第一篇：七大積分總結

七大積分總結

一． 定積分

1.定積分的定義：設函數f(x)在[a,b]上有界，在區間[a,b]中任意插入n－1個分點：a=x0

S??f(?i)?xi

i?1n記λ=max{△x1, △x2, △x3??, △xn},若不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區間[xi-1,xi]上點ξi怎樣取法，只要當λ→0時，S的極限I總存在，這時我們稱I為函數f(x)在區間[a,b]上定積分（簡稱積分），記做：

?baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1n其中f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，[a,b]稱為積分區間，?f(?)?xii?0ni稱為積分和。

如果f(x)在[a,b]上的定積分存在，則稱f(x)在[a,b]上可積。關于定積分的定義，作以下幾點說明：

（1）積分值僅與被積函數及積分區間有關，而與積分變量的字母記法無關，即?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du。（2）定義中區間的分法與ξi的取法是任意的。

（3）定義中涉及的極限過程中要求λ→0，表示對區間[a,b]無限

bbb細分的過程，隨λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保證λ→0，定積分的實質是求某種特殊合式的極限： 例：?0f(x)dx?lim?f()（此特殊合式在計算中可以作為n??i?11ni1nn公式使用）2.定積分的存在定理

定理一

若函數f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。定理二

若函數f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間上可積。3.定積分的幾何意義

對于定義在區間[a,b]上連續函數f(x)，當f(x)?0時，定積分

?baf(x)dx在幾何上表示由曲線y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積；當f(x)小于0時，圍成的曲邊梯形位于x軸下方，定積分?af(x)dx在幾何意義上表示曲邊梯形面積的負值。若f(x)在區間上既取得正值又取得負值時，定積分的幾何意義是：它是介于x軸，曲線y=f(x),x=a,x=b之間的各部分曲邊梯形的代數和。4．定積分的性質

線性性質（性質

一、性質二）

性質一

?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx 和差的積分等于積分的和差；

性質二

?akf(x)dx?k?af(x)dx（k是常數）

性質三

對區間的可加性 不管a,b,c相對位置如何，總有等式 bbbbbb ?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb性質四 如果在區間[a,b]上，f(x)≡1，則?af(x)dx?b?a 性質五（保號性）如果在區間[a,b]上，f(x)?0，則?af(x)dx?0 推論一

設f(x)?g(x),x∈[a,b]，則?af(x)dx??ag(x)dx 推論二 ?af(x)dx??af(x)dx(a

性質七（定積分中值定理）設函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少有一點ξ使得下式成立：

bbbbbbb?baf(x)dx?f(?)(b?a)（本性質可由性質六和介值定理一塊證得）

5．積分上限函數及其導數

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，若x為區間[a,b]上任意一點，則 f(x)在區間[a,x]上定積分為?af(x)dx，此時x既表示積分變量又表示積分的上限，但兩者的含義不同，因為定積分與積分變量的激發無關，故可改用其他符號，可用t表示積分變量，則上面的積分可寫成

x?xaf(t)dt，該積分會隨著X的取定而唯一確定，隨X的變化而變化。x所以積分?af(t)dt是定義在區間[a,b]上關于x的一個函數，記做 Φ(x): Φ(x)=?af(t)dt(a?x?b)并稱該函數為積分上限函數或積分變上限函數，它具有下面定理所指出的重要性質：

定理一 如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分上限函數Φ(x)在區間[a,b]上可導，且導數為

xdxΦ(x)=?af(t)dt?f(x)（a?x?b）

dx‘定理二（原函數存在定理）如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則函數Φ(x)就是f(x)在區間[a,b]上的一個原函數。

定理二肯定了連續函數的原函數是存在的，揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系。

定理三

如果函數f(t)在區間I1上連續，a(x),b(x)在區間I2上都可導，并且f[a(x)],f[b(x)]構成I2上的復合函數，則 F(x)=?a(x)f(t)dt在I2上可導，且 F‘(x)=db(x)’’f(t)dt=f[b(x)]·b(x)-f[a(x)]·a(x)?a(x)dxb(x)6.牛頓-萊布尼茨公式

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，函數F(x)是f(x)的一個原函數，則有?af(x)dx=F(b)-F(a),這個公式稱為牛頓-萊布尼茨公式。次公式揭示了定積分與原函數之間的關系，它表明：一個連續函數在區間[a,b]上的定積分等于它的任意一個原函數在區間[a,b]上的增量，而原函數的全體就是不定積分，故該公式將求定積分與不定積分聯系起來了，又叫做微積分基本公式，在計算中常用到。7.定積分的常見積分方法 換元法

如果函數f(x)在區間[a,b]上連續且函數x=?(t)滿足下列條件：（1）?(α)=a,?(β)=b;(2)在區間[α,β]上?(t)具有連續導數且其值域R??[a,b]，則有?af(x)dx???f[?(t)]?'(t)dt，此公式稱為定積分的換元公式。bb?注意：換元必換限，即用x=?(t)把積分變量x換成t時，積分限一定要換成相應于新積分變量t的積分限；

另外此公司反過來也可以用：??f(t)dt??af[?(x)]?'(x)dx，其中

???(a),???(b)

?b定積分中的對稱奇偶性：

若f(x)在區間[-a,a]上連續，則：（1）當f(x)為奇函數時，??af(x)dx=0（2）當f(x)為偶函數時，??af(x)dx?2?0f(x)dx 三角函數的定積分公式： 設f(x)在[0,1]上連續，則：

（1）?f(sinx)dx??f(cosx)dx;(2)?0xf(sinx)dx?周期函數的定積分公式：

如果T是連續函數f(x)的周期，則?a分部積分法

若函數u=u(x)，v=v(x)在閉區間[a,b]上具有連續導數，則有 ?audv?uva??avdu 重要結論：

設In=?sinxdx??cosnxdx，則 n?20?20?20?20aaa???f(sinx)dx 2?0a?Tf(x)dx??f(x)dx（a為常數）

0Tbbbn?1n?331?????? nn?2422n?1n?342?????1（2）當n為大于1的正奇數時，In=

nn?253（1）當n為正偶數時，In=常用到的不定積分的積分公式： ?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?csc2?sinx?xdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n???

