第一篇：三重積分的計算方法小結與例題

三重積分的計算方法介紹：

三重積分的計算是化為三次積分進行的。其實質是計算一個定積分（一重積分）和一個二重積分。從順序看：

如果先做定積分?f(x,y,z)dz，再做二重積分??F(x,y)d?，就是“投

z1z2D影法”，也即“先一后二”。步驟為：找?及在xoy面投影域D。多D上一點（x,y）“穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步（定積分）；進而按二重積分的計算步驟計算投影域D上的二重積分，完成“后二”這一步。???f(x,y,z)dv???[?f(x,y,z)dz]d?

?Dz1z2如果先做二重積分??f(x,y,z)d?再做定積分?F(z)dz，就是“截面

Dzc2c1法”，也即“先二后一”。步驟為：確定?位于平面z?c1與z?c2之間，即z?[c1,c2]，過z作平行于xoy面的平面截?，截面Dz。區域Dz的邊界曲面都是z的函數。計算區域Dz上的二重積分??f(x,y,z)d?，完成Dz了“先二”這一步（二重積分）；進而計算定積分?F(z)dz，完成“后

c1c2一”這一步。???f(x,y,z)dv??[??f(x,y,z)d?]dz

?c1Dzc2當被積函數f（z）僅為z的函數（與x,y無關），且Dz的面積?(z)容易求出時，“截面法”尤為方便。

為了簡化積分的計算，還有如何選擇適當的坐標系計算的問題。可以按以下幾點考慮：將積分區域?投影到xoy面，得投影區域D(平面)（1）D是X型或Y型，可選擇直角坐標系計算（當?的邊界曲面中有較多的平面時，常用直角坐標系計算）

（2）D是圓域（或其部分），且被積函數形如f(x2?y2),f()時，可選擇柱面坐標系計算（當?為圓柱體或圓錐體時，常用柱面坐標計算）

（3）?是球體或球頂錐體，且被積函數形如f(x2?y2?z2)時，可選擇球面坐標系計算

以上是一般常見的三重積分的計算方法。對?向其它坐標面投影或?不易作出的情形不贅述。

yx三重積分的計算方法小結：

1.對三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域?及被積函數f(x,y,z)的情況選取。

一般地，投影法（先一后二）：較直觀易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是?在z處的截面，其邊界曲線方

程易寫錯，故較難一些。

特殊地，對Dz積分時，f(x,y,z)與x,y無關，可直接計算SDz。因而?中只要z?[a,b], 且f(x,y,z)僅含z時，選取“截面法”更佳。

2.對坐標系的選取，當?為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數為僅含z或zf(x2?y2)時，可考慮用柱面坐標計算。

三重積分的計算方法例題：

補例1：計算三重積分I????zdxdydz，其中?為平面x?y?z?1與三個坐標面

?x?0,y?0,z?0圍成的閉區域。

解1“投影法” 1.畫出?及在xoy面投影域D.2.“穿線”0?z?1?x?y

X型

D：

0?x?10?y?1?x

0?x?1∴?：0?y?1?x

0?z?1?x?y

3.計算

11?x1?x?y11?xI????zdxdydz??dx?dy?001?0zdz??dx?00111?x(1?x?y)2dy??[(1?x)2y?(1?x)y2?y3]10dx2203111311 ??(1?x)3dx?[x?x2?x3?x4]1

?06062424

解2“截面法”1.畫出?。2.z?[0,1] 過點z作垂直于z軸的平面截?得Dz。

Dz是兩直角邊為x,y的直角三角形，x?1?z,y?1?z 3.計算

111I????zdxdydz??[??zdxdy]dz??z[??dxdy]dz??zSDzdz

?0Dz0Dz0

1111??z(xy)dz??z(1?z)(1?z)dz??(z?2z2?z3)dz?22202400

補例2：計算???x2?y2dv，其中?是x2?y2?z2和z=1圍成的閉區域。解1“投影法”

?z?x2?2y2?1.畫出?及在xoy面投影域D.由?z?1消去z，111得x2?y2?1即D：x2?y2?1

2.“穿線”x2?y2?z?1，???1?x?1

X型

D：?

