第一篇：論數(shù)學(xué)史的教育價值 正文版

論數(shù)學(xué)史的教育價值

The educational value of Mathematics History

專

業(yè):

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

作

者:

指導(dǎo)老師:

二○一四年五月

湖南理工學(xué)院

本科畢業(yè)論文

摘 要

數(shù)學(xué)史是穿越時空的數(shù)學(xué)智慧，數(shù)學(xué)的發(fā)展史給我們呈現(xiàn)了一幅源遠(yuǎn)流長、日新月異的畫卷。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能使我們獲得思想上的啟迪和精神上的陶冶，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、幫助我們理解數(shù)學(xué)、加深對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，有利于學(xué)生和老師形成正確的數(shù)學(xué)觀，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和方法，有利于從數(shù)學(xué)發(fā)展的本質(zhì)對數(shù)學(xué)教育提供理論指導(dǎo)。數(shù)學(xué)史也是數(shù)學(xué)課程不可缺少的組成部分，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史教育，不僅能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的價值，也能體現(xiàn)情感、態(tài)度、價值觀方面的價值。只有把數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展過程和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的認(rèn)知變化過程相結(jié)合，才可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的教育價值。著名數(shù)學(xué)家M．克萊因認(rèn)為：“每一位中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該知道數(shù)學(xué)史，有很多理由，但最重要的一條理由或許是，數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南。”

數(shù)學(xué)史具有多方面的教育價值：它有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；有利于對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育；有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方法；有利于辯證唯物主義世界觀的形成；有利于提高學(xué)生的美學(xué)修養(yǎng)。

關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)史 數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)史教育 價值

I 湖南理工學(xué)院

本科畢業(yè)論文

[空一行黑體小三號]

Abstract

[空一行黑體小四號]

Based on adding Lipchitz condition, we prove the high dimensional implicit function theorem using Picard iterative, which provides another proof of it.Furthermore, we obtain a method for the approximate explicit expression of implicit function.Keywords: Picard iterative method;implicit function theorem;Lipchitz condition [注: 以上英文摘要部分的字體都是Times New Roman, 且每一段開始都需空四個英文字符, Abstract為加粗小三, Keywords為加粗小四, 其余小四, 關(guān)鍵詞之間用分號隔開, 關(guān)鍵詞首寫字母不大寫(專有名詞除外)]

II 湖南理工學(xué)院

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目錄

摘 要....................................................................I ABSTRACT.................................................................II 0 引言...................................................................1 1 什么是數(shù)學(xué)史...........................................................1 2 數(shù)學(xué)史的發(fā)展...........................................................2 3 數(shù)學(xué)史的重要意義.......................................................1 4 為什么數(shù)學(xué)教育需要數(shù)學(xué)史...............................................2 5 數(shù)學(xué)史的教育價值.......................................................1 5.1有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣......................................3 5.2有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)............................................3 5.3有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和方法..........................................4 5.4從數(shù)學(xué)發(fā)展的本質(zhì)對數(shù)學(xué)教育提供理論指導(dǎo)............................4 5.5有利于辯證唯物主義世界觀的形成....................................3 5.6有利于對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育......................................4 5.7人文教育價值......................................................3 5.8有利于提高學(xué)生的美學(xué)修養(yǎng)..........................................4 6 如何將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育結(jié)合.............................................2

參考文獻(xiàn)................................................................10

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1什么是數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)史研究的任務(wù)在于弄清楚數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的基本史實，再現(xiàn)其本來的面貌，同時通過這些歷史現(xiàn)象對數(shù)學(xué)成就、理論體系及發(fā)展模式作出科學(xué)合理的解釋、說明與評價，從而進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì)。作為數(shù)學(xué)史研究的基本方法與手段，常有歷史考證、比較研究、數(shù)理分析等方法。

史學(xué)家的職責(zé)就是根據(jù)史料敘述歷史，求實是史學(xué)的基本準(zhǔn)則。從17世紀(jì)開始，西方歷史學(xué)就形成了考據(jù)學(xué)，在中國出現(xiàn)更早，鼎盛于清代乾嘉時期，時至今日仍為歷史研究的主要方法。只不過隨著時代的進(jìn)步，考據(jù)方法在不斷地改進(jìn)，應(yīng)用范圍也在不斷拓寬而已。當(dāng)然，應(yīng)該認(rèn)識到史料也存在真?zhèn)危甲C過程中會涉及到考證者的心理狀態(tài)，這就必然會影響到考證材料的取舍與考證的結(jié)果。這也就是說，歷史考證結(jié)論的真實性是相對的。同時又應(yīng)該認(rèn)識到，考據(jù)也并非史學(xué)研究的最終目的，數(shù)學(xué)史研究不能為考證而考證。

不會比較就不會思考，所有的科學(xué)思考與調(diào)查都不能缺少比較，或者說，比較是認(rèn)識的開始。當(dāng)今世界的發(fā)展是多極的，不同國家、地區(qū)、不同民族之間在文化交流中共同發(fā)展，因而隨著多元化世界文明史研究的展開與西方中心論觀念的淡化，異質(zhì)的區(qū)域文明日益受到重視，從而不同地域數(shù)學(xué)文化的比較以及數(shù)學(xué)交流史研究也日趨變得活躍。數(shù)學(xué)史的比較研究往往圍繞數(shù)學(xué)成果、數(shù)學(xué)科學(xué)范式、數(shù)學(xué)發(fā)展的社會背景等三方面展開。

數(shù)學(xué)史既屬于史學(xué)領(lǐng)域，又屬于數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域。因此，數(shù)學(xué)史研究既要遵循史學(xué)規(guī)律，又要遵循數(shù)理科學(xué)的規(guī)律。根據(jù)這一特點，可以將數(shù)理分析作為數(shù)學(xué)史研究特殊的輔助手段，在缺乏史料或是史料真?zhèn)文娴那闆r下，站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，對古代數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法進(jìn)行數(shù)學(xué)原理分析，以達(dá)到正本清源、理論概括及提出歷史假說的目的。數(shù)理分析實際上是“古”與“今”之間的一種聯(lián)系。

1.1數(shù)學(xué)史的研究內(nèi)容

（1）數(shù)學(xué)史研究方法論問題；（2）總的學(xué)科發(fā)展史──數(shù)學(xué)史通史；

（3）數(shù)學(xué)各分支的分科史（包括細(xì)小分支的歷史）；

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（4）不同國家、地區(qū)、民族的數(shù)學(xué)史及其比較；（5）不同時期的斷代數(shù)學(xué)史；

（6）數(shù)學(xué)家傳記；

（7）數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法發(fā)展的歷史；

（8）數(shù)學(xué)發(fā)展與其他科學(xué)、社會現(xiàn)象之間的關(guān)系；

（9）數(shù)學(xué)教育史；

（10）數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)學(xué)；等等。

1.2數(shù)學(xué)史的研究范圍

按研究的范圍可分為內(nèi)史與外史。

內(nèi)史是從數(shù)學(xué)內(nèi)在的原因（包括與其他自然科學(xué)之間的關(guān)系）來研究數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史；

外史是從外在的社會原因（包括經(jīng)濟(jì)、政治、哲學(xué)思潮等原因）來研究數(shù)學(xué)發(fā)展和其他社會因素間的關(guān)系。

數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)研究的各個分支，和社會史、文化史的各個方面都有著密切的聯(lián)系，這表明數(shù)學(xué)史具有多學(xué)科交叉及綜合性強的性質(zhì)。

從研究材料上來說，考古資料、各種歷史文獻(xiàn)、歷史上的數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)、文化史資料，以及對數(shù)學(xué)家的訪問記錄等等，都是重要的研究對象，其中數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)是最常用且最重要的第一手研究資料。從研究目標(biāo)來說，可以研究數(shù)學(xué)概念、理論、思想、方法的演變史；可以研究數(shù)學(xué)科學(xué)和人類社會的互動關(guān)系；可以研究數(shù)學(xué)思想的傳播及交流史；可以研究數(shù)學(xué)家的生平，等等。

1.3一般數(shù)學(xué)教育工作者對數(shù)學(xué)史的理解

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的歷史。具體地說，它研究數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)理論的演化過程及其發(fā)展規(guī)律，研究數(shù)學(xué)家的思維方式、研究方法，研究數(shù)學(xué)科研中的成敗原因，研究數(shù)學(xué)發(fā)展中的不同觀點與理論之間的紛爭和融合，研究影響數(shù) 湖南理工學(xué)院

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學(xué)發(fā)展的各種歷史因素等等。數(shù)學(xué)史的內(nèi)容是非常豐富的，崗位不同的數(shù)學(xué)教育者根據(jù)不同的需要對數(shù)學(xué)史的理解也是不相同的[1]。

1.3.1 數(shù)學(xué)史就是數(shù)學(xué)家的故事

在義務(wù)教育和高中階段，很多數(shù)學(xué)教師認(rèn)為要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，就必須利用數(shù)學(xué)家的故事來吸引學(xué)生。他們經(jīng)常結(jié)合以數(shù)學(xué)家名字命名的公理、定理、原理，來介紹這些數(shù)學(xué)家的生平、數(shù)學(xué)成就及崇高的品質(zhì)，以此來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)和追求真理的良好品質(zhì)。數(shù)學(xué)家的名言和故事能夠使學(xué)生看到數(shù)學(xué)家深奧的思想、高度的智慧以及刻苦鉆研的精神，有利于啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛。顯然，在課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)家的故事是很容易活躍課堂氣氛、激發(fā)學(xué)生的求知欲、培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，但這些仍然不能保證學(xué)生的興趣能夠長期維持下去，尤其是當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到了理解性困難的時候。

數(shù)學(xué)家的高尚情操及追求真理的科學(xué)精神，數(shù)學(xué)家的成長及發(fā)展道路給人的教育和啟發(fā)甚至超過了數(shù)學(xué)知識本身，但這一切在數(shù)學(xué)教育中對學(xué)生的影響并不具有一般性，而且這些其他的科學(xué)家一樣可以給學(xué)生帶來同樣的影響。所以如果只是把數(shù)學(xué)史當(dāng)作數(shù)學(xué)家的故事集的話，數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)本身的特性則顯示不出來。

1.3.2 數(shù)學(xué)史就是數(shù)學(xué)成果史

數(shù)學(xué)史研究的是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，但是很多教師仍然只是把數(shù)學(xué)史當(dāng)作數(shù)學(xué)發(fā)展史。在課堂上強調(diào)的是數(shù)學(xué)如何發(fā)展到今天的體系，好像一切的產(chǎn)生是那么地自然，卻很少提到在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中數(shù)學(xué)發(fā)生的一面，也很少提及到數(shù)學(xué)發(fā)生是數(shù)學(xué)家思想觀念的碰撞、迷惑，很少提到數(shù)學(xué)家為了解決這些困惑所采取的方法尤其是不成功的方法。教師沉迷于數(shù)學(xué)成果的偉大之中，希望學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，殊不知也就是在這種數(shù)學(xué)史的灌輸下，很多學(xué)生都認(rèn)為數(shù)學(xué)是天才才能學(xué)習(xí)的學(xué)科，從而對部分學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)面的影響。

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本科畢業(yè)論文 數(shù)學(xué)史的發(fā)展

2.1 數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段

數(shù)學(xué)的發(fā)展具有階段性，因此研究者根據(jù)一定的原則把數(shù)學(xué)史分為了若干時期。目前學(xué)術(shù)界通常將數(shù)學(xué)的發(fā)展劃分為以下5個時期：

① 數(shù)學(xué)萌芽期（公元前600年以前）；

② 初等數(shù)學(xué)時期（公元前600年至17世紀(jì)中葉）；

③ 變量數(shù)學(xué)時期（17世紀(jì)中葉至19世紀(jì)20年代）；

④近代數(shù)學(xué)時期（19世紀(jì)20年代至第二次世界大戰(zhàn)）；

⑤ 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（20世紀(jì)40年代以來）。

2.2 數(shù)學(xué)的發(fā)展史

古代史

① 古希臘曾有人寫過《幾何學(xué)史》，但未能流傳下來。

② 5世紀(jì)普羅克洛斯對歐幾里得的《幾何原本》第一卷的注文中還保留有一部分資料。

③ 中世紀(jì)阿拉伯國家的部分傳記作品和數(shù)學(xué)著作中，講述到一些數(shù)學(xué)家的生平和其他有關(guān)數(shù)學(xué)史的材料。

④ 12世紀(jì)時，古希臘和中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)書籍傳入西歐。這些著作的翻譯既是數(shù)學(xué)研究，也是對古典數(shù)學(xué)著作的整理和保存。

⑤ 1556年，英國數(shù)學(xué)家用英語寫成了基礎(chǔ)算術(shù)和代數(shù)教科書《知識寶庫》。近代史

從18世紀(jì)，由C.博絮埃、J.蒙蒂克拉、A.C.克斯特納同時開始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《數(shù)學(xué)史》（1799～1802年又經(jīng)拉朗德增補）為代表。從19世紀(jì)末起，研究數(shù)學(xué)史的人逐漸增多，斷代史和分科史的研究也漸漸展開，1945年以后，更是有了新的發(fā)展。19世紀(jì)末以后的數(shù)學(xué)史研究可以分為以下幾個方 湖南理工學(xué)院

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面。

1．通史研究

代表作可以舉出M.B.康托爾的《數(shù)學(xué)史講義》 以及C.B.博耶、D.E.史密斯、洛里亞等人的著作。法國的布爾巴基學(xué)派寫了一部數(shù)學(xué)史收入《數(shù)學(xué)原理》，以尤什凱維奇為代表的蘇聯(lián)學(xué)者和以彌永昌吉、伊東俊太郎為代表的日本學(xué)者也都有多卷本數(shù)學(xué)通史出版。1972年美國M.克萊因所著的《古今數(shù)學(xué)思想》一書，是70年代以來的一部佳作。

2．古希臘史

許多古希臘數(shù)學(xué)家的著作被譯成了現(xiàn)代文字，在這方面作出成績的有胡爾奇、J.L.海貝格、T.L.希思等人。洛里亞和希思還寫了古希臘數(shù)學(xué)通史。20世紀(jì)30年代起，著名的代數(shù)學(xué)家范·德·瓦爾登在古希臘數(shù)學(xué)史方面也作出了成績。60年代以來匈牙利A.薩博的工作則更為突出，他從哲學(xué)史出發(fā)論述了歐幾里得公理體系的起源。

3．古埃及史

把巴比倫的楔形文字泥板算書和古埃及的紙草算書譯成現(xiàn)代文字是很艱難的工作。查斯和阿奇博爾德等人都譯過紙草算書，而諾伊格鮑爾鍥而不舍數(shù)十年對楔形文字泥板算書的研究則更為有名。他所著的《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)史料研究》、《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)書》都是這方面的權(quán)威性著作。他所著《古代精密科學(xué)》一書，匯集了半個世紀(jì)以來關(guān)于古埃及和巴比倫數(shù)學(xué)史的研究成果。范·德·瓦爾登的《科學(xué)的覺醒》一書，則又加進(jìn)了古希臘數(shù)學(xué)史，成為古代世界數(shù)學(xué)史的權(quán)威性著作之一。

4．?dāng)啻?/p>

德國數(shù)學(xué)家（C.）F.克萊因著的《19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展史講義》一書，是斷代體近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究的開端，它成書于20世紀(jì)，但其中所反映出來的對數(shù)學(xué)的看法卻大部分是19世紀(jì)的。直到1978年法國數(shù)學(xué)家讓·亞歷山大·歐仁·迪厄多內(nèi)所寫的《1700～1900數(shù)學(xué)史概論》出版前，斷代體數(shù)學(xué)史專著并不多，但卻有（C.H.）H.外爾寫的《半個世紀(jì)的數(shù)學(xué)》之類的著名論文。對數(shù)學(xué)各分支的歷史，從概率論、數(shù)論，直到流形概念、希爾伯特數(shù)學(xué)問題的歷史等，有多種專著出現(xiàn)，并且不乏名家手筆。許多著名數(shù)學(xué)家參與了數(shù)學(xué)史的研究，可能是基于 湖南理工學(xué)院

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（J.-）H.龐加萊的以下信念，即:“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀”，或如H.外爾所說的：“如果不知道遠(yuǎn)溯古希臘各代前輩所建立和發(fā)展的概念方法和結(jié)果，我們就不可能理解近50年來數(shù)學(xué)的目標(biāo)，也不可能理解它的成就。”

5．?dāng)?shù)學(xué)家傳

他們的全集與《選集》的整理和出版，是數(shù)學(xué)史研究的大量工作之一。此外還有多種《數(shù)學(xué)經(jīng)典論著選讀》的出現(xiàn)，記錄了歷代數(shù)學(xué)家成名之作的珍貴片斷。

6．?dāng)?shù)學(xué)雜志

最早出現(xiàn)于19世紀(jì)末葉，M.B.康托爾和洛里亞都曾主編過數(shù)學(xué)史雜志，最有名的是埃內(nèi)斯特勒姆主編的《數(shù)學(xué)寶藏》。現(xiàn)代則有國際科學(xué)史協(xié)會數(shù)學(xué)史分會主編的《國際數(shù)學(xué)史雜志》。

外國史

在17、18世紀(jì)以前，三角學(xué)在歐洲已有所發(fā)展。就以三角學(xué)的名字而言，是德國數(shù)學(xué)家畢的斯克斯(B.Pitiscus, 1561-1613)在 1595 年出版的《三角學(xué)，或解三角形五卷(Trigonometriae Sive, De dimensione Triangulor Libriquinque)》中，首先提出來的，解釋說：“Trigonometriae est doctrina dedimausione triangulaum(三角學(xué)就是解三角形的學(xué)說)”。其“Trigonometriae”一詞是由拉丁文“trigonon(三角形)”及“metron(測量)”兩詞所組成，而這兩詞是由希臘文“Τριγωμον(三角形)”及“Μετρον(測量)”演變來的。如將“trigonometriae”直譯為漢語，應(yīng)是“三角形的測量”。例如《大測》中所說“大測者，測三角形之法也。??，大於他測，故名大測”。若以近代術(shù)語來表示，當(dāng)為“解三角形”。三角學(xué)雖然起源很早，但其名稱卻形成較晚，由其名稱的形成來分析，三角形的測量或解三角形也是三角學(xué)的起源之一。在中國，“三角學(xué)”一名是由“三角算法”﹑“平三角”﹑“弧三角”等名稱漸漸演變而來的。