x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22

三角函數的有理式積分：

2u1?u2x2dusinx?，cosx?，u?tg，dx? 22221?u1?u1?u一些初等函數： 兩個重要極限：

ex?e?x雙曲正弦:shx?2ex?e?x雙曲余弦:chx?2shxex?e?x雙曲正切:thx??chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)11?xarthx?ln21?x

limsinx?1x?0x1lim(1?)x?e?2.7***045...x??x常見微分公式：

(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna1(logax)??xlna(arcsinx)??11?x21(arccosx)???1?x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x28.無窮限的廣義積分：

設函數f(x)在區間[a,+∞]上連續，取b>a，如果極限limb???baf(x)dx

存在，則此極限為函數f(x)在無窮區間[a,+∞]上的廣義積分，記做

???af(x)dx，這時也稱廣義積分???af(x)dx收斂，如果上述極限不存在，則稱該廣義積分發散。

同理也可得函數f(x)在無窮區間[-∞,b]上的廣義積分。

對于廣義積分：只有在收斂的條件下才可使用上述“定積分中的對稱奇偶性”。幾條結論：（1）廣義積分?a??1dx，當p>1時收斂，當p?1是發散。xp（2）廣義積分?ae?pxdx當p>0時收斂，當p<0時發散。9.無界函數的廣義積分：

設函數f(x)在區間（a,b]上連續，點a為函數f(x)的瑕點，取t>a，如果極限limt?a????btf(x)dx存在，則稱此極限為函數f(x)在(a,b]上的廣義

b積分，記做?af(x)dx，即?af(x)dx=limt?a?b?btf(x)dx。這時也稱廣義積分收斂，如果上述極限不存在，就稱廣義積分發散。同理，可得f(x)在區間[a,b）上的瑕積分,即

?af(x)dx= limt?b?b?taf(x)dx

對于無界函數的瑕積分（就是廣義積分）的計算，也可以利用牛頓-萊布尼茨公式，如對于f(x)在區間（a,b]上的瑕積分有：

?af(x)dx=limt?a?b?btf(x)dx=F(b)-limF(x)=F(x)-F(a+0)

x?a?小結論： 廣義積分?011dx當p<1時收斂，當p?1時發散。px對于無界函數的廣義積分（瑕積分）的計算，一般瑕點都會設置在區間(a,b)(或[a,b),(a,b][a,b])的內部一個點上。10.定積分的應用

一、定積分在幾何上的應用：

（一）平面圖形的面積 1.直角坐標情形: 對于有曲線x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)圍成的X型的曲邊梯形，其面積的計算公式為：A=?af(x)?g(x)dx（a

對于由曲線y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所圍成的Y型的曲邊梯形的面積計算公式為：A??cf(y)?g(y)dy(c

當曲邊梯形的曲邊f(x)(f(x)?0,x∈[a,b])由參數方程

x=?(t),y=?(t)給出時，若?(?)?a,?(?)?b，且在[a,b]上?(t)具有連續導數，y=?(t)連續，則由曲邊梯形的面積公式及定積分的換元公式可

db得曲邊梯形的面積為：A=?af(x)dx=???(t)?'(t)dt 4.極坐標情形：

由曲線???(?)及射線???，???圍成的曲邊扇形的面積計算公式為

1?2 A=???(?)d?

2b?

（二）立體的體積 1.旋轉體的體積

對于由連續曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積計算公式為：V=?a?[f(x)]2dx

同理可得相似的繞Y軸和Z軸旋轉所成的旋轉體的體積計算公式。2.平行截面面積已知的空間立體的體積

若一個立體位于平面x=a,x=b之間，且知道過x且垂直于x軸的平面截此物體的截面面積為A(x)，且A(x)為了連續函數，則此立體的體積計算公式是： V=?aA(x)dx，同理可得相似的過Y（Z）且垂直于Y（Z）軸的平面截得的立體的體積的計算公式。

（三）平面曲線的弧長 1.參數方程情形

設曲線由參數方程x=?(t),y=?(t)給出，且?(t)，?(t)在[?，?]上具有一階連續導數，則其弧長的計算公式為： S=???'2(t)??'2(t)dt 2.直角坐標情形

設曲線由直角坐標方程y=f(x)（a?x?b）給出，其中f(x)在[a,b]上有一階連續導數，則此時函數的參數方程可寫成：x=x,y=f(x)，故?bb其弧長的計算公式為：s=?a1?y'2dx 3.極坐標情形

設弧線由極坐標方程???(?)(?????)給出，其中?(?)在[?,?]上具有一階連續導數，則其參數參數方程可以表示為x=?(?)cos?,y=?(?)sin?,故弧長為s=???2(?)??'2(?)d?

二、定積分在物理上的應用

（一）變力沿直線所做的功 W=?aF(x)dx

（二）液體壓力 這個就題論題；

（三）引力 這個在計算的時候適當建立直角坐標系，將力分解為X軸和Y州兩個方向上分別計算，就題論題；

bb?定積分到此結束，在計算的過程中要牢記常見的公式，特別是積分公式，這些都與不定積分有關，上邊總結的一些積分公式可能不全，見諒。

二． 二重積分

這里二重積分的引入（闡釋了二重積分的幾何意義：表示曲頂柱體的體積）和定義及概念就不再總結，只聲明：

當被積函數為常數1的時候，二重積分的物理意義是被積函數所圍區域的面積，當被積函數是關于積分變量的一個函數時，二重積分的意義有很多，這與二重積分的應用有關。1.二重積分的性質

性質一(線性性質)和差的積分等于積分的和差；

性質二（區域可加性）若區域D由n個不重合的有界閉區域Di(i=1,2,3,??,n)組成，則??f(x,y)d?????f(x,y)d?

Di?1Din性質四（單調性）若在區域D上恒有f(x,y)?g(x,y),則

??f(x,y)d????g(x,y)d?，特別的有??f(x,y)d????DDDDf(x,y)d?

