第一篇：復變與積分變換教案
《復變與積分變換教案》
第七次課 教學目標：導出解析函數的高階導數，學會運用高階導數公式計算復積分。
講課段落：
? Cauchy積分高階導數定理的背景； ? 多連通域的Cauchy積分高階導數定理 ? 運用高階導數公式計算復積分。知識要點：
? 對每個自然數
n，在D內定義函數
f(?)Fn(z)??d? n?(??z)則對?z?D，有
Fn?(z)?nFn?1(z)
? 對每個自然數n，f(z)在D內處處有n階 導數，且對?z?D 有 f(n)n!f(?)(z)?d?n?1? 2?i?(??z)? 由于f?(z)?ux?ivx?vy?iuy，而高階導數定理認定，一但
f(z)解析 則f?(z)也解析，自然更有f?(z)連續，從而可知ux,vx,uy,vy都連續。
? 設D為單連域，f(z)在D內連續，若對
f(z)dz?0C?D任一內簡單閉曲線有 C，則f(z)在D解析。
第二篇：復變函數與積分變換復習題
復變函數與積分變換復習題
1，將下列復數化為三角形式與指數形式1)z?2i;
2)z?sin3?i
cos?
3;
3）z?1?icot?,????2?.4）z?1?cos??isin?,0????.(cos5??isin5?)2
5）z? 3(cos3??isin3?)
2，求下列函數的輻角
1)z?;2z)?n)3）求下列復數的模
1)z?45）設n為正整數，證明下式成立
3n?13n?1???1.6）證明函數f(z)?1?i4n?11?i4n?1??? Re(z)當z?0時極限不存在； z
z當z?0時極限不存在； z
1zz(?)當z?0時極限不存在； 2izz7）證明函數f(z)?8）證明函數f(z)?
?[Re(z2)]2,z?0?29)證明函數f(z)??在z=0點連續。z
??0,z?0
?x3y(y?ix),z?0?42f(z)?10)證明函數在z=0點連續。?x?y
?0,z?0?
11）判斷f(z)?x?2yi是否可導。
12）判斷函數的解析性
1）??z;2）??zRe(z)；
13）證明函數f(z)z=0處滿足C-R方程，但是不可導。（P33）
14）已知調和函數u(x,y)?x2?y2?xy，求一解析函數f(z)?u(x,y)?iv(x,y)使得f(0)?0，并求出df(z).dz
15）驗證以下函數為調和函數，并求出以z?x?iy為自變量的解析函數w?f(z)?u?iv.1)u(x,y)?(x?y)(x2?4xy?y2)
2）P74例題3.4.2例題3.4.3
16)解方程sinz?ish1.17）求Ln(?i),Ln(?3?4i)和它們的主值。
18）求ii,3i,(1?i)i的值。
19）解方程lnz?2?i
20）計算?6?czdz.（1）C：??i????i的直線段;
（2）C：左半平面以原點為中心逆時針方向的單位半圓周.21）計算積分dz(n?Z).n??(z?z)0CC:z?z0?r?0.22）計算積分dz,??zCdz,??zC??Cdzz,C:z?1.23）計算積分1dz,C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線.2??z?zC
ez
24）計算積分?,其中C:z?1,a為a?1的任何復數.3?(z?a)C
25）計算積分3z?2,其中C:z?(1?i)? 4??z?1C
ez
26）計算積分?,其中C:z?r(r?1,2).?z(z?1)(z?2)C
27）計算積分z,其中C:z?2.2??(9?z)(z?i)C
cosz,其中C:z?2.5??(z?1)C28）計算積分
ez
29）計算積分?,其中C:z?r?1.22?(z?1)C
30）計算積分sin5z,其中C:z?4.32??z(z?1)C
31）判斷下列數列是否收斂？如果收斂，求出其極限。
1i?)n?;n?ncinos?n?(1?en.32）下列級數是否收斂？是否絕對收斂？
n?n?1ii?(8i)?(1)i?(1?e)n?;;?n ]?nn2n?1nn?0n?n?1?
33）求下列冪級數的收斂半徑
zn?(z?1n)?
?3;?;?(coinszn)nn?1nn?1n?0?