三角學(xué)的發(fā)展，由起源迄今差不多經(jīng)過了三﹑四千年之久，在古代，由於古代天文學(xué)的需要，為了計算某些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形，這些問題 湖南理工學(xué)院

本科畢業(yè)論文 的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)﹑古代平面三角學(xué)；雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展早于古代平面三角學(xué)，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)。在古希臘，為了便于觀察天體的運行及解球面三角形，著名天算家托勒密(Ptolemy,約87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,約公元前180-125)的基礎(chǔ)上，也編制了所謂“弦表”，他借助于幾何知識，編制了從 0到 90每隔(1/2)弧的弦長表，在編制中，也曾發(fā)現(xiàn)一些球面三角學(xué)與平面三角學(xué)的關(guān)系式，并且計算過(90－)弧的弦長；可是，希臘人卻未引用“α余弧的弦”或“余弦”這類名稱。

8-12世紀(jì)，希臘文化傳入印度以及阿拉伯，在這些國家里，不但提出“正弦”一詞，還以幾何方式定義了“余弦線”﹑“正切線”﹑“余切線”以及“正矢線”的意義，并編制了各種三角表；其編制方法雖不相同，但編制的數(shù)值卻相當(dāng)精密，對三角學(xué)提供了不少貢獻(xiàn)，阿拉伯天文學(xué)家納速拉丁(Nasir al-Din al-Tusi,1201-1274)在他的著作《論四邊形》里，首先把三角學(xué)從天文學(xué)中分割出來，看作為一門獨立的學(xué)科。12-15世紀(jì)，三角學(xué)傳入歐洲，德國著名數(shù)學(xué)家列吉奧蒙坦(Regiomontanus,1436-1476)興納速拉丁一樣，也把三角學(xué)看作一門獨立學(xué)科，著有《論各種三角形(De triangulis omnimodis)》，其中重點討論了三角形的解法，并編制了十分精密的“正弦表”，還創(chuàng)造了一些三角公式，對三角學(xué)理論提高到一定的水平，為三角學(xué)發(fā)展起到了不可忽視的作用。

中國史

中國以歷史傳統(tǒng)悠久而著名于世界，在歷代正史的《律歷志》“備數(shù)”條內(nèi)經(jīng)常論述到數(shù)學(xué)的作用和數(shù)學(xué)的歷史。例如較早的 《漢書·律歷志》說數(shù)學(xué)是“推歷、生律、制器、規(guī)圓、矩方、權(quán)重、衡平、準(zhǔn)繩、嘉量，探賾索穩(wěn)，鉤深致遠(yuǎn)，莫不用焉”。《隋書·律歷志》記錄了圓周率計算的歷史，記載了祖沖之的光輝成就。歷代正史《列傳》中，有時也給出了一些數(shù)學(xué)家的傳記，正史的《經(jīng)籍志》則記載有數(shù)學(xué)書目。

在中國古算書的序、跋中，常常會出現(xiàn)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容。如：劉徽注《九章算術(shù)》序中曾談到《九章算術(shù)》形成的歷史；王孝通“上緝古算經(jīng)表”中曾對劉徽、祖沖之等人的數(shù)學(xué)工作進(jìn)行了評論；祖頤為《四元玉鑒》所寫的序文中講述了由天元術(shù)發(fā)展為四元術(shù)的歷史。宋刊本《數(shù)術(shù)記遺》之后附錄有“算學(xué)源流”，這是中國，也是世界上最早用印刷術(shù)保存的數(shù)學(xué)史資料。程大位《算法統(tǒng)宗》書末 湖南理工學(xué)院

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附有“算經(jīng)源流”，記載了宋明間的數(shù)學(xué)書目。

以上所述都屬于零散的片斷資料，對中國古代數(shù)學(xué)史進(jìn)行較為系統(tǒng)的研究和整理，則是在乾嘉學(xué)派的影響下，清代中晚期進(jìn)行的。主要有：對古算書的整理和研究，《算經(jīng)十書》（漢唐間算書)和宋元算書的校訂、注釋和出版；編輯出版了《疇人傳》（數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家的傳記），它“肇自黃帝，迄于昭（清）代，凡為此學(xué)者，人為之傳”，它是由阮元、李銳等編輯的（1795～1799）。其后，羅士琳作“補遺”（1840），諸可寶作《疇人傳三編》（1886），黃鐘駿又作《疇人傳四編》（1898）。《疇人傳》，實際上就是一部人物傳記體裁的數(shù)學(xué)史。收入人物多，評論允當(dāng)，資料豐富，完全可以和蒙蒂克拉的數(shù)學(xué)史相媲美。

利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念，對中國的數(shù)學(xué)史進(jìn)行研究和整理，從而使中國數(shù)學(xué)史研究建立在現(xiàn)代科學(xué)方法之上的學(xué)科奠基人，是李儼和錢寶琮。他們都是從五四運動前后開始，搜集古算書，進(jìn)行考訂、整理，然后開展研究工作的。經(jīng)過半個多世紀(jì)，李儼的論文自編為《中算史論叢》（1～5集，1954～1955），錢寶琮則有《錢寶琮科學(xué)史論文集》（1984）行世。從20世紀(jì)30年代起，兩人都有通史性中國數(shù)學(xué)史專著出版，李儼有《中國算學(xué)史》（1937）、《中國數(shù)學(xué)大綱》（1958）；錢寶琮有《中國算學(xué)史》（上，1932）并且主編了《中國數(shù)學(xué)史》（1964）。錢寶琮校點的《算經(jīng)十書》（1963）和上述各種專著一樣，都是權(quán)威性的著作。

從19世紀(jì)末，就有人（偉烈亞力、赫師慎等）用外文發(fā)表中國數(shù)學(xué)史方面的文章。20世紀(jì)初日本人三上義夫的《數(shù)學(xué)在中國和日本的發(fā)展》，以及50年代李約瑟在其巨著《中國科學(xué)技術(shù)史》中對中國的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了全面的介紹。有一些中國的古典算書已經(jīng)有英、法、日、俄、德等文字的譯本。在英、美、日、俄、法、比利時等國都有人直接用中國古典文獻(xiàn)進(jìn)行中國數(shù)學(xué)史的研究，以及和其他國家、地區(qū)數(shù)學(xué)史的比較研究。

2.3 數(shù)學(xué)史上的三次危機

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)──第一次數(shù)學(xué)危機

大約在公元前5世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然和社會中不變因素的研究，把天文、幾何、算術(shù)、音樂稱為“四藝”，在其中追尋宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間的一切事物都可 湖南理工學(xué)院

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以歸結(jié)為整數(shù)或者整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項重大貢獻(xiàn)就是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)有些直角三角形的斜邊并不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比(不可通約)的情形，如直角邊長都為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸碰了畢氏學(xué)派的根本信條，引起了當(dāng)時認(rèn)識上的“危機”，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機。

到了公元前370年，畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法把這個矛盾解決了。他處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在了歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金在1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本保持一致。今天中學(xué)幾何課本對相似三角形的處理，仍然反映了不可通約量帶來的某些困難和微妙之處。第一次的數(shù)學(xué)危機對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有著極大的沖擊，這表明幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)或整數(shù)比來表示，反之卻可以由幾何量來表示，整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，幾何學(xué)的身份卻升高了。危機也表明了直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是最可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并因此建立了幾何公理體系，這絕對是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！

無窮小是零嗎？──第二次數(shù)學(xué)危機

18世紀(jì)，微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐中都有了廣泛且成功的應(yīng)用，大部分的數(shù)學(xué)家對這理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表了《分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，他將矛頭指向了微積分的基礎(chǔ)——無窮小問題，提出了所謂的貝克萊悖論。他指出：“牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時，采用了先給x以增量0，再應(yīng)用二項式(x+0)n，從中減去xn求得增量，并除以0以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓0消失，這樣得出增量的最終比。在這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)──先設(shè)x有增量，又令增量為零，即假設(shè)x沒有增量。”他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬的，“dx為失去量的靈魂”。無窮小量到底是不是零？無窮小及其分析又是否合理？由此引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機。

18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確不怎么嚴(yán)謹(jǐn)，直觀地強調(diào)形式的計算而忽視了基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚無窮小的概念，從而導(dǎo)致微分、導(dǎo)數(shù)、積分等概念也不清楚，無窮大的概念不清楚，符號的不嚴(yán)格使用，發(fā)散級數(shù)求和的任意性，湖南理工學(xué)院

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不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)和積分的存在性以及函數(shù)能否展成冪級數(shù)等等。

直到19世紀(jì)20年代，有些數(shù)學(xué)家才開始關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從阿貝爾、柯西、波爾查諾、狄里赫利等人的工作開始，到戴德金、威爾斯特拉斯和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

悖論的產(chǎn)生——第三次數(shù)學(xué)危機

數(shù)學(xué)史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊出現(xiàn)的，從整體來看，到現(xiàn)在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到了許多的數(shù)學(xué)分支，并且實際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然而然地引起了對數(shù)學(xué)整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。

1897年，福爾蒂揭露了集合論中的第一個悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了與之很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)一個悖論，它除了涉及集合概念本身外沒有涉及到別的概念。羅素悖論曾被多種形式通俗化，其中最著名的是羅素在1919年給出的，它牽涉到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了一條這樣的原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們嘗試回答下列疑問時，就認(rèn)識到了這類情況的悖論性質(zhì)：“理發(fā)師是否自己給自己刮臉呢？”如果他不給自己刮臉的話，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他也就不符合他的原則。

羅素悖論動搖了整個數(shù)學(xué)大廈。無怪乎弗雷格收到了羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》中的第2卷末尾寫道：“一位科學(xué)家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書等待印出的時候，羅素先生的一封信竟把我置于這種境地”。于是就終結(jié)了近12年的刻苦鉆研，承認(rèn)無窮集合、無窮基數(shù)，仿佛一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在漸漸地喪失。現(xiàn)代公理集合論的大堆公理，真的難說孰真孰假，但又不能把它們都消除掉，它們 湖南理工學(xué)院

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跟整個數(shù)學(xué)是緊密相連的。所以第三次危機表面上是解決了，實質(zhì)上更深刻地以其它形式在延續(xù)著。數(shù)學(xué)史的重要意義

3.1科學(xué)意義

每一門科學(xué)都有發(fā)展的歷史，作為歷史上的科學(xué)，不僅有其歷史性而且有其現(xiàn)實性。其現(xiàn)實性首先表現(xiàn)在科學(xué)概念和方法的延續(xù)性方面，今日的科學(xué)研究在一定程度上是對歷史上科學(xué)傳統(tǒng)的一種深化與發(fā)展，或者是對歷史上的科學(xué)難題的解決，因此我們無法割裂科學(xué)史與科學(xué)現(xiàn)實之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)科學(xué)有著悠久的歷史，與自然科學(xué)相比，數(shù)學(xué)更是積累性的科學(xué)，概念和方法更具有延續(xù)性，比如古代文明中形成的四則運算法則和十進(jìn)位值制記數(shù)法，我們今天仍在使用；諸如哥德巴赫猜想、費爾馬猜想等歷史上的難題，一直以來都是現(xiàn)代數(shù)論領(lǐng)域中的研究熱點，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和數(shù)學(xué)史材料可以在現(xiàn)實數(shù)學(xué)研究中獲得發(fā)展。國內(nèi)外許多著名的數(shù)學(xué)家都具有深厚的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)或是兼及數(shù)學(xué)史研究，并善于從歷史素材中吸取養(yǎng)分，做到古為今用，推陳出新。中國著名數(shù)學(xué)家吳文俊早年在拓?fù)鋵W(xué)研究領(lǐng)域取得了杰出的成就，七十年代開始研究中國數(shù)學(xué)史，在中國數(shù)學(xué)史研究的理論及方法方面開創(chuàng)了新的局面，尤其是在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)機械化思想的啟發(fā)下，建立了被譽作“吳方法”的關(guān)于幾何定理機器證明的數(shù)學(xué)機械化方法，他的工作不愧是古為今用，振興民族文化的典范。

科學(xué)史的現(xiàn)實性還表現(xiàn)在為我們當(dāng)前的科學(xué)研究提供了經(jīng)驗教訓(xùn)和歷史借鑒，使我們明確科學(xué)研究的方向，少走彎路或錯路，不僅為當(dāng)今科技發(fā)展決策的制定提供了依據(jù)，同樣是我們預(yù)見科學(xué)未來的依據(jù)。多了解數(shù)學(xué)史知識，我們也不會出現(xiàn)諸如解決三等分角作圖等荒唐事，可以避免我們在這樣的問題上浪費時間和精力。總結(jié)中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上的經(jīng)驗和教訓(xùn)，對當(dāng)今中國數(shù)學(xué)發(fā)展不無益處。

3.2 文化意義

美國數(shù)學(xué)史家M.克萊因曾說過：“一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數(shù)學(xué)活動密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個時代尤為明顯”。“數(shù)學(xué)不僅 湖南理工學(xué)院

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是一種方法、一種語言或一門藝術(shù)，數(shù)學(xué)更是一門有著豐富內(nèi)涵的知識體系，其內(nèi)容對社會科學(xué)家、哲學(xué)家、自然科學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時也影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說”。數(shù)學(xué)已廣泛地影響著人類的生活及思想，是形成現(xiàn)代文化的重要力量。因而數(shù)學(xué)史是從側(cè)面反映的人類文化史，又是人類文明史最重要的組成部分。許多歷史學(xué)家利用數(shù)學(xué)這面鏡子，了解古代其它主要文化的特征和價值取向。古希臘數(shù)學(xué)家強調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗陀纱说贸龅慕Y(jié)論，因此他們并不關(guān)心這些成果的實用性，而是教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，激發(fā)人們對理想與美的追求。通過希臘數(shù)學(xué)史的考察，就很容易理解為什么古希臘具有很難被后世超越的優(yōu)美文學(xué)、極端理性化的哲學(xué)，以及理想化的建筑和雕塑。而羅馬數(shù)學(xué)史告訴我們，羅馬文化是外來的，羅馬人缺乏獨創(chuàng)精神而更注重實用。

3.3 教育意義

當(dāng)我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)史之后，自然會有一種這樣的感覺：數(shù)學(xué)的發(fā)展并不合邏輯。或者說，數(shù)學(xué)發(fā)展的實際情況與我們今日所學(xué)的數(shù)學(xué)教科書有很大的不同。我們今日中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容大多屬于17世紀(jì)微積分學(xué)以前的初等數(shù)學(xué)知識，而大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容則基本上是17、18世紀(jì)的高等數(shù)學(xué)。這些數(shù)學(xué)教材已經(jīng)過千錘百煉，是在教育要求與科學(xué)性相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)編寫的，是將歷史上的數(shù)學(xué)材料按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)要求加以取舍編纂而成的知識體系，這樣就必然舍棄了許多數(shù)學(xué)方法和概念形成的知識背景、演化歷程和導(dǎo)致其演化的各種因素，因此僅僅依靠數(shù)學(xué)教材的學(xué)習(xí)，難以獲取數(shù)學(xué)的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的但或許對現(xiàn)實科學(xué)有用的數(shù)學(xué)材料和方法，而彌補這方面不足的最好途徑就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史。

在一般人看來，數(shù)學(xué)是一門枯燥乏味的學(xué)科，因而很多人將其視其為畏途。從某種程度上說，這是因為我們的數(shù)學(xué)教科書教授的往往是一些死板的、一成不變的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如果我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容而讓數(shù)學(xué)靈活起來，這樣就可以大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)方法、概念和原理的理解與認(rèn)識的深化。

科學(xué)史是一門文理交叉的學(xué)科，從當(dāng)今的教育現(xiàn)狀來看，文科與理科的鴻溝導(dǎo)致了我們的教育培養(yǎng)的人才已經(jīng)越來越不能適應(yīng)今日自然科學(xué)和社會科學(xué)高 湖南理工學(xué)院

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度滲透的現(xiàn)代化社會，正是由于科學(xué)史的學(xué)科交叉性才能顯示出其在溝通文理科方面的作用。通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生在接受數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的同時，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，文科或者其它專業(yè)的學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以了解數(shù)學(xué)的概貌，獲得數(shù)理方面的修養(yǎng)。而歷史上數(shù)學(xué)家的業(yè)績和品德也會在青少年的人格培養(yǎng)方面發(fā)揮十分重要的作用。

中國數(shù)學(xué)歷史悠久，14世紀(jì)前一直是世界上數(shù)學(xué)最發(fā)達(dá)的國家，出現(xiàn)過許多杰出的數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌的成就，交替影響著世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。但由于各種復(fù)雜原因，16世紀(jì)以后中國落后了，經(jīng)歷了漫長艱巨的發(fā)展歷程才慢慢匯入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的潮流。由于教育上的失誤，導(dǎo)致接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)文明熏陶的我們，常常數(shù)典忘祖，對祖國的傳統(tǒng)科學(xué)一無所知。數(shù)學(xué)史可以使學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的光輝成就，了解中國近代數(shù)學(xué)落后的原因、中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)狀、以及與發(fā)達(dá)國家數(shù)學(xué)之間的差距，從而激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，振興民族的科學(xué)。為什么數(shù)學(xué)教育需要數(shù)學(xué)史？

4.1數(shù)學(xué)家遇到的困難或挫折同樣也會為課堂上的學(xué)生所經(jīng)歷

米勒認(rèn)為, 許多重要的數(shù)學(xué)概念如此緩慢地進(jìn)入人類的智力生活, 并遭遇重重阻撓,這對于那些初次遇到這些概念的人, 或試圖把它們教給他人的人來說是極有意義的。意義何在? 瓊斯舉例說: 當(dāng)學(xué)生了解到負(fù)數(shù)概念發(fā)展并被人們接受、使用和理解經(jīng)過了漫長歲月時,他就不會因自己不理解這個概念而感到特別擔(dān)心。