性質五（估值定理）設M，m分別為f(x,y)在有界閉區域上D上最大、最小值，A為區域D的面積，則 mA???f(x,y)d??MA

D性質六（積分中值定理）設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續，A為D的面積，則在D上至少存在一點(?,?)，使??f(x,y)d?=f(?,?)A

D2.二重積分的計算（基本思想：將二重積分轉化為二次積分）

一、在直角坐標系下計算二重積分

（一）先對Y，后對X的二次積分

設二重積分??f(x,y)d?的積分區域D可以表示為

Da?x?b,?(x)1?y??2(x)的形式，其中?1(x)，?2(x)在[a,b]上連續，這時程區域D為X型區域，這時二重積分的計算公式為

??f(x,y)d?=?adx??(x)f(x,y)dy

D1b?2(x）

（二）先對X，后對Y的二次積分

類似上邊，若二重積分??f(x,y)d?的積分區域D可以表示為

Dc?y?d,?1(y)??2(y)的形式，則稱區域D為Y型區域，這時二重積分的計算公式為: ??f(x,y)d?=D?dcdy??2(y）?1(y)f(x,y)dx

二、在極坐標系下計算二重積分

若積分區域D與圓域有關或者被積函數為f(x2?y2)，f()，f(xy)等形式，用極坐標計算更簡便。

極坐標下的面積微元可以表示為：d??rdrd?(?????)

x?rcos?,y?rsin?,而兩個坐標系的積直角坐標與極坐標有如下變換：

yx分區域的形狀不變，因此有

?r???f(x,y)d?f(rcos?,rsin?)rdrd?==d???????rdr

2DD?r1(?)常用的計算技巧：

1.適當的拆分被積函數和積分區域（主要是利用分塊積分和對稱性）2.對稱性質

若區域D關于X軸對稱：

（1）若f(x,y)是關于Y的偶函數，則：??f(x,y)d?=2??f(x,y)d?

DD1（2）若f(x,y)是關于Y的奇函數，則??f(x,y)d?=0；

D3.二重積分的一般換元法 設變量變換 u?u(x,y),v?(x,y)，將Oxy平面上的閉區域D一一對應地變到Ouv平面上的閉區域D‘，如果函數u,v在閉區域D內有連續

?u?u?(u,v)?x?y偏導數，且≠0 則，??(x,y)?v?v?x?y?(u,v)f(x,y)d?=f(x(u,v),y(u,v))dudv ????DD?(x,y)

三、三重積分

三重積分的幾何意義（涉及到四維空間，暫不討論）略去。在特殊情況下，當被積函數恒等于1時，三重積分表示的為被積空間的體積大小。

1． 三重積分的計算

（一）直角坐標系下三重積分的計算

方法一：投影法（又稱先一后二法，先化三重積分為定積分，計算完定積分后就化為二重積分了）

設三重積分???f(x,y,z)dxdydz的積分區域Ω可表示為：

?Ω：z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)∈Dxy

其中Dxy為Ω在Oxy平面上的投影區域，它是Oxy平面上的有界閉區域，z1(x,y)和z2(x,y)都在Oxy上連續，則計算三重積分時，先將x,y看做常數，然后可得：

z2(x,y)??dxdyf(x,y,z)dzf(x,y,z)dxdydz?=??? ????z1(x,y)??D?xy=??dxdy?Dxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz先對Z積分，轉化成關于X,Y的一個二重積分（事實上還是化為關于X,Y,Z的三次積分來計算了），然后在計算二重積分即可（下面不再敘述）。

若區域Dxy可以再極坐標系下表示，那么可以將上述公式化為先對Z，再對r，后對θ的三次積分。

方法二：截面法（又稱先二后一法，事實上是先化三重積分為二重積分，計算完二重積分后就化為一個定積分了）

設空間區域Ω：c1?z?c2,(x,y)∈Dz,其中Dz是過點（0,0，z）且平行于Oxy平面的平面截Ω所得的平面區域，則

???f(x,y,z)dxdydz=??c2c1dz??f(x,y,x)dxdy，然后可根據Dz

Dz是坐標系下的X型或Y型區域化X,Y的二重積分為二次積分，然后轉化為Z的定積分。

若Dz可以用極坐標系表示，則還可以化為關于先計算r,θ的二重積分（化為二次積分計算），再計算Z的定積分。（由于這里公式繁雜，故不再詳細書寫，請諒解）3.三重積分的換元法

設變量變換 x?x(u,v,w),y?y(u,v,w),z?z(u,v,w),(u,v,w)??'

將Ouvw空間中的閉區域Ω‘一一對應地變換為Oxyz空間中的閉區域Ω，若函數x,y,z在Ω‘內具有連續的偏導數，且 ?x?u?(x,y,z)?yJ???(u,v,w)?u?z?u?x?x?v?w?y?y≠0，則三重積分的換元公式為 ?v?w?z?z?v?w???f(x,y,z)dxdydz=????f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw

‘?4.柱面坐標下三重積分的計算 柱面坐標與直角坐標的變換關系為：

x?rcos?,y?rsin?,z?z,則易得（代入上邊的換元公式中可得）：J=r≠0,所以???f(x,y,z)dxdydz=???f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz，然后計算??三重積分。

注：當被積函數含有zf(x2+y2),zf(xy),zf()的形式，或者積分區域由圓柱面（或一部分）錐面、拋物面所圍成時，用柱面坐標系計算比較簡便。

5.球面坐標下三重積分的計算。

直角坐標和球面坐標之間的轉換關系如下：

yxx?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?，則代入上邊的換元法的公式中可得J=r2sin?≠0 故

???f(x,y,z)dxdydz=?2f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?drd?d? ???‘?注：當積分區域是與球面有關的區域時或者被積函數中含有x2?y2?z2等形式時，用球面坐標系計算比較簡便。

三重積分的對稱奇偶性：

若Ω關于Oxy平面對稱，則當f為關于z的奇函數時，???f(x,y,z)dxdydz=0；當f為關于z的偶函數時，????f(x,y,z)dxdydz=2???f(x,y,z)dxdydz

