第一篇：【鼎尖教案】人教版高中數學必修系列：2.2函數的表示法(第一課時)

§2.2 函數的表示法

課時安排 1課時 從容說課

函數是由其定義域、值域、對應法則三要素構成的整體，并可用抽象符號f(x)來表示，由于f所代表的對應法則不一定能用解析式表示，故本節介紹了函數的表示方法，除了解析法還有列表法和圖象法，這三種表示函數的方法之間具有內在的聯系。比如本節例2的數據可以用列表法給出，教學中可引導學生先列表、再求解析式，最后畫圖象，例3在本質上則是訓練由圖象求解析式的過程等，認識函數的三種表示方法之間的聯系并能相互轉化，是對函數概念深化理解的重要步驟。

本節由實際問題引出了對分段函數的認識，即對于自變量不同的取值范圍，用不同的解析式表示同一個函數關系，故分段函數是一個函數而不是幾個函數，教學中可舉一些例子幫助學生理解。

根據實際問題中的條件列出函數解析式的訓練，是建立函數模型研究實際問題的關鍵步驟，這種應用意識的培養和應用能力的提高應不斷貴穿于以后的教學過程中。

●課

題

§2.2 函數的表示法 ●教學目標(一)教學知識點 1.函數的表示方法.2.初等函數的圖象.3.分段函數的意義.4.函數的應用.(二)能力訓練要求

1.使學生掌握函數的三種常用表示方法.2.使學生了解初等函數圖象的幾種情形.3.使學生理解分段函數的意義.4.使學生初步學會用函數的知識解決具體問題的方法.(三)德育滲透目標

通過本節課的教學，使學生認識到知識無止境，對客觀世界的認識也是永無止境的，樹立終身學習的思想.●教學重點

1.函數的表示方法.2.函數的應用.●教學難點 函數的應用.●教學方法 指導學生自學法

讓學生通過自學的實踐，自己獲取知識，對提高學生的自學能力是有幫助的，教師必要的指導為學生自學掃除障礙，同時也讓學生在掃除障礙的過程中，學會突破難點的方法.●教具準備 幻燈片兩張

第一張：P55圖2—6(記作§2.2 A)第二張：本課時教案后面的預習內容及預習提綱（記作§2.2B)●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］上節課我們學習了判定兩個函數是否相同的方法及映射的概念，哪位同學來回答一下如何判定兩個函數是否相同呢？

［生］判定兩個函數是否相同，一要看其定義域是否相同，二要看其對應關系是否相同，當兩者完全一致時，這兩個函數就是相同的函數，當兩者有一不同或兩者完全不同時，這兩個函數就不是相同的函數.［師］好!誰再來回答一下函數與映射的區別呢？ ［生］函數與映射本質的區別是函數的兩個集合都是非空數集，而映射的兩個集合中的元素是任意的，它可以是數，也可以是點，還可以是圖形等等.［師］很好!我們前面已經學習了函數的定義，函數的定義域的求法，函數值的求法，兩個函數是否相同的判定方法，那么函數的表示方法常用的有哪些呢？這節課我們就來研究這個問題（板書課題）.Ⅱ.指導自學

［師］課下同學們已經進行了自學，函數的表示方法常用的有哪幾種，各有什么優點？ ［生］函數的表示方法常用的有三種，分別是解析法、列表法、圖象法.解析法是用解析式表示兩個變量的函數關系，它的優點是關系清楚，容易求函數值，便于研究函數的性質.列表法是用表格表示兩個變量的函數關系，它的優點是不必計算就可知道自變量取某些值時的函數值.圖象法是用圖象表示兩個變量的函數關系，它的優點是表示函數的變化情況形象直觀.［師］好!（再舉些例子對各種表示方法進行說明，并強調：中學里研究的函數主要是用解析式表示的函數）

［師］下面請同學們看課本P54例

1、例2.（學生看課本、教師巡視）

［師］例

1、例2的圖象有什么特點呢？

［生］例1的圖象是一些孤立的點，例2的圖象是幾條線段.［師］回答完全正確，在初中，我們學過的函數圖象通常是一條光滑的（不打折）曲線（或直線）.例

1、例2告訴我們函數的圖象有時也可以由一些弧立的點或幾段線段組成，以后我們還將看到函數的圖象還可以由幾段光滑的曲線組成，從例2看到，有些函數在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應關系不同，這種函數通常稱為分段函數.注意：分段函數是一個函數，而不是幾個函數.［師］例3是生活中的實際問題，對實際問題的解決，要求我們認真分析題意，將其抽象，轉化成數學問題，通過解答數學問題，使實際問題得以解決，因此，解決應用問題的關鍵是將實際問題分析，抽象，轉化成數學問題，即將實際問題數學化.下面我們一起對例3進行分析，請大家再仔細看一遍題.（學生看題）

［師］圓形噴水池的直徑為20 m，“計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圈噴水頭”告訴了我們什么？

［生］告訴了噴水頭的位置，即噴水頭距水池中心10 m,其高度與水面一致，視為 OM.［師］“噴出的水柱”其軌跡是什么類型？

［生］由物理學知識可知噴出的水柱軌跡為拋物線型.［師］“各方向噴來的水柱在裝飾物處匯合”是什么意思？ ［生］各方向噴出的水柱交匯在水池的中心線上（學生比劃，這條中心線實質上是過水池中心水面的垂線），關于水池中心各相對方向噴出的水柱也交匯在水池的中心線上.（學生的回答不可能一下子達到準確的程度，教師要及時予以啟示，誘導）

［師］據以上分析，假如我們過水池中心線任意作一個截面，請同學們試畫出截面的形狀.（幾位學生在黑板上試畫）

（和同學們一起分析了學生畫的圖形，打出幻燈片§2.2A）

解：過水池中心任意選取一個豎立的截面如圖所示，由物理學知識可知，噴出的水柱軌跡是拋物線型，建立如圖所示的平面直角坐標系，據已知，水柱上任意一點距中心的水平距離x（m）與此點的高度y（m）之間的函數關系是

?a1(x?4)2?6(?10?x?0)y=? 2?a2(x?4)?6(0?x?10)由x=-10,y=0，得a1=-a2=-

1,由x=10,y=0得 61,于是，所求的函數解析式是 6?12?(x?4)?6,(?10?x?0)??6y=? ??1(x?4)2?6,(0?x?10)??6當x=0時，y=10 310m.3即裝飾物的高度應為Ⅲ.課堂練習

課本P56練習

1，2，3 Ⅳ.課時小結

［師］本節課我們學習了哪些知識呢？請同學們總結一下.[生甲]函數的圖象不僅可以是一段光滑的曲線，還可以是一些弧立的點.[生乙]還可以是若干條線段.[生丙]學習了函數知識的應用.[生丁]應用數學知識解決實際問題，關鍵是將實際問題數學化.[生戊]實際問題數學化就是要認真分析題意，將實際問題抽象，轉化成數學問題.[師]好!同學們總結了本節課所學習的知識，重要的在于掌握尤其是函數知識的應用，更要多練，才能運用自如.Ⅴ.課后作業

