第一篇：新課標數學教案·必修1_§1.2.2函數的表示法

課題：§1.2.2函數的表示法

教學目的：（1）明確函數的三種表示方法；

（2）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；（3）通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用；（4）糾正認為“y=f(x)”就是函數的解析式的片面錯誤認識．

教學重點：函數的三種表示方法，分段函數的概念．

教學難點：根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，什么才算“恰當”？分段函數的表示及其圖象．

教學過程：

一、引入課題

1.復習：函數的概念；

2.常用的函數表示法及各自的優點：

（1）解析法；（2）圖象法；（3）列表法．

二、新課教學

（一）典型例題

例1．某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數y=f(x)．

分析：注意本例的設問，此處“y=f(x)”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應值表．

解：（略）注意： 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意○判斷一個圖形是否是函數圖象的依據； 解析法：必須注明函數的定義域； ○3 圖象法：是否連線； ○4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征． ○鞏固練習：

——————————————第 1 頁（共 4頁）——————————————

課本P27練習第1題

例2．下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級及班級平均分表：

第一次

王

偉

張

城

趙

磊

班平均分 88．2

第二次

76 65 78．3

第三次 91 88 73 85．4

第四次 92 75 72 80．3

第五次 88 86 75 75．7

第六次 95 80 82 82．6 請你對這三們同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析．

分析：本例應引導學生分析題目要求，做學情分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 解：（略）注意： 本例為了研究學生的學習情況，○將離散的點用虛線連接，這樣更便于研究成績的變化特點； 本例能否用解析法？為什么？ ○鞏固練習： 課本P27練習第2題 例3．畫出函數y = | x | ． 解：（略）

鞏固練習：課本P27練習第3題 拓展練習：

任意畫一個函數y=f(x)的圖象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f(|x|)的圖象，并嘗試簡要說明三者（圖象）之間的關系． 課本P27練習第3題

例4．某市郊空調公共汽車的票價按下列規則制定：（1）乘坐汽車5公里以內，票價2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按5公里計算）． 已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設20個汽車站，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象．

分析：本例是一個實際問題，有具體的實際意義．根據實際情況公共汽車到站——————————————第 2 頁（共 4頁）——————————————

才能停車，所以行車里程只能取整數值．

解：設票價為y元，里程為x公里，同根據題意，如果某空調汽車運行路線中設20個汽車站（包括起點站和終點站），那么汽車行駛的里程約為19公里，所以自變量x的取值范圍是{x∈N*| x≤19}．

由空調汽車票價制定的規定，可得到以下函數解析式：

?20?x?5?35?x?10?*

(x?N)y??

?410?x?15??515?x?19根據這個函數解析式，可畫出函數圖象，如下圖所示：

y54321O注意： 本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義； ○2 本題可否用列表法表示函數，如果可以，應怎樣列表？ ○

5101519x

實踐與拓展：

請你設計一張乘車價目表，讓售票員和乘客非常容易地知道任意兩站之間的票價．（可以實地考查一下某公交車線路）

說明：象上面兩例中的函數，稱為分段函數．

注意：分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．

三、歸納小結，強化思想

——————————————第 3 頁（共 4頁）——————————————

理解函數的三種表示方法，在具體的實際問題中能夠選用恰當的表示法來表示函數，注意分段函數的表示方法及其圖象的畫法．

四、作業布置

課本P28習題1．2（A組）第8—12題（B組）第2、3題

——————————————第 4 頁 4頁）——————————————

（共

第二篇：新課標數學教案·必修1_§1.2.2 映射

課題：§1.2.2映射

教學目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；

（2）結合簡單的對應圖示，了解一一映射的概念．

教學重點：映射的概念． 教學難點：映射的概念． 教學過程：

一、引入課題

復習初中已經遇到過的對應：

1． 對于任何一個實數a，數軸上都有唯一的點P和它對應；

2． 對于坐標平面內任何一個點A，都有唯一的有序實數對(x,y)和它對應； 3． 對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應；

4． 某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應； 5． 函數的概念．

二、新課教學

1． 我們已經知道，函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射（mapping）（板書課題）．