22???1?x?y?1?x??1?x?1??∴ ?:??1?x2?y?1?x2

?22??x?y?z?13.計算11?x111?x2????x2?y2dv??dx?1?dy2?1?xx?y2?2x2?y2dz??dx?1?1?x2?x2?y2(1?x2?y2)dy??6

注：可用柱坐標計算。

解2“截面法”

1.畫出?。

2.z?[0,1] 過點z作垂直于z軸的平面截?得Dz：x2?y2?z2

?0???2? Dz： ??0?r?z?0???2?

用柱坐標計算

?:??0?r?z?0?z?1?

3.計算1????x?ydv??[??0Dz2212?zx?ydxdy]dz??[?d??rdr]dz??2?[r3]0dz???z3dz?3306000022212?z11

補例3：化三重積分I????f(x,y,z)dxdydz為三次積分，其中?：

?z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區域。

解：1.畫出?及在xoy面上的投影域D.22??z?x?2y?2由 ?消去z，得x2?y2?1 ?z?2?x即D： x2?y2?1

2.“穿線” x2?2y2?z?2?x2

???1?x?1

X型 D：? 22???1?x?y?1?x??1?x?1???：??1?x2?y?1?x2

?x2?2y2?z?2?x2??11?x22?x23．計算 I????f(x,y,z)dxdydz??dx??1?1?x2?dyx2?2y2?f(x,y,z)dz

注：當f(x,y,z)為已知的解析式時可用柱坐標計算。

補例4：計算???zdv，其中?為z?6?x2?y2及z?x2?y2所圍成的閉區域。

?解1“投影法”

1.畫出?及在xoy面投影域D，用柱坐標計算

?x?rcos??

由?y?rsin?

化?的邊界曲面方程為：z=6-r2，z=r

?z?z??z?6?r2?0???2?得r?2 ∴D：r?2 即?2.解?

0?r?2z?r??“穿線”

?0???2??r?z?6?r2

∴?:?0?r?2?r?z?6?r2?2?26?r22

6?r23．計算

2???zdv???[?D?rzdz]rdrd???d??rdr00?r1?r2zdz?2??r[z2]6dr r202222

???r[(6?r)?r]dr???(36r?13r2?r5)dr?0092?。3解2“截面法”

1.畫出?。如圖：?由z?6?r2及z?r圍成。

2.z?[0,6]?[0,2]?[2,6] ???1??2 ?1由z=r與z=2圍成； z?[0,2]，Dz：r?z

?0???2??

?1：?0?r?z

?0?z?2??2由z=2與z=6?r2圍成； z?[2,6]，Dz：r?6?z

?0???2???2：?0?r?6?z

?2?z?6?263.計算 =???zdv????zdv??z[??rdrd?]dz??z[??rdrd?]dz ???zdv??1?20Dz12Dz2

262262236??zSDz1dz??zSDz2dz??z[?(z)]dz??z[?(6?z)]dz???zdz???(6z?z2)dz?02020292?3注：被積函數z是柱坐標中的第三個變量，不能用第二個坐標r代換。

補例5：計算???(x2?y2)dv，其中?由不等式0?a?x2?y2?z2?A，z?0所確定。

?x??cos?sin??解：用球坐標計算。由?y??sin?sin?得?的邊界曲面的球坐標方程：a???A

?z??cos??P??，連結OP=?，其與z軸正向的夾角為?，OP=?。P在xoy面的投影為P?，連結OP?，其與x軸正向的 夾角為?。

?∴?：a???A，0???，0???2?

