第一篇：【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學必修系列：2.2函數(shù)的表示法(備課資料)

●備課資料

在近幾年的高考題中，我們發(fā)現(xiàn)考查函數(shù)思想方法的題目較多，選用的題目經(jīng)常源自生產(chǎn)、生活的實際，也經(jīng)常用到函數(shù)的知識、方法及思想，這就要我們在對函數(shù)的學習中，一定要認識函數(shù)思想的實質(zhì)，強化函數(shù)的應用意識.1.對函數(shù)知識、方法及思想的應用

［例1］經(jīng)市場調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)，其銷售量和價格均是時間t的函數(shù)，且銷

1109t+（t∈N*，0＜t≤100)，在前40天內(nèi)價格為f（t）3311＝t＋22（t∈N*，0≤t≤40），在后60天內(nèi)價格為f（t）＝－t＋52（t∈N*，40＜t≤100)，42售量近似地滿足關系ｇ（t）＝－求這種商品的日銷售額的最大值(近似到1元).分析：弄清“日銷量”“價格”“日銷額”這三個概念以建立它們之間的函數(shù)關系式.解：前40天內(nèi)日銷售額為：

11109t＋22）（－t＋）4331271＝－t＋t＋779

1243137849∴S＝－（t－10.5）2＋

1248S＝（后60天內(nèi)日銷售額為：

11109t＋52）（－t＋）

33212135668＝t2－t＋ 663125∴S＝（t－106.5）2－

624S＝（－∴得函數(shù)關系式

37849?12?(t?10.5)?(0?t?40且t??*)??1248S＝?

?1(t?106.5)2?25(40?t?100且t??*)?24?6由上式可知：對于0＜t≤40且t∈N*，有當t＝10或11時，Smax≈809 對于40＜t≤100且t∈N*，有當t＝41時，Smax＝714.綜上所述得：當t＝10或11時，Smax≈809 答：第10天或11天日售額最大值為809元

［例2］某中學高一年級學生李鵬，對某蔬菜基地的收益作了調(diào)查，該蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示，試解答下列問題.(注：市場售價和種植成本的單位：元／10 kg，時間單位：天)(1)寫出圖一表示的市場售價間接函數(shù)關系P＝f（t）.寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q＝g（t）

(2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?

2?300?t,(0?t?200)解：(1)由圖一可得市場售價間接函數(shù)關系為，f（t）＝?

2t?300,(200?t?300)?由圖二可得種植成本間接函數(shù)關系式為 g（t）＝1（t－150）2＋100，（0≤t≤300）200(2)設t時刻的純收益為h（t），則由題意得h（t）＝f（t）－ｇ（t）

?121175?t?t?,(0?t?200)??20022即h（t）＝?

??1t2?2t?1025,(200?t?300)?72?200當0≤t≤200時，得h（t）＝－

1（t－50）2＋100 2001（t－350）2＋100 200∴當t＝50時，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100； 當200＜t≤300時，得h（t）＝－∴當t＝300時，h（t）取得在t∈（200，300]上的最大值87.5 綜上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0，300]上可以取得最大值是100，此時t＝50，即從2月1日開始的第50天時，上市的西紅柿收益最大.評述：（1）以上兩例都是考查用數(shù)學中函數(shù)知識思想、方法去解決實際問題的能力，注意其中關鍵詞的理解，正確找出函數(shù)關系式.求最值時配方法是一種常用方法.（2）應用題是高考熱點問題，且應用題的具體內(nèi)容可以多種多樣，千變?nèi)f化，而抽象其數(shù)量關系，并建立函數(shù)關系式是具有普遍意義的方法.（3）數(shù)學應用題因其具有沒有固定的背景與題型，難以摸擬分類的特點，也就更接近于我們的生產(chǎn)和實際生活.所以應用題是考查學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的難得的有效題型，同時也不失為提高學生分析問題和解決問題能力的好題型.所以，我們廣大師生應加強這一方面的訓練，清除心理負面影響，以積極的姿態(tài)，迎接數(shù)學應用題的挑戰(zhàn)，以適應高考的改革要求.二、“應用數(shù)學”的能力訓練

季節(jié)性服裝當季節(jié)即將來臨時，價格呈上升趨勢，設某服裝開始時定價為10元，并且每周(7天)漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩(wěn)銷售；10周后當季節(jié)即將過去時，平均每周削價2元，直到16周末，該服裝已不再銷售.(1)試建立價格P與周次t之間的函數(shù)關系式.(2)若此服裝每件進價Q與周次t之間的關系為Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0，16]，t∈N*.試問該服裝第幾周每件銷售利潤L最大?