2． 先看幾個例子，兩個集合A、B的元素之間的一些對應關系

（1）開平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2； 3． 什么叫做映射？

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A?B為從集合A到集合B的一個映射（mapping）．

記作“f：A?B” 說明：

（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。4． 例題分析：下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？

（1）A={P | P是數軸上的點}，B=R，對應關系f：數軸上的點與它所代表的實數對應；

（2）A={ P | P是平面直角體系中的點}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，對應關系f：平面直角體系中的點與它的坐標對應；

（3）A={三角形}，B={x | x是圓}，對應關系f：每一個三角形都對應它的內切圓；

（4）A={x | x是新華中學的班級}，B={x | x是新華中學的學生}，對應關系f：每一個班級都對應班里的學生．

思考：

將（3）中的對應關系f改為：每一個圓都對應它的內接三角形；（4）中的對應關系f改為：每一個學生都對應他的班級，那么對應f： B?A是從集合B到集合A的映射嗎？ 5． 完成課本練習

三、作業布置

補充習題

第三篇：高一數學教案函數及其表示

高一數學教案：函數及其表示 [1500字]

第一課時： 1.2.1 函數的概念

（一）教學要求：通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素；能夠正確使用“區間”的符號表示某些集合。

教學重點、難點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數。

教學過程：

一、復習準備：

1.討論：放學后騎自行車回家，在此實例中存在哪些變量？變量之間有什么關系？ 2.回顧初中函數的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應，此時y是x的函數，x是自變量，y是因變量.表示方法有：解析法、列表法、圖象法.二、講授新課：

1.教學函數模型思想及函數概念：

①給出三個實例：

A.一枚炮彈發射，經26秒后落地擊中目標，射高為845米，且炮彈距地面高度h（米）與時間t（秒）的變化規律是h?130t?5t2.B.近幾十年，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現臭氧層空洞問題，圖中曲線是南極上空臭氧層空洞面積的變化情況.（見書P16頁圖）

C.國際上常用恩格爾系數（食物支出金額÷總支出金額）反映一個國家人民生活質量的高低。“八五”計劃以來我們城鎮居民的恩格爾系數如下表.（見書P17頁表）

②討論：以上三個實例存在哪些變量？變量的變化范圍分別是什么？兩個變量之間存在著這樣的對應關系？ 三個實例有什么共同點？ 歸納：三個實例變量之間的關系都可以描述為，對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都與唯一確定的y和它對應，記作：f:A?B ③定義：設A、B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么稱f:A?B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作：y?f(x),x?A.其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain），與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合{f(x)|x?A}叫值域（range）.④討論：值域與B的關系？構成函數的三要素？

一次函數y?ax?b(a?0)、二次函數y?ax2?bx?c(a?0)的定義域與值域？

⑤練習：f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域.2.教學區間及寫法：

① 概念：設a、b是兩個實數，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫閉區間； {x|a

{x|a≤x

② 符號：“∞”讀“無窮大”；“－∞”讀“負無窮大”；“+∞”讀“正無窮大” ③ 練習用區間表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

3.小結：函數模型應用思想；函數概念；二次函數的值域；區間表示

三、鞏固練習： 1.已知函數f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)2.探究：舉例日常生活中函數應用模型的實例.什么樣的曲線不能作為函數的圖象？

3.課堂作業：書P21 1、2題.第二課時： 1.2.1 函數的概念

（二）教學要求：會求一些簡單函數的定義域與值域，并能用“區間”的符號表示；掌握判別兩個函數是否相同的方法。

教學重點：會求一些簡單函數的定義域與值域。

教學難點：值域求法。

教學過程：

一、復習準備：

3x21.提問：什么叫函數？其三要素是什么？函數y＝與y＝3x是不是同一個函數？為x 什么？

2.用區間表示函數y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定義域與值域.二、講授新課：

1.教學函數定義域：

①出示例1：求下列函數的定義域（用區間表示）f(x)=x?3 x2?2kx；

f(x)=x?1－x 2?x 學生試求→訂正→小結：定義域求法（分式、根式、組合式）

②練習：求定義域（用區間）→

f(x)