M1 克萊因則堅信, 歷史上大數(shù)學(xué)家所遇到的困難,正是學(xué)生也會遇到的學(xué)習(xí)障礙,因而歷史是教學(xué)的指南:從一流數(shù)學(xué)誕生開始, 數(shù)學(xué)家花了 1000年才得到負(fù)數(shù)概念, 又花了 1000 年才接受負(fù)數(shù)概念,因此我們可以肯定,學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時必定會遇到困難, 而且他們克服這些困難的方式與數(shù)學(xué)家大致也是相同的[2] [3]。另一方面,他認(rèn)為講述數(shù)學(xué)家遭遇困難、挫折、失敗的經(jīng)歷對學(xué)生有著很好的教育意義: / 課本中的字斟句酌的敘述, 未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折, 以及在建立一個可觀的結(jié)構(gòu)之前,數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路。而學(xué)生一旦認(rèn)識到這些,他將不僅獲得真知灼見,還將獲得頑強地追究他所攻 湖南理工學(xué)院

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問題的勇氣, 并且不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到頹喪。[4] 事實上,數(shù)學(xué)史告訴我們:數(shù)學(xué)不過是人類的一種文化活動,人人可學(xué), 人人可做,盡管并非人人都有數(shù)學(xué)家的才能;而從事這種文化活動的數(shù)學(xué)家也是平凡的人, 同樣會遇到困難、挫折、失敗。了解這一點, 那么學(xué)生就不會為自己在學(xué)習(xí)過程中所遇困難、挫折和失敗而灰心喪氣,甚至錯誤地認(rèn)為自己沒有數(shù)學(xué)頭腦了。

4.2 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程相似

早在18 世紀(jì),法國實證主義哲學(xué)家、社會學(xué)創(chuàng)始人孔德(A.Comte, 1798-1857)提出, 個體知識的發(fā)生與歷史上人類知識的發(fā)生必然是一致的。卡約黎認(rèn)為,如果孔德的理論正確的話,那么數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說就是一種十分有效、不可或缺的工具。[5] 19 世紀(jì), 德國生物學(xué)家海克爾(E.Haeckel ,1843-1919)提出一個生物發(fā)生學(xué)定律:“個體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”。德國著名數(shù)學(xué)家 F.克萊因(F.Klein, 1849-1925)認(rèn)為,數(shù)學(xué)教學(xué)至少在原則上要遵循這項定律, 因為科學(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)人去作科學(xué)的思考, 而不是一開頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過科學(xué)洗練的系統(tǒng)。按照歷史順序教授數(shù)學(xué),能使學(xué)生“看清一切數(shù)學(xué)觀念的產(chǎn)生是如何遲緩;所有觀念最初出現(xiàn)時,幾乎常是草創(chuàng)的形式,只是經(jīng)過長期改進(jìn),才結(jié)晶為確定方法,成為大家熟悉的有系統(tǒng)的形式”。法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊(H.Poincar ,1854-1912)主張數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)完全按照歷史發(fā)展順序展現(xiàn)給讀者, 他說: “動物學(xué)家堅持認(rèn)為,在一個短時期內(nèi),動物胚胎的發(fā)育重蹈所有地質(zhì)年代其祖先們的發(fā)展歷史。人的思維發(fā)展似乎也是如此。教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷,迅速通過某些階段而不跳過任何階段。鑒于此,科學(xué)史應(yīng)該是我們的指南”。匈牙利著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞(G.Plya, 1887 ~1985)則指出: “只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識, 我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷”。荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H.Freudenthal , 1905~ 1990)亦持有類似觀點,稱“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程,盡管方式改變了”。[6] M.克萊因完全贊同上述各家觀點, 堅信歷史順序是教學(xué)的指南,并以此為依據(jù),對美國當(dāng)時的新數(shù)運動進(jìn)行了尖銳的批判:“數(shù)學(xué)家花了幾千年時間才理解無 湖南理工學(xué)院

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理數(shù),而我們竟貿(mào)然給中學(xué)生講戴德金分割。數(shù)學(xué)家花了三百年才理解復(fù)數(shù), 而我們竟馬上就教給學(xué)生復(fù)數(shù)是一個有序?qū)崝?shù)對。數(shù)學(xué)家花了約一千年才理解負(fù)數(shù), 但現(xiàn)在我們卻只能說負(fù)數(shù)是一個有序自然數(shù)對。從伽利略到狄利克雷, 數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念, 但現(xiàn)在卻由定義域、值域和有序?qū)?第一個數(shù)相同時第二個數(shù)也必須相同)來玩弄把戲。從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達(dá)和笛卡兒,沒有一個數(shù)學(xué)家能意識到字母可用來代表一類數(shù),但現(xiàn)在卻通過簡單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個概念”。

M.克萊因指出:“ 數(shù)學(xué)絕對不是課程中或教科書里所指的那種膚淺觀察和尋常詮釋。換句話說,它并不是從顯明敘述的公理推演出不可懷疑的結(jié)論來”。[7]算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角和微積分都不是通過操作無意義的符號或按規(guī)則玩弄游戲而產(chǎn)生的。從歷史上看,在曾經(jīng)鼎盛過的數(shù)以百計的文明中,只有一個希臘文明發(fā)展起我們今天所崇尚的演繹數(shù)學(xué),這就充分說明: 抽象的、演繹的數(shù)學(xué)并不是自然的,它遠(yuǎn)離一般人的思想、興趣和行為, 是一門高度復(fù)雜、深奧難懂的學(xué)科。歷史是一面鏡子。無理數(shù)、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)概念以及微積分等學(xué)科的歷史都說明: 數(shù)學(xué)家更多地往往是以直觀的方法進(jìn)行思考, 因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中,直觀方法是主要的,而演繹方法則是一個輔助性的工具。“新數(shù)”教材把數(shù)學(xué)當(dāng)作一系列嚴(yán)密的演繹結(jié)構(gòu), 無疑是本末倒置的。

一些美國學(xué)者堅信, 指導(dǎo)個體認(rèn)知發(fā)展的最佳方法是讓他回溯人類的認(rèn)知發(fā)展1152。即使知識點A 在邏輯上先于知識點B,但如果B 在歷史上先于A 出現(xiàn), 那么我們?nèi)詰?yīng)先教B。

4.3 歷史上的數(shù)學(xué)問題提供了豐富的社會文化信息

美國學(xué)者史韋茲(F.J.Swetz)認(rèn)為, 用歷史來豐富數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),一個直接的方法是讓學(xué)生去解一些早期數(shù)學(xué)家感興趣的問題。[8]這些問題讓學(xué)生回到問題提出的時代, 反映當(dāng)時人們所關(guān)心的數(shù)學(xué)主題。學(xué)生在解決數(shù)世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)問題時,會經(jīng)歷某種激動和滿足。他主張,教師可以搜集歷史上不同時期和不同文化的數(shù)學(xué)問題, 并布置給學(xué)生去解決、比較, 如不同文化背景(如巴比倫、中國、意大利)下的勾股定理應(yīng)用問題。史氏認(rèn)為, 從歷史上的數(shù)學(xué)問題中, 學(xué)生還可以獲得一些文化的和社會的信息。如“給船制作帆布, 每塊帆布

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1000平方腕尺,帆高與寬之比為1 比3/2。問帆高為多少?”從中可以了解到公元前250 年一艘埃及船只桅桿的高度;“當(dāng) 1蒲式耳小麥值8 里拉時, 面包師傅可制作一塊重6盎司的面包;問:當(dāng)1 蒲式耳值5 里拉時,一塊面包重幾盎司?”從中可以推出15 世紀(jì)威尼斯一塊面包的大小;“一位先生勞動一天,得工錢4 元, 每周付伙食費 8 元;10 周后他掙得144 元;問他空閑的天數(shù)和勞動的天數(shù)?”從中可以確定內(nèi)戰(zhàn)后美國人12 小時工作日每小時的薪水,等等。

4.4 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育課程整合的意義

將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育課程進(jìn)行整合, 對強化教師教育課程的整體功能, 促進(jìn)學(xué)生專業(yè)成長, 從而更好地適應(yīng)基礎(chǔ)教育課程改革都具有積極的推動作用。1.將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育課程整合, 提升“數(shù)學(xué)史”的教育價值

在數(shù)學(xué)專業(yè)中, 《數(shù)學(xué)史》課時普遍比較少(約 30-45課時), 因而只能以粗拙的大線條略帶專題的方式進(jìn)行教學(xué), 學(xué)生難得有深入思考的機會。至于讓學(xué)生考察數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價值與運用就更加不可能。這就導(dǎo)致了一種尷尬局面: 師范生學(xué)了“數(shù)學(xué)史”, 從教后卻不能運用數(shù)學(xué)史搞好數(shù)學(xué)教育、教學(xué)工作。將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育課程整合, 即對《數(shù)學(xué)史》、《數(shù)學(xué)教育學(xué)概論》、《數(shù)學(xué)教學(xué)法》 等課程進(jìn)行整合性思考, 分析數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的深刻聯(lián)系, 適當(dāng)調(diào)整課程內(nèi)容與課程安排, 以提升“數(shù)學(xué)史”的教育價值, 為德育教育提供舞臺。

2.強化教師教育課程的整體功能, 促進(jìn)學(xué)生的專業(yè)成長

將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育課程進(jìn)行整合, 可以提升數(shù)學(xué)教育的文化價值, 強化教師教育課程的整體功能: 既優(yōu)化提升了數(shù)學(xué)教育類課程的教育效果, 又延伸并服務(wù)于基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革, 促進(jìn)學(xué)生的專業(yè)成長, 達(dá)到提高學(xué)生 “數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)”與“教師職業(yè)素養(yǎng)”的目的。3.滿足普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的需求

在普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的視域下, 將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育課程進(jìn)行整合, 改革《數(shù)學(xué)史》課程的設(shè)置與教學(xué)方案, 加強數(shù)學(xué)教育整體功能的發(fā)揮, 有利于探尋為普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)服務(wù)的“數(shù)學(xué)史”教育途徑, 推進(jìn)數(shù)學(xué)教育更好地適應(yīng)基礎(chǔ)教育課程改革, 從而推進(jìn)自身改革的健康發(fā)展。[9]

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5.1 有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

興趣是最好的老師。數(shù)學(xué)的歷史背景通常是有趣并且富有啟發(fā)意義的，它對于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性是非常有效的。希臘著名幾何難題、阿基米德、卡丹、伽羅瓦、高斯等人的故事都是課堂上的精彩有趣的歷史話題。在眾多的情境中, 可以讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥無味的學(xué)科，而是一門不斷進(jìn)步的生動有趣的學(xué)科。[10]讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歷史文化發(fā)展的燦爛進(jìn)程和中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家勇于探索、刻苦鉆研、為之奮斗終身的精神, 一定會被數(shù)學(xué)家的驚人毅力、執(zhí)著精神以及他們?nèi)〉玫木薮蟪删退鄯０駱拥牧α渴菬o窮的。瀏覽一下眾多歷史偉人的傳記，可以從中發(fā)現(xiàn),在影響它們成功的眾多因素中，總是包括某些杰出的先驅(qū)。特別是對那些最活躍、最具創(chuàng)造性人生的人，其作用更為明顯。

5.2 有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)

讀史使人明“知”，數(shù)學(xué)專業(yè)知識與歷史知識是互補的，專業(yè)知識的學(xué)習(xí)需要歷史知識幫助分析與思考。通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的時候，是火熱地思考著的，一旦研究完畢，呈現(xiàn)在我們面前的則是冰冷的美麗形式。因此我們要通過數(shù)學(xué)史的說明，了解當(dāng)時的數(shù)學(xué)家為什么和如何研究數(shù)學(xué)。一個明顯的例子是古希臘的演繹幾何，為什么古希臘人要用公理化方法展開數(shù)學(xué)？他們所處的時代背景如何中國古代數(shù)學(xué)的特點和古希臘數(shù)學(xué)的特征有何不同？弄清這些問題，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)很有好處。至于數(shù)學(xué)教師，如果沒有這樣的修養(yǎng)，顯然很難把數(shù)學(xué)課上好。

5.3 有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和方法

數(shù)學(xué)理論的形成和發(fā)展不是單純的知識、技巧的堆砌，不是單純的邏輯推導(dǎo)。數(shù)學(xué)的每一部重大發(fā)展，往往伴隨著科學(xué)認(rèn)識論的突破和新的思想方法的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)史不僅可以給出某些確定的數(shù)學(xué)知識, 而且可以給出相應(yīng)知識的創(chuàng)造性思維過程。而這些對于學(xué)生們的思想方法的形成是有啟發(fā)和培養(yǎng)作用的。它不僅可 湖南理工學(xué)院

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以讓學(xué)生經(jīng)歷探索思維和創(chuàng)造的體驗, 體會數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程的快樂和艱辛, 而且從中可以獲得數(shù)學(xué)思維的規(guī)律和方法的啟迪, 從而實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的深刻理解和靈活運用。波利亞在寫他的方法論巨著《數(shù)學(xué)與合情推理》[11]一書時，不僅參考了他在教學(xué)一線研制的《解題表》，而且運用了大量的數(shù)學(xué)歷史文獻(xiàn)，M.克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》更明確地告訴我們：重要的數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)歷史上逐漸形成的，他同數(shù)學(xué)的發(fā)展密不可分。總之，數(shù)學(xué)史的“數(shù)學(xué)思想、方法”的含量，是極為豐富的，致使人們把“數(shù)學(xué)史”作為“數(shù)學(xué)方法論”研究的一個重要分支。

5.4 從數(shù)學(xué)發(fā)展的本質(zhì)對數(shù)學(xué)教育提供理論指導(dǎo)

我們知道，人類的認(rèn)識規(guī)律是基本一致的，研究前人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的困難和錯誤也是現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)的困難和易犯錯誤。從這個角度考慮改革數(shù)學(xué)教學(xué)。這是最本質(zhì)的改進(jìn)與影響。若干年前，美國數(shù)學(xué)協(xié)會(MAA)下屬的數(shù)學(xué)教育委員會曾發(fā)出題為《呼喚變革：關(guān)于數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)修養(yǎng)》的建議書，其中呼吁所有未來的教師注意培養(yǎng)自身對各種文化在數(shù)學(xué)思想的成長與發(fā)展過程中所作的貢獻(xiàn)有一定的鑒賞能力；對來自各種不同文化的個人在古代、近代和當(dāng)代數(shù)學(xué)論題的發(fā)展上所作的貢獻(xiàn)有所研究，并對中小學(xué)數(shù)學(xué)中主要概念的歷史發(fā)展有所認(rèn)識。對于今后的中小學(xué)數(shù)學(xué)史教學(xué)，我們應(yīng)該將數(shù)學(xué)文化盡可能地結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，選擇介紹一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學(xué)在人類社會進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的作用，同時也反映社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用。使學(xué)生通過數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，了解人類社會發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律；了解人類從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識客觀世界的過程；發(fā)展求知、求實、勇于探索的情感和態(tài)度；體會數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性，了解數(shù)學(xué)真理的相對性；提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

5.5 有利于辯證唯物主義世界觀的形成

眾所周知，數(shù)學(xué)內(nèi)部充滿著矛盾，充滿著辯證法。從數(shù)的角度看，數(shù)有大小、整數(shù)與分?jǐn)?shù)，運算有加與減、乘與除，隨之有正與負(fù)、有理與無理、實與虛。從形的角度看，有直與曲、凸與凹、連續(xù)與離散，又發(fā)展到常量與變量、微分與積分、收斂與發(fā)散、有窮與無窮、精確與模糊。正是這些矛盾的運動和轉(zhuǎn)化，才推 湖南理工學(xué)院

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動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)史上的“ 三次數(shù)學(xué)危機” 便是這些矛盾運動的縮影。將這些豐富的素材穿插到數(shù)學(xué)教學(xué)中，會使學(xué)生感到數(shù)學(xué)是有血有肉的，對他們的辯證唯物主義世界觀的形成會起到促進(jìn)作用。[12]

5.6 有利于對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育

結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點，對學(xué)生進(jìn)行思想品德教育，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一；然而空洞地說教只會使學(xué)生產(chǎn)生反感，教師在課堂上給學(xué)生講述數(shù)學(xué)家艱苦創(chuàng)業(yè)、獻(xiàn)身數(shù)學(xué)研究的光輝事跡，既可以滿足學(xué)生的心理需求，也可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。

中國是世界數(shù)學(xué)大國，中國的數(shù)學(xué)成就之高之大世界公認(rèn)。歷史上許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家為了振興中國的數(shù)學(xué)，不懈努力奮斗，甚至奉獻(xiàn)終身。陳景潤在中學(xué)時代從當(dāng)時國立清華大學(xué)航空系主任沈云教授那里聽到了關(guān)于“哥德巴赫猜想”這一引人入勝的故事后，這顆“皇冠上的明珠”深深地吸引著他使他獻(xiàn)身于數(shù)論研究。在深入鉆研了當(dāng)代很多著名數(shù)論論文后，奮然向“哥德巴赫猜想”的頂峰攀登，終于在(1 + 2)的證明上取得重大突破。華羅庚之所以能夠以初中學(xué)歷成為世界級的數(shù)學(xué)家和美、德等多國科學(xué)院的院士，主要是靠他堅強的意志和為國爭光的奮斗目標(biāo)以及為科學(xué)獻(xiàn)身的精神。飽含熱愛祖國的赤子之心，他毅然放棄國外的優(yōu)厚待遇，回到祖國，為祖國培養(yǎng)了一批又一批年輕的數(shù)學(xué)家。還有蘇步青教授在中學(xué)時就繼承了數(shù)學(xué)老師的思想：“為了救亡圖存，必須振興科學(xué)；數(shù)學(xué)是科學(xué)的開路先鋒，為了發(fā)展科學(xué)，必須學(xué)好數(shù)學(xué)。”從此他便立下了“讀書不忘救國，救國不忘讀書”的座右銘。在日本獲得理學(xué)博士學(xué)位后，謝絕日本東京北帝國大學(xué)的聘請，和日本妻子一同返回祖國，為中國近代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。

5.7 人文教育價值

數(shù)學(xué)史由折反復(fù)的事件構(gòu)成，事由人所為；發(fā)展的每個時期都充滿了可歌可泣的故事。為了使學(xué)生們學(xué)好幾何，不怕繁瑣和勞累，堅持苦干許多年，終于把大量零碎無序的幾何事實和他從老師亞里士多德那里學(xué)來的“形式邏輯”串聯(lián)起來的歐幾里得；頂住各方面的壓力，甚至不顧老師克隆尼克的堅決反對，發(fā)明和 湖南理工學(xué)院