且t?N*?10?2t , t?[0,5)?t?[5,10]且t?N* 解：(1)P＝ ?20, ?40?2t, t?[10,16]且t?N*?(2)因每件銷售利潤＝售價－進價，即L＝P－Q。

故有：當t∈[0，5)且t∈N*時，L＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12＝即當t＝5時，Lmax＝9.125；

當t∈[5，10)，時t∈N*時，L＝0.125t2－2t＋16，即t＝5時，Lmax＝9.125；

當t∈[10，16]時，L＝0.125t2－4t＋36 即t＝10時，Lmax＝8.5 由以上得，該服裝第5周每件銷售利潤L最大.12

t＋6 8

第二篇：【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學必修系列：2.2函數(shù)的表示法(第一課時)

§2.2 函數(shù)的表示法

課時安排 1課時 從容說課

函數(shù)是由其定義域、值域、對應法則三要素構(gòu)成的整體，并可用抽象符號f(x)來表示，由于f所代表的對應法則不一定能用解析式表示，故本節(jié)介紹了函數(shù)的表示方法，除了解析法還有列表法和圖象法，這三種表示函數(shù)的方法之間具有內(nèi)在的聯(lián)系。比如本節(jié)例2的數(shù)據(jù)可以用列表法給出，教學中可引導學生先列表、再求解析式，最后畫圖象，例3在本質(zhì)上則是訓練由圖象求解析式的過程等，認識函數(shù)的三種表示方法之間的聯(lián)系并能相互轉(zhuǎn)化，是對函數(shù)概念深化理解的重要步驟。

本節(jié)由實際問題引出了對分段函數(shù)的認識，即對于自變量不同的取值范圍，用不同的解析式表示同一個函數(shù)關系，故分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，教學中可舉一些例子幫助學生理解。

根據(jù)實際問題中的條件列出函數(shù)解析式的訓練，是建立函數(shù)模型研究實際問題的關鍵步驟，這種應用意識的培養(yǎng)和應用能力的提高應不斷貴穿于以后的教學過程中。

●課

題

§2.2 函數(shù)的表示法 ●教學目標(一)教學知識點 1.函數(shù)的表示方法.2.初等函數(shù)的圖象.3.分段函數(shù)的意義.4.函數(shù)的應用.(二)能力訓練要求

1.使學生掌握函數(shù)的三種常用表示方法.2.使學生了解初等函數(shù)圖象的幾種情形.3.使學生理解分段函數(shù)的意義.4.使學生初步學會用函數(shù)的知識解決具體問題的方法.(三)德育滲透目標

通過本節(jié)課的教學，使學生認識到知識無止境，對客觀世界的認識也是永無止境的，樹立終身學習的思想.●教學重點

1.函數(shù)的表示方法.2.函數(shù)的應用.●教學難點 函數(shù)的應用.●教學方法 指導學生自學法

讓學生通過自學的實踐，自己獲取知識，對提高學生的自學能力是有幫助的，教師必要的指導為學生自學掃除障礙，同時也讓學生在掃除障礙的過程中，學會突破難點的方法.●教具準備 幻燈片兩張

第一張：P55圖2—6(記作§2.2 A)第二張：本課時教案后面的預習內(nèi)容及預習提綱（記作§2.2B)●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］上節(jié)課我們學習了判定兩個函數(shù)是否相同的方法及映射的概念，哪位同學來回答一下如何判定兩個函數(shù)是否相同呢？