＝x?2 f(x)

x?3③小結：求定義域步驟：列不等式（組）→ 解不等式（組）

2.教學函數相同的判別：

①討論：函數y=x、y=(x)、y=2x3 x2、y=x4、y=x2有何關系？

②練習：判斷下列函數f（x）與g（x）是否表示同一個函數，說明理由？

A.f(x)=(x －1)；g(x)= 1;B.f(x)= x； g(x)= x2 0 C．f(x)= x ；f(x)=(x + 1)22、D.f(x)= | x | ；

②小結：函數是否相同，看定義域和對應法則。

3.教學函數值域的求法：

① 例2：求值域（用區間表示）：y＝x2－2x＋4；y＝

＝x?2 x?3?5；f(x)＝x2?3x?4 ；f(x)x?3 先口答前面三個 → 變第三個求 → 如何利用第二個來求第四個

②小結求值域的方法： 觀察法、配方法、拆分法、基本函數法

三、鞏固練習： 1.求下列函數定義域：f(x)?2.已知f(x+1)＝2x2－3x＋1，求f(-1)。變：f(x)?1f(x)? 1?1/xx?1，求f(f(x))x?1 解法一：先求f(x)，即設x＋1＝t；（換元法）解法二：先求f(x)，利用湊配法；

解法三：令x＋1=－1，則x＝－2,再代入求。（特殊值法）

3.f(x)的定義域是[0,1]，則f(x＋a)的定義域是。

4.求函數y＝－x2＋4x－1，x∈[-1,3)在值域。

解法（數形結合法）：畫出二次函數圖像 → 找出區間 → 觀察值域

5.課堂作業：書P27 1、2、3題。

第三課時： 1.2.2 函數的表示法

（一）教學要求：明確函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖像法），了解三種表示方法各自的優點，在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數。通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。教學重點：會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數。

教學難點：分段函數的表示及其圖象。

教學過程：

一、復習準備：

1.提問：函數的概念？函數的三要素？

2.討論：初中所學習的函數三種表示方法？試舉出日常生活中的例子說明.二、講授新課：

1.教學函數的三種表示方法：

① 結合實例說明三種表示法 → 比較優點

解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.優點：簡明；給自變量求函數值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.優點：直觀形象，反應變化趨勢。列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.優點：不需計算就可看出函數值。具體實例如：二次函數等；股市走勢圖； 列車時刻表；銀行利率表。

②出示例1.某種筆記本的單價是2元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數y=f(x)．

師生共練→小結：函數“y=f(x)”有三種含義（解析表達式、圖象、對應值表）． ③討論：函數圖象有何特征？所有的函數都可用解析法表示嗎？

④練習：作業本每本0.3元，買x個作業本的錢數y（元）.試用三種方法表示此實例

中的函數.④看書P22例4.下表是某班三位同學在高一學幾次數學測試的成績及班級平均分表：

甲

乙

丙

班平均

分 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 90 68 88．2 87 76 65 78．3 91 88 73 85．4 92 75 72 80．3 88 86 75 75．7 95 80 82 82．6 請你對這三們同學在高一學的數學學習情況做一個分析．

提問：分析什么（成績的變化、成績的比較）？借助什么進行分析？

小結解答步驟：分別作點→連線→觀察→結論

討論：離散的點為什么用虛線連接起來？此例能用解析法表示表示嗎？ 2．教學分段函數：

①出示例2：寫出函數解析式，并畫出函數的圖像。

郵局寄信，不超過20g重時付郵資0.5元，超過20g重而不超過40g重付郵資1元。每封x克（0

（學生寫出解析式→ 試畫圖像 → 集體訂正）

②練習：A.寫函數式再畫圖像：某水果批發店，100kg內單價1元／kg，500kg內、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。批發x千克應付的錢數（元）。