??16.重積分的應用

一． 計算立體體積 V=???dv

?二． 計算空間曲面面積

設∑：z=f(x,y)為空間可求面積的曲面，∑在Oxy平面的投影區域為Dxy,任取Dxy上的小區域d?，則經過證明可得（證明過程略去，自己看書）：d?=dS

11?zx?zy2222,故

221?z?zd?1?z?zdS==xyxydxdy,故

S=??Dxy1?zx?zydxdy，然后計算二重積分。2

2三、求質心

這里只介紹公式，推導過程不再敘述，自個兒看書。

設有一個有界閉區域D，它的密度?(x,y)在D上連續，下面給出這一平面區域的質心公式：（其中Mx,My分別為質點系對對X，Y軸的靜距）。x?MyM???x?(x,y)d?D??DMxy??，M?(x,y)d???y?(x,y)d?D ?(x,y)d???D特別的，當區域D的面密度為常值?時，其質心坐標計算公式為：

x?MyM????xd?D???d?D???xd?DSD，y?Mx?D?M???d?D???yd???yd?DSD

同理可得空間有界區域Ω的形心的坐標公式：

x????x?(x,y,z)dv?????(x,y,z)dv?，y????y?(x,y,z)dv?????(x,y,z)dv?，z????z?(x,y,z)dv

?(x,y,z)dv?????特別的，當空間區域所代表的例題均勻為?時，其形心坐標公式為：

x?????xdv?????dv?????xdv?V?y?????ydv?????dv?????ydv?V?z?????zdv?????dv?????zdv?V?

補充：

1.若積分區域關于直線y=x對稱，則根據輪換對稱性可得：

??f(x,y)d?=??f(y,x)d?

DD2.在計算重積分的時候，適當的交換積分順序能幫助解題。3.利用質心、重心公式計算（當且僅當積分區域所代表的圖形是均勻的）： 例如：xd??xD????d??xS（此公式是由質心公式變形得到

DD的，使用此公式的前提是已知積分區域的質心坐標）

四、計算轉動慣量（公式推導過程略去）

設一個平面區域D，面密度為?(x,y)，下面給出其相對于X,Y,Z軸的轉動慣量的計算的公式：

Ix???dIx???y2?(x,y)d?，Iy???dIy???x2?(x,y)d?

DDDD同理也可得到空間區域Ω所代表的例題相對于X,Y,Z軸的轉動慣量

222I?dx?(x,y,z)dv?(y?z)?(x,y,z)dv 分別為：x????????Iy????d2y?(x,y,z)dv????(x2?z2)?(x,y,z)dv

??Iz????d2z?(x,y,z)dv????(x2?y2)?(x,y,z)dv

??其中dx,dy,dz分別為點(x,y,z)到x,y,z軸的距離。

五、計算引力（推導過程略去，自個兒看書）

某薄片在平面Oxy上所占區域為D，面密度為?(x,y)，下面給出它對點（x0,y0,z0）處單位質點（單位質量的質點）的引力計算公式：（任取D上的小區域d?，點M（x,y,z）為d?上任意一點）

Fx???GD?(x,y)(x?x0)d?r3，Fy???GD?(x,y)(y?y0)d?r3

Fz???GD?(x,y)(z?z0)d?r3

四、第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）

引入對弧長的曲線積分的時候首先探討了怎樣求曲線構件的質量（此過程不再敘述）。

1.對弧長的曲線積分的定義

設函數f(x,y)在Oxy平面的光滑曲線弧L上有界，將L分成任意的n段，Δsi表示小狐段本身又表示它的長度，點(?i,?i)是Δsi上任取的一點，令λ=maxΔsi,則定義第一類曲線積分：

?Lf(x,y)ds?lim??0i?0?f(?,?)?siinni，同時可定義在空間中的第一類曲線積分：??f(x,y,z)ds?lim??0i?0?f(?,?,?)?s

iiii2.對弧長的曲線積分的性質 性質一 ?Lds?l，其中l為弧長。

性質二（線性性質）對弧長和差的積分等于積分的和差。性質三（可加性）將曲線弧分成n段補充和的小弧段，則

??Lf(x,y)ds???f(x,y)ds

i?0Lin性質四（單調性）若在曲線弧L上，f(x,y)?g(x,y),則

Lf(x,y)ds??g(x,y)ds，特別?LLf(x,y)ds??f(x,y)ds

L3.對弧長的曲線積分的計算

對弧長的曲線積分的計算思路就是將其化為定積分。（變量參數化，小值做下限）

設函數f(x,y)在光滑曲線弧L上連續，L的參數方程為 x=?(t),y=?(t)，(??t??)，則對弧長的曲線積分在，且

?Lf(x,y)ds存?Lf(x,y)ds??f(?(t),?(t))?'2(t)??'2(t)dt（α<β）??特別的，當曲線弧L的方程為y=?(x)，(a?x?b)時，可以將x看做參數，故 ?Lf(x,y)ds??f(x,?(x)1??'2(x)dx

ab同理也可寫出將Y看做參數的計算公式。

當曲線弧L有極坐標方程r?r(?)(?????)時，由極坐標與直角坐標的變換關系x?r(?)cos?,y?r(?)sin?,(?????)，將θ看做參數，則

?Lf(x,y)ds??f(r(?)cos?,r(?)sin?)r2(?)?r'2(?)d?以??x??(t),y??(t),z??(t),(??t??)上公式都給可以推廣到空間曲線弧?：上，此時對弧長的曲線積分公式為：

??f(x,y,z)ds??f(?(t),?(t),?(t))?'2(t)??'2(t)??'2(t)dt??

五、第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）引例：變力沿曲線做功（在此不再敘述）

1.第二類曲線積分的定義（直接引入定義，不再闡述，實際上闡述過程和前邊幾種積分很相似）。

向量函數P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標X的曲線積分，記做?P(x,y)dx，向量函數Q(x,y)在有向曲線弧L上對坐標Y的曲線積分，L記做：?LQ(x,y)dy。若力F=（P(x,y),Q(x,y)）,則質點沿曲線弧從起點A到終點B是變力F做功可表示為：W=?LP(x,y)dx+?LQ(x,y)dy，同理可推廣到空間中的光滑曲線弧，故 W=?P(x,y,z)dx??Q(x,y,z)dy??R(x,y,z)dz

LLL2.對坐標的曲線積分的性質

性質一（線性性質）

對坐標的曲線積分具有線性（和差的積分等于積分的和差）

性質二（可加性）對坐標的曲線積分具有積分曲線分段可加性。性質三（有向性）設L為有向光滑曲線弧，記L—為L的反向曲線弧，則?L—P(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)dx?Q(x,y)dy，L同理此結論也可推廣到空間曲線弧的坐標積分。

