復(fù)變函數(shù)與積分變換

（修訂版）

主編：馬柏林

——課后習(xí)題答案

習(xí)題一

1.用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復(fù)數(shù)

.①解

②解：

③解：

④解：

2.求下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(z=x+iy)

R);

①

：

∵設(shè)z=x+iy

則

∴,．

②解：

設(shè)z=x+iy

∵

∴,．

③解：

∵

∴,．

④解：

∵

∴,．

⑤解：

∵．

∴當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

3.求下列復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)

①解：．

②解：

③解：．

④解：

4、證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，z才是實(shí)數(shù)．

證明：若，設(shè)，則有，從而有，即y=0

∴z=x為實(shí)數(shù)．

若z=x，x∈?，則．

∴．

命題成立．

5、設(shè)z,w∈￡，證明：

證明∵

∴．

6、設(shè)z,w∈￡，證明下列不等式．

并給出最后一個(gè)等式的幾何解釋．

證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了．

下面證．

∵

．從而得證．

∴

幾何意義：平行四邊形兩對(duì)角線平方的和等于各邊的平方的和．

7.將下列復(fù)數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式

①解：

其中．

②解：其中．

③解：

④解：.∴

⑤解：

解：∵．

∴

8.計(jì)算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．

解：

∴．

⑵-1的三次根

解：

∴

⑶的平方根．

解：

∴

∴

．

9.設(shè).證明：

證明：∵　∴，即．

∴

又∵n≥2．

∴z≠1

從而

11.設(shè)是圓周令,其中.求出在a切于圓周的關(guān)于的充分必要條件.解：如圖所示．

因?yàn)?{z:

=0}表示通過(guò)點(diǎn)a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA⊥．過(guò)C作直線平行，則有∠BCD=β，∠ACB=90°

故α-β=90°

所以在α處切于圓周T的關(guān)于β的充要條件是α-β=90°．

12.指出下列各式中點(diǎn)z所確定的平面圖形，并作出草圖.解：

(1)、argz=π．表示負(fù)實(shí)軸．

(2)、|z-1|=|z|．表示直線z=．

(3)、1<|z+i|<2

解：表示以-i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環(huán)域。

（4）、Re(z)>Imz．

解：表示直線y=x的右下半平面

5、Imz>1，且|z|<2．

解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。

習(xí)題二

1.求映射下圓周的像.解：設(shè)則

因?yàn)?所以

所以,所以即，表示橢圓.2.在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或.（1）；

（2）;

(3)

x=a,y=b.(a,b為實(shí)數(shù))

解：設(shè)

所以

(1)

記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即

(2)

記，則映成了w平面上扇形域，即

(3)

記，則將直線x=a映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向左的拋物線將y=b映成了

即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所示.3.求下列極限.(1)

;

解：令,則.于是.(2)

;

解：設(shè)z=x+yi，則有

顯然當(dāng)取不同的值時(shí)f(z)的極限不同

所以極限不存在.（3）；

解：=.（4）

.解：因?yàn)?/p>

所以.4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性：

(1)

解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時(shí)，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2)

解：因?yàn)?所以

所以f(z)在整個(gè)z平面連續(xù).5.下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1)

(n為正整數(shù))；

解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個(gè)z平面上可導(dǎo)..(2)

.解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3)

.解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4)

.解：因?yàn)?/p>

.所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6.試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1)

;

解：在全平面上可微.所以要使得，,只有當(dāng)z=0時(shí),從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(2)

.解：在全平面上可微.只有當(dāng)z=0時(shí),即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(3)

;

解：在全平面上可微.所以只有當(dāng)時(shí)，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導(dǎo)，在全平面不解析.(4)

.解：設(shè)，則

所以只有當(dāng)z=0時(shí)才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.7.證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù).(1)

;

證明：因?yàn)椋?.所以u(píng),v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2)

解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則

而f(z)為解析函數(shù)，所以

所以即

從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3)