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堅持推進(jìn)“集合論”的康托；堅持只身奮斗，舍得一身剮，敢把皇帝（歐氏幾何是唯一正確的幾何的傳統(tǒng)觀念）拉下馬，創(chuàng)立和維護(hù)新幾何的羅巴切夫斯基；“數(shù)學(xué)情種”艾爾德什；數(shù)學(xué)英雄歐拉；堅決捍衛(wèi)數(shù)學(xué)完整性的大師級數(shù)學(xué)家希爾伯特； 靠數(shù)學(xué)鍛造的美麗心靈，從而起死回生的數(shù)學(xué)家納什；具有伯樂的敏銳眼光，發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)了中國數(shù)學(xué)大師華羅庚和印度數(shù)學(xué)奇才拉瑪努金的英國偉大的數(shù)學(xué)家哈代；邏輯大師哥德爾；當(dāng)代最偉大的世界數(shù)學(xué)大師陳省身??他們的業(yè)績、他們的精神、他們的奮斗歷程，決不單單屬于一個國家、一個民族，而是全世界的文化遺產(chǎn)，具有無限的教育價值。以此為素材，實施“數(shù)學(xué)家人品教育”，“數(shù)學(xué)情感教育”，“數(shù)學(xué)人文精神教育”，是大有可為的。

5.8 有利于提高學(xué)生的美學(xué)修養(yǎng)

數(shù)學(xué)美指的是數(shù)學(xué)具有簡潔性、對稱性、和諧性和奇異性，無數(shù)數(shù)學(xué)家都為這種數(shù)學(xué)的美所折服。能欣賞美的事物是人的一個基本素質(zhì)，數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美。很多著名的數(shù)學(xué)定理、原理都閃現(xiàn)著美學(xué)的光輝，例如畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）是初等數(shù)學(xué)中大家都十分熟悉的一個非常簡潔而深刻的定理，有著極為廣泛的應(yīng)用。兩千多年來，它激起了無數(shù)人對數(shù)學(xué)的興趣，意大利著名畫家達(dá)芬奇、印度國王Bhaskara、美國第20任總統(tǒng)Carfield等都給出過它的證明，充分展現(xiàn)了這個定理的無窮魅力。黃金分割同樣十分優(yōu)美和充滿魅力，早在公元前6世紀(jì)它就為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所研究，近代以來人們又驚訝地發(fā)現(xiàn)，它與著名的斐波那契數(shù)列有著十分密切的內(nèi)在聯(lián)系。同時，在感嘆和欣賞幾何圖形的對稱美、尺規(guī)作圖的簡單美、體積三角公式的統(tǒng)一美、非歐幾何的奇異美等時，可以形成對數(shù)學(xué)良好的情感體驗，數(shù)學(xué)素養(yǎng)和審美素質(zhì)也得到了提高，這是德育教育一個新的突破口。如何將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育結(jié)合

數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育怎么結(jié)合，在數(shù)學(xué)教育界也有很多研究。在此，我按照數(shù)學(xué)史知識在數(shù)學(xué)教育中的作用將其分為兩種類型：輔助型手段和解釋型手段。

輔助型手段

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在研究數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的關(guān)系時，我們往往把數(shù)學(xué)史知識當(dāng)作史料介紹給學(xué)生，希望學(xué)生能夠從中吸取經(jīng)驗，或激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的的興趣。常常采取的手段有：（1）數(shù)學(xué)史知識以閱讀材料或附錄的形式在章末出現(xiàn)，這在國外已有成功的經(jīng)驗。它的優(yōu)點是既不打破原教材的格局，又能發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的作用。（2）以選修課的形式出現(xiàn)，介紹世界數(shù)學(xué)史，使學(xué)生開闊眼界。（3）經(jīng)常舉辦一些數(shù)學(xué)史的專題講座。選擇一些情節(jié)生動、發(fā)展曲折具有教育意義的專題。[13]在此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史料就當(dāng)做了進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的輔助手段。

還有一些學(xué)者認(rèn)為需要改革現(xiàn)行的應(yīng)試教育考試制度，大力推行素質(zhì)教育，這樣能促使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史知識。對此我不敢茍同，畢竟數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育還是有主次之分的。不管是哪種方法他們都有一個共同的特點，就是在保證數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教材各自獨立的前提下互相影響。顯然這種影響沒有深入到學(xué)生的認(rèn)識過程中，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中理解幫助有限。當(dāng)然如果要很詳細(xì)地研究數(shù)學(xué)史的話，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有非常大的幫助，但是對于數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)史的關(guān)系來說則有些主次不清，且增加學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。不過通過輔助型手段盡管可以促進(jìn)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用的實現(xiàn)，但是對于有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力，由于要深入到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中去，所以輔助型手段就顯得有些無力。

解釋型手段

要想使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，則必須解決學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的疑惑。我們可以采取兩種方式來解決：教師解釋和教輔解釋。

教師解釋

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)教師要學(xué)生的困惑進(jìn)行解釋，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)。這就要求教師對數(shù)學(xué)史有很深的了解。絕不能僅僅局限于數(shù)學(xué)家的故事和數(shù)學(xué)成果，除了這些之外還要對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)理論的演化過程及其發(fā)展規(guī)律，研究數(shù)學(xué)家的思維方式和研究方法非常熟悉，這樣才能防患于未然，使數(shù)學(xué)家困惑的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識不至于在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中長時間地困擾學(xué)生。例如講解函數(shù)，如果僅僅講解函數(shù)發(fā)展過程中的幾種不同定義，顯然還是不足夠的。因為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中函數(shù)定義的發(fā)展仍然不能代表函數(shù)思想方法發(fā)展的過程。如果要使學(xué)生真正理解函數(shù)思想則需要使學(xué)生深刻理解未知數(shù)、字母表示數(shù)、變量以 湖南理工學(xué)院

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及它們之間的關(guān)系，然后才能理解函數(shù)。這些內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中跨度很大，在數(shù)學(xué)史的發(fā)展中也有很長時間，所以教師必須時刻從整體上把握對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行引導(dǎo)。

教輔解釋

教材中所講述的數(shù)學(xué)理論經(jīng)過數(shù)百年來的發(fā)展和演變已經(jīng)取得了近乎完美形式，但教材畢竟是教材，既要服從教學(xué)大綱的安排，又受數(shù)學(xué)課時所限，不可能完整地描述出相關(guān)的歷史發(fā)展過程。由于教師水平的差異，課時的局限，所以對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的困惑的解釋仍然是不夠的。故我們可以用輔導(dǎo)資料把數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育結(jié)合起來對學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑和我們?nèi)粘Ｋf的以習(xí)題訓(xùn)練為主的是有很大區(qū)別的。

M·克萊因說：“對學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生來說，通常一些課程所介紹的只是些近乎沒有什么關(guān)系的數(shù)學(xué)片斷，數(shù)學(xué)史可以提供整個課程的概貌，不僅使課程的內(nèi)容互相聯(lián)系，而且使它們跟數(shù)學(xué)思想的主干也聯(lián)系起來。”[14]顯然讓我們的學(xué)生系統(tǒng)深刻地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史是不可能的，那么我們所做的就是把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程中的思想方法的空白給補充完整。

我們?nèi)匀灰詳?shù)學(xué)課程為綱，以各個數(shù)學(xué)知識為基點，把課程中出現(xiàn)的知識產(chǎn)生、發(fā)展過程中的思維方式和思想方法的變化給補充出來，以解決學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困惑為目的。如：弧度是怎么來的；為什么圓要分成360等分；無窮大、無窮小和極限的關(guān)系等等。在解決這些困惑的過程中展現(xiàn)各種數(shù)學(xué)思想方法是怎么樣漸漸清晰成型的。這樣不僅僅能夠從數(shù)學(xué)本身來解決學(xué)生的困惑、促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，而且一旦讓學(xué)生認(rèn)識到這些看似完美的數(shù)學(xué)知識并不是一蹴而就的，將獲得頑強地追究所攻問題的勇氣。

以上兩種解釋形式都完全把數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)課程的體系給打破了，所以要想真正做好，還需要進(jìn)一步的研究。

總而言之，要想把數(shù)學(xué)教育做好，就必須和數(shù)學(xué)史結(jié)合。盡管結(jié)合的方式很多，但是只有深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中去，找到數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的認(rèn)識變化的接合點，才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的教育價值，而不至于想數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)相關(guān)性很低的情況了。

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致謝

本文是在萬正蘇老師的悉心指導(dǎo)下完成的, 從論文的選題到成稿，都離不開萬老師的幫助與指教，在此對萬老師表示衷心的感謝！

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參考文獻(xiàn)

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第二篇：論數(shù)學(xué)史的教育價值

河南師范大學(xué)成人高等學(xué)歷教育

畢業(yè)論文（設(shè)計）

題

目

院（部）

專

業(yè)

年

級

形

式

層

次

學(xué)

號

姓

名

指導(dǎo)教師（簽名）

****年**月**日

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1.2 最早的國家之一，因此在研究數(shù)學(xué)起源時，必須提及埃及的數(shù)學(xué)。例如，希臘的邏輯學(xué)家亞里士多德再起《形而上學(xué)》一書中指出“一所以在埃及能夠產(chǎn)生數(shù)學(xué)，是受到上帝的恩賜”，對此，恩格斯在《反杜林論》中明確指出：“數(shù)學(xué)是人的需要中產(chǎn)生的，是從丈量土地和測量容積，從計算時間和制造器皿產(chǎn)生的”事實上埃及的數(shù)學(xué)產(chǎn)生，符合恩格斯的精辟闡述。數(shù)學(xué)應(yīng)人需要而產(chǎn)生，也隨之發(fā)展，從累積石塊、結(jié)繩、石刻、再到獸皮、甲骨、竹帛、紙張、到現(xiàn)在的計算機等。數(shù)學(xué)史對理解數(shù)學(xué)發(fā)展的作用

2.1數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及規(guī)律的科學(xué)，簡單的水就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程、而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。因此數(shù)學(xué)是研究對象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且設(shè)計歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等科學(xué)與人文科學(xué)的內(nèi)容，是一門交叉性的學(xué)科。數(shù)學(xué)史即屬史學(xué)領(lǐng)域，又屬數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域，因此數(shù)學(xué)史研究既要遵循歷史學(xué)規(guī)律，又要遵循數(shù)理科學(xué)的規(guī)律。根據(jù)這一特點，可以將樹立分析作為數(shù)學(xué)史研究的特殊輔助手段，在缺乏史料或史料真?zhèn)文獪y的情況下，站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，對古代數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法進(jìn)行數(shù)學(xué)原理分析，以達(dá)到正本清源、理論概括以及提出歷史假說的目的。弄清數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中的基本史實，現(xiàn)在其本來的面貌，同時透過這些歷史現(xiàn)象對數(shù)學(xué)成就、理論體系與發(fā)展模式做出科學(xué)、合理的解釋、實名與評價，進(jìn)而探究數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì)。

3數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的作用

3.1當(dāng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史后，自然會有這樣的感覺；數(shù)學(xué)的發(fā)展并不符合邏輯，或者說，數(shù)學(xué)發(fā)展的 實際情況與我們今日所學(xué)的數(shù)學(xué)教科書很不一致。我們今日初中所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本上屬于17世紀(jì)微積分學(xué)以前的初等數(shù)學(xué)知識、而大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的大部分內(nèi)容是17、18世紀(jì)的高等數(shù)學(xué)。這些數(shù)學(xué)教材經(jīng)過千錘百煉，是在科學(xué)性與教育要求下相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)編寫的，是將歷史上的數(shù)學(xué)材料按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)要求加以取舍編纂的知識體系，3

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忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現(xiàn)實科學(xué)或許有用的數(shù)學(xué)材料與方法，而彌補這方面的不足的最好途徑就是通過數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中的作用

4.1 數(shù)學(xué)教科書舍棄了許多數(shù)學(xué)概念和方法形成的實際背景、知識背景、演化歷程以及導(dǎo)致其演化的各種因素。如果在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容而讓數(shù)學(xué)活起來，這樣便可以激發(fā)學(xué)生在接受數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的同時，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，其他專業(yè)的學(xué)生通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以了解數(shù)學(xué)概貌。而歷史上數(shù)學(xué)家的業(yè)績與品德也會在青少年的人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作用。

4.2數(shù)學(xué)史是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)的工具。人們要弄清楚數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)展過程，增長對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，建立數(shù)學(xué)的整體意識、就必須運用數(shù)學(xué)史作為補充和指導(dǎo)。特別是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體系猶如茂密繁盛的森林，使人站在外面窺不見他的全貌，深入內(nèi)部又可能陷身迷津，數(shù)學(xué)史的作用就是指引方向的路標(biāo)，給人以啟迪和明鑒。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)、科學(xué)哲學(xué)、社會文化是都有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)與人類思想的革新，數(shù)學(xué)與其他科學(xué)技術(shù)，數(shù)學(xué)與社會進(jìn)步等關(guān)系，有助于深刻理解數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵。對于培養(yǎng)學(xué)、才、識兼?zhèn)涞臄?shù)學(xué)專業(yè)人才有重要的意義。學(xué)、才、識及時知識、能力以及見識和思想，其中識更是引導(dǎo)知識和能力走向何方的根本性問題。如果數(shù)學(xué)教育只停留在數(shù)學(xué)理論本身的學(xué)習(xí)上，甚至對數(shù)學(xué)理論的實質(zhì)也沒有深入研究，學(xué)生就不可能理解依托于數(shù)學(xué)知識體系之上的數(shù)學(xué)思想和信仰，貫穿于數(shù)學(xué)研究活動中的科學(xué)精神很數(shù)學(xué)美感及鑒賞能力與數(shù)學(xué)的社會功能密切相關(guān)的倫理準(zhǔn)則等數(shù)學(xué)文化的底蘊，更不會形成才與識。因此，課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史是以素質(zhì)教育為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在要求，它對于培養(yǎng)學(xué)生的人文主義精神以及數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)整體意識有特殊的意義。

5結(jié)論

數(shù)學(xué)史在教學(xué)中使學(xué)生們領(lǐng)會數(shù)學(xué)內(nèi)容的教育價值、數(shù)學(xué)的應(yīng)用、各科的聯(lián)系與交叉。數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程對于開設(shè)數(shù)學(xué)課程至關(guān)重要。

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總之，數(shù)學(xué)史的教育價值是不可低估的，正如法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊所說“如果我們希望預(yù)知數(shù)學(xué)未來，最合適的途徑是研究這門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀”，只有這樣，才有可能真正理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的真諦，正確把握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向，實現(xiàn)把中國建設(shè)成數(shù)學(xué)大國的夢想。

參考文獻(xiàn)：

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致 謝

在論文的準(zhǔn)備和寫作過程中，筆者得到了XXX老師的悉心指導(dǎo)和熱情幫助

XXX

XXXX年XX月于河南師范大學(xué)

第三篇：數(shù)學(xué)史的教育價值

數(shù)學(xué)史的教育價值

——以偉大數(shù)學(xué)家祖沖之為例

摘要：通過數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)，可以使數(shù)學(xué)系的學(xué)生在接受數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的同時，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，文科或其它專業(yè)的學(xué)生通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以了解數(shù)學(xué)概貌，獲得數(shù)理方面的修養(yǎng)。而歷史上數(shù)學(xué)家的業(yè)績與品德也會在青少年的人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作用。本文將以中國歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之為例探討數(shù)學(xué)史的教育價值。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)史

教育價值

祖沖之

偉大 1.數(shù)學(xué)史概述

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，簡單地說就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。因此，數(shù)學(xué)史研究對象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等社會科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容，是一門交叉性學(xué)科。

數(shù)學(xué)史既屬史學(xué)領(lǐng)域，又屬數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域，因此，數(shù)學(xué)史研究既要遵循史學(xué)規(guī)律，又要遵循數(shù)理科學(xué)的規(guī)律。根據(jù)這一特點，可以將數(shù)理分析作為數(shù)學(xué)史研究的特殊的輔助手段，在缺乏史料或史料真?zhèn)文娴那闆r下，站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，對古代數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法進(jìn)行數(shù)學(xué)原理分析，以達(dá)到正本清源、理論概括以及提出歷史假說的目的。數(shù)理分析實際上是“古”與“今”間的一種聯(lián)系。

中國數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，14世紀(jì)以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國家，出現(xiàn)過許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就，其源遠(yuǎn)流長的以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數(shù)學(xué)模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數(shù)學(xué)模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。由于各種復(fù)雜的原因，16世紀(jì)以后中國變?yōu)閿?shù)學(xué)入超國，經(jīng)歷了漫長而艱難的發(fā)展歷程才漸漸匯入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的潮流。由于教育上的失誤，致使接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)文明熏陶的我們，往往數(shù)典忘祖，對祖國的傳統(tǒng)科學(xué)一無所知。數(shù)學(xué)史可以使學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，了解中國近代數(shù)學(xué)落后的原因，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)狀以及與發(fā)達(dá)國家數(shù)學(xué)的差距，以激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，振興民族科學(xué)。2.祖沖之

祖沖之是我國杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、文學(xué)家、地質(zhì)學(xué)家、地理學(xué)家和科學(xué)家。南北朝時期人，漢族，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣），為避戰(zhàn)亂，祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南。祖昌曾任劉宋的“大匠卿”，掌管土木工程，祖沖之的父親也在朝中做官。祖沖之在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率（π）值計算到小數(shù)點后七位，即3.1415926到3.1415927之間。他提出約率22／7和密率355／113，這一密率值是世界上最早提出的，比歐洲早一千多年，所以有人主張叫它“祖率”也就是圓周率的祖先。他將自己的數(shù)學(xué)研究成果匯集成一部著作，名為《綴術(shù)》，唐朝國學(xué)曾經(jīng)將此書定為數(shù)學(xué)課本。他編制的《大明歷》，第一次將“歲差”引進(jìn)歷法。提出在391年中設(shè)置144個閏月。推算出一回歸年的長度為365.24281481日，誤差只有50秒左右。3.從祖沖之看數(shù)學(xué)史教育價值