B.畫出函數f(x)=|x－1|＋|x＋2|的圖像。

③提出: 分段函數的表示法與意義（一個函數，不同范圍的x，對應法則不同）→ 生活實例

3.看書，并小結：三種表示方法及優點；分段函數概念；函數圖象可以是一些點或線段

三、鞏固練習：1.已知f(x)＝? 7,8，9題

第四課時：1.2.2 函數的表示法

（二）?2x?3,x?(??,0)2?2x?1,x?[0,??)，求f(0)、f[f(-1)]的值。2.作業：P27 教學要求：了解映射的概念及表示方法；結合簡單的對應圖示，了解一一映射的概念． 教學重點：映射的概念．

教學難點：理解概念。

教學過程：

一、復習準備：

1.舉例初中已經學習過的一些對應，或者日常生活中的一些對應實例：

對于任何一個實數a，數軸上都有唯一的點P和它對應；

對于坐標平面內任何一個點A，都有唯一的有序實數對(x,y)和它對應；

對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應；

某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應；

2.討論：函數存在怎樣的對應？其對應有何特點？

3.導入：函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，即映射（mapping）.二、講授新課：

1.教學映射概念：

① 先看幾個例子，兩個集合A、B的元素之間的一些對應關系，并用圖示意

A?{1,4,9}, B?{?3,?2,?1,1,2,3}，對應法則：開平方；

A?{?3,?2,?1,1,2,3}，B?{1,4,9}，對應法則：平方；

A?{30?,45?,60?

}, B?{1, 對應法則：求正弦； 2 ② 定義映射：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A?B為從集合A到集合B的一個映射（mapping）．記作“f:A?B” 關鍵: A中任意，B中唯一；對應法則f.③ 分析上面的例子是否映射？舉例日常生活中的映射實例？

④ 討論：映射的一些對應情況？（一對一；多對一）一對多是映射嗎？

→ 舉例一一映射的實例（一對一）

2.教學例題：

① 出示例1.探究從集合A到集合B一些對應法則，哪些是映射，哪些是一一映射？ A={P | P是數軸上的點}，B=R； A={三角形}，B={圓}；

A={ P | P是平面直角體系中的點}，B?{(x,y)|x?R,y?R}； A={高一某班學生}，B= ？

（師生探究從A到B對應關系 → 辨別是否映射？一一映射？ → 小結：A中任意，B中唯一）

② 討論：如果是從B到A呢？

③ 練習：判斷下列兩個對應是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，對應法則f:x?2x?1； A?N*,B?{0,1}，對應法則f:x?x除以2得的余數；

A?N，B?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余數； 111設X?{1,2,3,4},Y?{1，,f:x?x取倒數； 234 A?{x|x?2,x?N},B?N，f:x?小于x的最大質數

3.小結：映射概念.三、鞏固練習： 1.練習：書P26 2、3、4題； 2.課堂作業：書P28 10題.第五課時 1.2 函數及其表示（練習課）

教學要求：會求一些簡單函數的定義域和值域；能解決簡單函數應用問題；掌握分段函數、區間、函數的三種表示法；會解決一些函數記號的問題．

教學重點：求定義域與值域，解決函數簡單應用問題．

教學難點：函數記號的理解.教學過程：

一、基礎習題練習：（口答下列基礎題的主要解答過程 → 指出題型解答方法）

1.說出下列函數的定義域與值域： y? 2.已知f(x)?18； y?x2?4x?3； y?2.x?4x?33x?51，求f，f(f(3))，f(f(x)).x?

?0(x?0)?3.f(x)???(x?0)，作

出

f(x)的圖

象

已，知求f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}的值.?x?1(x?0)?

二、教學典型例題：

1.函數f(x)記號的理解與運用：

① 出示例1.已知f(x)=x?1 g(x

1求f[g(x)]（師生共練→小結：代入法；理解中間自變量）

② 練習：已知f(x)=x2?x+3 求： f(x+1), f(21)x 已知函數f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].③ 出示例2.若f1）?x?求f(x

分析：如何理解f1？ 如何轉化為f(x））

解法一：換元法，設t?1，則??