Ref(z)=常數(shù).證明：因?yàn)镽ef(z)為常數(shù)，即u=C1,因?yàn)閒(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2

從而f(z)為常數(shù).(4)

Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得

因?yàn)閒(z)解析，由C-R方程得,即u=C2

所以f(z)為常數(shù).5.|f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對(duì)C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z)

0,但，即u2+v2=C2

則兩邊對(duì)x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有

利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有

所以

所以

即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6)

argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是

得

C-R條件→

解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因?yàn)閒(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9.試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1)

f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且

所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處解析..(2)

.證明：

處處可微，且

所以,所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10.設(shè)

求證：(1)

f(z)在z=0處連續(xù)．

(2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程．

(3)f′(0)不存在．

證明.(1)∵

而

∵

∴

∴

同理

∴

∴f(z)在z=0處連續(xù)．

(2)考察極限

當(dāng)z沿虛軸趨向于零時(shí)，z=iy，有

．

當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時(shí)，z=x，有

它們分別為

∴

∴滿足C-R條件．

(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時(shí)，有

∴不存在．即f(z)在z=0處不可導(dǎo)．

11.設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對(duì)稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析．

證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因?yàn)閒(z)在區(qū)域D內(nèi)解析．

所以u(píng)(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即．，得

故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足C-R條件

從而在D1內(nèi)解析

13.計(jì)算下列各值

(1)

e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)

(2)

(3)

(4)

14.設(shè)z沿通過(guò)原點(diǎn)的放射線趨于∞點(diǎn)，試討論f(z)=z+ez的極限．

解：令z=reiθ，對(duì)于θ，z→∞時(shí)，r→∞．

故．

所以．

15.計(jì)算下列各值．

(1)

(2)

(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i

(4)

16.試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性．

解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)．

設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微．

故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．

從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．

f(z)在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)．

17.計(jì)算下列各值．

(1)

(2)

(3)

18.計(jì)算下列各值

(1)

(2)

(3)(4)

(5)

(6)

19.求解下列方程

(1)

sinz=2．

解：

(2)

解：　即

(3)

解：　即

(4)

解：．

20.若z=x+iy，求證

(1)

sinz=sinxchy+icosx?shy

證明：

(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy

證明：

(3)|sinz|2=sin2x+sh2y

證明：

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y

證明：

21.證明當(dāng)y→∞時(shí)，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無(wú)窮大．

證明：

∴

而

當(dāng)y→+∞時(shí)，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．

當(dāng)y→-∞時(shí)，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．

同理得

所以當(dāng)y→∞時(shí)有|cosz|→∞．

習(xí)題三

1.計(jì)算積分,其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段.解

設(shè)直線段的方程為,則.故

2.計(jì)算積分，其中積分路徑C為

(1)

從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的直線段;

(2)

沿拋物線y=x2，從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的弧段.解

(1)設(shè).(2)設(shè).3.計(jì)算積分，其中積分路徑C為

(1)

從點(diǎn)-i到點(diǎn)i的直線段;

(2)

沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i;

(3)

沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i.解

(1)設(shè).(2)設(shè).從到

(3)

設(shè).從到

6.計(jì)算積分,其中為.解

∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析

∴

從而

故

7.計(jì)算積分,其中積分路徑為

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個(gè)奇點(diǎn).（2）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個(gè)奇點(diǎn).故

（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個(gè)奇點(diǎn),故

（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個(gè)奇點(diǎn),故

10.利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算下列積分.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

解

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

11.計(jì)算積分,其中為

(1)

(2)

(3)

解

(1)

(2)

(3)

16.求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1.(1)

(2)

(3)

解

(1)

(2)

(3)

17.計(jì)算積分,其中積分路徑為

(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2)

中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周解：(1)

內(nèi)包含了奇點(diǎn)

∴

(2)

內(nèi)包含了奇點(diǎn),∴

19.驗(yàn)證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1)

設(shè),∴

從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2)

設(shè),∴

從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).20.證明:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)

證明:

∴,從而是調(diào)和函數(shù).∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵

∴不滿足C-R方程,從而不是解析函數(shù).22.由下列各已知調(diào)和函數(shù),求解析函數(shù)

(1)

(2)

解

(1)因?yàn)?/p>

所以

令y=0,上式變?yōu)?/p>

從而

(2)

用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有

由，得C=0

23.設(shè),其中各不相同，閉路C不通過(guò),證明積分

等于位于C內(nèi)的p(z)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).證明:

不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k,其零點(diǎn)分別為

24.試證明下述定理(無(wú)界區(qū)域的柯西積分公式):

設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則

其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR:，將C與Z包含在內(nèi)

則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有

因?yàn)?/p>

在上解析，且

所以，當(dāng)Z在C外部時(shí)，有

即

設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即

故有：

習(xí)題四

1.復(fù)級(jí)數(shù)與都發(fā)散,則級(jí)數(shù)和發(fā)散.這個(gè)命題是否成立?為什么?

答.不一定．反例:

發(fā)散

但收斂

發(fā)散

收斂.2.下列復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解

(1)

因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散

(2)發(fā)散

又因?yàn)?/p>

所以發(fā)散

(3)

發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對(duì)收斂.(4)

因?yàn)?/p>

所以級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時(shí),級(jí)數(shù)化為收斂

當(dāng)n=2k+1時(shí),級(jí)數(shù)化為也收斂

所以原級(jí)數(shù)條件收斂

(5)

其中

發(fā)散,收斂

所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.3.證明:若,且和收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明:設(shè)

因?yàn)楹褪諗?/p>

所以收斂

又因?yàn)?所以且

當(dāng)n充分大時(shí),所以收斂

而收斂，收斂

所以收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.4.討論級(jí)數(shù)的斂散性

解

因?yàn)椴糠趾停?，不存?當(dāng)而時(shí)（即），cosnθ和sinnθ都沒有極限,所以也不收斂．

.故當(dāng)和時(shí),收斂.5.冪級(jí)數(shù)能否在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解：

設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，時(shí)發(fā)散.若在z=0處收斂,則

若在z=3處發(fā)散,則

顯然矛盾,所以冪級(jí)數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散

6.下列說(shuō)法是否正確?為什么?

(1)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2)

每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答:

(1)

不正確,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2)

不正確,因?yàn)槭諗康膬缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.7.若的收斂半徑為R,求的收斂半徑。

解：

因?yàn)?/p>

所以

8.證明：若冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足，則

(1)當(dāng)時(shí),(2)

當(dāng)時(shí),(3)

當(dāng)時(shí),證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)

由于，若，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。當(dāng)，即，不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.故收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂且.若,對(duì)當(dāng)充分大時(shí),必有不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.且

9.求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑，并寫出收斂圓周。

(1)

(2)

(3)

(4)

解:

(１)

收斂圓周(2)

所以收斂圓周(3)

記

由比值法,有

要級(jí)數(shù)收斂,則

級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為

所以收斂圓周(4)

記

所以時(shí)絕對(duì)收斂,收斂半徑

收斂圓周10.求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù).(1)

(2)

解:

(1)

故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：

所以

于是有：

(2)

令：

故R=∞,由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)

由此得到

即有微分方程

故有：，A,B待定。

所以

11.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1

證明：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂

設(shè)

若的收斂半徑為1

則

現(xiàn)用反證法證明

若則，有，即收斂，與條件矛盾。

若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。

綜上述可知，必有，所以

12.若在點(diǎn)處發(fā)散，證明級(jí)數(shù)對(duì)于所有滿足點(diǎn)都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，在處收斂

則對(duì)，絕對(duì)收斂，則在點(diǎn)處收斂

所以矛盾,從而在處發(fā)散.13.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng)),并指出其收斂半徑.解:因?yàn)?/p>

奇點(diǎn)為

所以

又

于是，有展開式

14.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng))