3.1

祖沖之在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率（π）值計算到小數(shù)點后七位，即3.1415926到3.1415927之間，而這個成就比歐洲同等成就足足領(lǐng)先了一千多年，求算圓周率的值是數(shù)學(xué)中一個非常重要也是非常困難的研究課題。中國古代許多數(shù)學(xué)家都致力于圓周率的計算，而公元5世紀(jì)祖沖之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進(jìn)。祖沖之經(jīng)過刻苦鉆研，繼承和發(fā)展了前輩科學(xué)家的優(yōu)秀成果。他對于圓周率的研究，就是他對于我國乃至世界的一個突出貢獻(xiàn)。祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，用他的名字被命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。這個成就讓民族自豪感相當(dāng)強烈的中國人可以驕傲的向世界宣告：我自豪我是中國人，幾千年以前我們的祖先祖沖之就領(lǐng)先世界一千年了！這一成就不知道已經(jīng)激勵了多少代中國的數(shù)學(xué)愛好者，也正是因為這一成就不知道出現(xiàn)了多少著名的數(shù)學(xué)家。一直以來數(shù)學(xué)就被看作各種學(xué)科中最麻煩、最枯燥的課程，如果沒有這樣的精神動力在支撐我們一代一代的學(xué)生，我想能堅持到最后的數(shù)學(xué)家可能會更少。感謝祖沖之，他為后代的數(shù)學(xué)家豎起了一座永遠(yuǎn)不倒的豐碑！

3.2 在推算圓周率時，祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動。如果從正六邊形算起，算到24576邊時，就要把同一運算程序反復(fù)進(jìn)行十二次，而且每一運算程序又包括加減乘除和開方等十多個步驟。我們現(xiàn)在用紙筆算盤來進(jìn)行這樣的計算，也是極其吃力的。當(dāng)時祖沖之進(jìn)行這樣繁難的計算，只能用籌碼（小竹棍）來逐步推演。如果頭腦不是十分冷靜精細(xì)，沒有堅韌不拔的毅力，是絕對不會成功的。祖沖之頑強刻苦的研究精神，是很值得推崇的。要作出這樣精密的計算，是一項極為細(xì)致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之那個時代，算盤還未出現(xiàn)，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數(shù)目，叫做籌算法。如果計算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進(jìn)行新的計算；只能用筆記下計算結(jié)果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現(xiàn)了錯誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數(shù)值，就需要對九位有效數(shù)字的小數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復(fù)進(jìn)行十幾次，開方運算有50次，最后計算出的數(shù)字達(dá)到小數(shù)點后十六、七位。今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是一件輕而易舉的事。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經(jīng)常地重新擺放數(shù)以萬計的算籌，這是一件多么艱辛的事情，而且還需要日復(fù)一日地重復(fù)這種狀態(tài)，一個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。一千多年之后的我們有這樣舒適的學(xué)習(xí)環(huán)境，有這樣好的學(xué)習(xí)條件，如果把當(dāng)時祖沖之的計算量放在現(xiàn)在的計算機上可能只是幾秒的時間，而我們偉大的祖先卻不知道用了多少個日日夜夜。既然我們已經(jīng)有如此好的條件和環(huán)境，我們就沒有理由不像前人那樣刻苦努力，哪怕只是祖沖之當(dāng)時辛苦的千分之一，我想若干年后的我們也不會是一般人。

3.3 看過祖沖之簡介之后我們不難看到他不僅僅是偉大的數(shù)學(xué)家，在天文、歷法、機械等方面他也是相當(dāng)有成就。在祖沖之之前，人們使用的歷法是天文學(xué)家何承天編制的《元嘉歷》。祖沖之經(jīng)過多年的觀測和推算，發(fā)現(xiàn)《元嘉歷》存在很大的差誤。于是祖沖之著手制定新的歷法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他編制成了《大明歷》。他設(shè)計制造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千里船、定時器等等。此外，他在音律、文學(xué)、考據(jù)方面也有造詣，他精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。是歷史上少有的博學(xué)多才的人物。我們在驚嘆他博學(xué)的同時也不禁發(fā)現(xiàn)：歷史偉大的人物往往都不僅僅是在一方面成就顯著，他們很多都是各個方面的天才和領(lǐng)跑者。這就告訴我們現(xiàn)在的學(xué)生，機械專業(yè)的在學(xué)習(xí)自己本專業(yè)知識的同時也應(yīng)該看看如數(shù)學(xué)等專業(yè)的書；數(shù)學(xué)專業(yè)的當(dāng)你對于書本上那些煩雜的公式頭疼的時候或許看看其他方向書籍對你有很好的幫助。

3.4 祖沖之出生在南北朝時期的南朝，當(dāng)時由于南朝社會比較安定，農(nóng)業(yè)和手工業(yè)都有顯著的進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)和文化得到了迅速發(fā)展，從而也推動了科學(xué)的前進(jìn)。因此，在這一段時期內(nèi)，南朝出現(xiàn)了一些很有成就的科學(xué)家，祖沖之就是其中最杰出的人物之一。俗話說環(huán)境造就英雄，當(dāng)時的歷史環(huán)境造就了我們偉大的祖沖之，我們現(xiàn)在的社會呢？社會安定，經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，我們擁有優(yōu)越的學(xué)習(xí)和工作環(huán)境，正是造就英雄的另一個黃金時期，如果能看到機會能把握住機會，也許你就是下一個祖沖之，也會像他一樣永留史冊。

3.5 祖沖之之所以有如此偉大的成就，還有個很重要的原因就是他善于學(xué)習(xí)，善于研究前人的經(jīng)驗，對于古代科學(xué)家劉歆、張衡、闞澤、劉徽、劉洪等人的著述都作了深入的研究，充分吸取其中一切有用的東西對他計算圓周率有相當(dāng)重要的幫助。其實任何一種東西的出現(xiàn)和研究都是這樣，都是站在巨人的肩膀上去取得更大的成就，哪怕只是一點點改變和改進(jìn)也是重大的成就，不要怪別人投機取巧，不要怪自己沒有機會，先問問自己你學(xué)習(xí)了嗎？前人的東西你都了解了嗎？如果沒有，請不要抱怨。4.數(shù)學(xué)史的教育意義

當(dāng)我們學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)史后，自然會有這樣的感覺：數(shù)學(xué)的發(fā)展并不合邏輯，或者說，數(shù)學(xué)發(fā)展的實際情況與我們今日所學(xué)的數(shù)學(xué)教科書很不一致。我們今日中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本上屬于17世紀(jì)微積分學(xué)以前的初等數(shù)學(xué)知識，而大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的大部分內(nèi)容則是17、18世紀(jì)的高等數(shù)學(xué)。這些數(shù)學(xué)教材業(yè)已經(jīng)過千錘百煉，是在科學(xué)性與教育要求相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)編寫的，是將歷史上的數(shù)學(xué)材料按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)要求加以取舍編纂的知識體系，這樣就必然舍棄了許多數(shù)學(xué)概念和方法形成的實際背景、知識背景、演化歷程以及導(dǎo)致其演化的各種因素，因此僅憑數(shù)學(xué)教材的學(xué)習(xí)，難以獲得數(shù)學(xué)的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現(xiàn)實科學(xué)或許有用的數(shù)學(xué)材料與方法，而彌補這方面不足的最好途徑就是通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)。

中國數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，14世紀(jì)以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國家，出現(xiàn)過許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就，其源遠(yuǎn)流長的以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數(shù)學(xué)模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數(shù)學(xué)模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。由于各種復(fù)雜的原因，16世紀(jì)以后中國變?yōu)閿?shù)學(xué)入超國，經(jīng)歷了漫長而艱難的發(fā)展歷程才漸漸匯入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的潮流。由于教育上的失誤，致使接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)文明熏陶的我們，往往數(shù)典忘祖，對祖國的傳統(tǒng)科學(xué)一無所知。數(shù)學(xué)史可以使學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，了解中國近代數(shù)學(xué)落后的原因，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)狀以及與發(fā)達(dá)國家數(shù)學(xué)的差距，以激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，振興民族科學(xué)。

在一般人看來，數(shù)學(xué)是一門枯燥無味的學(xué)科，因而很多人視其為畏途，從某種程度上說，這是由于我們的數(shù)學(xué)教科書教授的往往是一些僵化的、一成不變的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容而讓數(shù)學(xué)活起來，這樣便可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法和原理的理解與認(rèn)識的深化。科學(xué)史是一門文理交叉學(xué)科，從今天的教育現(xiàn)狀來看，文科與理科的鴻溝導(dǎo)致我們的教育所培養(yǎng)的人才已經(jīng)越來越不能適應(yīng)當(dāng)今自然科學(xué)與社會科學(xué)高度滲透的現(xiàn)代化社會，正是由于科學(xué)史的學(xué)科交叉性才可顯示其在溝通文理科方面的作用。通過數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)，可以使數(shù)學(xué)系的學(xué)生在接受數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的同時，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，文科或其它專業(yè)的學(xué)生通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以了解數(shù)學(xué)概貌，獲得數(shù)理方面的修養(yǎng)。而歷史上數(shù)學(xué)家的業(yè)績與品德也會在青少年的人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作用！

參考文獻(xiàn)：

[1] 朱家生.數(shù)學(xué)史[A].北京： 高等教育出版社，2004

[2] 李文林.數(shù)學(xué)史概論.北京：高等教育出版社，2005

[3] 李迪.大科學(xué)家祖沖之.上海：上海人民出版社，1959 [4] 張楚廷.數(shù)學(xué)文化.北京：高等教育出版社，2000

第四篇：數(shù)學(xué)史的教育價值

數(shù)學(xué)史的教育價值

1.引言

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展及其與社會政治、經(jīng)濟(jì)和文化一般聯(lián)系的一門學(xué)科。1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics, 簡稱HPM)，它標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域的出現(xiàn)。

2001年7月《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》出臺，其第四部分的“課程實施”中，每個學(xué)段的“教材編寫建議”都有“介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識”，要求在數(shù)學(xué)教育中凸顯數(shù)學(xué)史的文化價值，突出數(shù)學(xué)史特殊的地位和作用。教育部近年來頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立數(shù)學(xué)史選講等專題。”可見對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是很重視的。

縱觀中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，數(shù)學(xué)史彰顯的魅力無處不在，它們或以數(shù)學(xué)故事引入，或以數(shù)學(xué)活動置入，或以趣味習(xí)題插入，以各種方式出現(xiàn)在每種版本的數(shù)學(xué)教材之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)史知識，滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容，營造數(shù)學(xué)史的文化意境，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，能開闊學(xué)生的視野，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

老師們往往特意在原先常規(guī)的教學(xué)設(shè)計中,加一點數(shù)學(xué)史的知識,介紹一些數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景材料，以期彰顯數(shù)學(xué)文化價值，這也是每個數(shù)學(xué)老師應(yīng)擔(dān)負(fù)的重要責(zé)任。

數(shù)學(xué)教育目的是讓學(xué)生理解和掌握課程中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。本文探討基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，在數(shù)學(xué)史視角下的教學(xué)課堂凸顯數(shù)學(xué)文化的價值的意義,選取了三個層面研究：理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

2.數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì) 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論告訴我們,學(xué)生只有利用已有的知識重新組合,來理解現(xiàn)在的新知識,才能達(dá)到最深刻的主體建構(gòu),才能真正地理解。教師只有把課本的內(nèi)容放到歷史的背景上考察,才能求得自己的理解,然后,才有可能幫助學(xué)生理解。數(shù)學(xué)史可以提供各種數(shù)學(xué)歷史背景,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的原始思考,來龍去脈,獲得真正的理解。

數(shù)學(xué)是以概念為起點,以公理、定理為依托,用各種思維方法總結(jié)出來的一個學(xué)科體系。一個概念只有在與其歷史背景聯(lián)系時,才能容易被人所理解、所接受。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中,往往局限于一個概念、一個定理、一種思想的局部歷史的介紹,缺乏宏觀的歷史進(jìn)程的綜合性描述。實際上,用宏觀的數(shù)學(xué)史進(jìn)程,可以更深刻地揭示數(shù)學(xué)的含義。

數(shù)學(xué)史是關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，它揭示了數(shù)學(xué)知識的來源和背景，涵蓋了大量的數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識；數(shù)學(xué)史給學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)科的縱向和橫向的聯(lián)系，從縱向看可以追溯到數(shù)學(xué)理論和概念的來龍去脈；從橫向看可以將各種數(shù)學(xué)概念的關(guān)系進(jìn)行有機的整合。

中學(xué)教學(xué)教材由于受“編排”、“教材特點”等限制, 雖有一定系統(tǒng)性, 但不可能把知識來龍去脈敘述得十分清楚細(xì)致, 我們可以運用數(shù)學(xué)史上人類認(rèn)識自然的過程, 在教材知識主干上縱橫延伸串聯(lián), 使知識脈絡(luò)更加清晰, 形成科學(xué)系統(tǒng), 這樣便于學(xué)生對知識深刻理解、記憶。

數(shù)學(xué)史不僅能夠促進(jìn)學(xué)生加深對主要數(shù)學(xué)知識本身的理解,認(rèn)識其文化價值,體會到數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造過程中的火熱思考,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,而且通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí),能夠讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河,把握數(shù)學(xué)發(fā)展的整體概貌,從而能夠站在歷史發(fā)展的長河之岸,鳥瞰所學(xué)知識在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的地位、作用,從整體上加以認(rèn)識和把握,組織起結(jié)構(gòu)良好的知識網(wǎng)絡(luò)。歷史可以提供整個課程的概貌,不僅是課程的內(nèi)容互相聯(lián)系,而且使它們跟數(shù)學(xué)思想的主干也聯(lián)系起來。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)史知識,雖然學(xué)了許多知識,但卻不知所學(xué)知識有何用,不知所學(xué)知識在數(shù)學(xué)學(xué)科中的歷史地位和作用,這是遺憾的,也是不應(yīng)該的。數(shù)學(xué)家龐加萊指出:“如果我們想要遇見數(shù)學(xué)的未來,適當(dāng)?shù)耐緩绞菍W(xué)習(xí)這門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀。”

數(shù)學(xué)史可以提供各種數(shù)學(xué)問題的歷史背景,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的原始思考和來龍去脈,以獲得真正的理解,也能把握數(shù)學(xué)發(fā)展的整體概貌,組織起結(jié)構(gòu)良好的知識網(wǎng)絡(luò),使學(xué)生再不會感到數(shù)學(xué)課學(xué)到的彼此沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)片 段。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體系猶如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窺不見它的全貌，深入內(nèi)部又可能陷身迷津”，數(shù)學(xué)史的作用就是指引方向的“路標(biāo)”，給人以啟迪和明鑒。數(shù)學(xué)知識過于“冰冷的美麗”（弗賴燈塔爾語）的背后，有著數(shù)學(xué)家艱難求索的足跡，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，還數(shù)學(xué)以本質(zhì)，還知識以原貌，還結(jié)論以原點，可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的基本軌跡，觸摸數(shù)學(xué)發(fā)展的蜿蜒曲折，加深對數(shù)學(xué)史的文化理解。

中國古代數(shù)學(xué)表現(xiàn)出非常強烈的算法精神，例如：《九章算術(shù)》。而古希臘數(shù)學(xué)表現(xiàn)出很強的邏輯推理思想，例如：歐幾里得的《幾何原本》。為什么會產(chǎn)生這些現(xiàn)象呢？因為不同的文化孕育出不同的數(shù)學(xué)，文化可以影響人們的思想和思維習(xí)慣，所以才造成中國古代和古希臘的不同風(fēng)格的數(shù)學(xué)產(chǎn)生。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該仔細(xì)品位數(shù)學(xué)史的文化內(nèi)涵，充分挖掘中國古代數(shù)學(xué)的算法精神和古希臘的演繹精神，在課程教學(xué)中讓學(xué)生能夠吸取中西數(shù)學(xué)文化的精華。

例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，就大多數(shù)小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相比確實是比較抽象、枯燥乏味的，如果用歷史回顧和歷史軼事點綴，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就會大大增加。

當(dāng)教學(xué)四年級上冊“數(shù)的產(chǎn)生”時，這樣導(dǎo)入：同學(xué)們，你們一定都知道阿拉伯?dāng)?shù)字為1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，而你們知道這些數(shù)是如何產(chǎn)生的嗎？這些抽象的數(shù)是從人們長期的記數(shù)實踐中產(chǎn)生的，至于它的記法，又是經(jīng)過漫長的歷史演變的。最早可能是手指記數(shù)，當(dāng)指頭不敷運用時，就出現(xiàn)了石子記數(shù)等。但記數(shù)的石子很難長久保存信息，于是又有結(jié)繩記數(shù)和刻痕記數(shù)。又經(jīng)歷了數(shù)萬年的發(fā)展，直到距今大約五千多年前，終于出現(xiàn)了書寫記數(shù)以及相應(yīng)的記數(shù)系統(tǒng)。你們知道“阿拉伯?dāng)?shù)字”的由來嗎？3世紀(jì)時，印度人發(fā)明了一種特殊的數(shù)字。后來，這種印度數(shù)字傳到了阿拉伯。12世紀(jì)時，阿拉伯商人又把印度數(shù)字帶到了歐洲，歐洲人稱他們?yōu)椤鞍⒗當(dāng)?shù)字”。慢慢地，阿拉伯?dāng)?shù)字成為一種世界通用的數(shù)字。聽完后，同學(xué)們頓悟：噢！原來阿拉伯?dāng)?shù)字不是阿拉伯人發(fā)明的。這樣教學(xué)，既能活躍課堂氣氛，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過教學(xué)中數(shù)學(xué)史的不斷滲透,不僅可以讓學(xué)生了解關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展的一些知識,還能豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體認(rèn)知。

又如，在人教版初中數(shù)學(xué)二年級下冊勾股定理的教學(xué)中,一般勾股定理 的教案,都喜歡用發(fā)現(xiàn)法,即用一連串的實驗單,從邊長為3、4、5 的直角三角形開始,逐步地發(fā)現(xiàn)勾股定理。

