第一篇：小學(xué)奧數(shù)牛吃草問(wèn)題教案(一)

奧數(shù)十二講 牛吃草問(wèn)題

（一）牛吃草問(wèn)題也叫牛頓問(wèn)題或是消長(zhǎng)問(wèn)題，因由牛頓提出而得名，也有人稱這一類問(wèn)題叫做牛吃草問(wèn)題。英國(guó)著名的物理學(xué)家學(xué)家牛頓曾編過(guò)這樣一道數(shù)學(xué)題：牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？ 解題關(guān)鍵

牛頓問(wèn)題，俗稱“牛吃草問(wèn)題”，牛每天吃草，草每天在不斷均勻生長(zhǎng)。解題環(huán)節(jié)主要有四步：

1、求出每天長(zhǎng)草量；

2、求出牧場(chǎng)原有草量；

3、求出每天實(shí)際消耗原有草量(牛吃的草量--生長(zhǎng)的草量= 消耗原有草量)；

4、最后求出可吃天數(shù)

想：這片草地天天以勻速生長(zhǎng)是分析問(wèn)題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長(zhǎng)出的草。求出了這個(gè)條件，把所有頭牛分成兩部分來(lái)研究，用其中頭吃掉新長(zhǎng)出的草，用其余頭數(shù)吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數(shù)。

設(shè)一頭牛1天吃的草為一份。

那么10頭牛22天吃草為1×10×22=220份，16頭牛10天吃草為1×16×10=160份

（220-160）÷（22-10）=5份，說(shuō)明牧場(chǎng)上一天長(zhǎng)出新草5份。

220-5×22=110份，說(shuō)明原有老草110份。

綜合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。牛頓曾提出的問(wèn)題

牛頓在其著作《普遍的算術(shù)》(1707年出版)中提出如下問(wèn)題：“12條公牛在四個(gè)星期內(nèi)吃掉了三又三分之一由格爾的牧草；21條公牛在9星期吃掉10由格爾的牧草，問(wèn)多少條公牛在18個(gè)星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草？”

（由格爾是古羅馬的面積單位，1由格爾約等于2,500平方米）。這個(gè)著名的公牛問(wèn)題叫做“牛頓問(wèn)題”。牛頓曾說(shuō)過(guò)：“如果我看得比別人更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀薄?/p>

牛頓的解法是這樣的：在牧草不生產(chǎn)的條件下，如果12條公牛在四星期內(nèi)吃掉三又三分之一由格爾的牧草、則按比例36頭公牛四星期內(nèi)，或16頭公牛九個(gè)星期內(nèi)，或八頭公牛18星期內(nèi)吃掉10由格爾的牧草，由于牧草在生長(zhǎng)，所以21頭公牛9星期只吃掉10由格爾牧草，即在隨后的五周內(nèi)，在10由格爾的草地上新長(zhǎng)的牧草足夠21-16=5頭公牛吃9星期，或足夠5/2頭公牛吃18個(gè)星期，由此推得，14個(gè)星期（即18個(gè)星期減去初的四個(gè)星期）內(nèi)新長(zhǎng)的牧草可供7頭公牛吃18個(gè)星期，因?yàn)?：14=5/2：7。前已算出，如牧草不長(zhǎng)，則10由格爾草地牧草可供八頭公牛吃18個(gè)星期，現(xiàn)考慮牧草生長(zhǎng)，故應(yīng)加上7頭，即10由格爾草地的牧草實(shí)際可供15頭公牛吃18個(gè)星期，由此按比例可算出。24由格爾草地的牧草實(shí)際可供36頭公牛吃18星期。

牛頓還給出代數(shù)解法：他設(shè)1由格爾草地一個(gè)星期內(nèi)新長(zhǎng)的牧草相當(dāng)于面積為y由格爾，由于每頭公牛每個(gè)星期所吃牧草所占的面積看成是相等的，根據(jù)題意，設(shè)若所求的公牛頭數(shù)為x，則（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x

解得x=36 即36條公牛在18個(gè)星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草。

還有一種方法就是使用方程式的解法。

例如有一塊牧場(chǎng)，可供9頭牛吃3天，或者5頭牛吃6天，請(qǐng)問(wèn)多少牛能夠2天吃完？

我們做方程式：設(shè)牧場(chǎng)原有草量為y，每天新增加的牧草可供x頭牛食用，N頭牛能夠2天將草吃完，根據(jù)題目條件，我們列出方程式：

y=(9-x）×3

y=(5-x)×6

y=(N-x)×2

解方程組得x=1 y=24 N=13

其實(shí)這種牛吃草問(wèn)題的核心公式是：原有草量=（牛數(shù)-單位時(shí)間長(zhǎng)草量可供應(yīng)的牛的數(shù)量）×天數(shù)

解法二：

牛吃草問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)在于這個(gè)問(wèn)題隱藏了一個(gè)基本的平衡在其中，那就是：假若每頭牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此題無(wú)解，為什么？因?yàn)楹芸赡芤活^牛心情好一天就能吃完這些草，也可能10頭牛食欲不佳一個(gè)月吃都不完這些草，因此每頭牛每天的吃草速率和數(shù)量必須都是相同的是這個(gè)問(wèn)題成立并且能夠得到答案的充要條件。

得到這個(gè)結(jié)論后，我們就要開(kāi)始確定一個(gè)平衡的方程式出來(lái)，如何確定？不難想到，可以是吃草量和草本身量之間的平衡，也就是吃草量=草總量。于是我們就可以假設(shè)一頭牛一天的吃草量為M，并假設(shè)第三種情況牛吃草的天數(shù)為N；接下來(lái)開(kāi)始尋找平衡方程，我們可以看到，在問(wèn)題提供的條件中，第一種情況的草地總量為10×M×22，第二種情況的草地總量為16×M×10，第三種情況的草地總量為25×M×N。

然后我們開(kāi)始尋找方程的平衡：既然我們現(xiàn)在已經(jīng)找到三種情況里草地的總量，那么不難想到方程的另一邊就要靠草的量來(lái)進(jìn)行平衡，于是，我們假設(shè)原有草量為Y，草每天的生長(zhǎng)量為X，得到如下方程組：

10×M×22=22X+Y

16×M×10=10X+Y

25×M×N=NX+Y

解此方程組，可得X=5，Y=110，N=5.5，因此25頭牛用五天半的時(shí)間就能吃完這些草。規(guī)律總結(jié)

牛頓問(wèn)題的難點(diǎn)在于草每天都在不斷生長(zhǎng)，草的數(shù)量都在不斷變化。解答這類題目的關(guān)鍵是想辦法從變化中找出不變量，我們可以把總草量看成兩部分的和，即原有的草量加新長(zhǎng)的草量。顯而易見(jiàn)，原有的草量是一定的，新長(zhǎng)的草量雖然在變，但如果是勻速生長(zhǎng)，我們也能找到另一個(gè)不變量——每天（每周）新長(zhǎng)出的草的數(shù)量。

方法指導(dǎo)：通常思路

①把每頭牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生長(zhǎng)的草量是多少；③求出原來(lái)的草量是多少；④假設(shè)幾頭牛專門去吃新生長(zhǎng)的草，剩下的牛吃原來(lái)的草所用幾天（周）數(shù)即為所求。由于牛吃草的天數(shù)不同。