?2?222A222?215A3(x?y)dv?d?d?(?sin?)?sin?d?2?sin?[?]ad? =???????5?00a0?22?52?524?55(A?a)?sin3?d??(A?a5)??1?(A?a5)

=553150三重積分的計算方法練習

（x2?y2)dv，1.計算???其中?是旋轉面x2?y2?2z與平面z=2,z=8所圍成的閉區域。

2.計算???（x?z)dv，其中?是錐面z?x2?y2與球面z?1?x2?y2所?圍成的閉區域。

為了檢測三重積分計算的掌握情況，請同學們按照例題的格式，獨立完成以上的練習，答案后續。

第二篇：高等數學三重積分計算方法總結

高等數學三重積分計算方法總結

1、利用直角坐標計算三重積分：（1）投影法（先一后二）：

1）外層(二重積分)：區域Ω在xoy面上的投影區域Dxy 2）內層(定積分)：

從區域Ω的底面上的z值，到區域Ω的頂面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外層(定積分): 區域Ω在z 軸上的投影區間。2)內層(二重積分):Ω垂直于z 軸的截面區域。

2、利用柱坐標計算三重積分 ????f(x,y,z)dv?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz3、利用球面坐標計算三重積分

????f(x,y,z)dxdydz?????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?drd?d?2定限方法:(1)轉面定θ(2)轉線定φ(3)線段定r

4、利用對稱性化簡三重積分計算 設積分區域Ω關于xoy平面對稱，(1)若被積函數 f(x,y,z)是關于z 的奇函數，則三重積分為零。(2)若被積函數 f(x,y,z)是關于z 的偶函數，則三重積分等于：在xoy平面上方的半個Ω，區域上的三重積分的兩倍.使用對稱性時應注意：

1）積分區域關于坐標面的對稱性； ２）被積函數關于變量的奇偶性。

2例 計算

???

x(x

?

y

?

z)

dxdydz，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所圍成的空間閉區域.解：? x(x?y?z)2 ?x(x2?y2?z2)?2x2y?2xyz?2zx2 ?x(x2?y2?z2)?2xyz

?是關于x 的奇函數，且?關于 yoz 面對稱 故其積分為零。

2x2 y是關于y 的奇函數,且關于 zox 面對稱

????2x?2ydv?0,?I?????x(x?y?z)2dxdydz

??????2?02x2zdxdydz,22?2????cos??z??d?d?dz????0 d?? d?? 2?cos??zdz?22??2322?d???cos?(2????)d?013224 24?5?

第三篇：農行信用卡積分計算方法

積分計算規則

（一）持卡人使用金穗貸記卡在百貨公司、餐廳、賓館、其他零售商店的刷卡消費可累計積分。計算標準為消費滿人民幣1元可積1分，消費滿1美元可積8分，美元和人民幣積分可合并計算；積分不可轉讓，同一賬戶的主卡及附屬卡積分合并計算，同一持卡人名下不同賬戶的多張卡積分不可合并計算。

（三）下列項目不予計算積分：

2、房地產類、批發類、各種機動車、航空器及其零配件銷售、租賃與維修、燃油銷售、自動售油機、公共事業、政府服務、納稅、代扣代繳、慈善及社會公益、醫療機構、法律服務、博彩類、學校、兒童保育、農業服務、承包服務、園藝、電器零件與設備、供暖、清潔、非現金金融產品及服務、直銷、保險、證券、會計、審計等類的商戶消費。

第四篇：考研數學復習：三重積分的計算方法總結(數一)

凱程考研，為學員服務，為學生引路！

考研數學復習：三重積分的計算方法總

結(數一)

三重積分是考研數一單獨要求的考點，其中三重積分的計算在計算曲面、曲線積分中有重要應用，而且三重積分、曲線曲面積分每年必考一個大題一個小題，是考試的重點之一。下面凱程教育數學老師幫大家總結一下三重積分的計算方法。