解法二：配元法，f1）?x?1)2?1，則?? 解法三：代入法，將x用(x?1)2(x?1)代入，則?? 討論：f(x）中，自變量x的取值范圍？

1x④ 練習：若f()?，求f(x）.x1?x 2.函數應用問題：

①出示例3.中山移動公司開展了兩種通訊業務：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費0.6元.若一個月內通話x分鐘，兩種通訊方式的費用分別為y1,y（元）.Ⅰ.寫出y1,y2與x之間的函數關系式？ Ⅱ.2 一個月內通話多少分鐘，兩種通訊方式的費用相同？ Ⅲ.若某人預計一個月內使用話費200元，應選擇哪種通訊方式？

（師生共練 → 討論：如何改動，更與實際接近？ → 小結：簡單函數應用模型）

1三、鞏固練習：1.已知f(x)滿足2f(x)?f()?3x，求f(x).x 112.若函數y?f(x)的定義域為[?1，1]，求函數y?f(x?)f(x?)44 3.設二次函數f(x)滿足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的兩實根平方和為10，圖象過點(0,3)，求f(x)的解析式.薦薦小初學二

數數

學學

教教

案案案

[1000(800 [1000

字字

])薦生活中的數學教字] 薦人教版初一上數學教案(全冊)[1500字] 薦工程數學教案(500字)

第四篇：函數的表示法教學設計

“函數的表示法”教學設計

南京師大附中 陶維林

一、內容和內容解析

函數的表示法是“函數及其表示”這一節的主要內容之一．

學習函數的表示法，不僅是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，也是加深對函數概念理解所必須的．同時，基于高中階段所接觸的許多函數均可用幾種不同的方式表示，因而學習函數的表示也是領悟數學思想方法（如數形結合、化歸等）、學會根據問題需要選擇表示方法的重要過程．

學生在學習用集合與對應的語言刻畫函數之前，比較習慣于用解析式表示函數，但這是對函數很不全面的認識．在本節中，從引進函數概念開始，就比較注重函數的不同表示方法：解析法、圖象法、列表法．函數的不同表示法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念．特別是在信息技術環境下，可以使函數在數形結合上得到更充分的表現，使學生更好地體會這一重要的數學思想方法．因此，在研究函數時，應充分發揮圖象直觀的作用；在研究圖象時要注意代數刻畫，以求思考和表述的精確性．

解析法有兩個優點：一是簡明、精確地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值．中學階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數．

圖象法的優點是，直觀形象地表示自變量的變化，相應的函數值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數的某些性質．圖象法在生產和生活中有許多應用，如企業生產圖，股票指數走勢圖等．

列表法的優點是，不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值，簡潔明了．列表法在實際生產和生活中也有廣泛應用．如成績表、銀行的利率表等．

在研究函數時，根據問題的特點，往往需要同時借助幾種不同的函數表示法研究函數，如同時采用解析法和圖象法表示函數，加強數形結合，這是研究函數的常用方法．

分段函數是一類重要的函數．所謂分段函數，就是在同一個定義域的不同子集上對應關系不同的函數．這類似于，同一個國家的不同地區可以實行不同的社會制度．

二、目標和目標解析

1．掌握函數的三種表示方法（圖象法、列表法、解析法），會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．

通過具體的實例，在不同的表示法的選擇、轉化中，逐步學會用恰當的方法表示一個函數，逐步養成用不同方法表示一個函數的習慣，尤其是增強數與形結合的意識．

2．了解簡單的分段函數，并能簡單的應用．

通過具體實例（如出租車資費、郵件資費等），以及畫出含絕對值函數的圖象，或者求含絕對值的函數的值域，認識分段函數是一種普遍存在的函數．

3．會用列表、描點、連線的三步作圖法畫一些簡單函數的圖象，并能通過幾何直觀得到函數的有關信息（性質）．

三、教學問題診斷分析

1．初中已經接觸過函數的三種表示法：解析法、列表法和圖象法．高中階段重點是讓學生在了解三種表示法各自優點的基礎上，使學生會根據實際情境的需要選擇恰當的表示方法．因此，教學中應該多給出一些具體問題，讓學生在比較、選擇函數模型表示方式的過程中，加深對函數概念的整體理解，而不再誤以為函數都是可以寫出解析式的．