例題：例1 牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問(wèn)可供21頭牛吃幾天？

【分析】這片牧場(chǎng)上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來(lái)的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng)的，因而這片牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長(zhǎng)，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變啊？草是以勻速生長(zhǎng)的，也就是說(shuō)每天長(zhǎng)的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對(duì)吧？這就是我們解題的關(guān)鍵。這里因?yàn)槲粗獢?shù)很多，我教大家一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)“1”法。我們?cè)O(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設(shè)草每天增長(zhǎng)的數(shù)量是a份，設(shè)原來(lái)的草的數(shù)量為b份，那么我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a 【思考1】一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？

15天．設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原來(lái)的草量是（24-14）×6=60份。可供18頭牛吃60÷（18-14）=15天

例2 因天氣寒冷，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃10天? 【分析】與例1不同的是，不但沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來(lái)的草的總量 【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛 吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？

8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場(chǎng)每天減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來(lái)的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天。

總結(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，但是因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量也是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天新長(zhǎng)出的草，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。

知識(shí)衍變 牛吃草基本問(wèn)題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問(wèn)題，驢吃草問(wèn)題也知道怎么做，甚至，以下這些問(wèn)題都可以應(yīng)用牛吃草問(wèn)題解決方法 例3 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小麗每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？

【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階總級(jí)數(shù)”，“草”變成了“臺(tái)階”，“牛”變成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”問(wèn)題來(lái)解答。【思考3】?jī)芍晃伵Ｍ瑫r(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸牛滑行的速度卻是相同的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只恰好用了6個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？

大家說(shuō)這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？

15米。

蝸牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米 所以井深：（20+10）×5=150分米=15米

例4 一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完。現(xiàn)在要想在2小時(shí)舀完，需要多少人？

【分析】典型的“牛吃草”問(wèn)題，找出“牛”和“草”是解題的關(guān)鍵 【思考4】一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干，用15部相同的抽水機(jī)10小時(shí)可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？

5小時(shí)。設(shè)一臺(tái)抽水機(jī)一小時(shí)抽水一份。則每小時(shí)涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池內(nèi)原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水機(jī)需要:100÷(25-5)=5小時(shí)1、2、牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問(wèn)：可供25頭牛吃幾天？

一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開(kāi)進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開(kāi)出水管。如果同時(shí)打開(kāi)2個(gè)出水管，那么8分鐘后水池空；如果同時(shí)打開(kāi)3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開(kāi)多少分鐘？

3、4、由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？ 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)？

5、

第二篇：小學(xué)奧數(shù)牛吃草問(wèn)題教案(二)

牛吃草問(wèn)題二

典型的牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問(wèn)題常用的四個(gè)基本公式，分別是：

設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”

1草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多的天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃得較少的天數(shù)）

2原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù) 3吃的天數(shù)=原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長(zhǎng)速度）4牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度

由于牛在吃草的過(guò)程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問(wèn)題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天 新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正由于這個(gè)不變量，才能導(dǎo)出上面的四個(gè)基本公式。牛吃草的問(wèn)題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片草地，這地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題的關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有的草量，進(jìn)而解答問(wèn)題。

這類題的基本數(shù)量關(guān)系是：

1（牛頭數(shù)×吃的較多的天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃得較少的天數(shù)）=草地每天新長(zhǎng)出的草

2牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù)=原有草量 解決多塊草地的方法

鞏固練習(xí)1.一塊牧場(chǎng)長(zhǎng)滿了草，每天均勻生長(zhǎng)。這塊牧場(chǎng)的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天。可供25頭牛吃＿＿天。（）

A.10 B.5 C.20 A 假設(shè)1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10×40-40×5=200（份），安排5頭牛專門吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，這塊牧場(chǎng)可供25頭牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一塊草地上的草以均勻的速度生長(zhǎng)，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長(zhǎng)出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時(shí)間，把這塊草地的草吃光，需要＿＿只羊。（）

A.22 B.23 C.24 B假設(shè)1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊?qū)ｉT吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，4天時(shí)間吃光這塊草地共需羊：60÷4+8＝23（只）

4.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發(fā)展的要求，地球最多只能養(yǎng)活（）億人。

設(shè)1億人1年所消耗的資源為1份

那么地球上每年新生成的資源量為：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有當(dāng)?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點(diǎn)的資源時(shí)，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發(fā)展的需要。所以地球最多只能養(yǎng)活：70÷1=70（億人）

5.快、中、慢三車同時(shí)從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時(shí)24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時(shí)，中車追上自行車用了10小時(shí)，慢車追上自行車用（）小時(shí)。自行車的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小時(shí)）三車出發(fā)時(shí)自行車距A地：（24-14）×6==60（千米）慢車追上自行車所用的時(shí)間為：60÷（19-14）=12（小時(shí)）

6.一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24根抽水管抽水，6小時(shí)可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小時(shí)可將可將水池中的水抽干。設(shè)1根抽水管每小時(shí)抽水量為1份。

（1）進(jìn)水管每小時(shí)卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量為：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小時(shí)）

8．有一片草地，每天都在勻速生長(zhǎng)，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量來(lái)計(jì)算，80只羊相當(dāng)于80÷4=20（頭）牛。（2）設(shè)1頭牛1天的吃草量為1份。

（3）先求出這片草地每天新生長(zhǎng)的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數(shù)：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

9.某水庫(kù)建有10個(gè)泄洪閘，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開(kāi)閘泄洪。假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開(kāi)一個(gè)泄洪閘，30小時(shí)水位降到安全線，若打開(kāi)兩個(gè)泄洪閘，10小時(shí)水位降到安全線。現(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時(shí)內(nèi)使水位降到安全線，問(wèn)：至少要同時(shí)打開(kāi)幾個(gè)閘門？

4個(gè) 設(shè)1個(gè)泄洪閘1小時(shí)的泄水量為1份。

（1）水庫(kù)中每小時(shí)增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水庫(kù)中原有的超過(guò)安全線的水量為：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小時(shí)內(nèi)共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要開(kāi)的閘門個(gè)數(shù)為：17.75÷5.5≈4（個(gè)）（采用“進(jìn)1”法取值）

1、牧場(chǎng)上的牧草每天均勻生長(zhǎng)，這片草地可供17頭牛吃6天，可供13頭牛吃12天．問(wèn)多少頭牛4天把草地的草吃完? 2

第三篇：小學(xué)奧數(shù)牛吃草問(wèn)題教案(二)

奧數(shù)十三講

牛吃草問(wèn)題二

典型的牛吃草問(wèn)題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問(wèn)題常用的四個(gè)基本公式，分別是：

設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”

1草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多的天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃得較少的天數(shù)）

2原有草量=牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù) 3吃的天數(shù)=原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長(zhǎng)速度）4牛頭數(shù)=原有草量÷吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度

由于牛在吃草的過(guò)程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問(wèn)題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天 新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正由于這個(gè)不變量，才能導(dǎo)出上面的四個(gè)基本公式。牛吃草的問(wèn)題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片草地，這地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題的關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有的草量，進(jìn)而解答問(wèn)題。