［生］判定兩個函數(shù)是否相同，一要看其定義域是否相同，二要看其對應關系是否相同，當兩者完全一致時，這兩個函數(shù)就是相同的函數(shù)，當兩者有一不同或兩者完全不同時，這兩個函數(shù)就不是相同的函數(shù).［師］好!誰再來回答一下函數(shù)與映射的區(qū)別呢？ ［生］函數(shù)與映射本質(zhì)的區(qū)別是函數(shù)的兩個集合都是非空數(shù)集，而映射的兩個集合中的元素是任意的，它可以是數(shù)，也可以是點，還可以是圖形等等.［師］很好!我們前面已經(jīng)學習了函數(shù)的定義，函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)值的求法，兩個函數(shù)是否相同的判定方法，那么函數(shù)的表示方法常用的有哪些呢？這節(jié)課我們就來研究這個問題（板書課題）.Ⅱ.指導自學

［師］課下同學們已經(jīng)進行了自學，函數(shù)的表示方法常用的有哪幾種，各有什么優(yōu)點？ ［生］函數(shù)的表示方法常用的有三種，分別是解析法、列表法、圖象法.解析法是用解析式表示兩個變量的函數(shù)關系，它的優(yōu)點是關系清楚，容易求函數(shù)值，便于研究函數(shù)的性質(zhì).列表法是用表格表示兩個變量的函數(shù)關系，它的優(yōu)點是不必計算就可知道自變量取某些值時的函數(shù)值.圖象法是用圖象表示兩個變量的函數(shù)關系，它的優(yōu)點是表示函數(shù)的變化情況形象直觀.［師］好!（再舉些例子對各種表示方法進行說明，并強調(diào)：中學里研究的函數(shù)主要是用解析式表示的函數(shù)）

［師］下面請同學們看課本P54例

1、例2.（學生看課本、教師巡視）

［師］例

1、例2的圖象有什么特點呢？

［生］例1的圖象是一些孤立的點，例2的圖象是幾條線段.［師］回答完全正確，在初中，我們學過的函數(shù)圖象通常是一條光滑的（不打折）曲線（或直線）.例

1、例2告訴我們函數(shù)的圖象有時也可以由一些弧立的點或幾段線段組成，以后我們還將看到函數(shù)的圖象還可以由幾段光滑的曲線組成，從例2看到，有些函數(shù)在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應關系不同，這種函數(shù)通常稱為分段函數(shù).注意：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).［師］例3是生活中的實際問題，對實際問題的解決，要求我們認真分析題意，將其抽象，轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，通過解答數(shù)學問題，使實際問題得以解決，因此，解決應用問題的關鍵是將實際問題分析，抽象，轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即將實際問題數(shù)學化.下面我們一起對例3進行分析，請大家再仔細看一遍題.（學生看題）

［師］圓形噴水池的直徑為20 m，“計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭”告訴了我們什么？

［生］告訴了噴水頭的位置，即噴水頭距水池中心10 m,其高度與水面一致，視為 OM.［師］“噴出的水柱”其軌跡是什么類型？

［生］由物理學知識可知噴出的水柱軌跡為拋物線型.［師］“各方向噴來的水柱在裝飾物處匯合”是什么意思？ ［生］各方向噴出的水柱交匯在水池的中心線上（學生比劃，這條中心線實質(zhì)上是過水池中心水面的垂線），關于水池中心各相對方向噴出的水柱也交匯在水池的中心線上.（學生的回答不可能一下子達到準確的程度，教師要及時予以啟示，誘導）

［師］據(jù)以上分析，假如我們過水池中心線任意作一個截面，請同學們試畫出截面的形狀.（幾位學生在黑板上試畫）

（和同學們一起分析了學生畫的圖形，打出幻燈片§2.2A）

解：過水池中心任意選取一個豎立的截面如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水柱軌跡是拋物線型，建立如圖所示的平面直角坐標系，據(jù)已知，水柱上任意一點距中心的水平距離x（m）與此點的高度y（m）之間的函數(shù)關系是