（一）課本P56習題2.2 1~6.（二）1.預習內容：函數的單調性.2.預習提綱：

（1）增函數、減函數的定義是什么？（2）函數單調區間的定義是什么？

（3）證明函數單調的方法步驟是怎樣的？（4）單調性是個整體概念還是個局部概念？ ●板書設計 §2.2 函數的表示法

分段函數是一個函

例3 數而不是幾個函數

函數的圖象可以是

練習一些孤立的點或幾

段線段

小結

第二篇：【鼎尖教案】人教版高中數學必修系列：2.2函數的表示法(備課資料)

●備課資料

在近幾年的高考題中，我們發現考查函數思想方法的題目較多，選用的題目經常源自生產、生活的實際，也經常用到函數的知識、方法及思想，這就要我們在對函數的學習中，一定要認識函數思想的實質，強化函數的應用意識.1.對函數知識、方法及思想的應用

［例1］經市場調查，某商品在近100天內，其銷售量和價格均是時間t的函數，且銷

1109t+（t∈N*，0＜t≤100)，在前40天內價格為f（t）3311＝t＋22（t∈N*，0≤t≤40），在后60天內價格為f（t）＝－t＋52（t∈N*，40＜t≤100)，42售量近似地滿足關系ｇ（t）＝－求這種商品的日銷售額的最大值(近似到1元).分析：弄清“日銷量”“價格”“日銷額”這三個概念以建立它們之間的函數關系式.解：前40天內日銷售額為：

11109t＋22）（－t＋）4331271＝－t＋t＋779

1243137849∴S＝－（t－10.5）2＋

1248S＝（后60天內日銷售額為：

11109t＋52）（－t＋）

33212135668＝t2－t＋ 663125∴S＝（t－106.5）2－

624S＝（－∴得函數關系式

37849?12?(t?10.5)?(0?t?40且t??*)??1248S＝?

?1(t?106.5)2?25(40?t?100且t??*)?24?6由上式可知：對于0＜t≤40且t∈N*，有當t＝10或11時，Smax≈809 對于40＜t≤100且t∈N*，有當t＝41時，Smax＝714.綜上所述得：當t＝10或11時，Smax≈809 答：第10天或11天日售額最大值為809元

［例2］某中學高一年級學生李鵬，對某蔬菜基地的收益作了調查，該蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示，試解答下列問題.(注：市場售價和種植成本的單位：元／10 kg，時間單位：天)(1)寫出圖一表示的市場售價間接函數關系P＝f（t）.寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q＝g（t）

(2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?

2?300?t,(0?t?200)解：(1)由圖一可得市場售價間接函數關系為，f（t）＝?

2t?300,(200?t?300)?由圖二可得種植成本間接函數關系式為 g（t）＝1（t－150）2＋100，（0≤t≤300）200(2)設t時刻的純收益為h（t），則由題意得h（t）＝f（t）－ｇ（t）

?121175?t?t?,(0?t?200)??20022即h（t）＝?

??1t2?2t?1025,(200?t?300)?72?200當0≤t≤200時，得h（t）＝－

1（t－50）2＋100 2001（t－350）2＋100 200∴當t＝50時，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100； 當200＜t≤300時，得h（t）＝－∴當t＝300時，h（t）取得在t∈（200，300]上的最大值87.5 綜上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0，300]上可以取得最大值是100，此時t＝50，即從2月1日開始的第50天時，上市的西紅柿收益最大.評述：（1）以上兩例都是考查用數學中函數知識思想、方法去解決實際問題的能力，注意其中關鍵詞的理解，正確找出函數關系式.求最值時配方法是一種常用方法.（2）應用題是高考熱點問題，且應用題的具體內容可以多種多樣，千變萬化，而抽象其數量關系，并建立函數關系式是具有普遍意義的方法.（3）數學應用題因其具有沒有固定的背景與題型，難以摸擬分類的特點，也就更接近于我們的生產和實際生活.所以應用題是考查學生創新意識和創新能力的難得的有效題型，同時也不失為提高學生分析問題和解決問題能力的好題型.所以，我們廣大師生應加強這一方面的訓練，清除心理負面影響，以積極的姿態，迎接數學應用題的挑戰，以適應高考的改革要求.二、“應用數學”的能力訓練

季節性服裝當季節即將來臨時，價格呈上升趨勢，設某服裝開始時定價為10元，并且每周(7天)漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩銷售；10周后當季節即將過去時，平均每周削價2元，直到16周末，該服裝已不再銷售.(1)試建立價格P與周次t之間的函數關系式.(2)若此服裝每件進價Q與周次t之間的關系為Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0，16]，t∈N*.試問該服裝第幾周每件銷售利潤L最大?

且t?N*?10?2t , t?[0,5)?t?[5,10]且t?N* 解：(1)P＝ ?20, ?40?2t, t?[10,16]且t?N*?(2)因每件銷售利潤＝售價－進價，即L＝P－Q。

故有：當t∈[0，5)且t∈N*時，L＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12＝即當t＝5時，Lmax＝9.125；

當t∈[5，10)，時t∈N*時，L＝0.125t2－2t＋16，即t＝5時，Lmax＝9.125；

當t∈[10，16]時，L＝0.125t2－4t＋36 即t＝10時，Lmax＝8.5 由以上得，該服裝第5周每件銷售利潤L最大.12

t＋6 8

第三篇：人教A版高中數學必修1教案-2.2對數函數教案

課題：§2.2.1對數 教學目的：（1）理解對數的概念；（2）能夠說明對數與指數的關系；（3）掌握對數式與指數式的相互轉化．

教學重點：對數的概念，對數式與指數式的相互轉化 教學難點：對數概念的理解． 教學過程： 引入課題

（對數的起源）價紹對數產生的歷史背景與概念的形成過程，體會引入對數的必要性； 設計意圖：激發學生學習對數的興趣，培養對數學習的科學研究精神． 嘗試解決本小節開始提出的問題． 新課教學

1．對數的概念

一般地，如果，那么數叫做以為底的對數（Logarithm），記作：

— 底數，— 真數，— 對數式

說明： 注意底數的限制，且；

；

注意對數的書寫格式．

思考： 為什么對數的定義中要求底數，且；

是否是所有的實數都有對數呢？

設計意圖：正確理解對數定義中底數的限制，為以后對數型函數定義域的確定作準備． 兩個重要對數：

常用對數（common logarithm）：以10為底的對數；

自然對數（natural logarithm）：以無理數為底的對數的對數． 對數式與指數式的互化

對數式

指數式 對數底數 ←

→ 冪底數 對數

←

→

指數 真數

←

→

冪 例1．（教材P73例1）鞏固練習：（教材P74練習1、2）

設計意圖：熟練對數式與指數式的相互轉化，加深理解對數概念． 說明：本例題和練習均讓學生獨立閱讀思考完成，并指出對數式與指數式的互化中應注意哪些問題． 對數的性質（學生活動）