這類題的基本數(shù)量關(guān)系是：

1（牛頭數(shù)×吃的較多的天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃得較少的天數(shù)）=草地每天新長(zhǎng)出的草

2牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù)=原有草量 解決多塊草地的方法 多塊草地的“牛吃草”問(wèn)題，一般情況下找多塊草地的最小公倍數(shù)，這樣可以減少運(yùn)算難度，但如果數(shù)據(jù)較大時(shí)，我們一般把面積統(tǒng)一為“1”相對(duì)簡(jiǎn)單些。

思維拓展 例5 有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這個(gè)牧場(chǎng)可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現(xiàn)在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問(wèn)原來(lái)有牛多少頭？

【分析】“牛吃草”問(wèn)題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)，所研究的量也等量地增加。解答時(shí)，要抓住這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，也就是要求出原來(lái)的量和每天增加的量各是多少。【思考5】一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來(lái)有多少頭？

25頭。設(shè)每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量為（27-15）×6=72份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8天內(nèi)吃草量72+15×8+2×4=200份。所以這群牛原來(lái)有200÷8=25頭

例6 有三塊草地，面積分別為5公頃，6公頃和8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長(zhǎng)的一樣快，第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？ 【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個(gè)問(wèn)題，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)。鞏固練習(xí)1.一塊牧場(chǎng)長(zhǎng)滿了草，每天均勻生長(zhǎng)。這塊牧場(chǎng)的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天。可供25頭牛吃＿＿天。（）

A.10 B.5 C.20 A 假設(shè)1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10×40-40×5=200（份），安排5頭牛專門吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，這塊牧場(chǎng)可供25頭牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一塊草地上的草以均勻的速度生長(zhǎng)，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長(zhǎng)出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時(shí)間，把這塊草地的草吃光，需要＿＿只羊。（）

A.22 B.23 C.24 B假設(shè)1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊?qū)ｉT吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，4天時(shí)間吃光這塊草地共需羊：60÷4+8＝23（只）

3．畫(huà)展9時(shí)開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)等候入場(chǎng)。從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多。如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)了，那么第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)＿＿分。（）

A.10 B.12 C.15 C假設(shè)每個(gè)人口每分鐘進(jìn)入的觀眾量是1份。

每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)為（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）到9時(shí)止，已來(lái)的觀眾人數(shù)為：3×9-0.5×9＝22.5（份）第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)比9時(shí)提前了：22.5÷0.5＝45（分）所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是9時(shí)-45分=8時(shí)15分。

4.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發(fā)展的要求，地球最多只能養(yǎng)活（）億人。

設(shè)1億人1年所消耗的資源為1份

那么地球上每年新生成的資源量為：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有當(dāng)?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點(diǎn)的資源時(shí)，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發(fā)展的需要。所以地球最多只能養(yǎng)活：70÷1=70（億人）

5.快、中、慢三車同時(shí)從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時(shí)24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時(shí)，中車追上自行車用了10小時(shí)，慢車追上自行車用（）小時(shí)。自行車的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小時(shí)）三車出發(fā)時(shí)自行車距A地：（24-14）×6==60（千米）慢車追上自行車所用的時(shí)間為：60÷（19-14）=12（小時(shí)）

6.一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24根抽水管抽水，6小時(shí)可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小時(shí)可將可將水池中的水抽干。設(shè)1根抽水管每小時(shí)抽水量為1份。（1）進(jìn)水管每小時(shí)卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量為：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小時(shí)）

7.某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運(yùn)走，如用9輛汽車，12小時(shí)可以把它們運(yùn)完，如果用8輛汽車，16小時(shí)可以把它們運(yùn)完。如果開(kāi)始只用3輛汽車，10小時(shí)后增加若干輛，再過(guò)4小時(shí)也能運(yùn)完，那么后來(lái)增加的汽車是（）輛。設(shè)每?jī)善嚸啃r(shí)運(yùn)的貨物為1份。

（1）進(jìn)水管每小時(shí)的進(jìn)水量為：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）碼頭原有貨物量是：9×12-12×5＝48（份）

（3）3輛汽車運(yùn)10小時(shí)后還有貨物量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后來(lái)增加的汽車輛數(shù)是：（68+4×5）÷4-3=19（輛）

8．有一片草地，每天都在勻速生長(zhǎng)，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量來(lái)計(jì)算，80只羊相當(dāng)于80÷4=20（頭）牛。（2）設(shè)1頭牛1天的吃草量為1份。

（3）先求出這片草地每天新生長(zhǎng)的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數(shù)：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

9.某水庫(kù)建有10個(gè)泄洪閘，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開(kāi)閘泄洪。假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開(kāi)一個(gè)泄洪閘，30小時(shí)水位降到安全線，若打開(kāi)兩個(gè)泄洪閘，10小時(shí)水位降到安全線。現(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時(shí)內(nèi)使水位降到安全線，問(wèn)：至少要同時(shí)打開(kāi)幾個(gè)閘門？

4個(gè) 設(shè)1個(gè)泄洪閘1小時(shí)的泄水量為1份。

（1）水庫(kù)中每小時(shí)增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水庫(kù)中原有的超過(guò)安全線的水量為：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小時(shí)內(nèi)共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要開(kāi)的閘門個(gè)數(shù)為：17.75÷5.5≈4（個(gè)）（采用“進(jìn)1”法取值）

10.現(xiàn)有速度不變的甲、乙兩車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍去追乙車，5小時(shí)后能追上，如果甲車以現(xiàn)在的速度去追乙車，3小時(shí)后能追上。那么甲車以現(xiàn)在的速度去追，幾小時(shí)后能追上乙車？

15小時(shí)

設(shè)甲車現(xiàn)在的速度為每小時(shí)行單位“1”，那么乙車的速度為：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙車原來(lái)與甲車的距離為： 2×5-0.5×5＝7.5 所以甲車以現(xiàn)在的速度去追，追及的時(shí)間為： 7.5÷（1-0.5）=15（小時(shí)）

1、有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問(wèn)：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？2、3、4、5、6、7、牧場(chǎng)上的牧草每天均勻生長(zhǎng)，這片草地可供17頭牛吃6天，可供13頭牛吃12天．問(wèn)多少頭牛4天把草地的草吃完? 有－牧場(chǎng)，21頭牛20天可將草吃完，25頭牛則15天可將草吃完，現(xiàn)有牛若干頭，吃6天后賣了4頭，余下的牛再吃2天則將草吃完，問(wèn)原有牛多少頭? 22頭牛，吃33公畝牧場(chǎng)的草54夭可吃盡，17頭牛吃同樣牧場(chǎng)28公畝的草，‘84天可吃盡．請(qǐng)問(wèn)幾頭牛吃同樣牧場(chǎng)40公畝的草，24天可吃盡? 某火車站檢票口，在檢票開(kāi)始前已有－些人排隊(duì)，檢票開(kāi)始后每分鐘有10人前來(lái)排隊(duì)檢票，－個(gè)檢票口每分鐘能讓25人檢票進(jìn)站．如果只有－個(gè)檢票口，檢票開(kāi)始8分鐘后就沒(méi)有人排隊(duì)；如果有兩個(gè)檢票口，那么檢票開(kāi)始后多少分鐘就沒(méi)有人排隊(duì)? 甲、乙、丙三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，各存放著同樣數(shù)量的大米，甲倉(cāng)庫(kù)用皮帶輸送機(jī)－臺(tái)和12個(gè)工人5小時(shí)把甲倉(cāng)庫(kù)搬空，乙倉(cāng)庫(kù)用皮帶輸送機(jī)－臺(tái)和28個(gè)工人3小時(shí)把乙倉(cāng)庫(kù)搬空．丙倉(cāng)庫(kù)有皮帶輸送機(jī)2臺(tái)，如果要2小時(shí)把丙倉(cāng)庫(kù)搬空，同時(shí)還需要多少名工人? 牧場(chǎng)上－片牧草，可供27只羊吃6天；或者供23只羊吃9天，如果牧草每周勻速生長(zhǎng)，可供21只羊吃幾天?