?a1(x?4)2?6(?10?x?0)y=? 2?a2(x?4)?6(0?x?10)由x=-10,y=0，得a1=-a2=-

1,由x=10,y=0得 61,于是，所求的函數(shù)解析式是 6?12?(x?4)?6,(?10?x?0)??6y=? ??1(x?4)2?6,(0?x?10)??6當x=0時，y=10 310m.3即裝飾物的高度應為Ⅲ.課堂練習

課本P56練習

1，2，3 Ⅳ.課時小結(jié)

［師］本節(jié)課我們學習了哪些知識呢？請同學們總結(jié)一下.[生甲]函數(shù)的圖象不僅可以是一段光滑的曲線，還可以是一些弧立的點.[生乙]還可以是若干條線段.[生丙]學習了函數(shù)知識的應用.[生丁]應用數(shù)學知識解決實際問題，關鍵是將實際問題數(shù)學化.[生戊]實際問題數(shù)學化就是要認真分析題意，將實際問題抽象，轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題.[師]好!同學們總結(jié)了本節(jié)課所學習的知識，重要的在于掌握尤其是函數(shù)知識的應用，更要多練，才能運用自如.Ⅴ.課后作業(yè)

（一）課本P56習題2.2 1~6.（二）1.預習內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性.2.預習提綱：

（1）增函數(shù)、減函數(shù)的定義是什么？（2）函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義是什么？

（3）證明函數(shù)單調(diào)的方法步驟是怎樣的？（4）單調(diào)性是個整體概念還是個局部概念？ ●板書設計 §2.2 函數(shù)的表示法

分段函數(shù)是一個函

例3 數(shù)而不是幾個函數(shù)

函數(shù)的圖象可以是

練習一些孤立的點或幾

段線段

小結(jié)

第三篇：備課資料(函數(shù)的表示法)

備課資料

［備選例題］

【例1】2006第十七屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽(高一)第一試,8區(qū)間[0,m]在映射f:x→2x+m所得的象集區(qū)間為[a,b],若區(qū)間[a,b]的長度比區(qū)間[0,m]的長度大5,則m等于()

A.5B.10C.2.5D.1

分析:函數(shù)f(x)=2x+m在區(qū)間[0,m]上的值域是[m,3m],則有[m,3m]=[a,b],則a=m,b=3m,又區(qū)間[a,b]的長度比區(qū)間[0,m]的長度大5,則有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5,所以3m-m=m+5,解得m=5.答案：A

【例2】2005湖南數(shù)學競賽,11設x∈R,對于函數(shù)f(x)滿足條件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么對所有的x∈R,f(x2-1)=_________.分析:(換元法)設x2+1=t,則x2=t-1,則f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=f(t)=t2+3t-7,即f(x)=x2+3x-7.所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9.答案：x4+x2-9

［知識總結(jié)］

1.函數(shù)與映射的知識記憶口訣:

函數(shù)新概念,記準要素三;定義域值域,關系式相連;

函數(shù)表示法,記住也不難;圖象和列表,解析最常見;

對應變映射,只是變唯一;映射變函數(shù),集合變數(shù)集.2.映射到底是什么？怎樣理解映射的概念？

剖析:對于映射這個概念,可以從以下幾點來理解：(1)映射中的兩個集合A和B可以是數(shù)集、點集或由圖形組成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的;(3)映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應,而這個與之對應的元素是唯一的,這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心;(4)映射允許集合B中存在元素在A中沒有元素與其對應;(5)映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的對應元素,即映射只能是“多對一”或“一對一”,不能是“一對多”;(6)映射是特殊的對應,函數(shù)是特殊的映射.3.函數(shù)與映射的關系

函數(shù)是特殊的映射,對于映射f:A→B,當兩個集合A、B均為非空數(shù)集時,則從A到B的映射就是函數(shù),所以函數(shù)一定是映射,而映射不一定是函數(shù).(設計者：林大華)

第四篇：【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學必修系列：1.7四種命題(備課資料)