3.對坐標的曲線積分的計算（變量參數化，起參值做下限）與對弧長的曲線積分的計算方法一樣，對坐標的曲線積分的計算方法也是將其化為定積分。

設函數P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲線弧L上連續，L的參數方程為 x=?(t),y=?(t)，(??t??，或(??t??)，其中?(t)，?(t)具有連續的一階導數，又有當t由α變到β時，L上的電從起點變到終點，則對坐標的曲線積分存在，且

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy????P(?(t),?(t))?'(t)?Q(?(t),?(t))?'(t)?dtL?同理也可寫出當X或Y作參數時的公式，還可寫出曲線弧在極坐標系下時的公式（這里就不再敘述了），且以上公式都可以推廣到空間曲線弧中。

注：在計算的時候，一定要特別注意曲線弧的方向和積分參變量的上下限。

3.兩類曲線積分之間的聯系

設L：x=?(t),y=?(t)，為從點A到點B的有向光滑曲線弧，其中點A處t=θ1,點B處t=θ2,又P(x,y),Q(x,y)在L上連續，令

?'(t)cos???'2(t)??''2(t)L，cos???'(t)?'2(t)??'2(t)

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy????P(?(t),?(t))?'(t)?Q(?(t),?(t))?'(t)?dt1?2=???21???'2(t)?'(t)?P(?(t),?(t)?Q(?(t),?(t)??'2(t)??'2(t)dt2222??'(t)??'(t)?'(t)??'(t)???=LL??P(x,y)cos??Q(x,y)cos??ds 同理可得：

LL?P(x,y,z)dx??Q(x,y,z)dy??R(x,y,z)dz

=L(Pcos???Qcos??Rcos?)ds

4.格林公式及其應用 格林公式的定義：

若平面有界閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，函數P（x,y）,Q(x,y)在D上具有連續的一階偏導數，則有

?Q?P(?)dxdy。?LPdx?Qdy???（證明略）?x?yD5.平面上對坐標的曲線積分與路徑無關的條件

設D是單連通區域，函數P(x,y),Q(x,y)在D內具有連續的一階偏導數，則下面四個命題等價：

（1）對D中任一分段光滑閉曲線C，有?CPdx?Qdy?0；

（2）對D中任一有向分段光滑曲線L，曲線積分?LPdx?Qdy與路徑無關，只與起點、終點有關；

（3）Pdx+Qdy在D內是某一函數u(x,y)的全微分，即在D內du(x,y)=Pdx+Qdy;（4）在D內恒有?P?Q?。（證明略）?y?x6.第二類曲線積分小結：

（1）對封閉的第二類線積分，應首先考慮格林公式： ① 若D中無奇點（P,Q的騙到不存在的點），則：

?Q?P(?)dxdy； ?LPdx?Qdy????x?yD② 若D內含有奇點（挖洞法，洞所在區域為D1），則取特殊l（逆時針）：

?Q?P(?)d??LPdx?Qdy??lPdx?Qdy????x?yD1?P?Q?當時，?LPdx?Qdy??lPdx?Qdy ?y?x，特別的（2）對非封閉的第二類線積分，首先考慮積分與路徑的關系； ① 若積分與路徑無關，則取特殊路徑l，（l與L方向一致）； 故?Pdx?Qdy??Pdx?Qdy

Ll② 若積分與路徑有關，但是

?P?Q，則用封口法，??k（k為常數）

?y?x取特殊路徑l與L構成閉合回路（閉合區域為D），則?Pdx?Qdy?k??dxdy??LDl_Pdx?Qdy。

補充:以上在在選擇特殊路徑l時，盡量選擇折線路徑（盡可能使得路徑l的各條線段平行于坐標軸，這樣能簡化計算）。7．求解全微分方程

已知du(x,y)=Pdx+Qdy,求u(x,y)=？ 方法一：曲線積分法

由曲線積分可得，u(x,y)=（0,0）方法二：湊微分法

即依據給定的Pdx+Qdy從形式上湊成u(x,y)的全微分； 方法三：不定積分法 由?u?P(x,y)兩邊對X積分得u(x,y)=?P(x,y)dx??(y)，?x?（x,y)Pdx?Qdy；

其中?(y)待定；再由

?u?Q(x,y)知，?(y)滿足： ?y?(?P(x,y)dx)??'(y)?Q(x,y),由此可求出?(y),從而求得u(x,y).?y

六、第一類曲面積分（對面積的曲面積分）

1． 引入概念及定義：求解空間曲面構件的質量（略去，不再敘述）對面積的曲面積分記做：，當f(x,y,z)??f(x,y,z)dS，?≡1時，所求對面積的曲面積分的結果就是曲面的面積。2． 對面積的曲面積分的計算（先投影、再代入、最后 基本思路：化為二重積分

曲面∑的方程為z=z(x,y)，設其在Oxy平面上的投影為Dxy,因為被積函數f(x,y,z)在∑上積分，且(x,y,z)滿足∑的方程，所以被積函數可寫成：f(x,y,z(x,y)),故

??f(x,y,z)dS=???Dxyf(x,y,z(x,y))1?zx?zydxdy,同理也可

22以將曲面?投影到Oyz,Oxz平面上。（在球面坐標系中，S的微元 dS=Rsin?d?d?）

3.計算中也可以用到對稱性，輪換對稱性、可加性等性質，參照前面幾個積分的總結即可。2

第二篇：重積分總結

多重積分的方法總結

計算根據被積區域和被積函數的形式要選擇適當的方法處理，這里主要是看被積區域的形式來選擇合適的坐標形式，并給區域一個相應的表達，從而可以轉化多重積分為多次的積分形式．具體的一些作法在下面給出．

一．二重積分的計算

重積分的計算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區域的形式, 選擇合適的坐標系來進行處理．二重積分主要給出了直角坐標系和極坐標系的計算方法．我們都可以從以下幾個方面把握相應的具體處理過程：1.被積區域在幾何直觀上的表現（直觀描述，易于把握）；2.被積分區域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應的積分限）；3.化重積分為多次積分．

1.在直角坐標下：(a)X-型區域

幾何直觀表現：用平行于y軸的直線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數y?y1(x)和y?y2(x)；