閱讀教材P73例2，指出其中求的依據；

獨立思考完成教材P74練習3、4，指出其中蘊含的結論 對數的性質

（1）負數和零沒有對數；（2）1的對數是零：；（3）底數的對數是1：；（4）對數恒等式：；（5）．

歸納小結，強化思想

引入對數的必要性；

指數與對數的關系；

對數的基本性質． 作業布置

教材P86習題2．2（A組）第1、2題，（B組）第1題． 課題：§2.2.1對數的運算性質 教學目的：（1）理解對數的運算性質；

（2）知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；（3）通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用．

教學重點：對數的運算性質，用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數 教學難點：對數的運算性質和換底公式的熟練運用． 教學過程： 引入課題 對數的定義：； 對數恒等式：； 新課教學

1．對數的運算性質

提出問題：

根據對數的定義及對數與指數的關系解答下列問題：

設，求；

設，試利用、表示·．

（學生獨立思考完成解答，教師組織學生討論評析，進行歸納總結概括得出對數的運算性質１，并引導學生仿此推導其余運算性質）

運算性質：

如果，且，，那么：

·＋；

－；

．

（引導學生用自然語言敘述上面的三個運算性質）學生活動：

閱讀教材Ｐ75例3、4，；

設計意圖：在應用過程中進一步理解和掌握對數的運算性質．

完成教材Ｐ79練習1~3 設計意圖：在練習中反饋學生對對數運算性質掌握的情況，鞏固所學知識． 利用科學計算器求常用對數和自然對數的值

設計意圖：學會利用計算器、計算機求常用對數值和自然對數值的方法．

思考：對于本小節開始的問題中，可否利用計算器求解的值？從而引入換底公式． 換底公式

（，且；，且；）． 學生活動

根據對數的定義推導對數的換底公式．

設計意圖：了解換底公式的推導過程與思想方法，深刻理解指數與對數的關系．

思考完成教材P76問題（即本小節開始提出的問題）；

利用換底公式推導下面的結論

（1）；

（2）．

設計意圖：進一步體會并熟練掌握換底公式的應用．

說明：利用換底公式解題時常常換成常用對數，但有時還要根據具體題目確定底數． 課堂練習

教材Ｐ79練習4 已知

試求：的值。（對換5與2，再試一試）

設,，試用、表示 歸納小結，強化思想

本節主要學習了對數的運算性質和換底公式的推導與應用，在教學中應用多給學生創造嘗試、思考、交流、討論、表達的機會，更應注重滲透轉化的思想方法． 作業布置

基礎題：教材P86習題2．2（A組）第3 ~5、11題； 提高題：

設,，試用、表示；

設,，試用、表示；

設、、為正數，且，求證：． 課外思考題： 設正整數、、（≤≤）和實數、、、滿足：，求、、的值．

課題：§2.1.2對數函數

（一）教學任務：（1）通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；

（2）能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點；（3）通過比較、對照的方法，引導學生結合圖象類比指數函數，探索研究對數函數的性質，培養學生數形結合的思想方法，學會研究函數性質的方法． 教學重點：掌握對數函數的圖象和性質．

教學難點：對數函數的定義，對數函數的圖象和性質及應用．

教學過程： 引入課題 1．（知識方法準備）

學習指數函數時，對其性質研究了哪些內容，采取怎樣的方法？

設計意圖：結合指數函數，讓學生熟知對于函數性質的研究內容，熟練研究函數性質的方法——借助圖象研究性質．

對數的定義及其對底數的限制． 設計意圖：為講解對數函數時對底數的限制做準備． 2．（引例）教材P81引例

處理建議：在教學時，可以讓學生利用計算器填寫下表： 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001

生物死亡年數t

然后引導學生觀察上表，體會“對每一個碳14的含量P的取值，通過對應關系，生物死亡年數t都有唯一的值與之對應，從而t是P的函數” ．（進而引入對數函數的概念）新課教學

（一）對數函數的概念

1．定義：函數，且叫做對數函數（logarithmic function）其中是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．

注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別．如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．

對數函數對底數的限制：，且． 鞏固練習：（教材P68例2、3）

（二）對數函數的圖象和性質

問題：你能類比前面討論指數函數性質的思路，提出研究對數函數性質的內容和方法嗎？ 研究方法：畫出函數的圖象，結合圖象研究函數的性質．

研究內容：定義域、值域、特殊點、單調性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：

在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象；（可用描點法，也可借助科學計算器或計算機）（1）

（2）

（3）

（4）

類比指數函數圖象和性質的研究，研究對數函數的性質并填寫如下表格：

圖象特征 函數性質

函數圖象都在y軸右側

函數的定義域為（0，＋∞）

圖象關于原點和y軸不對稱 非奇非偶函數

向y軸正負方向無限延伸 函數的值域為R

函數圖象都過定點（1，1）

自左向右看，圖象逐漸上升 自左向右看，圖象逐漸下降 增函數 減函數

第一象限的圖象縱坐標都大于0 第一象限的圖象縱坐標都大于0

第二象限的圖象縱坐標都小于0 第二象限的圖象縱坐標都小于0

思考底數是如何影響函數的．（學生獨立思考，師生共同總結）

規律：在第一象限內，自左向右，圖象對應的對數函數的底數逐漸變大．

（三）典型例題 例1．（教材P83例7）． 解：（略）

說明：本例主要考察學生對對數函數定義中底數和定義域的限制，加深對對數函數的理解．

鞏固練習：（教材P85練習2）． 例2．（教材P83例8）解：（略）

說明：本例主要考察學生利用對數函數的單調性“比較兩個數的大小”的方法，熟悉對數函數的性質，滲透應用函數的觀點解決問題的思想方法． 注意：本例應著重強調利用對數函數的單調性比較兩個對數值的大小的方法，規范解題格式． 鞏固練習：（教材P85練習3）． 例2．（教材P83例9）解：（略）

說明：本例主要考察學生對實際問題題意的理解，把具體的實際問題化歸為數學問題． 注意：本例在教學中，還應特別啟發學生用所獲得的結果去解釋實際現象． 鞏固練習：（教材P86習題2．2 A組第6題）． 歸納小結，強化思想