勾股定理最好的教學(xué)設(shè)計,是運用數(shù)學(xué)史實加以展開。首先是建造金字塔的古埃及,沒有勾股定理的記載,然后是古巴比侖泥版上發(fā)現(xiàn)了勾股數(shù),中國的陳子、商高的勾三股四弦五,古希臘的畢達(dá)哥拉斯的結(jié)論及證明的記載,中國趙爽的代數(shù)方法巧證。這些史實,展現(xiàn)人類文明的特征。然后聯(lián)系到今天的尋找外星人是使用勾股定理的圖案,2002年北京數(shù)學(xué)家大會采用趙爽證明作為會標(biāo), 以及作為勾股定理不能推廣到高次的費馬大定理的解決,一幅幅絢麗的歷史畫卷,將會使得學(xué)習(xí)者賞心悅目, 受到深刻的文化感染。由此對數(shù)學(xué)文明產(chǎn)生一種敬畏和感恩之心,并從而了解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。

3.數(shù)學(xué)史促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)史中存在著大量的思想方法，通過這些思想方法，我們能夠看到數(shù)學(xué)產(chǎn)生的過程，使學(xué)生感受活生生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，其中蘊含了豐富的思想方法。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要使學(xué)生形成一定的數(shù)學(xué)思想方法，這已經(jīng)是大家公認(rèn)的事實。因為數(shù)學(xué)中最本質(zhì)、最精彩、最有價值的就是數(shù)學(xué)思想方法，它們比數(shù)學(xué)知識更為重要、更加有用，對人的成長更有影響。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于挖掘其中的數(shù)學(xué)思想方法，并在課堂教學(xué)中進(jìn)行滲透、領(lǐng)悟，并最終培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。

下面介紹常見的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)史融入其中的的教學(xué)案例。觀察法是人們對周圍世界客觀事物和現(xiàn)象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗材料的一種方法。數(shù)學(xué)史中存在著很多運用觀察法發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思想方法。

實驗法是人們根據(jù)研究的需要，有時要借助專門儀器工具，人為地變革、控制研究對象，在有利條件下獲取經(jīng)驗材料的方法。有很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)家似乎不會總是用到這種方法吧，難道數(shù)學(xué)史能夠給予我們很多實驗法的文化價值嗎？其實，實驗法在數(shù)學(xué)史中的思想方法中也占有很高的地位。

歸納法—是指通過對特殊的、具體的事物的分析、認(rèn)識、研究，從而導(dǎo)出一般性結(jié)論的方法。數(shù)學(xué)史中可以找到大量數(shù)學(xué)家運用歸納法的影子，數(shù)學(xué)歸納法中所含的遞推思想可以在古希臘時代找到遠(yuǎn)源，在中世紀(jì)猶太數(shù)學(xué) 文獻(xiàn)中則可以找到較為明確的應(yīng)用。最先明確而清晰地闡述并使用了數(shù)學(xué)歸納法的是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡，他在1645年寫出著作《論算術(shù)三角形》中，用數(shù)學(xué)歸納法證明了所謂的“帕斯卡三角形”的三個命題。

數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的思想方法，它包括完全歸納法和不完全歸納法。其中研究了某類事物中的每一個對象，然后概括出這類事物的一般性結(jié)論的，稱之完全歸納法；通過對某類事物中的部分對象的研究，概括出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的，稱之不完全歸納法。應(yīng)用不完全歸納法得出的一般性結(jié)論，未必正確，應(yīng)用完全歸納法推出的一般性結(jié)論，則必定正確。不完全歸納法的可靠性雖不是很大，但它在科學(xué)研究中有著重要作用，許多數(shù)學(xué)猜想(如哥德巴赫猜想)都來源于不完全歸納法。實際上，數(shù)學(xué)中許多著名定理、公式、都是先用不完全歸納法從經(jīng)驗中概括出一般結(jié)論，然后再經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，給予證明。例如：著名的“四色定理”是1840年提出的猜想，1976年借助于計算機給出證明；著名的哥德巴赫猜想的真實性至今尚未給出證明。

類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象在某些性質(zhì)上相似，推斷出它們在另外的性質(zhì)上也相似的一種邏輯推理。著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。”數(shù)學(xué)家們運用類比方法去猜想和進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的例子很多，比如歐拉經(jīng)常運用類比推理解決很多數(shù)學(xué)難題；費爾馬經(jīng)常運用類比提出很多問題，難怪有人叫他問題大師。數(shù)學(xué)家們運用類比的思想方法，給予了我們很多啟示，我們在中學(xué)數(shù)學(xué)中就可以經(jīng)常運用類比的思想進(jìn)行教學(xué)；比如，在教學(xué)中就可以進(jìn)行“數(shù)”與“形”的類比；平面與空間的類比；有限與無限的類比；高維與低維的類比；甚至還有解題方法的類比??這些多種多樣的類比有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

最后說說數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。

數(shù)形結(jié)合的思想起源比較早，在畢達(dá)哥拉斯時期，就有早期的數(shù)形結(jié)合意識；我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《海島算經(jīng)》一書中就把全部九個幾何問題，都用代數(shù)的形式來表示；自從笛卡兒創(chuàng)立了解析幾何以后，數(shù)形結(jié)合思想的運用更是達(dá)到了高潮，尤其是通過圖象顯示的幾何意義來解題的思想日漸被后人所重視；我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少 數(shù)時少入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休。”

在當(dāng)今的中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，處處可見數(shù)形結(jié)合的影子，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該十分重視數(shù)形結(jié)合的思想方法的運用，要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決問題的能力。在解決問題的過程中，尤其要培養(yǎng)學(xué)生通過圖象顯示的幾何意義來解題的能力，因為通過圖象顯示的幾何意義來解題不僅能夠給解題帶來捷徑，而且還能夠鍛煉學(xué)生的觀察能力和融會貫通的能力。

先看一個觀察法的例子。在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)教學(xué)中，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)高一學(xué)生最容易感到混淆。因為他們涉及三角函數(shù)的三種變換：振幅變換、周期變換、平移變換。

充分運用觀察法，我們可以讓學(xué)生觀察每一組圖象的定義域、值域、周期、單調(diào)區(qū)間及其再觀察每一組圖象相互之間的關(guān)系、特點，然后進(jìn)行小組討論、交流；最后，再讓學(xué)生總結(jié)振幅變換、周期變換、平移變換的一般特點，從而逐步加深對函數(shù)圖象的初等變換的認(rèn)識。

實驗法也是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的一種重要方法，數(shù)學(xué)家可以通過這種實驗法來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的一些必然性與偶然性的一些聯(lián)系，這種方法看起來也具有直觀的特點，一般人很容易理解這種方法；在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要重視實驗法的運用。

中學(xué)概率教學(xué)中，如果能叫學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家的投幣實驗，不僅能讓學(xué)生體會到概率和頻率之間的關(guān)系，加深對概率的理解，而且能使學(xué)生意識到必然性和偶然性之間的聯(lián)系，從而得到了辨證思維能力的提升。

在八年級中心對稱和平形四邊形中的旋轉(zhuǎn)中，若不借助于計算機與實際操作實驗，學(xué)生則很難想象一些結(jié)論是怎樣產(chǎn)生的。“數(shù)學(xué)實驗”使學(xué)生從“聽”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式，改變成在教師的指導(dǎo)下“做”數(shù)學(xué)，對那些持懷疑態(tài)度的問題可以在實驗中得以確認(rèn)。通過對數(shù)學(xué)史中的實驗法的了解，學(xué)生會很容易接受這種方法，而且容易掌握這種方法的運用。

再來看看數(shù)學(xué)歸納法。在高考考綱中就明確要求了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題。數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中的一個重點和難點內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)歸納法這一方法，貫通了高中數(shù)學(xué)的幾大知識點：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)，平面幾何等。通過對它的學(xué)習(xí)，能起到以下幾方面的作用：提高學(xué)生的邏輯思維、推理能力；培養(yǎng)學(xué)生辯證思維素質(zhì)，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力；培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生綜合素質(zhì)。由于數(shù)學(xué)歸納法需要學(xué)生初步形成“觀察一歸納一猜想一證明”的思維方法，不僅需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而且還需要他們能夠證明結(jié)論。

因此，讓學(xué)生適當(dāng)了解數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生歷史，則可以使學(xué)生加深對這種方法的理解，從而更好的掌握這種方法。

來看看類比思想的例子。高一立體幾何中有這樣一個問題：“求證正四面體A一BCD內(nèi)的任意一點P到各個面的距離之和等于常數(shù)。”有很多高中學(xué)生覺得這道題很難。

其實我們只要運用類比的思想，將它與平面幾何的一個問題:“求證等邊三角形內(nèi)的任意一點P到三角形的三邊的距離之和等于常數(shù)。”進(jìn)行類比，由于平面幾何中的這個命題是采用“面積法”證明出來的，這個立體幾何問題則可運用類似的方法采用“體積法”，于是問題可以馬上得到解決的辦法。

最后介紹數(shù)形結(jié)合的例子。在北師大版教材小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊圖形的規(guī)律中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖形找到數(shù)學(xué)規(guī)律，建立起與代數(shù)知識的聯(lián)系，從而轉(zhuǎn)化問題的解決策略，歸納出一類題型的解題方法。

通過這個典型例題學(xué)生不僅看到數(shù)形結(jié)合可以給解題帶來捷徑，而且可以發(fā)現(xiàn)運用圖象顯示的幾何意義來解題，可以顯示出數(shù)形結(jié)合的巨大威力；通過做此類問題，學(xué)生不僅能夠得到觀察能力與形數(shù)結(jié)合能力的培養(yǎng)，而且可以學(xué)會融會貫通的處理問題的能力，從而得到了思維品質(zhì)的提升。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)歷史留給我們的寶貴精神遺產(chǎn)，作為教師應(yīng)該充分的將數(shù)形結(jié)合的這種思想運用到自己的課程教學(xué)中。

4.數(shù)學(xué)史促進(jìn)教師提高課堂教學(xué)效果

首先，活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造欲。課堂教學(xué)中滲透一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，使學(xué)生更好地領(lǐng)會所學(xué)知識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

其次，感受前人嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，增強自我探索精神。數(shù)學(xué)是人類文明的重要組成部分，是人類智慧的結(jié)晶，數(shù)學(xué)的歷史像一條大河幾乎貫穿了人類的整個文明史，它時而波濤洶涌，時而風(fēng)平浪靜。數(shù)學(xué)今天的繁榮昌盛是千百年來無數(shù)數(shù)學(xué)先驅(qū)前仆后繼，辛勤耕耘的結(jié)果。數(shù)學(xué)先賢們的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度值得我們學(xué)習(xí)，他們的獻(xiàn)身精神值得我們景仰，他們的經(jīng)驗教訓(xùn)值得我們?nèi)ソ梃b，許多數(shù)學(xué)家孜孜不倦、鍥而不舍地追求真理的精神值得我們?nèi)ジ袆印?/p>

再次，了解祖國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生愛國情懷。數(shù)學(xué)是璀璨奪目的中國古代文化的重要組成部分，古代偉大的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)不僅是當(dāng)今進(jìn)行愛國注意教育的絕佳材料，而且古代數(shù)學(xué)家實事求是，敢于堅持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激勵后人振興中華，為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興而奮斗的自強精神。

舉個例子，在講質(zhì)數(shù)這一內(nèi)容的時候，由于質(zhì)數(shù)過于抽象，學(xué)生不太好理解，積極性受到一定的挫折。教師給他們講起了“哥德巴赫猜想”———“每一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)的和”，歷代數(shù)學(xué)家都試探過，但直到250多年后的今天，還沒有人能完全證明這個猜想。這時部分學(xué)生已經(jīng)開始拿起紙筆“埋頭苦干”了。繼續(xù)說道：“如果把數(shù)學(xué)比作一個王國的話，數(shù)論就是國王頭上的皇冠，而‘哥德巴赫猜想’就是這頂皇冠上最璀璨的明珠！”當(dāng)說完這句話的時候，學(xué)生的熱情空前高漲，每個人都摩拳擦掌，躍躍欲試。雖然最后誰也沒能完全證明這個猜想是對的，但學(xué)生對質(zhì)數(shù)的態(tài)度卻有了明顯的改觀。這樣的教學(xué),不僅學(xué)生留下了深刻的印象，又提高了教學(xué)效率。

再比如，在四年級上冊的“數(shù)學(xué)廣角”中，例2讓學(xué)生學(xué)習(xí)“如何合理安排”。在教學(xué)過程中，告訴學(xué)生這就是著名的“統(tǒng)籌方法”，它是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出的。同學(xué)們恍然大悟。一會兒有的學(xué)生疑惑：華羅庚到底是怎樣的一個人物？于是講述了華羅庚的故事：華羅庚是一個傳奇式的人物，是一個自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家。他在十八歲那年不幸罹患傷寒，臥床達(dá)半年之久，后來病雖痊愈，但左腿卻殘疾了。左腿殘疾后，走路時左腿要先畫一個大圓圈，右腿再邁上一小步。華羅庚幽默地戲稱這是“圓與切線的運動”。他的誓言是：“我要用健全的頭腦，代替不健全的雙腿！”學(xué)生們聽完后無不驚嘆！再繼續(xù)講述，在數(shù)學(xué)史上，這樣的的數(shù)學(xué)家還有許多，他們崇高的理想、頑強的意志、為真理獻(xiàn)身的精神及高尚的道德情操，是我們應(yīng)該繼承的寶貴遺產(chǎn)。

還舉個例子，當(dāng)教完圓周率后，講述這樣的歷史：在2000年前，中國的古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的說法，意思是說圓的周長是直徑的3倍；約1500 年前，中國有一位偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之，他計算出圓周率應(yīng)在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把圓周率的值的計算精確到7位小數(shù)的人。他的這項偉大成就比國外數(shù)學(xué)家得出這 樣精確數(shù)值的時間，至少要早一千年。類似這樣的例子在教學(xué)中講一講，能使學(xué)生深深感受到我國歷史的悠久和古代人民的智慧，產(chǎn)生民族自豪感，更激起學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛。

5.小結(jié)

本文通過選取三個層面，闡釋了數(shù)學(xué)史的教育價值：促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)教師提高課堂教學(xué)效果。我查閱了很多相關(guān)課題研究的資料，從中汲取到了許多有用的思想觀點，以及大量的數(shù)學(xué)史例證。本文闡述觀點與列舉例證結(jié)合，比較系統(tǒng)的研究了數(shù)學(xué)史的教育價值中的重要層面。

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第五篇：數(shù)學(xué)史的教育價值

隨著新課程在全國的推進(jìn)，數(shù)學(xué)史教育受到廣大的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。數(shù)學(xué)史是反映數(shù)學(xué)文化的歷史，數(shù)學(xué)史教育體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。當(dāng)前正在我國推進(jìn)的基礎(chǔ)教育改革十分重視這一點，采取了一系列措施，加強數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的教育。

新課標(biāo)要求培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)價值觀，特別要了解數(shù)學(xué)文化價值。學(xué)生只有了解數(shù)學(xué)的價值，才能自覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)史能幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的文化價值，這對學(xué)生今后的發(fā)展是終身受用的。那么從數(shù)學(xué)史的視角來看，數(shù)學(xué)史教育應(yīng)該滲透哪些文化價值呢？中國科學(xué)院我國著名數(shù)學(xué)史專家李文林在作數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的錄音談話中說到：我們應(yīng)從五個角度去挖掘數(shù)學(xué)史的文化價值，首先，數(shù)學(xué)為人類提供精密思維的模式；其次，數(shù)學(xué)是其他科學(xué)的工具和語言；其三，數(shù)學(xué)是推動生產(chǎn)發(fā)展、影響人類物質(zhì)生活方式的杠桿；其四，數(shù)學(xué)是人類思想革命的有力武器；最后，數(shù)學(xué)是促進(jìn)藝術(shù)發(fā)展的文化激素。另外他還談到一個信息：重視數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，實際上可以說是一種國際現(xiàn)象。若干年前，美國數(shù)學(xué)協(xié)會(MAA)下屬的數(shù)學(xué)教育委員會曾發(fā)出題為《呼喚變革：關(guān)于數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)修養(yǎng)》的建議書，其中呼吁所有未來的中小學(xué)教師注意培養(yǎng)自身對各種文化在數(shù)學(xué)思想的成長與發(fā)展過程中所作的貢獻(xiàn)有一定的鑒賞能力；對來自各種不同文化的個人在古代、近代和當(dāng)代數(shù)學(xué)論題的發(fā)展上所作的貢獻(xiàn)有所研究，并對中小學(xué)數(shù)學(xué)中主要概念的歷史發(fā)展有所認(rèn)識。

從以上材料我們可以看出，數(shù)學(xué)史教育中滲透文化價值成了數(shù)學(xué)史教育的一項重任，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合應(yīng)該是必要的，而且?guī)缀跏潜厝坏摹τ诮窈蟮闹行W(xué)數(shù)學(xué)史教學(xué)，我們應(yīng)該將數(shù)學(xué)文化盡可能地結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，選擇介紹一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學(xué)在人類社會進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的作用，同時也反映社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用。使學(xué)生通過數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，了解人類社會發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律；了解人類從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識客觀世界的過程；發(fā)展求知、求實、勇于探索的情感和態(tài)度；體會數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性，了解數(shù)學(xué)真理的相對性；提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

淺析數(shù)學(xué)史的教育價值

看到新教材豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容，認(rèn)為這是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的一大盛事，也是當(dāng)前學(xué)生的一大幸事，尤其系列3中《數(shù)學(xué)史選講》專題的開設(shè)更值得我們教師去重視，去思考，去運用。

《數(shù)學(xué)史選講》的內(nèi)容包括九講：“

1、早期的算術(shù)與幾何；

2、古希臘數(shù)學(xué)；

3、中國古代數(shù)學(xué)瑰寶；

4、平面解析幾何的產(chǎn)生；

5、微積分的產(chǎn)生；

6、近代數(shù)學(xué)兩巨星——歐拉與高斯；

7、千古謎題——伽羅瓦的解答；

8、對無限的深入思考——康托的集合論；

9、中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展”。它以其深刻渾厚的內(nèi)容、生動流暢的描述和扣人心弦的數(shù)學(xué)家故事呈