●備課資料

一、《教師教學參考書》《中學數(shù)學教學》

二、參考例題

［例1］寫出命題“若x≥2且y≥3，則x＋y≥5”的逆命題、否命題，逆否命題.并判斷其真假.分析：應注意分析清楚原命題的條件與結(jié)論，并充分利用四種命題的定義，還要注意條件和結(jié)論中“或”“且”“非”的否定的語句表述的準確性.解：原命題：“若x≥2且y≥3則x＋y≥5”為真命題.逆命題為：“若x＋y≥5，則x≥2且y≥3”，為假命題.否命題是：“若x＜2或y＜3，則x＋y＜5.”其為假命題.逆否命題是：“若x＋y＜5，則x＜2或y＜3”其為真命題.評述：本題應注意理解掌握“p且q”的否定為“?p或?q”，“p或q”的否定為“?p且?q”.［例2］寫出下列命題的逆命題，并判斷原命題和逆命題的真假.2(1)若x＝1，則x＝1.(2)對頂角相等.(3)等腰三角形的兩腰相等.2(4)x＋2x＋8＞0的解集為空集.分析：應先將原命題改寫成“如果??，那么??的形式”然后再構(gòu)造它的逆命題.2解：(1)逆命題是“若x＝1，則x＝1.” 原命題為假命題，逆命題是真命題.(2)逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”.原命題為真命題，逆命題為假命題.(3)逆命題是“如果一個三角形有兩邊相等，那么這個三角形是等腰三角形.” 原命題為真命題，逆命題也為真命題.2(4)逆命題是“空集是x＋2x＋8＞0的解集”.原命題和逆命題都是假命題.［例3］寫出下列命題的否命題，并判斷原命題及否命題的真假.(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0.(2)如果一個三角形的三邊都相等，那么這個三角形的三角都相等.(3)矩形的對角線互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：將原命題的條件和結(jié)論同時加以否定，便得到其否命題.解：(1)否命題是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”.原命題為真命題，否命題為假命題.(2)否命題是：“如果一個三角形的三邊不都相等，那么這個三角形的三角不都相等.原命題為真命題，否命題也為真命題.(3)否命題是：“如果四邊形不是矩形，那么對角線不互相平分或不相等”.原命題是真命題，否命題也是真命題.(4)否命題是“不相似的三角形一定不是全等三角形.” 原命題是假命題，否命題是真命題.評述：一個命題的否定應當包含除了本身以外的所有情況.如：“都相等”的否定應為“不都相等”，即至少有兩個元素不相等；“p或q”與“?p且?q”互為否定；“一定是”的否定是“一定不是”.三、參考練習題

1.命題“能被4整除的數(shù)一定是偶數(shù)”，等價命題是（）A.偶數(shù)一定能被4整除

B.不能被4整除的數(shù)一定不是偶數(shù) C.不能被4整除的數(shù)不一定是偶數(shù) D.不是偶數(shù)一定不能被4整除 答案：D 2.命題：“若a∈A，則{a}A”的逆命題是（）

A.若a∈A，則{a}A B.若{a}A，則a∈A C.若{a}A，則a?A D.若a?A，則{a}A 答案：B 3.命題：“若∠A＝60°，則△ABC是等邊三角形”的否命題（）A.是假命題

B.與原命題同真或同假

C.與原命題的逆否命題同真同假 D.與原命題的逆命題同真同假 答案：D 4.若命題p的逆命題是q，命題q的否命題是r，則p是r的_______命題.答案：逆否 5.命題“若a＞0，則什么命題：

(1)若a≤0，則(2)若

3a3＝”的相關命題如下，在題后括號內(nèi)注明它是這一命題的4a43a3≠.（）4a43a3＝，則a＞0()4a43a3(3)若≠，則a≤0()4a4答案：（1）否命題(2)逆命題(3)逆否命題 6.寫出下列命題的逆命題的逆否命題：(1)若a＞4則a＋3＞6(2)若x與y成正比關系，則y＝kx.答案：(1)若a≤4則a＋3≤6(2)x與y不成正比關系，則y≠kx.7.把下列命題改寫成“若p則q”的形式：(1)15是5的倍數(shù).(2)正方形四邊相等.答案：(1)若a＝15，則a是5的倍數(shù).(2)若一個四邊形是正方形，那么這一四邊形的四邊相等.8.寫出命題：“若ab＝0，則a、b中至少有一個為0”的逆否命題.答案：若a、b都不為零，則ab≠0.●備課資料