34）把函數1展成z的冪級數.(1?z)3
1展成z的冪級數,1 1展成z-1冪級數,0 37）把函數z2?2z?5展成z的冪級數,1 2z?2z?5展成z的冪級數,2 1展成z的冪級數.(z-1)(z-2)38）把函數 39）把函數ze在0 41）求積分?z?z0?1e1z?z0(z?z0)?3dz.42）求積分ze?z?21?z.1z 43）求下列各函數在孤立奇點（不考慮無窮遠點）的留數 z2n1?e2z1;4;n1?zzsinz 44）計算積分?z?1 2sinz.2zz(1?e) z.(z?2)2(z?1)45）計算積分?1z?2?2 122??C1?z4.C:x?y?2x.sinz3.C:z?.47）計算積分??Cz246）計算積分 3z3?248）計算積分??C(z?1)(z2?9).C:z?4.49）計算積分??Czdz.C正向曲線:z?2.z4?1 50）計算積分1??C(z+i)10(z?1)5(z?4).C正向曲線:z?5.2? 51）計算積分?0 2?sin2?d?.(a?b?0).a?bcos? 52）計算積分cos2?d?.(0?p?1).2?1?2pcos??p0 ? 計算積分cos2?d?.(a2?1).2?1?2acos??a0 ?? 53）計算積分?01dx.(n?0,1,2,?).2n?1(1?x) x2 54）計算積分?2dx.(a?0,b?0).222(x?a)(x?b)?? ???? 55）計算積分cosaxdx.(a?0).2?x?1?? ?? 56）計算積分?0 ??xsinxdx.(a?0).22x?a(x2?1)cosax57）計算積分?dx.42x?x?1?? |z|?1f(z)dz?2πi?Res[f(z),z]kk?1n 班級B10202姓名李建良學號36 讀《復變函數》與《積分變換》有感 在學了《高等數學》之后，我們進一步學習《復變函數》和《積分變換》這兩本書，這兩本書是《高等數學》的微積分擴展和延伸，還有將復數將以深入學習和擴展，并引入函數的概念。因此感覺有一定的深度和難度。它們都利用數學的理論來解決實際問題。 復變函數中有很多概念，其中理論和方法是實變函數在復數領域內的推廣和發展，因而它們有許多相似之處，但是復變函數與實變函數有不同之點。就拿第一章來說，復數與復變函數，本課程研究對象就是自變量為復數的函數。在中學階段，我們已經學習過復數的概念和基本運算。本章將原來的基礎上作簡要的復習和補充。然后再介紹在復變平面上區域以及復變函數的極限和連續性等概念，為進一步研究解析函數理論和方法奠定必要的基礎。概括一下，以前學過方程x2=-1是無解的，因而設有一個實數的平方等于-1。第一節是復習原來的內容，然后逐步引入函數的概念。再引進對復變函數的表達式和復變函數重冪與方根以及加減法研究。由于上學期，我們學習函數概念中，引入極限的概念，然而復變函數也有極限特性。所以對復變函數極限分析有著相似之處，因此可以借鑒學函數極限方法來研究復變函數，然而復變函數又有其獨特特性，研究時必然會給我們帶來很多困難和意想不到的問題，所以就是它的不同之處。后面將復變函數引入微積分的概念，剛開始覺得挺好學，按照以前學微積分的思想就能接納復變函數的微積分，當我遇到了用函數微積分解決復變函數時，復變函數的轉化和變形卻是難題，但是經過一番努力，我逐漸領悟到復變函數在微積分在數學中的獨特魅力。 在學習復變函數中，要勤于思考，善于比較分析其共同點，更要領越復變函數的獨特魅力，如果這樣才能抓住本質，融會貫通。 而《積分變換》研究的是將復雜的運算轉化為較簡單的運算。本書講解了積分在數學中的應用，常用的兩種積分變換Fourier變換和Laplace變換。利用Fourier變換和Laplace變換將復雜的積分轉化為簡單的積分變換，有利于對復雜積分的求解，所以學習《積分變換》的思路就不像學習《復變函數》一樣，它的解題思路和《積分變換》截然不同，就拿Fourier變換而言，先引進Fourier定理，然后利用Fourier定理解決數學中一些難解的積分，用積分變換也可以解決工業中一些工程計算。其重在積分變換。對于積分變換理論的學習，有助于解決我們在工業設計中遇到的問題，但對與此書著重對積分變換的思想培養和應用。當我開始學習《積分變換》時，感覺無從下手，尤其是對積分的變換，一看到積分變換的過程就很頭疼，不知道從哪個地方開始下手，當學到Laplace變換時，才發現積分變換有它的一定的規律，只要把Fourier變換的思路用在Laplace變換，就會簡化對Laplace變換的學習，我才明白Fourier變換只是學習積分變換的一種方法，第一種內容學會了，后面的內容就迎刃而解了。 通過這兩本書的學習，我覺的，它不僅僅帶給我的是挑戰，而且也將為我們將來在工程技術領域中開擴了思路，照亮了方向，這也讓我們知道數學在工程領域的作用和不可磨滅的高度。 機密★啟用前 大連理工大學網絡教育學院 2014年3月份《復變函數與積分變換》課程考試 模 擬 試 卷 考試形式：閉卷試卷類型：（A） ☆ 注意事項：本考卷滿分共：100分；考試時間：90分鐘。 學習中心______________姓名____________學號____________ 四、證明題（本大題1小題，共10分） 證明：若F[ei?(t)1。?(t)][F(?)?F(?)]]?F(?)，其中?(t)為一實函數，則F[cos2證明：F(?)???? ??ei?(t)?e?i?tdt ?? ??F(?)??ei?(t)ei?tdt??e?i?(t)?e?i?tdt ?? i?(t)??e1?e?i?(t) ?i?t[F(?)?F(??)]??edt ??22?? ??cos?(t)e?i?tdt ???? ?F[cos?(t)] 大工《復變函數與積分變換》課程考試 模擬試卷（A） 機密★啟用前 大連理工大學網絡教育學院 2014年3月份《復變函數與積分變換》課程考試 模 擬 試 卷 考試形式：閉卷試卷類型：（B） ☆ 注意事項：本考卷滿分共：100分；考試時間：90分鐘。 學習中心______________姓名____________學號____________ 四、證明題（本大題1小題，共10分）證明(z)在復平面上不解析 證明：令z?x?iy，(z)?x?y?i2xy，（1分） 所以u(x,y)?x?y，(1分)v(x,y)??2xy。（1分）222222 ?u?v?u?v（1分）（1分）（1分）（1分）??2y，??2x。?2x，??2y，?y?y?x?x 由此可知，??(z)僅在點（0,0）處柯西—黎曼條件成立，所以??(z)僅在點（0,0）處可導，而在整個復平面上不解析。（3分）22 大工《復變函數與積分變換》課程考試 模擬試卷（B）第三篇：讀《復變函數》與《積分變換》有感
第四篇：2014年3月大工《復變函數與積分變換》課程考試模擬試卷A
第五篇：2014年3月大工《復變函數與積分變換》課程考試模擬試卷B
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