現(xiàn)出數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的坎坷與艱辛，成功與愉悅。這無疑是既彌補了中學(xué)數(shù)學(xué)課程上的空白，也增進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價值一直就是國際數(shù)學(xué)教育研究的一個熱點問題。例如，在1997年專門成立的一個國際組織——數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組，簡稱HPM。它隸屬于國際數(shù)學(xué)教育委員會，專門推動數(shù)學(xué)史在教育上的應(yīng)用工作，1998年4月，由國際數(shù)學(xué)教育委員會（ICMZ）發(fā)起，HPM主辦的“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用”國際研討會在法國召開，會議內(nèi)容是探討數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的關(guān)系。現(xiàn)行的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中也提到：“教材可以在適當(dāng)?shù)牡胤浇榻B一些有關(guān)數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)趣聞與數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展首先源于人類生活的需要，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣”。這些都反映了數(shù)學(xué)史在教育教學(xué)工作的運用中具有重要意義。有鑒于此，以下將從數(shù)學(xué)史的彌補價值、素養(yǎng)價值、激勵價值和教學(xué)價值等方面做出總結(jié)分析，希望能促進(jìn)我們重視數(shù)學(xué)史，運用數(shù)學(xué)史。

一、《數(shù)學(xué)史選講》彌補了中學(xué)課程上的空白，豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容。縱觀幾十年來的中學(xué)數(shù)學(xué)教材，涉及數(shù)學(xué)史的內(nèi)容很少，也比較零碎，真正能夠成為專題并安排到學(xué)生的課程上來的，就只有新課程開設(shè)的《數(shù)學(xué)史選講》。在過去很長的時期里，我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教育已基本上形成了重知識的雙基教學(xué)和能力培養(yǎng)，輕知識的素養(yǎng)教育和情感熏陶；重形式體系和邏輯推理，輕人文意義和算理算法的慣性，這也就造成了不少學(xué)生能求解千奇百怪的數(shù)學(xué)難題（僅僅是“習(xí)題”，而不是“問題”），而不了解最基本的道理，能記住種種解題的模式，卻忘掉了數(shù)學(xué)的本和源，讀完中小學(xué)的12年后，留給他們的數(shù)學(xué)僅僅是加減乘除，開方乘方而已。當(dāng)問到陳省身是誰？有的學(xué)生反而問：“他是不是一個大款？還是一個歌星？黑客？”而有些學(xué)生對希臘的幾何大師——歐幾里得、數(shù)學(xué)之神——阿基米德；德國的數(shù)學(xué)王子——高斯，數(shù)學(xué)巨星——希爾伯特；身殘志堅的瑞士數(shù)學(xué)英雄——歐拉，甚至連我國古代的著名數(shù)學(xué)家祖沖之、劉徽等都不知道，這不能不說是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教育的一大缺陷。新課程開設(shè)的《數(shù)學(xué)史選講》專題，它將彌補了數(shù)學(xué)課程上的空白，為學(xué)生構(gòu)建一個了解數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程的平臺，也給學(xué)生提供了了解若干重要數(shù)學(xué)事件、數(shù)學(xué)人物和數(shù)學(xué)成果的機會。

二、數(shù)學(xué)史知識具有提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的價值。

正如哲學(xué)家培根所說的“讀史使人明智”，學(xué)生學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)史知識，可以較好地了解數(shù)學(xué)的發(fā)展軌跡，更好地體會數(shù)學(xué)概念所反映的思想方法，感受數(shù)學(xué)家們刻苦鉆研，勇于開拓和鍥而不舍的精神，這對開闊視野、啟發(fā)思維以及學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識大有益處。

第一，能夠提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的解決技能，數(shù)學(xué)史提供了解決類似問題的多種途徑，不同算法和多種策略，促進(jìn)學(xué)生形成思考多種解題方法并給予合理評價的能力；第二，能讓學(xué)生奠定深刻理解數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)和意識，數(shù)學(xué)史知識能使教學(xué)主題容易被學(xué)生接受，也能指明特定思想和程序產(chǎn)生的由來，為深刻地理解數(shù)學(xué)概念做好了鋪墊；第三，有助于學(xué)生認(rèn)

識和建立豐富多樣的數(shù)學(xué)聯(lián)系，包括不同數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)及其應(yīng)用之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，而這些聯(lián)系承載著不同的時代，超越了不同的文化，也跨越了不同的領(lǐng)域；第四，能夠讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)與社會的相互作用，數(shù)學(xué)與社會的作用是互動的，一方面，不同文化的規(guī)范和實踐影響了數(shù)學(xué)，社會實踐是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，生活實踐是數(shù)學(xué)的真正源泉，另一方面，數(shù)學(xué)也影響了人們思考問題和改造世界的方式。

總而言之，數(shù)學(xué)史在提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)上有它獨特的魅力。它有助于學(xué)生培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)、樸實的科學(xué)態(tài)度和勤奮、自強的工作態(tài)度，逐步形成理智、自律的人格特征和寬容、謙恭的人文精神。

三、中國數(shù)學(xué)史能夠激發(fā)學(xué)生為祖國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的振興而讀書的學(xué)習(xí)熱情。

中國是一個具有五千年悠久歷史的文明古國，涌現(xiàn)了劉徽、祖沖之、趙爽、秦九韶、楊輝等一批數(shù)學(xué)名家，創(chuàng)造了許許多多燦爛輝煌的數(shù)學(xué)成就。例如，較為著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》和《算經(jīng)十書》；數(shù)學(xué)歷史名題“韓信點兵問題”、“雞免同籠問題”和“百錢買百雞問題”。從考古中發(fā)現(xiàn)，在殷代遺留下來的甲骨文字中，自然數(shù)的記法已毫無例外地用著十進(jìn)位值制，說明了我國最早創(chuàng)用了十進(jìn)位值制。我們的祖先還最早發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù)，首創(chuàng)了代數(shù)學(xué)，在16世紀(jì)之前，除了阿拉伯某些數(shù)學(xué)著作外，代數(shù)學(xué)的發(fā)展都是由中國推動的。

四、數(shù)學(xué)史料在課堂教學(xué)的合理運用，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生樹立勇攀科學(xué)高峰的信心。

課堂是教師發(fā)揮教學(xué)主導(dǎo)作用的主陣地，也是學(xué)生獲得大量知識的主要空間。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，合理地運用數(shù)學(xué)史知識，可以豐富教學(xué)內(nèi)容，增加教學(xué)的生動性，趣味性和思想性；提高學(xué)生掌握知識的深刻性，積極性和應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生開拓創(chuàng)新，追求真理的高尚品質(zhì)。因此，作為數(shù)學(xué)知識的傳播者，教師不僅要教會學(xué)生解題和應(yīng)用，還要懂得古為今用，取精用弘，靈活地把數(shù)學(xué)史的文化內(nèi)涵，文化價值應(yīng)用于課堂教學(xué)。

例如，在教學(xué)正四棱臺的體積公式時，我們可以從這個公式在距今四千年前就被古埃及人所掌握，到現(xiàn)今仍舊巍然聳立的古埃及金字塔，從公元前約1850年的一冊古埃及數(shù)學(xué)課本所記錄的正四棱臺體積問題的成功證明，到我國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》也給出的正四棱臺的體積公式V＝［(2b + d)a +(2d + b)c］做一下簡單的介紹。這樣將能改變數(shù)學(xué)課堂的枯燥和單調(diào)，使教學(xué)的內(nèi)容豐滿、多姿。

又如，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)知識時，我們可以簡單地描述：最初遇到這種數(shù)的人是法國的舒開；第一個認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時期意大利有名的“怪杰”，三次方程解法的獲得者之一的卡丹；差不多過了100年，笛卡兒又給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個名字叫“虛數(shù)”，與“實數(shù)”形成相對；又過了約140年，大數(shù)學(xué)家歐拉用i來表示它的單位；德國數(shù)學(xué)家高斯首先提出復(fù)數(shù)這個名詞，而挪威的測量學(xué)家末塞爾找到了復(fù)數(shù)的幾何表示法；從18世紀(jì)起，以歐拉為首的一些數(shù)學(xué)家就開始發(fā)展了一門新的數(shù)學(xué)分支叫復(fù)數(shù)函數(shù)論，大家都學(xué)過函數(shù)，但在中學(xué)里，函數(shù)自變量的取值范圍僅限于實數(shù)，如果把函數(shù)自變量z和取值范圍擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，那么這種函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，即復(fù)變函數(shù)w = f(z)，其中z ,w都是復(fù)數(shù)。19世紀(jì)以后，由于柯西、黎曼、魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家的巨大貢獻(xiàn)，復(fù)數(shù)取得了飛躍的發(fā)展，并且廣泛應(yīng)用到空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、理論物理學(xué)等方面。把這種“虛幻之?dāng)?shù)”第一次應(yīng)用到工程部門并取得重大成就的是俄國的“航空之父”——儒可夫斯基。他研究了圍繞和流過障礙物的不斷運動著的氣流分子，成功地解決了空氣動力學(xué)的主要問題，創(chuàng)立了以空氣動力學(xué)為基礎(chǔ)的機翼升降原理，并找到了計算飛機翼型的方法，儒可夫斯基翼型是依賴于有名的儒可夫斯基變換，這是一個廣分式線性的復(fù)變函數(shù)w =(z +),其中z為自變量，w為函數(shù)，a是一個常數(shù)。這一切的成就，都是依賴于那個前人感到不可捉摸的“虛幻之?dāng)?shù)”，以及由它延伸出來的復(fù)變函數(shù)論。

［7］

當(dāng)學(xué)習(xí)橢圓知識時則可以把數(shù)學(xué)史料融入其中設(shè)計出如下問題，引導(dǎo)學(xué)生帶著疑問和樂趣走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂。

問題1 古希臘有一個音樂廳，它的甲等座位并不在靠近樂隊和演唱的地方，而是在一個特定的地點，這個特定的地點就是橢圓的一個焦點，而發(fā)聲處則是另一個焦點，因此，甲等座位收聽到的聲音最大的效果也是最好的，這是為什么？

問題2 據(jù)說，當(dāng)年西西里島的統(tǒng)治者曾經(jīng)設(shè)計了一座巖洞監(jiān)獄，被關(guān)在里面的犯人每次密謀越獄和暴動，所有的計劃均被看守者知曉，囚徒之間互相猜疑、指責(zé)，卻始終也找不到告密者，這座監(jiān)獄是一個名叫刁尼秀斯的官員設(shè)計的，它的形狀就像一個耳朵，所以稱為“刁尼秀斯之耳”，這只耳朵也的確具備了聽聲的功能，囚徒們議論的輕微的聲音都會被山洞口的看守者聽到，這些奧秘在哪兒呢？

這兩個問題既可以讓學(xué)生初步接觸橢圓知識及其聚焦效應(yīng)功能，也可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

除了以上介紹的幾個例子，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容都有與其相關(guān)的一些數(shù)學(xué)史料，例如，回歸直線方程與高斯的“最小二乘法”；正多面體與歐拉公式；賭徒梅累與概率論的產(chǎn)生；解析幾何與笛卡兒的坐標(biāo)系等等，如果教師能把數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)巧妙地結(jié)合，那就能給數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來新的活力，改變以算為主，以練為輔的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂形式，既增加了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和對數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的了解，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激勵學(xué)生為探索大自然的奧秘而不懈努力的斗志。

數(shù)學(xué)史源遠(yuǎn)流長，內(nèi)容豐富多彩，它將逐漸受到人們的重視，新課程開設(shè)了數(shù)學(xué)史，也將使它的教育價值更加突出。重視數(shù)學(xué)史，靈活運用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教育，這將是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師的一項重要的工作內(nèi)容

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要性

楊淑芬

數(shù)學(xué)課程在中小學(xué)里成為最不受歡迎、最枯燥乏味、最沒有成就感的科目，早已是司空見慣的事，即使是大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生，也經(jīng)常是愈念愈不知所學(xué)理論究竟從何而來？又該從何而去？使數(shù)學(xué)不為學(xué)生所排斥，成為學(xué)生所喜愛的科目之一，相信是所有關(guān)心數(shù)學(xué)教育者心中企盼能達(dá)成的目標(biāo)。

然而，要使大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，讓學(xué)生去感受數(shù)學(xué)在人類文化上所發(fā)揮的功用，經(jīng)歷一些創(chuàng)造數(shù)學(xué)的樂趣，乃是達(dá)到此一目的的方法之一。就數(shù)學(xué)作為文化產(chǎn)物的觀點而言，自然而然引發(fā)出數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育上的重要性;即使從鼓勵學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程來看，數(shù)學(xué)的概念發(fā)展歷史在數(shù)學(xué)教育上，同樣有著極其珍貴的應(yīng)用價值。國際數(shù)學(xué)教育界近二十年來對數(shù)學(xué)史的逐漸重視，并成立有專門的研究小組，以及近幾年來有關(guān)這方面的論文、會議、期刊的出現(xiàn)，即足以說明數(shù)學(xué)教育中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的這一趨勢，正方興未艾地進(jìn)行著。

事實上這樣的作法，可以追朔到Felix-Klein的時候。在1945年出版，為中學(xué)教師所撰寫的《初等數(shù)學(xué)》(Elementary Mathematics)中，Klein就經(jīng)常從歷史發(fā)展的角度來引入一個新概念。而采取這種歷史取向(historical approach)的原因，則出自于個體發(fā)展與歷史發(fā)展相似的想法上。例如 Klein即談到:

從數(shù)學(xué)教學(xué)的觀點來看，我們當(dāng)然應(yīng)該避免使學(xué)生過早接觸這樣抽象困難的事物。為了對我這個看法作更詳細(xì)的說明，我很樂意提出生物遺傳定律(Biogenetic Fundamental Law)。

根據(jù)此定律，個體的發(fā)展會縮短其階段地經(jīng)歷種族的所有發(fā)展階段。這樣的想法已經(jīng)成為每一個一般文化的重要部份。現(xiàn)在，我認(rèn)為在數(shù)學(xué)中的教育，如同其它科目的教育，都應(yīng)該依循此一定律，至少一般而言是如此(Klein1945，p.268)。

不只Klein有這樣的想法，Henri Poincar′e更早在1908年出版的《科學(xué)與方法》(Science and Method)中透露了同樣的理念:

動物學(xué)家認(rèn)為:動物胚胎的發(fā)育，在短暫的期間內(nèi)經(jīng)過其祖先演化過程的一切地質(zhì)時代，而重演其歷史。看來思維的發(fā)展亦復(fù)如此。教育工作者的任務(wù)，就是要使兒童思想的發(fā)展，踏過前人的足跡，迅速地走過某些階段，但毫不遺漏，由于這個緣故，科學(xué)史理應(yīng)成為我們的第一向?qū)?Poincar′e，1946，p.437)。

而極為關(guān)心數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)家George Polya，也寫過“數(shù)學(xué)教學(xué)與生物發(fā)生律”一文，并相信這個生物定律能引發(fā)許多極為有用的研究。

當(dāng)然，大師們的想法不一定完全正確，生物學(xué)上的重演說也隨著遺傳基因的發(fā)現(xiàn)而被修正，并隨著科學(xué)研究器材的進(jìn)步而趨于末落，但這至少給了我們一個啟發(fā):透過數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展，我們能夠了解多少學(xué)生的想法、犯錯的原因、困難阻礙發(fā)生的地方？如果我們比較一下Jean Piaget的發(fā)生認(rèn)識論與數(shù)學(xué)得歷史發(fā)展，將會發(fā)現(xiàn)這兩者有某種程度的相似性是可能的(注一)。換句話說，我們有透過概念的歷史發(fā)展以了解學(xué)生的想法得可能。這對以所有學(xué)生為數(shù)學(xué)教學(xué)的對象、冀望從學(xué)生的角度去幫助學(xué)生作思考的九O年代數(shù)學(xué)教育(注二)，無疑地有著極大的應(yīng)用價值。

如同前面曾經(jīng)提過，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育上的價值，除了借以了解學(xué)生的想法之外，在環(huán)保意識高漲的今日，強調(diào)科學(xué)與數(shù)學(xué)的人文面向更為重要。因為除非覺醒到科學(xué)與數(shù)學(xué)不是必然將人類帶往幸福之路、不是萬能之神，而是人類的創(chuàng)造，同時人類的文化也將隨科學(xué)與數(shù)學(xué)的發(fā)展而有所不同，否則是無法掌握人類周遭的生活環(huán)境往更好的方向發(fā)展的。在這種情況底下，教育出對科學(xué)與數(shù)學(xué)具有人文關(guān)懷的下一代，成了所有相關(guān)的教育學(xué)者們的責(zé)任了。而這樣的考慮，同時也有增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的副作用。

因此，1972年在英國Exeter舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)教育會議(ICME)(注三)，即由于意識到數(shù)學(xué)教育必需在數(shù)學(xué)課程中為歷史尋求定位，而選出了70個會員成立一個“Exeter工作小組”討論歷史與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)史可以顯示出數(shù)學(xué)是一種人類活動的結(jié)果，而不是一開始便是如此型態(tài)的結(jié)構(gòu)，并能對數(shù)學(xué)與我們的社會、文化 以及和其它各種不同學(xué)科之間的關(guān)系，提供更多的認(rèn)識。既然國際數(shù)學(xué)教育會議如此公開強調(diào)數(shù)學(xué)史的重要，則各方對此加以反應(yīng)是可以預(yù)期的了。1974年，英國就有兩個數(shù)學(xué)教師的會議，針對如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史而設(shè)計。一個是4月8-11日數(shù)學(xué)學(xué)會在Surrey的Royal Holloway學(xué)院所舉行的“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)聯(lián)”工作小組會議;討論了在介紹射影、非歐幾何，以及微積分的課程時，如何有效利用數(shù)學(xué)史.另一個是4月16-20日數(shù)學(xué)教師協(xié)會在Nottingham的Clifton教育學(xué)院舉行的“數(shù)學(xué)史中的個案研究”討論會，從數(shù)學(xué)史的角度對教學(xué)方法、課程表的編排、解題，以及一些數(shù)學(xué)主題如數(shù)目的概念起源、度量與分?jǐn)?shù)、無限大與無限小量等，進(jìn)行個案的研究討論，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)史在教學(xué)進(jìn)展中，可以作為“人性化”的一個推動力。