（2）讓學生用借助計算器，列表描點，畫出給出解析式的函數的圖象，加強各種表示法之間的聯系．有條件的，可使用信息技術，利用計算機軟件畫出圖象，為學生創設豐富的數形結合環境，幫助學生更深刻地理解函數概念及其表示法．如可補充如下函數：

上述四個函數的圖象如圖1所示，依次為：

圖1

（3）分段函數大量存在，但比較繁瑣．一方面，要加強用分段函數模型刻畫實際問題的實踐，另一方面，可以畫含絕對值號的函數的圖象，促使學生根據絕對值的意義把函數分段寫出來，然后分段畫出圖象．還可以通過求分段函數的值域，讓學生體驗到，分段函數的問題應該分段解決，然后再綜合．這也為下一步研究分段函數的單調性等性質打下伏筆．

四、教學基本流程

五、教學過程設計

1．用三種表示法表示同一個函數

我們在初中就已經知道函數的三中表示法：解析法，圖象法，列表法．

問題1 某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）本筆記本需要y元．試用函數的三種表示法表示函數y＝f（x）．（教科書第19頁例3）

設計意圖：通過具體例子，讓學生用三種不同的表示方法來表示的同一個函數，進一步理解函數概念． 這個函數的圖象由一些離散的點組成，與以前學習過的一次函數、二次函數的圖象是連續的曲線不同．通過本例，進一步讓學生感受到，函數概念中的對應關系、定義域、值域是一個整體．函數y＝5x不同于函數y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的圖象是（連續的）直線，而后者是5個離散的點．

由此認識到：“函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點，等等．”（教科書例3的邊空）

讓學生體會到三種表示方法各自的優點．為“問題2”（教科書第20頁）提供一個具體的事例．

解：這個函數的定義域是{1，2，3，4，5}．（1）用解析法表示為

y＝5x，x∈｛1，2，3，4，5｝．（2）用列表法表示為

（3）用圖象法表示，函數y＝f（x）的圖象如圖2所示．

圖2

問題2（教科書第20的“思考”）

（1）比較函數的三種表示法，各自的有哪些優、缺點？

（2）所有的函數都能用解析法表示嗎？舉出一個函數，并分別用三種表示法表示． 設計意圖：通過比較，明確各種表示法的優點；通過舉例，讓學生通過自己的例子說明怎樣用適當的表示法來表示某些函數．

不是所有的函數都能用解析法表示，如心電圖．

討論中，還可以問學生“函數圖象可以是折線嗎”讓學生舉例說明．（如y＝|x|）問題3 圖3能表示某個函數的圖象嗎？為什么？

圖3

設計意圖：這是例3邊空的內容“那么判斷一個圖形是不是函數圖象的依據是什么？”通過討論，進一步理解函數概念中“對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應”． 組織學生討論后，歸納出判斷方法“平行于y軸的直線（或y軸）與圖形至多一個交點”． 2．選擇適當方法表示函數，以便分析其特點

問題4（教科書第20頁例4）下表是高一（3）班三位同學在高一學6次數學測試的成績及班級平均分表．

請你對這三位同學在高一學的數學學習情況做一個分析．

設計意圖：這里有三個用表格法給出的函數．要“對這三位同學在高一學的數學學習情況做一個分析”不太方便，因此需要改變函數表示的方法，選擇圖象法比較恰當．

教學中，先不必直接把圖象法告訴學生，可以讓學生說說自己是如何分析的，選擇了什么樣的方法來表示這三個函數．通過比較各種不同的分析方法，達成共識：用圖象法比較好．培養學生根據實際需要選擇恰當的函數表示法的能力．

能夠從圖象中讀出哪些信息也不要直接告訴學生，讓學生經過觀察、思考獲得結論．比如總體水平（王偉成績好）、變化趨勢（趙磊的成績在逐步提高）、與班級平均分的比較，等等．培養學生的觀察能力、獲取有用信息的能力．