解：為的奇點(diǎn)，所以收斂半徑

又

于是，在處的泰勒級(jí)數(shù)為

15.用間接法將下列函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，并指出其收斂性.(1)

分別在和處

(2)

在處

(3)

在處

(4)

在處

(5)

在處

解

（1）

(2)

(3)

(4)

(5)因?yàn)閺难刎?fù)實(shí)軸不解析

所以,收斂半徑為R=1

16.為什么區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實(shí)數(shù)值的函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)時(shí)，展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)？

答：因?yàn)楫?dāng)取實(shí)數(shù)值時(shí)，與的泰勒級(jí)數(shù)展開式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開式系數(shù)都是實(shí)數(shù)。所以在內(nèi)，的冪級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)是實(shí)數(shù).17.求的以為中心的各個(gè)圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù).解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,其羅朗級(jí)數(shù).分別為：

19.在內(nèi)將展開成羅朗級(jí)數(shù).解:令則

而在內(nèi)展開式為

所以,代入可得

20.有人做下列運(yùn)算,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果

因?yàn)?所以有結(jié)果

你認(rèn)為正確嗎?為什么?

答:不正確,因?yàn)橐?/p>

而要求

所以,在不同區(qū)域內(nèi)

21.證明:

用z的冪表示的羅朗級(jí)數(shù)展開式中的系數(shù)為

證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級(jí)數(shù)為

其中

其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.22.是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?

解:

因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有

所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，z=0。

從而不是的孤立奇點(diǎn).23.用級(jí)數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點(diǎn)的級(jí).解：

故z=0為f(z)的15級(jí)零點(diǎn)

24.判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)的類型：

⑴??；　　?、?/p>

解:

是的孤立奇點(diǎn)

因?yàn)?/p>

所以是的本性奇點(diǎn).(2)因?yàn)?/p>

所以是的可去奇點(diǎn).25.下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出其點(diǎn)：

⑴

⑵

⑶

解:

(1)

所以是奇點(diǎn),是二級(jí)極點(diǎn).解:

(2)

是奇點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn),0是二級(jí)極點(diǎn).解:

(3)

是的二級(jí)零點(diǎn)

而是的一級(jí)零點(diǎn),是的一級(jí)零點(diǎn)

所以

是的二級(jí)極點(diǎn),是的一級(jí)極點(diǎn).26.判定下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？

⑴

⑵

⑶

解:

(1)當(dāng)時(shí),所以,是的可去奇點(diǎn).(2)因?yàn)?/p>

所以,是的本性奇點(diǎn).(3)

當(dāng)時(shí),所以,是的可去奇點(diǎn).27.函數(shù)在處有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)，但根據(jù)下面羅朗展開式：

.我們得到“又是的本性奇點(diǎn)”，這兩個(gè)結(jié)果哪一個(gè)是正確的？為什么?

解:

不對(duì),z=1是f(z)的二級(jí)極點(diǎn),不是本性奇點(diǎn).所給羅朗展開式不是在內(nèi)得到的在內(nèi)的羅朗展開式為

28.如果C為正向圓周，求積分的值

(1)

(2)

解：（1）先將展開為羅朗級(jí)數(shù)，得

而

=3在內(nèi)，,故

(2)在內(nèi)處處解析，羅朗展開式為

而=3在內(nèi)，,故

習(xí)題五

1.求下列函數(shù)的留數(shù)．

(1)在z=0處．

解：在0<|z|<+∞的羅朗展開式為

∴

(2)在z=1處．

解：在0<|

<+∞的羅朗展開式為

∴．

2.利用各種方法計(jì)算f(z)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．

(1)

解：的有限孤立奇點(diǎn)處有z=0，z=-2．其中z=0為二級(jí)極點(diǎn)z=-2為一級(jí)極點(diǎn)．

∴

3.利用羅朗展開式求函數(shù)在∞處的留數(shù)．

解：

∴

從而

5.計(jì)算下列積分．

(1)，n為正整數(shù)，c為|z|=n取正向．

解：．

為在c內(nèi)tanπz有

(k=0,±1,±2…±(n-1))一級(jí)極點(diǎn)