8、－片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同．現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者可供80只羊吃12天．如果l頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么lO頭牛與60只羊－起吃可以吃多少天? 陜北某村有－塊草場(chǎng)，假設(shè)每天草都均勻生長(zhǎng)，這片草場(chǎng)經(jīng)過(guò)測(cè)算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天．問(wèn)：如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧這么多羊?qū)?為防止草場(chǎng)沙化，這片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草場(chǎng)沙化就應(yīng)該使草場(chǎng)的草永遠(yuǎn)吃不完)一塊草地可供58頭羊吃7天，或供50頭羊吃9天，如果這片草地的生長(zhǎng)量每天相等，這片草地最多能養(yǎng)活多少頭羊？9、10、

第四篇：牛吃草問(wèn)題教案

牛吃草問(wèn)題

牛吃草問(wèn)題量的關(guān)系：

例1：一片草地長(zhǎng)滿了勻速生長(zhǎng)的牧草，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，問(wèn)可供25頭牛吃多少天？ 1：先求每天新生長(zhǎng)的草量： 2：再求這片草地原有的草量： 3：最后求可供25頭牛吃幾天： 【學(xué)以致用】

1、一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同，這片牧草可供10頭牛吃20天，或供15頭牛吃10天，問(wèn)可供30頭牛吃多少天？

2、有一片牧場(chǎng)，已知牛27頭，6天把草吃盡，牛23頭，9天把草吃盡，如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？

3、一片牧場(chǎng)長(zhǎng)滿草，每天勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可供5頭牛吃8天，或供14頭牛吃2天，問(wèn)可供10頭牛吃幾天？

4、有三塊草地長(zhǎng)滿了草，每公頃草量都相同且每天勻速生長(zhǎng)，第一塊草地有10公頃，可供220只羊吃10天，第二塊草地有12公頃，可供240只羊吃14天，第三塊草地16公頃，可供380只羊吃多少天？

例2：博物館開(kāi)門前就有參觀的觀眾排隊(duì)等候，每分鐘來(lái)參觀的人數(shù)一樣多，打開(kāi)4道門讓人們進(jìn)館參觀，30分鐘就不再有排隊(duì)的現(xiàn)象，打開(kāi)5道門時(shí)，20分鐘就不再有排隊(duì)的現(xiàn)象，如果同時(shí)打開(kāi)7道門，需要幾分鐘不再有排隊(duì)的現(xiàn)象？ 1：先求每分鐘進(jìn)來(lái)的觀眾量： 2：原來(lái)排隊(duì)的觀眾量：

3：同時(shí)打開(kāi)7道門，需要幾分鐘： 【學(xué)以致用】

1、一水池有一根進(jìn)水管，有若干根抽水管，進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24根抽水管抽水，6小時(shí)可以把池中的水抽干，若用21根抽水管抽水，8小時(shí)可將池中的水抽干，那么用16根抽水管多少小時(shí)可將水池中的水抽干？

2、某火車站的檢票口，在檢票開(kāi)始前已有一些人排隊(duì)，檢票開(kāi)始后每分鐘有10人前來(lái)排隊(duì)檢票，一個(gè)檢票口每分能讓25人檢票進(jìn)站，如果只有一個(gè)檢票口，檢票開(kāi)始8分后就沒(méi)有人排隊(duì)，如果有兩個(gè)檢票口，那么檢票后多少分就沒(méi)有人排隊(duì)？

3、畫(huà)展9時(shí)開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)等候入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì)，那么第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是幾點(diǎn)？

例3：一個(gè)水塘原有水量一定，有流水每天均勻的流入池塘內(nèi)，用5臺(tái)抽水機(jī)20天可以抽干，用6臺(tái)同樣的抽水機(jī)15天可以抽干，若要6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

1：水塘每天流入的水量： 2：水塘原有水量：

3：需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)： 【學(xué)以致用】

1、一塊草地上的草以均勻的速度生長(zhǎng)，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長(zhǎng)出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光，那么想用4天時(shí)間把這塊草地的草吃光，需要多少只羊？

2、有一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)船內(nèi)已經(jīng)進(jìn)了一些水，如果用12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完，如果只有5個(gè)人淘水，要10小時(shí)才能淘完，現(xiàn)在想2小時(shí)淘完，需要多少人？

3、飼料廠除原有的一批飼料外，每天都生產(chǎn)相同數(shù)量的飼料供應(yīng)周圍的養(yǎng)雞場(chǎng)，現(xiàn)在用5輛汽車?yán)瓘S里的飼料10天可以拉完，如果再增加7輛汽車，3天可以拉完，現(xiàn)在要求在2天內(nèi)拉完所有的飼料，需要多少輛汽車？

4、某海港貨場(chǎng)不斷有外洋輪船卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運(yùn)走，如果用9輛汽車，12小時(shí)可以清場(chǎng)，如果用8輛汽車，16小時(shí)可以清場(chǎng)，該場(chǎng)開(kāi)始只用3輛汽車，10小時(shí)后增加了若干輛，再過(guò)4小時(shí)就已清場(chǎng)，那么后來(lái)增加的汽車是多少輛？

第五篇：六年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)試題——牛吃草問(wèn)題（含答案）人教版.

牛吃草

教學(xué)目標(biāo)

1.理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問(wèn)題的解題思路.2.初步了解牛吃草的變式題，會(huì)將一些變式題與牛吃草問(wèn)題進(jìn)行區(qū)別與聯(lián)系

知識(shí)精講

英國(guó)科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書(shū)中，有一道關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃草的問(wèn)題，即牛在牧場(chǎng)上吃草，牧場(chǎng)上的草在不斷的、均勻的生長(zhǎng)．后人把這類問(wèn)題稱為牛吃草問(wèn)題或叫做“牛頓問(wèn)題”．

“牛吃草”問(wèn)題主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時(shí)間．難點(diǎn)在于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，草也在按不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量不定．“牛吃草”問(wèn)題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)．