本小節的目的要求是掌握對數函數的概念、圖象和性質．在理解對數函數的定義的基礎上，掌握對數函數的圖象和性質是本小節的重點． 作業布置

必做題：教材P86習題2．2（A組）第7、8、9、12題． 選做題：教材P86習題2．2（B組）第5題． 課題：§2.2.2對數函數

（二）教學任務：（1）進一步理解對數函數的圖象和性質；

（2）熟練應用對數函數的圖象和性質，解決一些綜合問題；

（3）通過例題和練習的講解與演練，培養學生分析問題和解決問題的能力． 教學重點：對數函數的圖象和性質．

教學難點：對對數函數的性質的綜合運用．

教學過程： 回顧與總結

函數的圖象如圖所示，回答下列問題．

（1）說明哪個函數對應于哪個圖象，并解釋為什么？

（2）函數與

且有什么關系？圖象之間 又有什么特殊的關系？

（3）以的圖象為基礎，在同一坐標系中畫出的圖象．

（4）已知函數的圖象，則底數之間的關系：

． 教 完成下表（對數函數且的圖象和性質）

圖 象

定義域

值域

性 質

根據對數函數的圖象和性質填空．

已知函數，則當時，；當時，；當時，已知函數，則當時，；當時，；當時，當時，． 應用舉例

比較大小：，且；，． 解：（略）

例2．已知恒為正數，求的取值范圍． 解：（略）

[總結點評]：（由學生獨立思考，師生共同歸納概括）．

例3．求函數的定義域及值域．

解：（略）

注意：函數值域的求法．

例4．（1）函數在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；當時，．當時，；

．

；

；

（2）求函數的最小值．

解：（略）

注意：利用函數單調性求函數最值的方法，復合函數最值的求法．

例5．（2003年上海高考題）已知函數，求函數的定義域，并討論它的奇偶性和單調性．

解：（略）

注意：判斷函數奇偶性和單調性的方法，規范判斷函數奇偶性和單調性的步驟．

例6．求函數的單調區間． 解：（略）

注意：復合函數單調性的求法及規律：“同增異減”． 練習：求函數的單調區間． 作業布置 考試卷一套

課題：§2.2.2對數函數

（三）教學目標：

知識與技能

理解指數函數與對數函數的依賴關系，了解反函數的概念，加深對函數的模型化思想的理解．

過程與方法

通過作圖，體會兩種函數的單調性的異同．

情感、態度、價值觀

對體會指數函數與對數函數內在的對稱統一．

教學重點：

重點

難兩種函數的內在聯系，反函數的概念． 難點

反函數的概念．

教學程序與環節設計：

教學過程與操作設計： 環節

呈現教學材料 師生互動設計

創

設

情

境

材料一：

當生物死亡后，它機體內原有的碳14會按確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．根據些規律，人們獲得了生物體碳14含量P與生物死亡年數t之間的關系．回答下列問題：

（1）求生物死亡t年后它機體內的碳14的含量P，并用函數的觀點來解釋P和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？

（2）已知一生物體內碳14的殘留量為P，試求該生物死亡的年數t，并用函數的觀點來解釋P和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？（3）這兩個函數有什么特殊的關系？

（4）用映射的觀點來解釋P和t之間的對應關系是何種對應關系？（5）由此你能獲得怎樣的啟示？

生：獨立思考完成，討論展示并分析自己的結果．

師：引導學生分析歸納，總結概括得出結論：（1）P和t之間的對應關系是一一對應；（2）P關于t是指數函數；

t關于P是對數函數，它們的底數相同，所描述的都是碳14的衰變過程中，碳14含量P與死亡年數t之間的對應關系；

（3）本問題中的同底數的指數函數和對數函數，是描述同一種關系（碳14含量P與死亡年數t之間的對應關系）的不同數學模型．

材料二：

由對數函數的定義可知，對數函數是把指數函數中的自變量與因變量對調位置而得出的，在列表畫的圖象時，也是把指數函數的對應值表里的和的數值對換，而得到對數函數的對應值表，如下：

表一

．

環節

呈現教學材料 師生互動設計

?-3-2-1 0 1 2 3 ?

?2 4 8 ?

表二

．

?-3-2-1 0 1 2 3 ?

?2 4 8 ?

在同一坐標系中，用描點法畫出圖象． 生：仿照材料一分析：與的關系．

師：引導學生分析，講評得出結論，進而引出反函數的概念．

組織探究

材料一：反函數的概念： 當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量，而把這個函數的自變量作為新的函數的因變量，我們稱這兩個函數互為反函數． 由反函數的概念可知，同底數的指數函數和對數函數互為反函數．

材料二：以與為例研究互為反函數的兩個函數的圖象和性質有什么特殊的聯系？ 師：說明：

（1）互為反函數的兩個函數是定義域、值域相互交換，對應法則互逆的兩個函數；（2）由反函數的概念可知“單調函數一定有反函數”；

（3）互為反函數的兩個函數是描述同一變化過程中兩個變量關系的不同數學模型．

師：引導學生探索研究材料二．

生：分組討論材料二，選出代表闡述各自的結論，師生共同評析歸納．

嘗試練習

求下列函數的反函數：（1）；

（2）生：獨立完成．

鞏固反思

從宏觀性、關聯性角度試著給指數函數、對數函數的定義、圖象、性質作一小結．

作業反饋

求下列函數的反函數：2 3 4 5 7 9

環節

呈現教學材料 師生互動設計2 3 4 5 7 9 2．（1）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f(a·b)= f(a)+ f(b)．”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？

（2）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f(a + b)= f(a)·f(b)．”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？

答案： 1．互換、的數值． 2．略．

課外活動

我們知道，指數函數，且與對數函數，且互為反函數，那么，它們的圖象有什么關系呢？運用所學的數學知識，探索下面幾個問題，親自發現其中的奧秘吧！

問題1 在同一平面直角坐標系中，畫出指數函數及其反函數的圖象，你能發現這兩個函數的圖象有什么特殊的對稱性嗎？

問題2 取圖象上的幾個點，說出它們關于直線的對稱點的坐標，并判斷它們是否在的圖象上，為什么？ 問題3 如果P0（x0，y0）在函數的圖象上，那么P0關于直線的對稱點在函數的圖象上嗎，為什么？

問題4 由上述探究過程可以得到什么結論？ 問題5 上述結論對于指數函數，且及其反函數，且也成立嗎？為什么？ 結論：

互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱．

第四篇：【鼎尖教案】人教版高中數學必修系列：1.7四種命題(備課資料)