一、《教師教學用書》

二、參考例題

222［例1］寫出命題“在△ABC中，若∠C＝90°，則c＝a＋b”的逆命題，否命題和逆否命題，并指出它們的真假.解：原命題是真命題.222逆命題為“在△ABC中，若c＝a＋b，則∠C＝90°.為真命題.222否命題為：“在△ABC中，若∠C≠90°，則c≠a＋b”，是真命題.222逆否命題為：“在△ABC中，若c≠a＋b，則∠C≠90°，是真命題.評述：此題的原命題中“在△ABC中”是大前提，在寫這類命題的逆命題、否命題和逆否命題時一般保持不變.［例2］寫出命題“x≥2且y≥3，則x＋y≥5”的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.分析：本題中原命題的條件是復合條件.因此解好本題的關鍵是準確地寫出“p且q”的否定.解：原命題是真命題.逆命題是：“x＋y≥5則x≥2且y≥3”為假命題.否命題是：“x＜2或y＜3，則x＋y＜5”為假命題.逆否命題是：“x＋y＜5則x＜2或y＜3”為真命題.評述：注意“p或q”的否定是“?p且?q”，“p且q”的否定是“?p或?q”.在否命題中的準確運用.［例3］寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假.2(1)當x－3x＋2＝0時x＝2(2)ac＞bc?a＞b.2解：(1)逆命題為：“當x＝2時，x－3x＋2＝0”，為真命題.(2)逆命題為：“a＞b?ac＞bc”其為假命題.三、參考練習題

1.在下列命題中，真命題是（）

①“在同一個三角形中，大邊對大角”的否命題.2②“若m≤1，則x－2x＋m＝0有實根”的逆命題.③“菱形的對角線互相垂直平分”的否命題.④“若A∩B＝B，則A?B”的等價命題.A.①②④ B.③④ C.①②

D.①②③ 答案：D 2.命題“若a＞b，則am＞bm”與它的逆命題、否命題，逆否命題中真命題共有____個.答案：0 3.寫出命題“對角線不互相垂直的平行四邊形不是菱形.”的逆命題、否命題、逆否命題，并指出它們的真假.答案：逆命題為：“不是菱形的平行四邊形，對角線不互相垂直”，為真命題.否命題為“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，為真命題.逆否命題為“平行四邊形是菱形，其對角線互相垂直”，為真命題.4.判斷下列命題的否命題的真假.(1)正方形四條邊相等.(2)已知a＜0，如果x＝－a，那么x＜0(3)一個銳角的補角是鈍角.答案：(1)否命題為假命題.(2)否命題為假命題.(3)否命題為真命題.●備課資料

一、《教師教學用書》

二、參考例題

［例1］用反證法證明：若｜a－b｜＞a－b，則a＜b 分析：反證法證題的關鍵是對命題的結(jié)論進行否定——推理——矛盾——肯定.證明：假設a≥b

則有a－b≥0即｜a－b｜＝a－b.但這與已知中｜a－b｜＞a－b矛盾.故a＜b 評述：反證法證明過程中必須對結(jié)論的反面的各種情況一一加以否定，才能證明原命題的正確性.2［例2］用反證法證明：｜a｜＜3則a＜9.2證明：假設a≥9，兩邊同時開方取算術根得：｜a｜≥3.這與已知條件中｜a｜＜3相2矛盾.故a＜9.［例3］如果一個整數(shù)n的平方是偶數(shù)，那么這個整數(shù)n本身也是偶數(shù)，試證之.分析：由“整數(shù)n的平方是偶數(shù)”這個條件，很難直接證明“這個整數(shù)n本身也是偶數(shù)”這個結(jié)論成立，因此考慮用反證法證明.證明：假設整數(shù)n不是偶數(shù)，那么n可寫成：n＝2k＋1（k∈Ｚ）, 2222則n＝（2k＋1）＝4k＋4k＋1＝2（2k＋2k）＋1.22∵k∈Ｚ ∴2k＋2k∈Z，則2（2k＋2k）為偶數(shù).2那么2(2k＋2k）＋1為奇數(shù).2∴n為奇數(shù).但這與已知條件矛盾.則假設不成立，故n是偶數(shù).評述：否定結(jié)論是反證法的第一步，能否導致矛盾是反證法的關鍵，一般通過推理導致以下矛盾之一即可：