解“牛吃草”問(wèn)題的主要依據(jù)：

①

草的每天生長(zhǎng)量不變；

②

每頭牛每天的食草量不變；

③

草的總量草場(chǎng)原有的草量新生的草量，其中草場(chǎng)原有的草量是一個(gè)固定值

④

新生的草量每天生長(zhǎng)量天數(shù)．

同一片牧場(chǎng)中的“牛吃草”問(wèn)題，一般的解法可總結(jié)為：

⑴設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；

⑵草的生長(zhǎng)速度(對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))；

⑶原來(lái)的草量對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；

⑷吃的天數(shù)原來(lái)的草量(牛的頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度)；

⑸牛的頭數(shù)原來(lái)的草量吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度．

“牛吃草”問(wèn)題有很多的變例，像抽水問(wèn)題、檢票口檢票問(wèn)題等等，只有理解了“牛吃草”問(wèn)題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，輕松解決此類問(wèn)題．

例題精講

板塊一、一塊地的“牛吃草問(wèn)題”

【例

1】

青青一牧場(chǎng)，牧草喂牛羊；

放牛二十七，六周全吃光。

改養(yǎng)廿三只，九周走他方；

若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？

（注：“廿”的讀音與“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解說(shuō)】題目翻譯過(guò)來(lái)是：一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿青草，27頭牛6個(gè)星期可以吃完，或者23頭牛9個(gè)星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個(gè)星期才可以吃完？（注：牧場(chǎng)的草每天都在生長(zhǎng)）

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，27頭牛吃6周共吃了份；23頭牛吃9周共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場(chǎng)的草周生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每周生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：．

供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每周生長(zhǎng)的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周．

【鞏固】

牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)．這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭牛可吃幾天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場(chǎng)的草天生長(zhǎng)出來(lái)的，所以每天生長(zhǎng)的草量為，那么原有草量為：．

供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天．

【鞏固】

倉(cāng)庫(kù)里原有一批存貨，以后繼續(xù)運(yùn)貨進(jìn)倉(cāng)，且每天運(yùn)進(jìn)的貨一樣多。用同樣的汽車運(yùn)貨出倉(cāng)，如果每天用4輛汽車，則9天恰好運(yùn)完；如果每天用5輛汽車，則6天恰好運(yùn)完。倉(cāng)庫(kù)里原有的存貨若用1輛汽車運(yùn)則需要多少天運(yùn)完？

【解析】

設(shè)輛汽車天運(yùn)貨為“”，進(jìn)貨速度為，原有存貨為，倉(cāng)庫(kù)里原有的存貨若用1輛汽車運(yùn)則需要（天）

【例

2】

牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？

【解析】

設(shè)1頭牛1周的吃草量為“1”，草的生長(zhǎng)速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周【鞏固】

有一塊勻速生長(zhǎng)的草場(chǎng)，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么天生長(zhǎng)的草量為，所以每天生長(zhǎng)的草量為；原有草量為：．

20天里，草場(chǎng)共提供草，可以讓頭牛吃20天．

【鞏固】

(湖北省“創(chuàng)新杯”)

牧場(chǎng)有一片青草，每天長(zhǎng)勢(shì)一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則

頭牛96天可以把草吃完．

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天新生長(zhǎng)的草量為，牧場(chǎng)原有草量為，要吃96天，需要(頭)牛．

【鞏固】

一牧場(chǎng)放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完．假定草的生長(zhǎng)量每日相等，每頭牛每日的吃草量也相同，那么放多少頭牛6天可以把草吃完?

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為1個(gè)單位，則每天生長(zhǎng)的草量為：，原有草量為：，(頭)

【鞏固】

林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問(wèn)如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）

【解析】

設(shè)一只猴子一周吃的野果為“”，則野果的生長(zhǎng)速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃

【鞏固】

一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù).5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

【解析】

水庫(kù)原有的水與20天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).水庫(kù)原有的水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？

(臺(tái)).原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？

(臺(tái)).若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)？

(臺(tái)).【例

3】

由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計(jì)算，可以供多少頭牛吃10天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃12天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少；

原來(lái)牧場(chǎng)有草，12天吃完需要牛的頭數(shù)是：(頭)或（頭）。

【例

4】

由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度減少．經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．

若有11頭牛來(lái)吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．

【鞏固】

由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少

原來(lái)牧場(chǎng)有草

可供10頭牛吃的天數(shù)是：(天)。

【例

5】

一塊勻速生長(zhǎng)的草地，可供16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃多少天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于一頭牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相當(dāng)于20頭牛吃12天．那么每天生長(zhǎng)的草量為，原有草量為：．

10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當(dāng)于25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，那么剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天．

【鞏固】

（希望杯六年級(jí)二試試題）

有一片草場(chǎng)，草每天的生長(zhǎng)速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天可將草吃完?

【解析】

“4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設(shè)一只羊一天的食量為1，那么14頭牛30天吃了單位草量，而70只羊16天吃了單位草量，所以草場(chǎng)在每天內(nèi)增加了草量，原來(lái)的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20只羊，即每天食草88草量，經(jīng)過(guò)天，可將草吃完。

【鞏固】

一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同。現(xiàn)在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12頭牛與88只羊一起吃可以吃幾天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，只羊的吃草量等于頭牛的吃草量，所以草的生長(zhǎng)速度為，原有草量為，12頭牛與88只羊一起吃可以吃（天）

【鞏固】

一片茂盛的草地，每天的生長(zhǎng)速度相同，現(xiàn)在這片青草16頭牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相當(dāng)于l頭牛的吃草量，那么8頭牛與48只羊一起吃，可以吃多少天?

【解析】

設(shè)１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析

16頭牛

15天

16×15＝240：原有草量＋15天生長(zhǎng)的草量

100只羊（25頭牛）

6天

25×6＝150：

原有草量＋6天生長(zhǎng)的草量

從上易發(fā)現(xiàn)：1天生長(zhǎng)的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；

8頭牛與48只羊相當(dāng)于20頭牛的吃草量，其中10頭牛去吃新生草，那么剩下的10頭牛吃原有草，90只需9天，所以8頭牛與48只羊一起吃，可以吃9天。

【例

6】

有一牧場(chǎng)，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完．現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完．問(wèn)：原來(lái)有多少頭牛吃草(草均勻生長(zhǎng))？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長(zhǎng)的草量為，原有草量為：．

現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數(shù)為(頭)．

【鞏固】

一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了2頭牛一起吃，還可以再吃幾天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么每天生長(zhǎng)的草量為，原有草量為：．如果4頭牛吃30天，那么將會(huì)吃去30天的新生長(zhǎng)草量以及90原有草量，此時(shí)原有草量還剩，而牛的頭數(shù)變?yōu)?，現(xiàn)在就相當(dāng)于：“原有草量30，每天生長(zhǎng)草量1，那么6頭牛吃幾天可將它吃完？”易得答案為：(天)．

【例

7】

一片勻速生長(zhǎng)的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量．現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？

【解析】

設(shè)1匹馬1天吃草量為“1”，根據(jù)題意，有：

15天馬和牛吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑴

20天馬和羊吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑵

30天牛和羊(等于馬)吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑶

由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；

由⑶可知，30天羊吃草量天新生長(zhǎng)草量，所以：羊每天吃草量每天新生長(zhǎng)草量；設(shè)馬每天吃的草為份

將上述結(jié)果帶入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．

這樣如果同時(shí)放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長(zhǎng)的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：(天)．

【鞏固】

現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時(shí)間?