凱程考研，為學員服務，為學生引路！

考研復習數學練習題二

考研復習已經開始了，在掌握基礎定理、公式的基礎上，還要通過做題不斷檢驗復習成功和查漏補缺。凱程教育分享考研數學備考練習題。希望大家愛邊復習邊做題，不斷提升。

凱程考研，為學員服務，為學生引路！

考研復習數學練習題四

考研復習已經開始了，在掌握基礎定理、公式的基礎上，還要通過做題不斷檢驗復習成功和查漏補缺。凱程教育分享考研數學備考練習題。希望大家愛邊復習邊做題，不斷提升。

凱程考研，為學員服務，為學生引路！

凱程教育：

凱程考研成立于2005年，國內首家全日制集訓機構考研，一直從事高端全日制輔導，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學員全程高質量授課、答疑、測試、督導、報考指導、方法指導、聯系導師、復試等全方位的考研服務。凱程考研的宗旨：讓學習成為一種習慣；

凱程考研的價值觀口號：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個學員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國最專業的考研輔導機構； 激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業：以專業的態度做非凡的事業；

服務：以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業的服務，團隊合作，為學員服務，為學員引路。

如何選擇考研輔導班：

在考研準備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業考生的專業課來說，通過報輔導班來彌補自己復習的不足，可以大大提高復習效率，節省復習時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導班，或許能幫你找到適合你的輔導班。

凱程考研，為學員服務，為學生引路！

師資力量：師資力量是考察輔導班的首要因素，考生可以針對輔導名師的輔導年限、輔導經驗、歷年輔導效果、學員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學長然后選擇。判斷師資力量關鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由

一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結果。還要深入了解教師的學術背景、資料著述成就、輔導成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機構只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。

對該專業有輔導歷史：必須對該專業深刻理解，才能深入輔導學員考取該校。在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學院狀元，考取五道口15人，清華經管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿大金融碩士合計20人，北師大教育學7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學方面，凱程在人大、北大、貿大、政法、武漢大學、公安大學等院校斬獲多個法學和法碩狀元，更多專業成績請查看凱程網站。在凱程官方網站的光榮榜，成功學員經驗談視頻特別多，都是凱程戰績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓營班主任邢老師說，凱程如此優異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數是跨專業考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細溝通一下就清楚了。

建校歷史：機構成立的歷史也是一個參考因素，歷史越久，積累的人脈資源更多。例如，凱程教育已經成立10年（2005年），一直以來專注于考研，成功率一直遙遙領先，同學們有興趣可以聯系一下他們在線老師或者電話。

有沒有實體學校校區：有些機構比較小，就是一個在寫字樓里上課，自習，這種環境是不太好的，一個優秀的機構必須是在教學環境，大學校園這樣環境。凱程有自己的學習校區，有吃住學一體化教學環境，獨立衛浴、空調、暖氣齊全，這也是一個考研機構實力的體現。此外，最好還要看一下他們的營業執照。

第五篇：多元函數積分的計算方法與技巧范文

.多元函數積分

二重積分的計算方法與應用。

（一）在作二次積分時，首先是把一個自變量看成是一個參數，而不是看成變量，這樣第一步是作單變量函數的定積分，然后得到一個包含第二個變量的表達式，再對第二個變量求定積分，這樣就得到了二重積分的值。這里對于選擇進行積分運算的自變量的順序是完全任意的，也就是說，假設函數的積分區間，是由曲線

y?y1(x)y?y2(x)

和，x=a，x=b

所圍成的區域，那么f在這個區域上的二重積分為

by(x)b

??f(x,y)dxdy??adx?y2(x)f(x,y)dy??y2((xx))dy?af(x,y)dxy11D

（二）另外一種常常更為簡單的計算二重積分的方法，是在極坐標下，通過把二重積分轉變為二次積分來得到結果。

一般公式就是

r2f(rcos?,rsin?)rdr??f(x,y)d????d??r(?)1

?

(?)

D

三重積分及其應用與計算。

在這兩種坐標里計算多重積分，首先是給出分別在這些坐標系里的體積微元的表達式： 在圓柱坐標系里是dv?rdrd?dz；

在球面坐標系里是dv?rsin?drd?d?。

因此可以分別得到在這兩個坐標系里的三重積分的計算公式： 在圓柱坐標系里是在?

???f(x,y,z)dv????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz

?

?

； 里

是

球

?

面坐標系

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcoa?)rsin?drd?d?