①與條件矛盾；②與定義、定理、公理矛盾；③與客觀事實矛盾；④自相矛盾.三、參考練習題

1.用反證法證明命題的第二步中，得出的矛盾可以是與下列哪些內(nèi)容產(chǎn)生的()①命題已知 ②數(shù)學定義 ③定理，公理 ④推理、演算的規(guī)律

A.① B.①③

C.②

D.①②③④ 答案：D 2.用反證法證明“一個三角形內(nèi)，不能有兩個鈍角或直角”.證明：假設可以有兩個鈍角或直角，那么這兩個角與任意大小的第三個角的和必大于180°，這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾.故一個三角形內(nèi)，不能有兩個鈍角或直角.3.否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是（）A.有一解

B.有兩解 C.有三解

D.至少有兩解 答案：C 4.否定下列各結(jié)論，并寫出由此可能出現(xiàn)的情況：(1)a＝b（2）AB∥CD（3）點A在直線a上 答案：(1)a≠b，即a＞b或a＜b

(2)AB與CD不平行，即AB與CD相交，或AB與CD重合.(3)點A在直線a外，即點A在直線a的一側(cè)或另一側(cè).5.用反證法證明：若a2＝－a，則a≤0 證明：假設a＞0，可得a2＝｜a｜＝a，這與已知a2＝－a相矛盾.故a≤0.6.假設p、q都是奇數(shù)，求證：關于x的方程x＋px＋q＝0無整數(shù)根.分析：此題中含有否定用“無”，可考慮用反證法，另外關于有無整數(shù)根，可從已知方程的判別式與根和系數(shù)的關系入手分析證明.222證法一：只有在Δ＝p－4q＝（p－m）時((p－m)表示完全平方數(shù),其中由－4q＝－2pm＋m可知m應為偶數(shù))才可能有整數(shù)根.化簡上式得出p與q的關系：q＝p·因p是奇數(shù)，不論2

mm2

－（），22m是怎樣的整數(shù)，都可得q為偶數(shù)，這與已知q為奇數(shù)相矛盾，則判別2式Δ的值不會是一個完全平方數(shù)，故方程無整數(shù)根.2證法二：假設方程有整數(shù)根α，無論α是奇數(shù)還是偶數(shù)，都必有α＋pα＋q為奇數(shù)，2這與α＋pα＋q＝0矛盾.故方程無整數(shù)根.

第五篇：【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學必修系列：1.8充分條件與必要條件(備課資料)

●備課資料

一、《教師教學用書》《中學數(shù)學教學》

二、參考例題

［例1］已知兩個命題：p：2x＋3＝x，q：x2x?3＝x，則p是q的（）

22A.充分不必要條件

B.必要不充分條件 C.既充分又必要條件

D.不充分也不必要條件 分析：注意到本題的兩個命題實際上是所表示方程的解集，因此可運用集合的觀點解決.命題p就是x∈{x｜2x＋3＝x}＝{－1，3}，q就是x∈{x｜x2x?3＝x}＝{0，3}.22則p q，又有q p，則p是q的不充分也不必要條件.答案：D ［例2］(1)xy＞0的一個充分而不必要條件是_______.(2)x＜0的一個必要而不充分條件是_______.分析：對于(1)要找命題q：xy＞0的一個充分而不必要條件就是要找一個命題p滿足：p?q且q p，這樣的命題p易找到的，且不唯一；對于(2)可仿(1)解決.(1)xy＞0的一個充分而不必要條件是：x＞0且y＞0.(2)x＜0的一個必要不充分條件是x＜2.評述：由于其答案不唯一，本例實際上是一個開放性命題.［例3］已知：p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4且ab＞4.則p是q的（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件 C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