被積區域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型區域

幾何直觀表現：用平行于x軸的直線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由左右交點位于的曲線確定兩個函數x?x1(x)和x?x2(x)；

被積區域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??f(x,y)dxdy??Ddcdx?x2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在極坐標下：

幾何直觀表現：從極點出發引射線線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數r?r1(?)和r?r2(?)（具體如圓域，扇形域和環域等）；

被積區域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果極點在被積區域的內部，則有特殊形式D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}； 直角坐標下的二重積分化為極坐標下的二重積分，并表示成相應的二次積分：

??Df(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D?2r2(?)?1r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

注：具體處理題目時，首要要能夠選擇適當的處理方法，并能夠實現不同積分次序及直角坐標和極坐標的轉化．

3.二重積分的換元法：

z?f(x,y)在閉區域D上連續，設有變換

?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? y?y(u,v)?將D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)關于u, v有一階連續的偏導數，且

J??(x,y)?0,(u,v)?D? ?(u,v)則有

??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD?

二．三重積分的計算

三重積分具體的處理過程類似于二重積分，也分為三個步驟來進行處理． 1.在直角坐標下：

空間區域幾何直觀表現：用平行于z軸的直線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把區域投影到xoy面上從而確定(x,y)的范圍，記為Dxy；

被積區域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 進一步地, Dxy可以表示成X－型區域或Y－型區域;三重積分化為三次積分：

???f(x,y,z)dV???dxdy?VDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所謂“二套一”的形式）dy?z2(x,y)??dx?dy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為X－型）

??dy?cx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為Y－型）

注：類似于以上的處理方法，把空間區域投影到 yoz面或zox面又可把三重積分轉化成不同次序的三次積分．這時區域幾何直觀表現，區域的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見，三重積分最多可以對應六種積分次序．這里還有所謂一套二的處理方法，區域的直觀表現為：平行于xoy面的截面面積容易求得．作為被積函數最好與x，y無關，即可表示為為f(z)．則區域表示為：

V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz}, 其中Dz表示垂直于z軸的截面．此時，三重積分化為：

???f(x,y,z)dV??Vdcdz??f(z)dxdy

（所謂“一套二”的形式）

Dz

??f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面積，它是關于z的函數．

2.在柱坐標下：

柱坐標與直角坐標的關系：

?x?rcos???y?rsin?,(0?r??,0???2?,???z???)?z?z?空間區域幾何直觀表現：用平行于z軸的直線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數z?z1(x,y)和z?z1(x,y)．空間區域在xoy面上的投影區域易于用參數r和?表示范圍（具體如圓域，扇形域和環域等），并且z?z1(x,y)和z?z1(x,y)也易于進一步表示z成關于r,?較簡單的函數形式，比如x2?y2可以看成一個整體（具體如上、下表面為旋轉面的情形）；

被積區域的集合表示：

V?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?),z1(r,?)?z?z2(r,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應的三次積分：

???f(x,y,z)dV????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dzVV??d???1?2r2(?)r1(?)rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz．

3.在球坐標下：

球坐標與直角坐標的關系： ?x?rsin?cos???y?rsin?sin?,(0?r??,0???2?,0????)?z?cos??空間區域幾何直觀表現：從原點出發引射線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個球坐標函數r?r1(r,?)和r?r2(r,?);（具體如球心在原點或z軸上的球形域）

被積區域的集合表示：

V?{(r,?,?)?1????2,?1????2,r1(?,?)?r?r2(?,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應的三次積分：

???Vf(x,y,z)dV????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?

V=?2?0d??d??02??r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．如球心在原點半徑為a的球形域下：

???Vf(x,y,z)dV??d??d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

000?a4.三重積分的換元法：

u?f(x,y,z)在閉區域V上連續，設有變換

?x?x(u,v,w)?T:?y?y(u,v,w),(u,v,w)?V? ?z?z(u,v,w)?將V?一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)關于u, v和w有一階連續的偏導數，且

J??(x,y,z)?0,(u,v)?V?

?(u,v,w)則有

???f(x,y,z)dV????f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重積分的幾何和物理應用 1.幾何應用

a)二重積分求平面區域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．

求曲面的面積A，對應著曲面方程為直角坐標系下的二元函數形式和參數方程形式分別有以下公式：

i)曲面方程 S:z?f(x,y),(x,y)?D

A???1?fx2?fy2dxdy

D?x?x(u,v)?ii)曲面參數方程S:?y?y(u,v),(u,v)?Duv

?z?z(u,v)?iA???(xui?yuj?zuk)?(xvi?yvj?zvk)dudv???xuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：這里的公式都對函數有相應的微分條件． 2.物理應用

包括求質量、質心、轉動慣量和引力等應用，積分是研究物理問題的重要工具．建立物理量對應的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發，找到所求量對應的微元，也就是對應積分的被積表達式了．

以上對多重積分的計算方法做了個小結，關鍵要在具體的情況下要找到對應的適宜的處理方法．處理重積分計算時從幾何形式出發，則易于直觀把握．注意選擇適當的坐標系，注意被積區域的表達，還要注意函數關于區域的對稱性．這種對稱性包括奇對稱和偶對稱，從而可以簡化計算過程．

第三篇：多重積分方法總結

摘要：二重積分和三重積分的概念都有實際的幾何或物理的背景，定義分為四個步驟用構造的方法給出，最終表現為“黎曼和”的極限．故多重積分具有極限的基本性質，如唯一性，線性性質等．定義給出了概念的一個準確描述方法，進而從定義出發可以從純邏輯上考察概念具有的性質以及計算方法． 關鍵詞：二重積分 三重積分

英文題目 Summary of multiple integral method Abstract: The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, definition is divided into four steps with the method of structure are given, finally shown as “Riemann and” limit.So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties.Definition of the concept of a given accurate description method, and from the definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method.Keyword: The double integral triple integral 1.引言：重積分的計算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區域的形式, 選擇合適的坐標系來進行處理．二重積分主要給出了直角坐標系和極坐標系的計算方法．我們都可以從以下幾個方面把握相應的具體處理過程：1.被積區域在幾何直觀上的表現（直觀描述，易于把握）；2.被積分區域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應的積分限）；3.化重積分為多次積分． 2.研究問題及成果 2.1．二重積分的計算 1.在直角坐標下：(a)X-型區域