●備課資料

一、《教師教學參考書》《中學數學教學》

二、參考例題

［例1］寫出命題“若x≥2且y≥3，則x＋y≥5”的逆命題、否命題，逆否命題.并判斷其真假.分析：應注意分析清楚原命題的條件與結論，并充分利用四種命題的定義，還要注意條件和結論中“或”“且”“非”的否定的語句表述的準確性.解：原命題：“若x≥2且y≥3則x＋y≥5”為真命題.逆命題為：“若x＋y≥5，則x≥2且y≥3”，為假命題.否命題是：“若x＜2或y＜3，則x＋y＜5.”其為假命題.逆否命題是：“若x＋y＜5，則x＜2或y＜3”其為真命題.評述：本題應注意理解掌握“p且q”的否定為“?p或?q”，“p或q”的否定為“?p且?q”.［例2］寫出下列命題的逆命題，并判斷原命題和逆命題的真假.2(1)若x＝1，則x＝1.(2)對頂角相等.(3)等腰三角形的兩腰相等.2(4)x＋2x＋8＞0的解集為空集.分析：應先將原命題改寫成“如果??，那么??的形式”然后再構造它的逆命題.2解：(1)逆命題是“若x＝1，則x＝1.” 原命題為假命題，逆命題是真命題.(2)逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”.原命題為真命題，逆命題為假命題.(3)逆命題是“如果一個三角形有兩邊相等，那么這個三角形是等腰三角形.” 原命題為真命題，逆命題也為真命題.2(4)逆命題是“空集是x＋2x＋8＞0的解集”.原命題和逆命題都是假命題.［例3］寫出下列命題的否命題，并判斷原命題及否命題的真假.(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0.(2)如果一個三角形的三邊都相等，那么這個三角形的三角都相等.(3)矩形的對角線互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：將原命題的條件和結論同時加以否定，便得到其否命題.解：(1)否命題是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”.原命題為真命題，否命題為假命題.(2)否命題是：“如果一個三角形的三邊不都相等，那么這個三角形的三角不都相等.原命題為真命題，否命題也為真命題.(3)否命題是：“如果四邊形不是矩形，那么對角線不互相平分或不相等”.原命題是真命題，否命題也是真命題.(4)否命題是“不相似的三角形一定不是全等三角形.” 原命題是假命題，否命題是真命題.評述：一個命題的否定應當包含除了本身以外的所有情況.如：“都相等”的否定應為“不都相等”，即至少有兩個元素不相等；“p或q”與“?p且?q”互為否定；“一定是”的否定是“一定不是”.三、參考練習題

1.命題“能被4整除的數一定是偶數”，等價命題是（）A.偶數一定能被4整除

B.不能被4整除的數一定不是偶數 C.不能被4整除的數不一定是偶數 D.不是偶數一定不能被4整除 答案：D 2.命題：“若a∈A，則{a}A”的逆命題是（）

A.若a∈A，則{a}A B.若{a}A，則a∈A C.若{a}A，則a?A D.若a?A，則{a}A 答案：B 3.命題：“若∠A＝60°，則△ABC是等邊三角形”的否命題（）A.是假命題

B.與原命題同真或同假

C.與原命題的逆否命題同真同假 D.與原命題的逆命題同真同假 答案：D 4.若命題p的逆命題是q，命題q的否命題是r，則p是r的_______命題.答案：逆否 5.命題“若a＞0，則什么命題：

(1)若a≤0，則(2)若

3a3＝”的相關命題如下，在題后括號內注明它是這一命題的4a43a3≠.（）4a43a3＝，則a＞0()4a43a3(3)若≠，則a≤0()4a4答案：（1）否命題(2)逆命題(3)逆否命題 6.寫出下列命題的逆命題的逆否命題：(1)若a＞4則a＋3＞6(2)若x與y成正比關系，則y＝kx.答案：(1)若a≤4則a＋3≤6(2)x與y不成正比關系，則y≠kx.7.把下列命題改寫成“若p則q”的形式：(1)15是5的倍數.(2)正方形四邊相等.答案：(1)若a＝15，則a是5的倍數.(2)若一個四邊形是正方形，那么這一四邊形的四邊相等.8.寫出命題：“若ab＝0，則a、b中至少有一個為0”的逆否命題.答案：若a、b都不為零，則ab≠0.●備課資料

一、《教師教學用書》

二、參考例題

222［例1］寫出命題“在△ABC中，若∠C＝90°，則c＝a＋b”的逆命題，否命題和逆否命題，并指出它們的真假.解：原命題是真命題.222逆命題為“在△ABC中，若c＝a＋b，則∠C＝90°.為真命題.222否命題為：“在△ABC中，若∠C≠90°，則c≠a＋b”，是真命題.222逆否命題為：“在△ABC中，若c≠a＋b，則∠C≠90°，是真命題.評述：此題的原命題中“在△ABC中”是大前提，在寫這類命題的逆命題、否命題和逆否命題時一般保持不變.［例2］寫出命題“x≥2且y≥3，則x＋y≥5”的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.分析：本題中原命題的條件是復合條件.因此解好本題的關鍵是準確地寫出“p且q”的否定.解：原命題是真命題.逆命題是：“x＋y≥5則x≥2且y≥3”為假命題.否命題是：“x＜2或y＜3，則x＋y＜5”為假命題.逆否命題是：“x＋y＜5則x＜2或y＜3”為真命題.評述：注意“p或q”的否定是“?p且?q”，“p且q”的否定是“?p或?q”.在否命題中的準確運用.［例3］寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假.2(1)當x－3x＋2＝0時x＝2(2)ac＞bc?a＞b.2解：(1)逆命題為：“當x＝2時，x－3x＋2＝0”，為真命題.(2)逆命題為：“a＞b?ac＞bc”其為假命題.三、參考練習題

1.在下列命題中，真命題是（）

①“在同一個三角形中，大邊對大角”的否命題.2②“若m≤1，則x－2x＋m＝0有實根”的逆命題.③“菱形的對角線互相垂直平分”的否命題.④“若A∩B＝B，則A?B”的等價命題.A.①②④ B.③④ C.①②

D.①②③ 答案：D 2.命題“若a＞b，則am＞bm”與它的逆命題、否命題，逆否命題中真命題共有____個.答案：0 3.寫出命題“對角線不互相垂直的平行四邊形不是菱形.”的逆命題、否命題、逆否命題，并指出它們的真假.答案：逆命題為：“不是菱形的平行四邊形，對角線不互相垂直”，為真命題.否命題為“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，為真命題.逆否命題為“平行四邊形是菱形，其對角線互相垂直”，為真命題.4.判斷下列命題的否命題的真假.(1)正方形四條邊相等.(2)已知a＜0，如果x＝－a，那么x＜0(3)一個銳角的補角是鈍角.答案：(1)否命題為假命題.(2)否命題為假命題.(3)否命題為真命題.●備課資料