解析：由a＞2且b＞2可得a＋b＞4且ab＞4.則p是q的充分條件.反之，若取a＝2，且b＝3.則有a＋b＝5＞4，且ab＝6＞4，但a＝2不滿足p.即：q

p；故p是q的充分不必要條件.答案：A 評述：這個問題具有典型性，學生由于形式上受：a＞0且b＞0?a＋b＞0且ab＞0的影響，往往出現(xiàn)錯誤：a＞2且b＞2?a＋b＞4且ab＞4.三、參考練習題

1.如果甲是乙的必要而不充分條件，丙是乙的既充分又必要條件，那么丙是甲的()A.充分必要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.不充分也不必要條件 解析：由題設乙?甲，丙?乙 則丙?乙?甲，即有丙?甲.答案：C 2.填空：

設A是B的充分不必要條件，則?A是?B的_____________條件.解析：由A是B的充分不必要條件得：A?B，即?B??A，則?A是?B的必要不充分條件.答案：必要不充分 ●備課資料

一、參閱資料：《教學參考書》、《中學數(shù)學教學與研究》

二、參考例題

［例1］若已知A是B的充分條件，C是D的必要條件，而B是D的充要條件，則D是C的_______條件；D是A的_______條件；A是C的_______條件，D是B的_______條件.分析：運用充分條件，必要條件和充要條件的定義考慮本題條件.易知存在下面的關系：A?B?D?C，然后再回到定義，本題可解.答案:充分 必要 充分 充要

評述：如果p?q，則p是q的充分條件.同時q是p的必要條件，說明充分條件和必要條件是相對的.［例2］已知p：｜5x－2｜＞3，q：

1＞0.則?p是?q的什么條件? 2x?4x?5分析：先確定命題?p和?q，然后再作判斷；或者先直接判斷p和q的關系，然后再判斷?p和?q的關系.解：?p：｜5x－2｜≤3，即：－

1≤x≤1 5?q：－5≤x≤1，則?p??q；

而?q p.則?p是?q的充分而不必要條件.評述：要注意準確把握一個命題的否定.特別是不等式所表示的區(qū)域的否定，在命題的條件的確定中常用.［例3］設x，y∈R，求證：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要條件是xy≥0.分析：充分性即證：xy≥0?｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即證： ｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜?xy≥0.證明：①充分性

若xy＝0，則有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0.此時顯然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.若xy＞0，則x，y同號.當x＞0且y＞0時，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜；

當x＜0且y＜0時，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜ 綜上所述，xy≥0?｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.②必要性

∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R

22∴(x＋y)＝（｜x｜＋｜y｜）

2222 即x＋2xy＋y＝x＋2｜x｜｜y｜·y?xy＝｜xy｜?xy≥0.因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜?xy≥0.故xy≥0?｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.評述：證明“p的充要條件是q”時，即等價于“q是p的充要條件”.也就是需證明充分性：q?p；必要性p?q不能顛倒證反”.注：本題也可用絕對值的概念證明：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜ ?｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2 ?x2＋2xy＋y2 22＝x＋2｜xy｜＋y ?｜xy｜＝xy ?xy≥0.故xy≥0?｜x＋y｜

＝｜x｜＋｜y｜

三、參考練習題

2(1)一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有一個正根和負根的充要條件是（）A.ab＞0

B.ab＜0

C.ac＞0

D.ac＜0 答案：D 22(2)x＞y是x＞y的_______條件.答案：既不充分也不必要

(3)設A、B是非空集合，則A∩B＝A是A＝B的_______條件.答案：必要不充分

32(4)已知p：x（2x＋3）＝x，q：2x＋3＝x，試判斷p是q的什么條件，并說明理由.解：∵p：x＝－1或x＝0或x＝3； q：x＝－1或x＝3.∴p q而q?p.則p是q的必要而不充分條件.2(5)設集合a＝{a｜a＋a－6＝0}，b＝{b｜mb＋1＝0}，試寫出B?A的一個充分不必要條件.答案：m＝－11（或m＝）

32(6)A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D也是B的充分條件.則D是C的什么條件?A是B的什么條件? 解：由題設得A?C，B?C?D?B，則C?D，C?B.則D是C的充要條件，A是B的充分不必要條件.