幾何直觀表現：用平行于y軸的直線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數y?y1(x)和y?y2(x)；

被積區域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型區域

幾何直觀表現：用平行于x軸的直線穿過區域內部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由左右交點位于的曲線確定兩個函數x?x1(x)和x?x2(x)；

被積區域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?cdx2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在極坐標下：

幾何直觀表現：從極點出發引射線線穿過區域內部，與邊界的交

點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數； r?r1(?)和r?r2(?)（具體如圓域，扇形域和環域等）被積區域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果極點在被積區域的內部，則有特殊形式D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}；

直角坐標下的二重積分化為極坐標下的二重積分，并表示成相應的二次積分：

??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd????DD?21d??r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

注：具體處理題目時，首要要能夠選擇適當的處理方法，并能夠實現不同積分次序及直角坐標和極坐標的轉化．

3.二重積分的換元法：

z?f(x,y)在閉區域D上連續，設有變換

?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? ?y?y(u,v)將D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)關于u, v有一階連續的偏導數，且

J??(x,y)?0,(u,v)?D? ?(u,v)則有

??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD?

二． 三重積分的計算

三重積分具體的處理過程類似于二重積分，也分為三個步驟來進行處理．

1.在直角坐標下：

空間區域幾何直觀表現：用平行于z軸的直線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把區域投影到xoy面上從而確定(x,y)的范圍，記為Dxy；

被積區域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 進一步地, Dxy可以表示成X－型區域或Y－型區域;三重積分化為三次積分：

???Vf(x,y,z)dV???dxdy?Dxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所謂“二套一”的形

式）

??dx?aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為X－型）

??dy?cdx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為Y－型）

注：類似于以上的處理方法，把空間區域投影到 yoz面或zox面又可把三重積分轉化成不同次序的三次積分．這時區域幾何直觀表現，區域的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見，三重積分最多可以對應六種積分次序．這里還有所謂一套二的處理方法，區域的直觀表現為：平行于xoy面的截面面積容易求得．作為被積函數最好與x，y無關，即可表示為為f(z)．則區域表示為：

V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz}, 其中Dz表示垂直于z軸的截面．此時，三重積分化為：

???f(x,y,z)dV??Vdcdz??f(z)dxdy

（所謂“一套二”的形式）

Dz

??cf(z)SDdz

zd其中SD表示截面Dz的面積，它是關于z的函數．

z2.在柱坐標下：

柱坐標與直角坐標的關系：

?x?rcos???y?rsin?,(0?r??,0???2?,???z???)?z?z?空間區域幾何直觀表現：用平行于z軸的直線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數z?z1(x,y)和z?z1(x,y)．空間區域在xoy面上的投影區域易于用參數r和?表示范圍（具體如圓域，扇形域和環域等），并且z?z1(x,y)和z?z1(x,y)也易于進一步表示

z成關于r,?較簡單的函數形式，比如x2?y2可以看成一個整體（具體如上、下表面為旋轉面的情形）；

被積區域的集合表示：

V?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?),z1(r,?)?z?z2(r,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應的三次積分：

???f(x,y,z)dV????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dzVV

?2r2(?)z2(r,?)??d???1r1(?)rdr?z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz．

3.在球坐標下：

球坐標與直角坐標的關系：

?x?rsin?cos???y?rsin?sin?,(0?r??,0???2?,0????)?z?cos??空間區域幾何直觀表現：從原點出發引射線穿過區域內部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個球坐標函數r?r1(r,?)和r?r2(r,?);（具體如球心在原點或z軸上的球形域）

被積區域的集合表示：

V?{(r,?,?)?1????2,?1????2,r1(?,?)?r?r2(?,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應的三次積分：

???Vf(x,y,z)dV????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?

V=?2?0d??d??0?r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

如球心在原點半徑為a的球形域下：

???Vf(x,y,z)dV??d??d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

0002??a4.三重積分的換元法：

u?f(x,y,z)在閉區域V上連續，設有變換

?x?x(u,v,w)?T:?y?y(u,v,w),(u,v,w)?V? ?z?z(u,v,w)?將V?一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)關于u, v和w有一階連續的偏導數，且

J??(x,y,z)?0,(u,v)?V?

?(u,v,w)則有

???f(x,y,z)dV????f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重積分的幾何和物理應用 1.幾何應用

a)二重積分求平面區域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．

求曲面的面積A，對應著曲面方程為直角坐標系下的二元函數形式和參數方程形式分別有以下公式：

i)曲面方程 S:z?f(x,y),(x,y)?D

A???1?fx2?fy2dxdy

D?x?x(u,v)ii)曲面參數方程S:??y?y(u,v),(u,v)?Duv

?z?z(u,v)?iA???(xui?yuj?zuk)?(xvi?yvj?zvk)dudv???xuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：這里的公式都對函數有相應的微分條件． 2.物理應用

包括求質量、質心、轉動慣量和引力等應用，積分是研究物理問題的重要工具．建立物理量對應的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發，找到所求量對應的微元，也就是對應積分的被積表達式了．

3.結束語：以上對多重積分的計算方法做了個小結，關鍵要在具體的情況下要找到對應的適宜的處理方法．處理重積分計算時從幾何形式出發，則易于直觀把握．注意選擇適當的坐標系，注意被積區域的表達，還要注意函數關于區域的對稱性．這種對稱性包括奇對稱和偶對稱，從而可以簡化計算過程．

參考文獻

1.華東師范大學數學系 數學分析 高等教育出版社 2.陳傳璋 復旦第二版 數學分析 高等教育出版社

第四篇：導數與積分總結

導數與積分

1．導數的概念

函數y=f(x),如果自變量x在x0處有增量?x，那么函數y相應地有增量

?y=f（x0+?x）－f（x0），比?y值?x?y叫做函數y=f（x）在x0到x0+?x之間的平均變化率，即?x=

f(x0??x)?f(x0)?x。如果當?y?x?0時，?x有極限，我們就說函數y=f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x0處的導數，記作f’（x0）或y’|x?x0。

f(x0??x)?f(x0)?ylimlim?x?x?0?x?x?00即f（x）==2．導數的幾何意義。

函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的斜率是f’（x0）。相應地，切線方程為y－y0=f`（x0）（x－x0）。

3．幾種常見函數的導數:

xn??nxn?1;(sinx)??cosx??0;C(cosx)???sinx;①②③;

④??xxxx??(e)?e;(a)?alna;

⑦⑤⑥

?lnx???11?logax???logaex;

⑧x.4．兩個函數的和、差、積的求導法則

?u?u'v?uv'''''''??u?v)?u?v.(uv)?uv?uv.?v?‘=v2(（v?0）。

復合函數的導數：

單調區間：一般地，設函數

y?f(x)在某個區間可導，如果f'(x)?0，則f(x)為增函數；如果f'(x)?0，則f(x)為減函數；

f'(x)?0，則f(x)為常數； 如果在某區間內恒有2．極點與極值：

曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正； 3．最值：

一般地，在區間[a，b]上連續的函數f①求函數?②求函數?