一、《教師教學用書》

二、參考例題

［例1］用反證法證明：若｜a－b｜＞a－b，則a＜b 分析：反證法證題的關鍵是對命題的結論進行否定——推理——矛盾——肯定.證明：假設a≥b

則有a－b≥0即｜a－b｜＝a－b.但這與已知中｜a－b｜＞a－b矛盾.故a＜b 評述：反證法證明過程中必須對結論的反面的各種情況一一加以否定，才能證明原命題的正確性.2［例2］用反證法證明：｜a｜＜3則a＜9.2證明：假設a≥9，兩邊同時開方取算術根得：｜a｜≥3.這與已知條件中｜a｜＜3相2矛盾.故a＜9.［例3］如果一個整數n的平方是偶數，那么這個整數n本身也是偶數，試證之.分析：由“整數n的平方是偶數”這個條件，很難直接證明“這個整數n本身也是偶數”這個結論成立，因此考慮用反證法證明.證明：假設整數n不是偶數，那么n可寫成：n＝2k＋1（k∈Ｚ）, 2222則n＝（2k＋1）＝4k＋4k＋1＝2（2k＋2k）＋1.22∵k∈Ｚ ∴2k＋2k∈Z，則2（2k＋2k）為偶數.2那么2(2k＋2k）＋1為奇數.2∴n為奇數.但這與已知條件矛盾.則假設不成立，故n是偶數.評述：否定結論是反證法的第一步，能否導致矛盾是反證法的關鍵，一般通過推理導致以下矛盾之一即可：

①與條件矛盾；②與定義、定理、公理矛盾；③與客觀事實矛盾；④自相矛盾.三、參考練習題

1.用反證法證明命題的第二步中，得出的矛盾可以是與下列哪些內容產生的()①命題已知 ②數學定義 ③定理，公理 ④推理、演算的規律

A.① B.①③

C.②

D.①②③④ 答案：D 2.用反證法證明“一個三角形內，不能有兩個鈍角或直角”.證明：假設可以有兩個鈍角或直角，那么這兩個角與任意大小的第三個角的和必大于180°，這與三角形的內角和為180°相矛盾.故一個三角形內，不能有兩個鈍角或直角.3.否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是（）A.有一解

B.有兩解 C.有三解

D.至少有兩解 答案：C 4.否定下列各結論，并寫出由此可能出現的情況：(1)a＝b（2）AB∥CD（3）點A在直線a上 答案：(1)a≠b，即a＞b或a＜b

(2)AB與CD不平行，即AB與CD相交，或AB與CD重合.(3)點A在直線a外，即點A在直線a的一側或另一側.5.用反證法證明：若a2＝－a，則a≤0 證明：假設a＞0，可得a2＝｜a｜＝a，這與已知a2＝－a相矛盾.故a≤0.6.假設p、q都是奇數，求證：關于x的方程x＋px＋q＝0無整數根.分析：此題中含有否定用“無”，可考慮用反證法，另外關于有無整數根，可從已知方程的判別式與根和系數的關系入手分析證明.222證法一：只有在Δ＝p－4q＝（p－m）時((p－m)表示完全平方數,其中由－4q＝－2pm＋m可知m應為偶數)才可能有整數根.化簡上式得出p與q的關系：q＝p·因p是奇數，不論2

mm2

－（），22m是怎樣的整數，都可得q為偶數，這與已知q為奇數相矛盾，則判別2式Δ的值不會是一個完全平方數，故方程無整數根.2證法二：假設方程有整數根α，無論α是奇數還是偶數，都必有α＋pα＋q為奇數，2這與α＋pα＋q＝0矛盾.故方程無整數根.

第五篇：【鼎尖教案】人教版高中數學選修系列：4.1復數的概念(第一課時)

第四章 數系的擴充－復數

課時安排 1課時 從容說課

本節一開始就簡明地介紹了數的概念的發展過程，對已經學過的數集因生產和科學發展的需要而逐步擴充的過程進行概括；然后說明數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，使得某些代數方程在新的數集中能夠有解.復數，最初還是由于解方程的需要而產生的，后來由于在科學技術中得到應用而進一步發展.將已經學過的數集進行概括并用表列出.

復數的概念是在引入虛數單位i，并同時規定了它的兩條性質之后自然地得出的.擴充到復數集后，方程x2=-1,x2-x+1=0等才有解.

在規定i的第二條性質時，原有的加、乘運算律仍然成立，可以引導學生討論為什么不規定除法、減法呢？由學生自己探索討論.

把a+bi(a、b∈R)叫做復數,這是復數的代數形式，既與以后的幾何表示、向量表示相對應,也說明任何一個復數均可以由一個有序實數對（a,b）唯一確定，是復數能由復平面內的點來表示的理論基礎.

虛數、純虛數、實部與虛部等概念是復數的最基本的概念.除了教科書中的一些實例外，教學中還要多舉一些例子讓學生判別，以加深學生理解.這里主要是分類，讓學生總結實數集、虛數集、純虛數集都是復數的真子集.讓學生討論下列兩個問題：①復數相等的充要條件是什么？②兩個復數只能說相等或不相等，不能比較大小的原因是什么？培養學生的探索精神.第一課時

課題

§4.1 復數的概念

教學目標

一、教學知識點

1.了解引進復數的必要性，理解并掌握虛數的單位i. 2.理解并掌握虛數單位與實數進行四則運算的規律.

3.理解并掌握復數的有關概念（復數集、代數形式、虛數、純虛數、實部、虛部）. 4.理解并掌握復數相等的有關概念.

二、能力訓練要求

1.能利用復數的有關概念對復數進行分類（實數、純虛數、虛數），并求出有關參數的取值范圍.

2.會用復數相等的定義求有關參數（未知數）的值. 3.使學生學會用定義和有關數學思想解題.

三、德育滲透目標

1.培養學生分類討論思想、等價轉化思想等數學思想和方法.

2.培養學生的矛盾轉化、分與合、實與虛等唯物辯證觀點，讓學生學會對事物歸納與認識，深刻認識事物的兩個方面的重要性.

3.培養學生正確的人生觀、價值觀，使之深刻認識到人在事物發展變化中所應體現的價值和作用.加強學生的愛國主義教育，使他們領悟、掌握科學文化知識，為國富民強而奮.

教學重點

復數的概念、虛數單位i、復數的分類（實數、虛數、純虛數）和復數相等等概念是本節課的教學重點.復數在現代科學技術中以及在數學學科中的地位和作用.

教學難點

虛數單位i的引進及復數的概念是本節課的教學難點.復數的概念是在引入虛數單位i并同時規定了它的兩條性質之后，自然地得出的.在規定i的第二條性質時，原有的加、乘運算律仍然成立.

教學方法

建構主義觀點在高中數學課堂教學中應用的實踐的教學方法.復數的概念如果單純地講解或介紹定顯得較為枯燥無味，學生不易接受.教學時，我們采用講解或體驗已學過的數集的擴充的歷史，讓學生體會到數集的擴充是生產實踐的需要，也是數學學科自身發展的需要；介紹數的概念的發展過程，使學生對數的形成、發展的歷史和規律、各種數集之間的關系有著比較清晰、完整的認識,從而讓學生積極主動地建構虛數的概念、復數的概念、復數的分類.教具準備

實物投影儀或多媒體課件（含幻燈片、幻燈機）.幻燈片兩張. 幻燈片：(記作§4.１Ａ)對已經學過的數集進行概括時，要注意以下幾點：（1）有理數就是一切形如

m的數，其中m∈Z,n∈N*,所以有理數集實際上就是分數集. n(2)｛有理數｝=｛分數｝=｛循環小數｝｛小數｝=R.