由于

∴

(2)

c:|z|=2取正向．

解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=-i兩個(gè)奇點(diǎn)．

所以

6.計(jì)算下列積分．

(1)

因被積函數(shù)為θ的偶函數(shù)，所以

令則有

設(shè)

則

被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)

但

所以

又因?yàn)?/p>

∴

(2)，|a|>1．

解：令

令z=eiθ．，則

得

(3)，a>0，b>0．

解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)z=ia和ib．故

（4）.，a>0．

解：

令，則z=±ai分別為R(z)的二級(jí)極點(diǎn)

故(5)，β>0，b>0．

解：

而考知，則R(z)在上半平面有z=bi一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)．

從而

(6)，a>0

解：令，在上半平面有z=ai一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)

7.計(jì)算下列積分

(1)

解：令，則R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)z=0，作以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的上半圓周cr，使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]構(gòu)成封閉曲線，此時(shí)閉曲線內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)i,于是：而．

故：

．(2)，其中T為直線Rez=c,c>0,0

解：在直線z=c+iy

(-∞<

y

<+∞)上，令，收斂，所以積分是存在的，并且

其中AB為復(fù)平面從c-iR到c+iR的線段．

考慮函數(shù)f(z)沿長(zhǎng)方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的積分．＜如下圖＞

因?yàn)閒(z)在其內(nèi)僅有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)z=0，而且

所以由留數(shù)定理．

而．

習(xí)題六

1.求映射下，下列曲線的像.(1)

(，為實(shí)數(shù))

解：,所以將映成直線.(2)

(k為實(shí)數(shù))

解：

故將映成直線.2.下列區(qū)域在指定的映射下映成什么？

（1）；

解：

所以.故將映成.(2)

Re(z)>0.00,00.Im(w)>0.若w=u+iv,則

因?yàn)?

故將Re(z)>0,0

Re(w)>0,Im(w)>0,(以（,0）為圓心、為半徑的圓)

3.求w=z2在z=i處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角，問(wèn)w=z2將經(jīng)過(guò)點(diǎn)z=i且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線方向映成w平面上哪一個(gè)方向？并作圖.解：因?yàn)?2z,所以(i)=2i,||=2,旋轉(zhuǎn)角arg=.于是,經(jīng)過(guò)點(diǎn)i且平行實(shí)軸正向的向量映成w平面上過(guò)點(diǎn)-1，且方向垂直向上的向量.如圖所示.→

4.一個(gè)解析函數(shù)，所構(gòu)成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性？映射w=z2在z平面上每一點(diǎn)都具有這個(gè)性質(zhì)嗎？

答：一個(gè)解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在導(dǎo)數(shù)不為零的條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)不變性映射w=z2在z=0處導(dǎo)數(shù)為零，所以在z=0處不具備這個(gè)性質(zhì).5.求將區(qū)域0

因?yàn)?即,由代入上式，得.因此

令，得

其中a為復(fù)數(shù).反之也成立，故所求分式線性映射為，a為復(fù)數(shù).7.若分式線性映射，將圓周|z|=1映射成直線則其余數(shù)應(yīng)滿足什么條件？

解：若將圓周|z|=1映成直線，則映成.而落在單位圓周|z|=1,所以,|c|=|d|.故系數(shù)應(yīng)滿足ad-bc0,且|c|=|d|.8.試確定映射，作用下，下列集合的像.(1)

;

(2)

|z|=2;

(3)

Im(z)>0.解：(1)

Re(z)=0是虛軸，即z=iy代入得.寫成參數(shù)方程為，,.消去y得，像曲線方程為單位圓,即

u2+v2=1.(2)

|z|=2.是一圓圍，令.代入得化為參數(shù)方程.消去得，像曲線方程為一阿波羅斯圓.即

(3)