(x)在[a，b]上必有最大值與最小值。

(x)在(a，b)內的極值；(x)在區間端點的值?(a)、?(b)；

(x)的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。③將函數? 4．定積分

（1）概念：設函數f(x)在區間[a，b]上連續，用分點a＝x0

n間長度），把n→∞即△x→0時，和式In的極限叫做函數f(x)在區間[a，b]上的定積分，記作：

?baf(x)dx，?即ba?ff(x)dxlimn??＝i?1n(ξi)△x。

這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間[a，b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。基本的積分公式：

1m?1x?0dx＝C；?xdx＝m?1＋C（m∈Q，m≠－1）

； m1?xdx＝lnxxaexdxexaxdx??＋C；＝＋C；＝lna＋C；

?cosxdx＝sinx＋C；?sinxdx＝－cosx＋C（表中C均為常數）。

（2）定積分的性質 ①??babkf(x)dx?k?f(x)dxabab（k為常數）；

ba?②③abf(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dxf(x)dx??f(x)dx??f(x)dxaccb；

a（其中a＜c＜b。)（3）定積分求曲邊梯形面積

由三條直線x＝a，x＝b（a

?baf1(x)dx??f2(x)dxab。

第五篇：高數積分總結

高數積分總結

一、不定積分

1、不定積分的概念也性質

定義1：如果在區間I上，可導函數F（x）的導函數為f(x)，即對任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函數F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區間I上的原函數。定義2：在區間I上，函數f（x）的帶有任意常數項的原函數稱為f（x）（或者f(x)dx）在區間I上的不定積分，記作

?f(x)dx。

性質1：設函數f(x)及g(x)的原函數存在，則

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性質2：設函數f(x)的原函數存在，k為非零常數，則

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、換元積分法(1)第一類換元法：

定理1：設f(u)具有原函數，???(x)可導，則有換元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 將??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二類換元法：

定理2：設x??(t)是單調的、可導的函數，并且?'(t)?0.又設f[?(t)]?'(t)具有原函數，則有換元公式

?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函數。

t???1(x)，例：求?dxx?a22(a?0)

22解

∵1?tant?sect，????設x??tant???t??，那么

2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，于是

?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx∴?∵sect?∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C

x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?

3、分部積分法

定義：設函數???(x)及???(x)具有連續導數。那么，兩個函數乘積的導數公式為

????'??'????'

移項得

??'?(??)'??'?

對這個等式兩邊求不定積分，得

???'dx??????'?dx

此公式為分部積分公式。例：求?xcosxdx 解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx

∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?分部積分的順序：反對冪三指。

4、有理函數的積分 例：求?x?1dx 2x?5x?62解

∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故設

x?1AB??

x2?5x?6x?3x?2其中A,B為待定系數。上式兩端去分母后，得

x?1?A(x?2)?B(x?3)

即

x?1?(A?B)x?2A?3B

比較上式兩端同次冪的系數，既有

?A?B?1 ??2A?3B??1從而解得

A?4,B??3 于是

x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函數可以化做有理函數。

5、積分表的查詢

二、定積分

1、定積分的定義和性質

（1）定義：設函數f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干個分點

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把區間?a,b?分成n個小區間

?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?

各個小區間的長度依次為

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1

在每個小區間?xi?1,xi?上任取一點?i?xi?1??i?xi?，作函數值f(?i)與小區間長度?xi的乘積f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和

S??f(?i)?xi

i?1n記??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不論對?a,b?怎么劃分，也不論在小區間xi?1,xi上點?i怎么選取，只要當??0時，和S總趨于確定??的極限I，那么稱這個極限I為函數(簡稱積分)，記作

f(x)在區間?a,b?上的定積分

?baf(x)dx，即

n?其中變量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi

??0i?1f(x)叫做被積函數，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分a叫做積分下限，b叫做積分上限，?a,b?叫做積分區間。

f(x)在區間?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)定理1：設f(x)在區間?a,b?上連續，則f(x)在?a,b?上可積。定理2：設在?a,b?上可積。（2）性質1：

性質2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx

ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

(k是常數)

性質3：設a?c?b，則

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

性質4：如果在區間?a,b?上f(x)?1，則

?1dx??dx?b?a

aabb

性質5：如果在區間?a,b?上，f(x)?0，則

??babaf(x)dx?0?a?b?

推論1：如果在區間?a,b?上，f(x)?g(x)，則

f(x)dx??g(x)dx?a?b?

ab

推論2：

?baf(x)dx??f(x)dx(a?b)

ab

性質6：設M及m分別是函數最小值，則

f(x)在區間?a,b?上的最大值和m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)

ab

性質7(定積分中值定理)：如果函數f(x)在積分區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少存在一個點?，使下式成立

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

2、微積分基本公式(1)積分上限函數及其導數

定理1：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則積分上限的函數

??x???f(t)dt

ax在?a,b?上可導，并且它的導數

dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)?adx定理2：如果函數f(x)在區間?a,b?上連續，則函數

?(x)??f(t)dt

ax就是f(x)在區間?a,b?上的一個原函數。

f(x)在區間?a,b?上的一個原函(2)牛頓-萊布尼茨公式

定理3：如果函數F(x)是連續函數數，則

?(1)定積分的換元法 定理：

三、多元函數微分

四、重積分

五、曲面和曲線積分

baf(x)dx?F(b)?F(a)

3、定積分的換元法和分部積分法