(3)自然數集N、整數集Z、有理數集Q、實數集R之間有如下的關系：NZQR. 幻燈片：(記作§4.１Ｂ)

兩個不全為實數的復數只能說相等或不相等，不能比較大小.

(1)根據兩個復數相等的定義知，在a=c,b=d兩式中，只要有一個不成立，那么a+bi≠c+di.(2)如果兩個復數都是實數，則可以比較大小,否則，不能比較大小.(3)“不能比較大小”的確切含義是指：不論怎樣定義兩個復數之間的一個關系“＜”，都不能使這種關系同時滿足實數

集中大小關系的四條性質：

①對于任意實數a、b來說，a＜b,a=b,b＜a這三種情況有且只有一種成立； ②如果a＜b,b＜c,那么a＜c; ③如果a＜b,那么a+c＜b+c; ④如果a＜b,c＞0,那么ac＜bc.教學過程

Ⅰ.課題導入

［師］從小學開始，我們就天天與各種數打交道，因而對數的概念和運算并不陌生，現在我們來回顧學過了哪些數集呢？

???正整數?自然數??????整數?零?有理數???［生］實數? ?負整數???分數???無理數?［師］由自然數經過若干年的發展，最后擴充到實數，那么還能繼續擴充嗎？今天我們就來學習新的數即復數（板書課題）. Ⅱ.講授新課

(一)概念形成［放投影或多媒體］（由學生閱讀）

數的概念是從實踐中產生和發展起來的.早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數的需要，就產生了1，2，3，4等數以及表示“沒有”的數0.自然數的全體構成自然數集N.

隨著生產和科學的發展，數的概念也得到了發展.

為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數的需要，人們又引進了負數，這樣就把數集擴充到了有理數集Q，顯然NQ.如果把自然數集（含正整數和0）與負整數集合并在一起，構成整數集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數看作分母為1的分數，那么有理數集實際上就是分數集. 有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數.所謂無理數,就是無限不循環小數.有理數集與無理數集合并在一起，構成實數集R.因為有理數都可看作循環小數（包括整數、有限小數），無理數都是無限不循環小數，所以實數集實際上就是小數集.(學生閱讀完畢，教師放出幻燈片§4.１Ａ) ［師］數集因生產和科學發展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾.但是，數集擴充到實數集R以后，像x2=-1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數的平方等于-1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數i，叫做虛數單位，并規定：（板書及以下兩條）

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立. ［師］有哪些運算律呢？

［生］乘法交換律和加法交換律.

［師］在這種規定下，i可以與實數b相乘，結果是什么？ ［生］i·b=b·i，滿足交換律.

［師］在這種規定下，i可以與實數a相加，結果是什么？ ［生］i+a=a+i，滿足交換律.

［師］如果i與實數b相乘，再與實數a相加，結果是什么呢？ ［生］i·b+a=a+bi.

［師］引進了新的虛數單位i后，數的范圍又擴充了，出現了形如a+bi(a、b∈R)的數，它在前面所學的數集中沒有，這樣人們把它們叫做復數.全體復數所成的集合叫做什么？ ［生］全體復數所成的集合叫做復數集，一般用字母C表示.(板書) ［師］在這種規定下，i與-1的關系如何呢？

［生］i就是-1的一個平方根，即方程x2=-1的一個根. ［師］方程x2=-1的另一個根呢？ ［生］-i.

［師］復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R).把復數表示成a+bi的形式，叫做復數的代數形式.(板書)

對于復數a+bi(a、b∈R),滿足什么條件時，它是實數？ ［生］當且僅當b=0時，復數a+bi(a、b∈R)它是實數a. ［師］如果b≠0時，這樣復數是什么樣的數呢？ ［生］當b≠0時，復數z=a+bi叫做虛數.

［師］在虛數的情況下，如果a=0時，它又是什么數呢？ ［生］當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數.

［師］a、b滿足什么條件時，z=a+bi(a、b∈R)是0？ ［生］當且僅當a=b=0時，z就是實數0.

［師］這樣復數z=a+bi(a、b∈R)就可以分成哪幾種情況呢？

??a＞0正實數??b?0z是實數a?a?0實數0??a＜0負實數???［生］復數z?a?bi(a、b?R)?

?a?0純虛數bi??b?oz是虛數?(b?0,b?R)???a?0非純虛數的虛數???［師］這里的實數a、b分別叫做復數z=a+bi(a、b∈R)的實部與虛部（板書）.

11i ,?i,?3?5i的實部和虛部，有沒有純虛數？ 23111［生］它們都是虛數，它們的實部分別是2,-3,0,?3;虛部分別是3, ,? ,-5;?i是純

233請你們說出復數2+3i,?3?虛數.

［師］-2i+3.14的實部和虛部是什么？ ［生］實部是-2，虛部是3.14.

［眾生］(齊聲說)錯！實部是3.14,虛部是-2.

［師］實數集和復數集之間的關系如何呢？ ［生］實數集R是復數集C的真子集，即RC. ［師］數集擴充后，常用的數集之間有什么關系？

［生］NZQRC.

［師］有沒有兩個復數相等呢？如何定義？

［生］如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等.這就是說：如果a、b、c、d∈R,那么a+bi=c+di?a=c,b=d.［師］復數z=a+bi(a、b∈R)為零的充要條件是什么？ ［生］復數a+bi=0(a、b∈R)的充要條件是a=0且b=0.

［師］復數相等的定義是在復數集中解方程的重要依據.一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小. 現有一個命題“任何兩個復數都不能比較大小”,對嗎？

［生］不對.如果兩個復數都是實數，就可以比較大小.只有當兩個復數不全是實數時才不能比較大小.

［師］“不能比較大小”的確切含義是指：不論怎樣定義兩個復數之間的一個關系“＜”，都不能使這種關系同時滿足實數集中大小關系的四條性質.（打出幻燈片§4.1 B）(由學生閱讀)(二)課本例題

［例1］實數m取什么數值時，復數z=m+1+(m-1)i是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？

分析:因為m∈R,所以m+1,m-1都是實數，由復數z=a+bi是實數、虛數和純虛數的條件可以確定m的值. 解：（1）當m-1=0，即m=1時，復數z是實數；（2）當m-1≠0，即m≠1時，復數z是虛數；

（3）當m+1=0,且m-1≠0時，即m=-1時，復數z 是純虛數. ［例2］已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x、y∈R, 求x與y. 分析:運用復數相等的定義求解.

?2x?1?y5解：根據復數相等的定義，得方程組?所以x?,y=4.

