì)于定積分f(x)可積，則加上絕對(duì)值也一定可積，若其絕對(duì)值可積，但去掉絕對(duì)值卻不一定可積.2、曲線積分2、1第一型曲線積分2、1、1證明：若函數(shù)f(x,y)在光滑曲線L:x=x(t),y=y(t),t?[?,?]上連續(xù),則存在點(diǎn)((x0,y0)?L使得?f(x,y)ds?f(x0,y0)?L l
其中?L為L(zhǎng)的弧長(zhǎng) 證明：因?yàn)?f(x,y)ds??f(x(t),y(t))x?(t)2?y?(t)2dt l??
記F(t)?f(x(t),y(t)),G(t)?x?(t)2?y?(t)2
由已知條件知F(t)在??,??上連續(xù),G(t)在??,??上連續(xù)且非負(fù)（不變號(hào)），則根據(jù)推廣的定積分第一中值定理知，存在t0???,??,對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x0,y0)?(x(t0),y(t0)), 使?f(x,y)ds?f(x(t0),y(t0))?lx?(t)2?y?(t)2dt?f(x0,y0)?L
回顧分析:運(yùn)用推廣的定積分第一中值定理是證明此題的關(guān)鍵.2、2第二型曲線積分
2.2.1求?y2dx?z2dy?x2dz，其中，L是維維安尼曲線x2?y2?z2?a2，L
x2?y2?ax(z?0,a?0)若從軸正向看去，L是沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行的.解：選擇好參數(shù)方程確定好積分區(qū)域正是解此題的關(guān)鍵.將 x2?y2?z2?a2表示為 ?2?a2，x2?y2?ax
表示為r2?ax 或 r?ax
令 x?acos2? 則 y?asin??cos?,z?a?cos2??asin?，于是L:x?acos2?,y?asin??cos?,z?a?cos2?
??
2????
2,所以
?Ly2dx?z2dy?x2dz
?
??2?[a2sin2?cos2?(?2acos?sin?)?a2(1?cos2?)?a(cos2???2
sin?)?acos?acos?sin?(1?cos?)]d?
?2242?12
?2a3?2(sin2?cos2??sin4?)d?0
3351?a3[?(,)??(,)]2222
???
4a
3通過(guò)以上實(shí)例分析可知，曲線積分有著較為廣泛和重要的作用.因此對(duì)于曲線積分，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
⑴第一型曲線積分：第一型曲線積分上限、一定要大于積分下限； ⑵第二型曲線積分：
①曲線和有方向，方向改變后第二型曲線積分二值就要反向，即變號(hào)；
②第二型曲線積分的計(jì)算，在化為定積分時(shí)，積分上限可以小于積分下限，起點(diǎn)即為下限，終點(diǎn)即為上限.⑶曲線積分是定積分的推廣.⑷對(duì)?ds,即表示L的弧長(zhǎng)，即f(x,y)=1.l
3.二重積分3、1計(jì)算??(x?y)2d?，其中D??0,1???0,1?.，D
解：應(yīng)用定理即：設(shè)f(x,y)在矩形區(qū)域D??a,b???c,d?.上可積，且對(duì)每個(gè)x??a,b?積分?d
cf(x,y)dy存在，則累次積分
bd?badx?f(x,y)dy也存在，且cd??f(x,y)d???dx?Dacf(x,y)dy 有??f(x,y)d???dx?(x?y)2dx?
D00117 6
回顧分析：對(duì)于一般區(qū)域，通?？梢苑纸鉃槿缦聝深悈^(qū)域來(lái)進(jìn)行計(jì)算.稱平面點(diǎn)集D?{(x,y)y1(x)?y?y2(x),a?x?b}為x型區(qū)域
稱平面點(diǎn)集D?{(x,y)x1(y)?x?x2(y),c?y?d}為y型區(qū)域.3、2關(guān)于x型區(qū)域的實(shí)例3、2、1計(jì)算二重積分??d?，其中D為由直線y=2x,x=2y及x+y=3所圍的三角
D
形區(qū)域.解：把D看作x型區(qū)域時(shí)，相應(yīng)的?2x,0?x?1x ,y1(x)?, y2(x)??2?3?x,1?x?2
???dx???d????d???dxxdy??dxxdy DD1D2021212x23?x
12xx??(2x?)dx??(3?x?)dx0122
3?3?3????x2???3x?x2??4?12?4?0?123、2、2關(guān)于x,y混合型區(qū)域的實(shí)例
求由坐標(biāo)平面x=2,y=3,x+y+z=4所圍二角柱體的體積.解：
V???zdxdy???(4?x?y)dxdy
DD
??dx?(4?x?y)dy??dx?0011324?x0(4?x?y)dy
?55
6回顧分析：
對(duì)于二重積分應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
⑴ 二重積分化為累次積分，積分上限一定要大于積分下限.⑵ 二重積分的許多性質(zhì)與定積分的幾乎完全相同.⑶ n(n?2)重積分的計(jì)算都是轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算.⑷ 掌握型區(qū)域和型區(qū)域的二重積分的計(jì)算是計(jì)算一般平面上二重積分的基礎(chǔ).⑸ 解決了x型區(qū)域或y型區(qū)域上二重積分的計(jì)算問(wèn)題，那么一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算問(wèn)題也就得到了解決.參考文獻(xiàn)：
【1】 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001
【1】 林益等編數(shù)學(xué)分析習(xí)題詳解（上、下）[M].武漢 華中科技大學(xué)出版社.2005
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