而在1976年，NCTM(注四)出版的第31本年書中，美國的Philip S.Jones則發(fā)表了“為教學(xué)工具的數(shù)學(xué)史”一文，他肯定歷史可以給與學(xué)生額外的撫慰與信心:像 Descartes發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)時尚稱它們是“錯誤的”，而且還避免使用負(fù)數(shù);Gauss認(rèn)為”無限是可怕的”;Euler錯誤地寫下一些發(fā)散級數(shù)的和等等。這些故事?lián)嵛课覀冋f，即使是偉大的人物在面對今天我們感到相當(dāng)完整清楚的概念時，也曾經(jīng)同樣地遇到困難。Jones強調(diào)，把數(shù)學(xué)史用在教學(xué)上，目的并不是在展現(xiàn)數(shù)學(xué)史本身，而是在透過這些歷史材料背景以達(dá)到理解數(shù)學(xué)、接近數(shù)學(xué)、并獲得學(xué)習(xí)的自信心上，提供具體的方法。由于從歷史資源中，我們可以了解到數(shù)學(xué)與哲學(xué)宗教社會經(jīng)濟(jì)甚至知識上的好期有關(guān)，例如Leibniz基于對宗教哲學(xué)的興趣和對知識的好奇，建立了二進(jìn)位運算系統(tǒng)，在現(xiàn)代電腦發(fā)展上扮演著一個關(guān)鍵性的角色;非歐幾何源于對《幾何原本》第五公設(shè)的好奇問題而起。卻在后來相對論上有了應(yīng)用。這一類例子可以讓學(xué)生了解到，數(shù)學(xué)并非如想像中那樣，是一成不變的，任何表面上看起來沒有立即實用價值的好奇，都有可能成為日后數(shù)學(xué)或其它科學(xué)的重要基礎(chǔ)。基于這樣的認(rèn)識，所以Jones認(rèn)為在數(shù)學(xué)教育中，僅注重邏輯形式是不夠的，直觀、歸納、類比，以及好奇、靈感與信心的重要性，絕不亞于邏輯;而對概念發(fā)展歷史的洞察，則能提供有關(guān)的豐富材料，在課程的安排、概念的教導(dǎo)、刺激學(xué)生的興趣等方面，都將有所貢獻(xiàn)。

“Exeter工作小組”在1976年第三屆ICME會議中，就發(fā)表了他們的一些研究成果。B.Hughes從歷史的角度來看證明的產(chǎn)生，由于Proclus曾在《幾何原本第一卷注解》(Commentary on the First Book ofthe Elements)中多次提到，分析方法使希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了許多定理與它們的證明。所謂分析的方法，是從結(jié)論到所給條件的過程的演繹討論;而綜合證明則是反其道而行。如此看來，他認(rèn)為介紹證明給學(xué)生，最適合的教學(xué)方法即是分析。另外J.Nicolsm則發(fā)表了由他所主持的一項數(shù)學(xué)史的教學(xué)計劃及評

估;G.Flegg談到數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著誘導(dǎo)的重要角色，數(shù)學(xué)是文化整合的結(jié)果忽略其歷史，將使學(xué)生對數(shù)學(xué)是什么的概念不夠完整等等。

當(dāng)西方國家肯定此一潮流的價值，并積極展開研究探討之際，東方國家也開始有人注意到這個情形。香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)系蕭文強博士1976年9月份的《抖擻》中就發(fā)表

了“數(shù)學(xué)發(fā)展史給我們的啟發(fā)”一文。文中他談到，從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，數(shù)學(xué)由生產(chǎn)實踐而來。古文明的數(shù)學(xué)著重在“怎么做”，到了西元前六世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)，才開始討論“為什么這樣做”，因而在教學(xué)中應(yīng)該多留心實際的例子讓學(xué)生體會到這一點。不過在課堂上，數(shù)學(xué)教師經(jīng)常忽略了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系以為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)目的只在于訓(xùn)練學(xué)生的思考能力，因此要強調(diào)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)。然而從歷史上來看，“嚴(yán)謹(jǐn)性”并非一成不變的，今天的嚴(yán)謹(jǐn)在明天可能只是一粗淺的說明。數(shù)學(xué)雖然是一門邏輯性很強的學(xué)科，但單是邏輯并不能導(dǎo)致新的發(fā)展，也不能決定數(shù)學(xué)的內(nèi)容，從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，做數(shù)學(xué)很多時候是憑直觀經(jīng)驗臆測的，十八世紀(jì)Euler在無窮級數(shù)上的成就就是個很好的例子。由此看來，數(shù)學(xué)教師有數(shù)學(xué)史的修養(yǎng)，對數(shù)學(xué)有正確的認(rèn)識而不在將之視為邏輯推理，是極為重要的;否則，我們就只能期望擁有一群只會證明而沒有創(chuàng)造的新一代”數(shù)學(xué)家”了!數(shù)學(xué)教育界對數(shù)學(xué)史的重視，到了第四屆ICME會議顯得更為熱絡(luò)，在1983年出版的會議記錄中，就出現(xiàn)了八篇這一類的論文。例如Bruce E.Meserve即認(rèn)為數(shù)學(xué)的歷史演變，是幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的絕佳材料與資源。他舉了一些例子。早期埃及人在面對“如何造一正方形使其面積為原來的兩倍”此一問題時，是利用原正方形的對角線為新正方形的邊長來回答。我們可以利用折紙來說明，也可以用畢氏定理;但這并不表示埃及人能回答此

一問題即是由于他們已經(jīng)熟悉了畢氏定理。利用分配律展開(a+b)2得到a^2+2ab+b^2，利用圖形的說明同樣可以獲得相同的結(jié)果。這種幾何表現(xiàn)不僅明顯易懂，也使學(xué)生了解到幾何與代數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。這些例子使我們了解到，一個我們習(xí)慣用現(xiàn)代數(shù)學(xué)來解決的問題，不一定僅有這種唯一的解法，歷史不只一次地告訴我們，曾經(jīng)有人用更直接具體易懂的方法解決相同的問題。透過歷史，我們可以尋找出一個更適合學(xué)生的說明方式。Meserve還指出，數(shù)學(xué)史在引起學(xué)生的“需要”情境上也有貢獻(xiàn)，一個簡單的例子即無窮級數(shù)1?1+1?1+1?1+...，在歷史上曾經(jīng)有許多數(shù)學(xué)家利用不同的方法得到和為0，1，?1，2，1/2等答案;在這種情形下學(xué)生就能體會，對無窮級數(shù)的進(jìn)一步探討與分類顯然是迫切需要了。

而Leo Rogers則談到，歷史中前人累積下來的經(jīng)驗，在教學(xué)上是值得借鏡的。當(dāng)我們在面對過去的數(shù)學(xué)史時，必需了解現(xiàn)代的數(shù)學(xué)根基于過去，而過去也是現(xiàn)在數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基礎(chǔ)，我們不能用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)否定了過去的數(shù)學(xué)成就。從此角度來看，教導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性必需是循序漸進(jìn)的，我們實不應(yīng)該過早要求學(xué)生表現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密而喪失了感受數(shù)學(xué)趣味的機會。又如Hans Neils Jahnke以十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，數(shù)與量的概念開始比以往更有系統(tǒng)性的區(qū)別為例，來說明數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的貢獻(xiàn)。十九世紀(jì)在科學(xué)與在社會中同樣都有重要且深層的改變。就科學(xué)而言，被數(shù)學(xué)化了的經(jīng)驗科學(xué)理論逐漸邁出力學(xué)，并向其它領(lǐng)域伸出觸角，如熱的解析、電學(xué)等理論，因而使得科學(xué)家、哲學(xué)家對于數(shù)學(xué)進(jìn)入經(jīng)驗物理世界的情形感到疑惑，他們懷疑數(shù)學(xué)有可能使經(jīng)驗世界更加復(fù)雜。這使得當(dāng)時許多數(shù)學(xué)家如Lagrange和Monge有好幾年不作數(shù)學(xué)。這一方面是由于整個十

八世紀(jì)認(rèn)為數(shù)學(xué)的實體就是一些“量”的概念，因而假設(shè)了整個經(jīng)驗物理世界的內(nèi)容是“類量的”(quantity-like)之后，也就同時假設(shè)了對現(xiàn)實世界作數(shù)學(xué)分析的可行性。但是在科學(xué)逐步向熱力學(xué)、電學(xué)等能量問題研究討論之時，數(shù)學(xué)是否能再如往昔般對科學(xué)作出偉大貢獻(xiàn)，自然要受到懷疑了。不過這同時也讓數(shù)學(xué)家嘗試去定義量以及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。于是到了十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家便發(fā)展出新的數(shù)學(xué)定義，把數(shù)學(xué)看作是一種討論連結(jié)關(guān)系(relation)的理論。人們進(jìn)而相信，能將實體世界或科學(xué)世界數(shù)學(xué)化的先決條件，是事物之間有某種關(guān)系存在，而不是事物本身。這樣的關(guān)系理論并不需要預(yù)先假設(shè)有量數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要性的概念，數(shù)學(xué)家放棄了數(shù)學(xué)為“量的理論”的想法，進(jìn)而使關(guān)系理論成為數(shù)學(xué)的核心;在這種架構(gòu)下，函數(shù)成為數(shù)學(xué)研究的重心。據(jù)此，如果有人在初等教育中，將集合論、函數(shù)等討論關(guān)系的理論作為教導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，并以為在數(shù)學(xué)上最發(fā)達(dá)最基層的概念，對學(xué)生而言也是最簡單的，那么，從歷史的發(fā)展來看，這是完全錯誤的，Jahn ke認(rèn)為我們應(yīng)該以歷史為師，先發(fā)展量的概念、強調(diào)度量的問題，從算術(shù)數(shù)量之間與函數(shù)等的緊密關(guān)聯(lián)著手，進(jìn)一步認(rèn)識到關(guān)系理論是數(shù)學(xué)概念了解的核心，才是正確妥當(dāng)之途。

除了ICME這個組織的大力呼吁之外，國際上也有其它的會議、研究組織以及研究論文關(guān)心此一主題。1982年4月15日，NCTM在加拿大多倫多所舉行第60屆年會，ISGHPM(注五)即在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之關(guān)聯(lián)這一主題上安排了一個討論會，并發(fā)表了五篇論文。此外，ISGHPM還繼續(xù)在1983年NCTM于底特律舉行的年會中，就此主題再一次討論如何在教學(xué)中發(fā)展歷史材料等問題。

我們另一方面也可以在國際性的數(shù)學(xué)史雜志Historia Mathematica中感受到這樣的趨勢。此雜志設(shè)有“教育”一欄，刊登有關(guān)數(shù)學(xué)史課程計劃、數(shù)學(xué)教育中歷史的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)教師會議的一些歷史研究活動。例如1984年以色列的A.Arcavi和Bruck-heimer在“為老師準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)史材料的發(fā)展與評價”，即談到其Weizmann科學(xué)機構(gòu)的科學(xué)教育部門，正在為職前與在職老師發(fā)展有關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)課程的數(shù)學(xué)史教材;MarciaAscher的“非西方文化的數(shù)學(xué)概念”，提醒我們注意到數(shù)學(xué)在不同的人類文化生活中所扮演的不同角色，將有助于擴(kuò)展學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識。如1987年8月在日本舉行的國際數(shù)學(xué)之歷史與教育研討會，有來自美國、巴西、法國、印度、中國大陸、韓國等14位學(xué)者與

日本境內(nèi)60位學(xué)者參與。與會學(xué)者除了對數(shù)學(xué)史作學(xué)術(shù)上的演講之外，還有第四部份“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育”的討論，包括了MasamiIsoda的“在數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程中利用數(shù)學(xué)

史”(Using History of Mathematics forMathematization in the Learning Pro-cess)等七篇論文。1988年7月份在挪威舉行的數(shù)學(xué)史工作小組會議，更將整個重點放在如何展現(xiàn)透過歷史材料的應(yīng)用以改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)上面，根據(jù)Historia Mathematica所刊的與會學(xué)者與論文名稱，包括有美國的Frank Swetz、Abe Shenitzer，以及香港的蕭文強等22位學(xué)者所發(fā)表的30篇文章，顯現(xiàn)了此一主題討論的盛況(注六)。

綜合上述我們不難理解，1984年于澳大利亞舉行的ICME國際會議，會以連續(xù)四個討論會向教育學(xué)者們介紹此一理念。第一個討論會是由George Booker所主持，并 提出在教室中使用數(shù)學(xué)史的建議大綱，以及在澳大利亞使用過的一些例子和反應(yīng)。會中認(rèn)為:學(xué)生會發(fā)展那些令他們感興趣的數(shù)學(xué)問題，因此應(yīng)把焦點集中在數(shù)學(xué)的思考過程上，而非數(shù)學(xué)家們想法的結(jié)果。第二個討論會則由以色列的Rina Hershowiz和法國的Amy Dahan所帶領(lǐng)，探討能為教師及資賦優(yōu)異學(xué)生所使用的數(shù)學(xué)史，借助歷史將

6數(shù)學(xué)傳播十六卷三期民81年9月數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)聯(lián)結(jié)起來。在這種論點確定之后，討論的重點即應(yīng)集中在數(shù)學(xué)史的哪些東西可以達(dá)到這個目的。因此第三個討論會即由Dahan，C.Borowcyz及義大利的Lucia Greuquetti提出適合于中學(xué)生的歷史材料。他們認(rèn)為所謂的“歷史取向”或“發(fā)現(xiàn)取向”(discovery approach)的教學(xué)方法，即強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)是一種建構(gòu)性的步驟，而非僅是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)結(jié)果。這種建構(gòu)性的引導(dǎo)可使學(xué)生對概念更加清楚，因此數(shù)學(xué)史進(jìn)入數(shù)學(xué)教學(xué)中是有其價值的。第四個討論會則

由美國的Florence Fasanelli為主席，探討藝術(shù)(art)與數(shù)學(xué)歷史之間的相互作用。1991年6月份的數(shù)學(xué)教育期刊《Forthe Learning of Mathematics》，由JohnFauvel編輯了一冊討論數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史應(yīng)用的專刊，更可以看出這種結(jié)合歷史與教學(xué)的作法，已經(jīng)獲得數(shù)學(xué)教育界的普遍重視。數(shù)學(xué)的歷史之所以能應(yīng)用在數(shù)學(xué)教育上，除了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育關(guān)注到文化層面上有絕對的助益(注七)，或是其它人所認(rèn)為可以提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣之外，數(shù)學(xué)史也在數(shù)學(xué)教育理論的研究上發(fā)揮了作用。在ICMI的分支機構(gòu)--國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究小組(PME)--的研究報告《數(shù)學(xué)與認(rèn)知》(Mathematics and Cognition)一書里，認(rèn)為研究的任務(wù)在于發(fā)掘教師與學(xué)生內(nèi)在不同的數(shù)學(xué)認(rèn)識，以及兩者之間的鴻溝應(yīng)該如何去除，使學(xué)習(xí)者能從某一舊觀點轉(zhuǎn)變到另一新觀點。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該采建構(gòu)的方式，而數(shù)學(xué)概念算法與證明的發(fā)展過程，則是與此種建構(gòu)方式平行的: 從數(shù)學(xué)知識發(fā)展中個體與歷史過程的交互研究，我們可以獲得許多益處。

對過去數(shù)學(xué)家所曾遭受過的阻礙之研究，幫助我們解釋今日學(xué)生所犯的錯誤;反過來，研究學(xué)生的錯誤困難與不當(dāng)?shù)母拍罨瑒t有助于我們對數(shù)學(xué)史的了解(Nesher & Kilpatrick，1990，p.16)。

透過這樣的想法，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育上有了導(dǎo)引的作用，成為數(shù)學(xué)教育理論研究的起點與方針。在同一本書中Cardyn Kieran的“代數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程”(Cognitive Processes Involved in Learning School Algebra)，或是NCTM于1989年出版的《代數(shù)之學(xué)習(xí)與教學(xué)》，都出現(xiàn)了藉由代數(shù)的發(fā)展歷史以區(qū)別學(xué)生對代數(shù)的認(rèn)知程度的情形。如Kieran將代數(shù)的認(rèn)知過程分為三個階段:(1)文辭代數(shù)階段(rhetorical stage)，即Diophantos(A.D.250)之前，主要特征是使用一般的語言敘述一些特殊問題的解決法，缺乏對“未知數(shù)”的符號或特殊記號的使用。

(2)簡字代數(shù)(syncopated algebra)，從Diophantos用縮寫來表示未知量，到16世紀(jì)末。(3)符號代數(shù)(symbolic algebra)，由Vieta使用字母來替代給定量開始。這時候表達(dá)一般的解法成為可能，代數(shù)的使用被作為是證明支配數(shù)字關(guān)系之規(guī)則的一種工具。

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要性Gerard Vergnaud也談到:

今日數(shù)學(xué)所呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)性與敘述性的面貌，是歷史長久發(fā)展的結(jié)果。學(xué)生總是會經(jīng)歷相同的主要概念上的困難，而且它們也必須克服那些數(shù)學(xué)家所曾經(jīng)遭遇過的、同樣的認(rèn)識上的阻礙。(Nesher & Kilpatrick eds.，1990，p.97)。

這些事實，正足以說明了數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷史在數(shù)學(xué)教育研究上有著廣泛而深刻的影響與助益。

在國際數(shù)學(xué)教育界滿縊著數(shù)學(xué)史的氣氛之下，反觀國內(nèi)的數(shù)學(xué)教育界對這樣的認(rèn)識仍顯得極為缺乏，須要有更多的人對這樣的趨勢加以了解，并多方研究國外已有的成果以為參考，發(fā)展出一套從中國的數(shù)學(xué)出發(fā)且融合西方數(shù)學(xué)、適合國人的數(shù)學(xué)教育方式，相信是今后國內(nèi)數(shù)學(xué)教育中一塊值得努力耕耘的沃土!注解:

數(shù)學(xué)史教育不可忽視文化價值的滲透

隨著新課程在全國的推進(jìn)，數(shù)學(xué)史教育正日益受到廣大的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。但是我們發(fā)現(xiàn)大多數(shù)數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育中，仍然停留在激發(fā)學(xué)生興趣、人文價值方面，很少涉及滲透文化價值方面的知識。這實際上忽視了數(shù)學(xué)史教育的一個重要作用，即數(shù)學(xué)史是反映數(shù)學(xué)文化的歷史，數(shù)學(xué)史教育應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。當(dāng)前正在我國推進(jìn)的基礎(chǔ)教育改革十分重視這一點，采取了一系列措施，其中包括加強數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的教育。教育部新近審定頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)前言部分“

二、課程的基本理念”第8條“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”，其中指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題。