2?1??(3?y)(三)精選例題

［例1］復數z=log2(x2-3x-3)+log2(x-3),當x為何實數時，（1）z∈R;(2)z為虛數；（3）z為純虛數.

?x2?3x?3＞0,①解:（1）因為一個復數是實數的充要條件是虛部為零，所以有?

log(x?3)?0.②?2由②得x=4,經驗證滿足①.

所以當x=4時，z∈R.

?x2?3x?3＞0,(2)因為一個復數是虛數的充要條件是虛部非零，所以有?解得

2(x?3)?0.?log?3?213?213?213?21或x＜?x＞＜x＜4或x＞4.所以當＜x＜4或x＞4時，?22,即

22?x＞3且x?4?z為虛數.

(3)因為一個復數是純虛數，則其實部為零且虛部不為0，所以有

?log2(x2?3x?3)?0,?x??或x?4,解得?無解. ?x＞3且x?4,??log2(x?3)?0.所以復數z不可能是純虛數.

［例2］設復數z=2logax+(loga2x-1)i(a＞0,a≠1),問當x為何實數時，z是（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數. 解:（1）當loga2x-1=0,即x=a或

1時，z為實數. a?loga2x?1?01（2）當?即x≠a,x? ,

a?x＞0∴x＞0且x≠a且x?1時，z是虛數. ax??2loga?0,（3）當?即x=1時，z為純虛數. x??loga?1?0,［例3］判斷下列式子的對錯：

(1)當z∈C,則z2≥0;

(2)若z1、z2∈C,且z1-z2＞0，則z1＞z2;(3)若a＞b,則a+i＞b+i.

解:(1)z2≥0,當且僅當z∈R時成立，如設z=i,則z2=i2=-1＜0,故（1）是錯誤的.

(2)反例：設z1=2+i,z2=-1+i,滿足z1-z2=3＞0,因此z1、z2不能比較大小，故（2）也是錯誤的.(3)∵a＞b,故a、b∈R.∴a+i與b+i都是虛數，不能比較大小.故（3）錯.

解題回顧：理解復數與實數的一個重要區別：兩個復數如果不全是實數，就不能比較大小，因此不等式的性質在復數集中不適用. ［例4］（1）設復數z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分別滿足什么條件時，z是實數、虛數、純虛數？

（2）bi是什么數？

解:（1）當a、b同時為0時，z為實數；當a、b不全為0時，z是虛數；當a、b有且僅有一個為0或者說a、b有且僅有一個不為0時，z為純虛數.

(2)當b=0或b為純虛數時，bi是實數；當b為不是0的實數時，bi是純虛數；當b為非純虛數時，bi是非純虛數.

解題回顧：在判斷所給一個復數類型時，首先一定要弄清題目中的參數有無要求，然后再將復數中的實部與虛部分清. Ⅲ.課堂練習

(一)課本Ｐ149練習1、2.(二)補充練習 1.設集合C=｛復數｝,A=｛實數｝，B=｛純虛數｝，若全集S=C，則下列結論正確的是（）A.A∪B=C

B.CSA=B C.A∩(CSB)=

D.B∪(CSB)=C 答案：D

2.若復數z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i3sinθ,z1=z2,則θ等于（） A.kπ(k∈Z) C.2kπ±

B.2kπ+ ?(k∈Z) 3?(k∈Z) 3?D.2kπ+(k∈Z)

6解析:∵z1=z2,∴其充要條件為

1?sin??,??sin2??cos?,2?∴? ??cos??3sin?.?tan??3.?3?∴θ=2kπ+?,k∈Z.故選D. 6答案：D 3.已知集合M=｛1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i｝,集合P=｛-1，3｝.M∩P=｛3｝,則實數m的值為（） A.-1 B.-1或4

C.6

D.6或-1 解析：由題設知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.

2??m?3m?1?3,∴?2∴m=-1.故選A. ??m?5m?6?0.答案：A 4.滿足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的實數對(x,y)表示的點的個數是_________.

?x?3或x??1,2??x?2x?3?0,?解析：由題意知?2∴? 1??6y?6y?1?0.?y?3.?∴點對有(3,11)、(-1,),共有2個. 33答案：2

5.設復數z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果z是純虛數，求m的值.

2?m?3m?3?1,?log2(m2?3m?3)?0,?解：由題意知?∴?3?m?1，log(3?m)?o?2?3?m＞0.??m2?3m?4?0,∴? ?m?2且m＜3.∴m=-1.

6.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數根，試求實數m的值. 解：方程化為(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.

?x2?mx?2?0,∴? ?2x?m?0mm2m2??2?0.∴x??,242∴m2=8.∴m=±22.7.已知m∈R,復數z?純虛數；(4)z=m(m?2)+(m2+2m-3)i,當m為何值時，(1)z∈R;(2)z是虛數；（3）z是

m?11+4i. 2?m2?2m?3?0,解：（1）m需滿足?

m?1?0.?解之得m=-3.

(2)m需滿足m2+2m-3≠0且m-1≠0，解之得m≠1且m≠-3.

?m(m?2)?0,?(3)m需滿足?m?1

?m2?2m?3?0.?解之得m=0或m=-2. ?m(m?2)1?,?(4)m需滿足?m?12

?m2?2m?3?4.?解之得m∈?.

8.(2005年湖北省五校聯考)已知k∈R,方程x2+(k+3i)x+4+k=0一定有實根的充要條件是（） A.|k|≥4

B.k≥2+25或k≤2-25 D.k=-4 C.k=±32

解析:設x=t是方程的實根,

∴t2+kt+Δ+k+3t·i=0.

?t2?kt?4?k?0,由復數相等的定義知?

?3t?0.∴k=-4.故選D. 答案: D Ⅳ.課時小結

這節課我們學習了虛數單位i及它的兩條性質，復數的定義、實部、虛部及有關分類問題，復數相等的充要條件等等.基本思想是：利用復數的概念，聯系以前學過的實數的性質，對復數的知識有較完整的認識，以及利用轉化的思想將復數問題轉化為實數問題. Ⅴ.課后作業

課本Ｐ150習題4.１ 1、2、3、4. 板書設計

§4.1復數的有關概念

一、虛數單位i:i2=-1. 兩條規定：(1)i2=-1;

(2)i與實數滿足加、乘運算的有關運算律.

二、復數定義： 1.形如a+bi(a、b∈R)叫做復數. 2.分類

?b?0實數z?a?z?a?bi??a?0純虛數

b?0z為虛數???a?0非純虛數?3.復數相等的充要條件(a、b、c、d∈R)

z1=a+bi,z2=c+di,z1=z2

?a?c,??b?d.?z=a+bi=0?a=b=0. 例題分析

課本例題 例1 例2 精選例題 例1 例2 數系擴充

???正整數????有理數０????實數???分數?復數??????無理數??虛數預習提綱 1 2 ……

?負