【解析】

牛、馬45天吃了

原有天新長(zhǎng)的草①

牛、馬90天吃了2原有天新長(zhǎng)的草⑤

馬、羊60天吃了

原有天新長(zhǎng)的草②

牛、羊90天吃了

原有天新長(zhǎng)的草③

馬

90天吃了

原有天新長(zhǎng)的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合③知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)的草，所以，可以將羊視為專門吃新長(zhǎng)的草．

所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草.所需時(shí)間為天.所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．

板塊二、多塊地的“牛吃草問(wèn)題”

【例

8】

東升牧場(chǎng)南面一塊2000平方米的牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，牧草每天都在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可供18頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天．在東升牧場(chǎng)的西側(cè)有一塊6000平方米的牧場(chǎng)，可供多少頭牛吃6天？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，那么2000平方米的牧場(chǎng)上天生長(zhǎng)的草量為，即每天生長(zhǎng)的草量為．那么2000平方米的牧場(chǎng)上原有草量為：．

則6000平方米的牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的草量為；原有草量為：．6天里，該牧場(chǎng)共提供牧草，可以讓(頭)牛吃6天．

【鞏固】

有甲、乙兩塊勻速生長(zhǎng)的草地，甲草地的面積是乙草地面積的3倍．30頭牛12天能吃完甲草地上的草，20頭牛4天能吃完乙草地上的草．問(wèn)幾頭牛10天能同時(shí)吃完兩塊草地上的草？

【解析】

設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，由于甲草地的面積是乙草地面積的3倍，把甲草地分成面積相等的3塊，那么每塊都與乙草地的面積相等．由于30頭牛12天能吃完甲草地上的草，相當(dāng)于每塊上的草由10頭牛12天吃完．那么條件轉(zhuǎn)換為“10頭牛12天能吃完乙草地上的草，20頭牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地長(zhǎng)草量為，乙草地原有草量為：；則甲、乙兩塊草地每天的新生長(zhǎng)草量為，原有草量為：．要10天同時(shí)吃完兩塊草地上的草，需要(頭)牛．

【鞏固】

有一塊1200平方米的牧場(chǎng)，每天都有一些草在勻速生長(zhǎng)，這塊牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，或可供15頭牛吃10天，另有一塊3600平方米的牧場(chǎng)，每平方米的草量及生長(zhǎng)量都與第一塊牧場(chǎng)相同，問(wèn)這片牧場(chǎng)可供75頭牛吃多少天？

【解析】

設(shè)１頭牛１天的吃草量為“１”，摘錄條件，將它們轉(zhuǎn)化為如下形式方便分析

10頭牛

20天

10×20＝200

：原有草量＋20天生長(zhǎng)的草量

15頭牛

10天

15×10＝150

：原有草量＋10天生長(zhǎng)的草量

從上易發(fā)現(xiàn)：1200平方米牧場(chǎng)上20－10＝10天生長(zhǎng)草量＝200－150＝50，即1天生長(zhǎng)草量＝50÷10＝5；

那么1200平方米牧場(chǎng)上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

則3600平方米的牧場(chǎng)1天生長(zhǎng)草量＝5×（3600÷1200）＝15；

原有草量：100×（3600÷1200）＝300.75頭牛里，若有15頭牛去吃每天生長(zhǎng)的草，剩下60頭牛需要300÷60＝5（天）可將原有草吃完，即它可供75頭牛吃5天。

【例

9】

一個(gè)農(nóng)夫有面積為2公頃、4公頃和6公頃的三塊牧場(chǎng)．三塊牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一樣快．農(nóng)夫?qū)?頭牛趕到2公頃的牧場(chǎng)，牛5天吃完了草；如果農(nóng)夫?qū)?頭牛趕到4公頃的牧場(chǎng)，牛15天可吃完草．問(wèn)：若農(nóng)夫?qū)⑦@8頭牛趕到6公頃的牧場(chǎng)，這塊牧場(chǎng)可供這些牛吃幾天？

【解析】

(法1)設(shè)1頭牛1天吃草量為“1”，可以將不同的公頃數(shù)統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為單位量1公頃來(lái)解決．

把2公頃牧場(chǎng)分割成2塊，每塊1公頃，每塊可供4頭牛吃5天；

把4公頃牧場(chǎng)分割成4塊，每塊1公頃，每塊可供2頭牛吃15天．

那么1公頃牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為，1公頃牧場(chǎng)原有草量為．那么6公頃牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為，原有草量為．

8頭牛里，若有6頭牛去吃每天新生長(zhǎng)的草，剩下2頭牛需要(天)可將原有草吃完，即它可供8頭牛吃45天．

(法2)題中3塊牧場(chǎng)面積不同，要解決這個(gè)問(wèn)題，可以將3塊牧場(chǎng)的面積統(tǒng)一起來(lái)．

設(shè)1頭牛1天吃草量為“1”．將8頭牛趕到2公頃的牧場(chǎng)，牛5天吃完了草，相當(dāng)于12公頃的牧場(chǎng)可供48頭牛吃5天；將8頭牛趕到4公頃的牧場(chǎng)，牛15天可吃完草，相當(dāng)于12公頃的牧場(chǎng)可供24頭牛吃15天．所以12公頃的牧場(chǎng)每天新生長(zhǎng)的草量為：，12公頃牧場(chǎng)原有草量為．那么12公頃牧場(chǎng)可供16頭牛吃(天)，板塊三、“牛吃草問(wèn)題”的變形

【例

10】

一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水，8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？

【解析】

設(shè)1人1小時(shí)淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小時(shí)淘完，要安排人淘水

【鞏固】

一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？

【解析】

設(shè)1人1分鐘淘出的水量是“1”，分鐘的進(jìn)水量為，所以每分鐘的進(jìn)水量為，那么原有水量為：．5人淘水需要(分鐘)把水淘完．

【例

11】

假設(shè)地球上新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，照此計(jì)算，地球上的資源可供110億人生活90年；或供90億人生活210年。為了使人類能夠不斷繁衍，地球上最多能養(yǎng)活多少人？

【解析】

億人。

【例

12】

畫(huà)展8:30開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，8點(diǎn)45分就沒(méi)有人排隊(duì)。求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間。

【解析】

設(shè)每分鐘1個(gè)入口進(jìn)入的人數(shù)為1個(gè)單位。

8:30到9:00

共30分鐘

3個(gè)入口共進(jìn)入。8:30到8:45

共15分鐘

5個(gè)入口共進(jìn)入，15分鐘到來(lái)的人數(shù)，每分鐘到來(lái)。8：30以前原有人。

所以應(yīng)排了（分鐘），即第一個(gè)來(lái)人在7：30

?

畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門，但早有人來(lái)排隊(duì)入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，若每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì)．求第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間．

?