圖4

解：從表中可以知道每位同學在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學的成績變化情況（學習情況）．如果將“成績”與“測試序號”之間的關系用函數圖象表示出來，如圖4，那么就能比較直觀地看到成績變化情況．這對我們進行分析學習情況是有利的．

從圖4中可以看到，王偉同學的學習成績始終高于班級平均水平，學習情況穩定，而且成績優秀．張城同學的學習成績不夠穩定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度也比較大．趙磊同學的學習成績低于班級平均水平，但是他的成績呈上升趨勢，表明他的成績在穩步提高．

必須提醒學生，圖中的虛線不是函數圖象的組成部分，之所以用虛線連接散點，主要是為了區分這三個函數，直觀感受三個函數的圖象具有整體性，也便于分析學習情況，加以比較． 3．分段函數及其表示

問題5 某市出租車資費規定如下：（1）3公里以內（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，資費增加2.4元（不足1公里按1公里計算）．

某線路總里程為6公里，請根據題意寫出資費與里程之間函數的解析表達式，并畫出函數的圖象．

設計意圖：讓學生嘗試選擇適當表達方式來表示實際問題；學習分段函數及其表示．

解：設資費為y元，里程為x公里．由題意，自變量x的取值范圍是（0，6．

根據解析式畫出的圖象如圖5所示．

圖5

象問題5這樣的函數稱為分段函數． 所謂分段函數，就是在函數的同一個定義域的不同子集上對應關系不同的函數．類似于大陸、臺灣是同一個國家的不同地區，社會制度可以不同．

生活中有許多需要分段表示的函數，請你舉出幾個分段函數的例子，并畫出它的圖象．

如分期付款，郵件資費等．再如 y＝|x|＝

4．課堂練習

教科書第23頁，練習，1，2，3．

5．小結

通過本節課的學習，你的主要收獲有哪些？

大致有：函數的表示方法有三種，各有優、缺點；應該根據不同的問題、不同的要求選擇恰當的方法表示它，以便研究函數某些性質．還學習了什么樣的函數是分段函數．

6．課后作業

教科書第24頁，習題1.2，7，8．

第五篇：備課資料(函數的表示法)

備課資料

［備選例題］

【例1】2006第十七屆“希望杯”全國數學邀請賽(高一)第一試,8區間[0,m]在映射f:x→2x+m所得的象集區間為[a,b],若區間[a,b]的長度比區間[0,m]的長度大5,則m等于()

A.5B.10C.2.5D.1

分析:函數f(x)=2x+m在區間[0,m]上的值域是[m,3m],則有[m,3m]=[a,b],則a=m,b=3m,又區間[a,b]的長度比區間[0,m]的長度大5,則有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5,所以3m-m=m+5,解得m=5.答案：A

【例2】2005湖南數學競賽,11設x∈R,對于函數f(x)滿足條件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么對所有的x∈R,f(x2-1)=_________.分析:(換元法)設x2+1=t,則x2=t-1,則f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=f(t)=t2+3t-7,即f(x)=x2+3x-7.所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9.答案：x4+x2-9

［知識總結］

1.函數與映射的知識記憶口訣:

函數新概念,記準要素三;定義域值域,關系式相連;

函數表示法,記住也不難;圖象和列表,解析最常見;

對應變映射,只是變唯一;映射變函數,集合變數集.2.映射到底是什么？怎樣理解映射的概念？

剖析:對于映射這個概念,可以從以下幾點來理解：(1)映射中的兩個集合A和B可以是數集、點集或由圖形組成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的;(3)映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應,而這個與之對應的元素是唯一的,這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構成了映射的核心;(4)映射允許集合B中存在元素在A中沒有元素與其對應;(5)映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的對應元素,即映射只能是“多對一”或“一對一”,不能是“一對多”;(6)映射是特殊的對應,函數是特殊的映射.3.函數與映射的關系

函數是特殊的映射,對于映射f:A→B,當兩個集合A、B均為非空數集時,則從A到B的映射就是函數,所以函數一定是映射,而映射不一定是函數.(設計者：林大華)