當(dāng)Im(z)>0時(shí)，即,令w=u+iv得

.即v>0,故Im(z)>0的像為Im(w)>0.9.求出一個(gè)將右半平面Re(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.解：設(shè)映射將右半平面z0映射成w=0，則z0關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的像為，所以所求分式線性變換形式為其中k為常數(shù).又因?yàn)?而虛軸上的點(diǎn)z對(duì)應(yīng)|w|=1,不妨設(shè)z=0，則

故.10.映射將映射成,實(shí)數(shù)的幾何意義顯什么？

解：因?yàn)?/p>

從而

所以

故表示在單位圓內(nèi)處的旋轉(zhuǎn)角.11.求將上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1單位圓的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件

(1)

f(i)=0,=0;

(2)

f(1)=1,f(i)=

.解：將上半平面Im(z)>0,映為單位圓|w|<1的一般分式線性映射為w=k(Im()>0).(1)

由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以

.(2)

由f(1)=1,得k=；由f(i)=,得k=聯(lián)立解得

.12.求將|z|<1映射成|w|<1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件：

(1)

f()=0,f(-1)=1.(2)

f()=0，(3)

f(a)=a,.解：將單位圓|z|<1映成單位圓|w|<1的分式線性映射，為,||<1.(1)

由f()=0，知.又由f(-1)=1，知

.故.(2)

由f()=0，知，又，于是

.(3)

先求，使z=a，,且|z|<1映成||<1.則可知

再求w=g()，使=0w=a，且||<1映成|w|<1.先求其反函數(shù),它使|w|<1映為||<1,w=a映為=0，且,則

.因此，所求w由等式給出..13.求將頂點(diǎn)在0，1，i的三角形式的內(nèi)部映射為頂點(diǎn)依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得

∶=∶

.=..14.求出將圓環(huán)域2<|z|<5映射為圓環(huán)域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式線性映射.解：因?yàn)閦=5,-5,-2,2映為w=-4,4,10,-10,由交比不變性，有

∶=∶

故w=f(z)應(yīng)為

∶=∶

即

=.討論求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)將|z|=2映為|w|=10，且將z=5映為w=-4.所以|z|>2映為|w|<10.又w=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=-10，所以將|z|<5映為|w|>4，由此確認(rèn)，此函數(shù)合乎要求.15.映射將z平面上的曲線映射到w平面上的什么曲線？

解：略.16.映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1)

直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2;

(2)

帶形區(qū)域;

(3)

半帶形區(qū)域

.解：（1）

令z=x+iy,Re(z)=C1,z=C1+iy,Im(z)=C2,則

z=x+iC2

故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2）

令z=x+iy，,則

故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3）

令z=x+iy，x>0，0

故將半帶形區(qū)域Re(z)>0,0

|w|>1,().17.求將單位圓的外部|z|>1保形映射為全平面除去線段-11映為|w1|<1,再用分式線性映射.將|w1|<1映為上半平面Im(w2)>0,然后用冪函數(shù)映為有割痕為正實(shí)軸的全平面，最后用分式線性映射將區(qū)域映為有割痕[-1,1]的全平面.故.18.求出將割去負(fù)實(shí)軸,Im(z)=0的帶形區(qū)域映射為半帶形區(qū)域,Re(w)>0的映射.解：用將區(qū)域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)>0；再用將半平面映為有割痕(-,-1]的單位圓外域；又用將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)部的上半平面；再用將區(qū)域映為半帶形00；最后用映為所求區(qū)域，故

.19.求將Im(z)<1去掉單位圓|z|<1保形映射為上半平面Im(w)>0的映射.解：略.20.映射將半帶形區(qū)域00保形映射為平面上的什么區(qū)域.解：

因?yàn)?/p>

可以分解為

w1=iz，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以

（1）

w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0

將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|<1,Im(w2)>0.（3）

將區(qū)域映為下半平面Im(w)<0.習(xí)題

七

1.證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，則有

其中

當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，則有

其中

證明：

因?yàn)槠渲袨閒(t)的傅里葉變換

當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，從而

為偶函數(shù)，從而

故

有

為奇數(shù)。

=

所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，有

同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，有

.其中

2.在上一題中，設(shè).計(jì)算的值.解:

3.計(jì)算函數(shù).解:

4.求下列函數(shù)的傅里葉變換

解：

(2)

解：因?yàn)?/p>

所以根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得

(3)

解：

(4)

解:

令，則在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.(5)

解:

同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令

則

.5.設(shè)函數(shù)F(t)是解析函數(shù)，而且在帶形區(qū)域內(nèi)有界.定義函數(shù)為

證明當(dāng)時(shí)，有

對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.(書上有推理過(guò)程)

6.求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換.解:

因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出

故：

7.已知函數(shù)的傅里葉變換求

解:

8.設(shè)函數(shù)f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù).證明

F

當(dāng)a>0時(shí),令u=at.則

當(dāng)a<0時(shí),令u=at,則.故原命題成立.9.設(shè)證明

.證明：

10.設(shè)，證明：

以及

證明：

同理：

11.設(shè)

計(jì)算.解：

當(dāng)時(shí)，若則故

=0.若則

若

則

故

12.設(shè)為單位階躍函數(shù)，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習(xí)題八

1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)，(2)，(3)

(4)，(5)

解:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.（1）

(2)

解:

(1)

(2)

3.設(shè)函數(shù),其中函數(shù)為階躍函數(shù),求的拉普拉斯變換.解:

4.求圖8.5所表示的周期函數(shù)的拉普拉斯變換

解：

5.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)

(2)

(3)(4)

(5

(6

(7)

(8)

解:(1)

(2)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

6.記，對(duì)常數(shù)，若，證明

證明:

記，證明:

證明：當(dāng)n=1時(shí),所以，當(dāng)n=1時(shí),顯然成立。

假設(shè)，當(dāng)n=k-1時(shí),有

現(xiàn)證當(dāng)n=k時(shí)

8.記，如果a為常數(shù),證明:

證明：設(shè)，由定義

9.記，證明:,即

證明：

10.計(jì)算下列函數(shù)的卷積

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6

解：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

11.設(shè)函數(shù)f,g,h均滿足當(dāng)t<0時(shí)恒為零，證明

以及

證明：

12.利用卷積定理證明

證明：設(shè)，則，則，所以

13.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6

解：(1)

(2)

(3

故

(4)

因?yàn)?/p>

所以

(5)

其中

所以

(6)

所以

14.利用卷積定理證明

證明：

又因?yàn)?/p>

所以，根據(jù)卷積定理

15.利用卷積定理證明

證明：

因?yàn)?/p>

所以，根據(jù)卷積定理有

16.求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1)

(2)

(3)

(4)

解:(1)

故

(2)：

(3)

故

(4)

故

且

所以

17.求下列微分方程的解

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解:

(1)設(shè)

方程兩邊取拉氏變換,得

為Y(s)的三個(gè)一級(jí)極點(diǎn),則

(2)

方程兩邊同時(shí)取拉氏變換,得

(3)方程兩邊取拉氏變換,得

因?yàn)橛衫献儞Q的微分性質(zhì)知，若L[f(t)]=F(s),則

即

因?yàn)?/p>

所以

故有

(4)方程兩邊取拉氏變換,設(shè)L[y(t)]=Y(s),得

故

(5)設(shè)L[y(t)]=Y(s),則

方程兩邊取拉氏變換，得

故

18.求下列微分方程組的解

(1)

(2)

解:(1)

設(shè)

微分方程組兩式的兩邊同時(shí)取拉氏變換,得

得

(2)代入(1)，得

(3)代入(1)，得

(2)設(shè)

方程兩邊取拉氏變換,得

(3)代入(1)：

所以

故

19.求下列方程的解

(1)

(2)

解：(1)設(shè)L[x(t)]=X(s),方程兩邊取拉氏變換,得

(2)設(shè)L[y(t)]=Y(s),方程兩邊取拉氏變換,得