如果把入場(chǎng)口看作為“牛”，開(kāi)門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來(lái)的觀眾為“草的增長(zhǎng)速度”，那么本題就是一個(gè)“牛吃草”問(wèn)題．

u

設(shè)每一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘通過(guò)“1”份人，那么4分鐘來(lái)的人為，即1分鐘來(lái)的人為，原有的人為：．這些人來(lái)到畫(huà)展，所用時(shí)間為(分)．所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間為8點(diǎn)15分．

u

點(diǎn)評(píng)：從表面上看這個(gè)問(wèn)題與“牛吃草”問(wèn)題相離很遠(yuǎn)，但仔細(xì)體會(huì)，題目中每分鐘來(lái)的觀眾一樣多，類似于“草的生長(zhǎng)速度”，入場(chǎng)口的數(shù)量類似于“牛”的數(shù)量，問(wèn)題就變成“牛吃草”問(wèn)題了．解決一個(gè)問(wèn)題的方法往往能解決一類問(wèn)題，關(guān)鍵在于是否掌握了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)．

?

早晨6點(diǎn)，某火車進(jìn)口處已有945名旅客等候檢票進(jìn)站，此時(shí)，每分鐘還有若干人前來(lái)進(jìn)口處準(zhǔn)備進(jìn)站．這樣，如果設(shè)立4個(gè)檢票口，15分鐘可以放完旅客，如果設(shè)立8個(gè)檢票口，7分鐘可以放完旅客．現(xiàn)要求5分鐘放完，需設(shè)立幾個(gè)檢票口?

?

設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘放進(jìn)1個(gè)單位的旅客．

u

1分鐘新來(lái)多少個(gè)單位的旅客

l

u

檢票口開(kāi)放時(shí)已有多少個(gè)單位的旅客在等候，l

4×１５－×15=52

u

5分時(shí)間內(nèi)檢票口共需放進(jìn)多少個(gè)單位的旅客

l

52+×5=55

u

設(shè)立幾個(gè)檢票口

l

(個(gè))

?

在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20級(jí)臺(tái)階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)30級(jí)臺(tái)階到達(dá)地面．從站臺(tái)到地面有

級(jí)臺(tái)階．

?

本題非常類似于“牛吃草問(wèn)題”，如將題目改為：

u

“在地鐵車站中，從站臺(tái)到地面有一架向上的自動(dòng)扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時(shí)，如果每秒向上邁一級(jí)臺(tái)階，那么他走過(guò)20秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級(jí)臺(tái)階，那么走過(guò)15秒到達(dá)地面．問(wèn)：從站臺(tái)到地面有多少級(jí)臺(tái)階？”

u

采用牛吃草問(wèn)題的方法，電梯秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強(qiáng)多走的階數(shù)：階，電梯的速度為階/秒，扶梯長(zhǎng)度為（階）。

?

兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)梯級(jí)，女孩每秒可走2級(jí)梯級(jí)，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)梯級(jí)？

?

本題與牛吃草問(wèn)題類似，其中扶梯的梯級(jí)總數(shù)相當(dāng)于原有草量；而自動(dòng)扶梯運(yùn)行的速度則相當(dāng)于草的增長(zhǎng)速度。并且上樓的速度要分成兩部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。

u

自動(dòng)扶梯的速度（女孩每秒走的梯級(jí)×女孩走的時(shí)間－男孩每秒走的梯級(jí)×男孩走的時(shí)間）÷（女孩走的時(shí)間－男孩走的時(shí)間），自動(dòng)扶梯的梯級(jí)總數(shù)＝女孩每秒走的梯級(jí)×女孩走的時(shí)間－自動(dòng)扶梯的速度×女孩走的時(shí)間

u

（級(jí)）所以自動(dòng)扶梯共有150級(jí)的梯級(jí)。

?

自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上走1梯級(jí)，女孩每3秒鐘走2梯級(jí)。結(jié)果男孩用50秒到達(dá)樓上，女孩用60秒到達(dá)樓上。該樓梯共有多少級(jí)？

n

該題屬于草勻速減少的情況，扶梯的運(yùn)行速度：。自動(dòng)扶梯的梯級(jí)總數(shù)：(級(jí))

?

小明從甲地步行去乙地，出發(fā)一段時(shí)間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時(shí)行15千米，3小時(shí)可以追上；若騎摩托車，每小時(shí)行35千米，1小時(shí)可以追上；若開(kāi)汽車，每小時(shí)行45千米，分鐘能追上。

?

本題是“牛吃草”和行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題的結(jié)合．小明在小時(shí)內(nèi)走了千米，那么小明的速度為(千米/時(shí))，追及距離為(千米)．汽車去追的話需要：(小時(shí))(分鐘)．

?

快、中、慢三車同時(shí)從地出發(fā)沿同一公路開(kāi)往地，途中有騎車人也在同方向行進(jìn)，這三輛車分別用7分鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人．已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600米，中速車的速度是多少？

?

可以將騎車人與三輛車開(kāi)始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長(zhǎng)的速度，所以騎車人速度是：(米/分)，開(kāi)始相差的路程為：（米），所以中速車速度為：(米／分)．

?

有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍追趕乙車，5小時(shí)后甲車追上乙車；如果甲車以現(xiàn)在速度的3倍追趕乙車，3小時(shí)后甲車追上乙車，那么如果甲車以現(xiàn)在的速度去追趕乙車，問(wèn)：幾個(gè)小時(shí)后甲車追上乙車？

?

分析知道甲車相當(dāng)于“牛”，甲追趕乙的追及路程相當(dāng)于“原有草量”，乙車相當(dāng)于“新生長(zhǎng)的草”．

u

設(shè)甲車的速度為“1”，那么乙車小時(shí)走的路程為，所以乙的速度為，追及路程為：．

u

如果甲以現(xiàn)在的速度追趕乙，追上的時(shí)間為：(小時(shí))．

?

甲、乙、丙三車同時(shí)從地出發(fā)到地去．甲、乙兩車的速度分別是每小時(shí)60千米和每小時(shí)48千米．有一輛卡車同時(shí)從地迎面開(kāi)來(lái)，分別在它們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度．

?

相遇問(wèn)題可以看成是草勻速減少的過(guò)程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。所以卡車速度為：（千米/時(shí)），全程：（千米），丙車速度為：（千米/時(shí)）

?

小新、正南、妮妮三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到公園去．小新、正南兩人的速度分別是每分鐘20米和每分鐘16米．在他們出發(fā)的同時(shí)，風(fēng)間從公園迎面走來(lái)，分別在他們出發(fā)后6分鐘、7分鐘、8分鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．

n

當(dāng)小新和風(fēng)間相遇時(shí)，正南落后小新(米)，依題意知正南和風(fēng)間走這24

米需要(分鐘)，正南和風(fēng)間的速度和為：(米／分)，風(fēng)間的速度為：(米／分)，學(xué)校到公園的距離為：(米)．所以妮妮的速度為：(米／分)．

?

一個(gè)裝滿了水的水池有一個(gè)進(jìn)水閥及三個(gè)口徑相同的排水閥，如果同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水閥及一個(gè)排水閥，則分鐘能把水池的水排完，如果同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水閥及兩個(gè)排水閥，則分鐘把水池的水排完．問(wèn)：關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時(shí)打開(kāi)三個(gè)排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？

?

設(shè)一個(gè)排水閥1分鐘排水量為“1”，那么進(jìn)水閥1分鐘進(jìn)水量為，水池原有水量為．關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時(shí)打開(kāi)三個(gè)排水閥，需要(分鐘)才能排完水池的水．

?

一個(gè)蓄水池有1個(gè)進(jìn)水口和15個(gè)出水口，水從進(jìn)水口勻速流入．當(dāng)池中有一半的水時(shí)，如果打開(kāi)9個(gè)出水口，9小時(shí)可以把水排空．如果打開(kāi)7個(gè)出水口，18小時(shí)可以把水排空．如果是一滿池水，打開(kāi)全部出水口放水，那么經(jīng)過(guò)

時(shí)

分水池剛好被排空．

?

本題是牛吃草問(wèn)題的變形．

u

設(shè)每個(gè)出水口每小時(shí)的出水量為1，則進(jìn)水口每小時(shí)的進(jìn)水量為：，半池水的量為：，所以一池水的量為72．

u

如果打開(kāi)全部15個(gè)出水口，排空水池所需要的時(shí)間為小時(shí)，即7小時(shí)12分鐘．

?

北京密云水庫(kù)建有個(gè)泄洪洞，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全線，并且水量還在以一個(gè)不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度，假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開(kāi)一個(gè)泄洪閘，個(gè)小時(shí)以后水位降至安全線；若同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)泄洪閘，個(gè)小時(shí)后水位降至安全線．根據(jù)抗洪形勢(shì)，需要用個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，則至少需要同時(shí)打開(kāi)泄洪閘的數(shù)目為多少個(gè)？

?

此題是牛吃草問(wèn)題的變形，假設(shè)每個(gè)泄洪洞每小時(shí)泄洪的量為1，則水庫(kù)每小時(shí)增加的水量為，原有的水量超過(guò)安全線的部分有．

如果要用個(gè)小時(shí)使水位降至安全線以下，至少需要開(kāi)個(gè)泄洪閘．

【鞏固】

(“希望杯”五年級(jí)二試)有一個(gè)蓄水池裝了根相同的水管，其中一根是進(jìn)水管，其余根是出水管．開(kāi)始時(shí)，進(jìn)水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水．后來(lái)，想打開(kāi)出水管，使池內(nèi)的水全部排光．如果同時(shí)打開(kāi)根出水管，則小時(shí)可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開(kāi)根出水管，則需小時(shí)才能排盡池內(nèi)的水．若要在小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，那么應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開(kāi)多少根出水管？

【解析】

設(shè)1根出水管1小時(shí)排水的量為“1”，那么進(jìn)水管每小時(shí)進(jìn)水量為，池內(nèi)原有水量為．要在小時(shí)內(nèi)排盡池內(nèi)的水，應(yīng)當(dāng)同時(shí)打開(kāi)根出水管．

【鞏固】

一個(gè)蓄水池裝有9根水管，其中1根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管。開(kāi)始進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個(gè)蓄水池蓄水。池內(nèi)注入了一些水后，有人想把出水管也打開(kāi)，使池內(nèi)的水再全部排光。如果把8根出水管全部打開(kāi)，需要3小時(shí)可將池內(nèi)的水排光；而若僅打開(kāi)3根出水管，則需要18小時(shí)。問(wèn)如果想要在8小時(shí)內(nèi)將池中的水全部排光，最少要打開(kāi)幾根出水管？

【解析】

設(shè)根排水管小時(shí)排水為“”，進(jìn)水速度為，原有水量為，如果想要在小時(shí)內(nèi)將池中的水全部排光，最少要打開(kāi)根出水管，每根出水管1小時(shí)排水1份，又出水管的根數(shù)是整數(shù)，故最少要打開(kāi)5根出水管。

【鞏固】

由于環(huán)境惡化、氣候變暖，官?gòu)d水庫(kù)的水在勻速減少，為了保證水庫(kù)的水量，政府決定從上游的壺流河水庫(kù)以及冊(cè)田水庫(kù)分別向官?gòu)d水庫(kù)進(jìn)行調(diào)水，已知這兩個(gè)水庫(kù)的每個(gè)閘門放水量是相同的，如果同時(shí)打開(kāi)壺流河水庫(kù)的5個(gè)閘門30小時(shí)可以使官?gòu)d水庫(kù)水量達(dá)到原來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)，如果同時(shí)打開(kāi)冊(cè)田水庫(kù)的4個(gè)閘門40小時(shí)可以使官?gòu)d水庫(kù)水量達(dá)到原來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)，如果24小時(shí)使官?gòu)d水庫(kù)水量達(dá)到原來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)，問(wèn)需同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)水庫(kù)的幾個(gè)閘門?

【解析】

設(shè)1個(gè)閘門1小時(shí)的放水量為“1”，那么每小時(shí)自然減少的水量為：，實(shí)際注入水量為：；24小時(shí)蓄水需要打開(kāi)的閘門數(shù)是：(個(gè))．

【鞏固】

（“陳省身杯”國(guó)際青少年五年級(jí)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）有一個(gè)水池，池底存了一些水，并且還有泉水不斷涌出。為了將水池里的水抽干，原計(jì)劃調(diào)來(lái)臺(tái)抽水機(jī)同時(shí)工作。但出于節(jié)省時(shí)間的考慮，實(shí)際調(diào)來(lái)了臺(tái)抽水機(jī)，這樣比原計(jì)劃節(jié)省了小時(shí)。工程師們測(cè)算出，如果最初調(diào)來(lái)臺(tái)抽水機(jī)，將會(huì)比原計(jì)劃節(jié)省小時(shí)。這樣，將水池的水抽干后，為了保持池中始終沒(méi)有水，還應(yīng)該至少留下

臺(tái)抽水機(jī)。

【解析】

設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每小時(shí)抽個(gè)單位的水，原計(jì)劃需要小時(shí)抽完

則原計(jì)劃個(gè)小時(shí)抽的水量為，臺(tái)抽水機(jī)時(shí)抽水量為

臺(tái)抽水機(jī)時(shí)抽水量為

所以，個(gè)小時(shí)的出水量為，個(gè)小時(shí)的出水量為，而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，所以每小時(shí)出水量為，所以需要留下臺(tái)抽水機(jī)。

【例

13】

甲、乙、丙三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉(cāng)庫(kù)用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和12個(gè)工人，5小時(shí)可將甲倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完；乙倉(cāng)庫(kù)用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和28個(gè)工人，3小時(shí)可將倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完；丙倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時(shí)把丙倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完，同時(shí)還要多少個(gè)工人？(每個(gè)工人每小時(shí)工效相同，每臺(tái)皮帶輸送機(jī)每小時(shí)工效也相同，另外皮帶輸送機(jī)與工人一起往外搬運(yùn)面粉)

【解析】

設(shè)1人1小時(shí)搬運(yùn)的份數(shù)為“1”，那么一臺(tái)皮帶運(yùn)輸機(jī)1小時(shí)的工作量為，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放的面粉總量為：．那么,丙倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時(shí)把丙倉(cāng)庫(kù)內(nèi)面粉搬完，需要(人)．

【例

14】

小方用一個(gè)有洞的杯子從水缸里往三個(gè)同樣的容積的空桶中舀水。第一個(gè)桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶裝滿；第二個(gè)桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶裝滿。第三個(gè)桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它裝滿（假設(shè)小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）

【解析】

小方裝第二個(gè)桶比第一個(gè)桶多用了一杯水，同時(shí)多走了米路，所以從杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三個(gè)桶裝滿。

【解析】