第一篇：復變函數與電子信息工程

復變函數與電子信息工程

我是這個學期才接觸到復變函數與積分變換這門課，要很詳細的說出復變函數與電子信息工程這個專業的關系與作用確實很有難度的，但我喜歡做的就是高難度的事情。下面我拋磚引玉介紹復變函數與電子信息工程的關系與作用.歡迎老師和師兄師姐指教

我前幾周咨詢了老師還有師兄，大家都說到我們通信工程這個專業接下來要學到《數字信號處理》和《信號與系統》等都要用到它，我們現在學的復變函數就是為我們接下來的專業課程做準備。學好了復變函數能解決很多你看似無法解決的問題。在咨詢期間有位師兄語重心長說了以下這段話：“這你學習復變函數的時候感覺沒什么用，但是到后面你就會知道她是很有用的，他可以幫你把一些很復雜甚至無法解決的問題利用積分變換或者傅里葉變換轉換成很簡單的問題，也可以利用傅里葉逆變換得到問題的初衷，例如在自動控制中就很有用，很多信號的處理都要用到傅里葉變換來轉換，從而簡單地改變輸入信號，控制整個過程的穩定性”。從中我們可以多少了解到復變函數與我們的電子信息工程這個專業的學習是有關系，復變函數是通信信號處理的數學基礎，我們應該重視起來，不能只為了應付考試來讀這門課程。

說了復變函數對我們電子信息工程這個專業學習的重要性，還沒有具體介紹復變函數對我們的專業的作用。要說作用就繞不開我們這個專業是干什么的，做什么的。我們專業是電子信息工程是一門應用計算機等現代化技術進行電子信息控制和信息處理的學科，主要研究信息的獲取與處理，電子設備與信息系統的設計、開發、應用和集成。現在，電子信息工程已經涵蓋了社會的諸多方面，像電話交換局里怎么處理各種電話信號，手機是怎樣傳遞我們的聲音甚至圖像的，我們周圍的網絡怎樣傳遞數據，甚至信息化時代軍隊的信息傳遞中如何保密等都要涉及電子信息工程的應用技術。我們可以通過一些基礎知識的學習認識這些東西，并能夠應用更先進的技術進行新產品的研究和 電子信息工程專業是集現代電子技術、信息技術、通信技術于一體的專業。

我們這個專業培養掌握現代電子技術理論、通曉電子系統設計原理與設計方法，具有較強的計算機、外語和相應工程技術應用能力，面向電子技術、自動控制和智能控制、計算機與網絡技術等電子、信息、通信領域的寬口徑、高素質、德智體全面發展的具有創新能力的高級工程技術人才開發。電子信息工程專業主要是學習基本電路知識，并掌握用計算機等處理信息的方法。首先要有扎實的數學知識，對物理學的要求也很高，并且主要是電學方面；要學習許多電路知識、電子技術、信號與系統、計算機控制原理、通信原理等基本課程。學習電子信息工程自己還要動手設計、連接一些電路并結合計算機進行實驗，對動手操作和使用工具的要求也是比較高的。譬如自己連接傳感器的電路，用計算機設置小的通信系統，還會參觀一些大公司的電子和信息處理設備，理解手機信號、有線電視

是如何傳輸的等，并能有機會在老師指導下參與大的工程設計。學習電子信息工程，要喜歡鉆研思考，善于開動腦筋發現問題。

在通信原理的課程中，有多處要用到信息論的結論或定理。信息論已成為設計通信系統與進行通信技術研究的指南，尤其是它能告訴工程師們關于通信系統的性能極限。信道中存在噪聲。在通信過程中噪聲與干擾是無法避免的。隨著對噪聲與干擾的研究產生了隨機過程理論。對信號的分析實際上就是對隨機過程的分析。

在通信工程領域，編碼是一種技術，是要能用硬件或軟件實現的。在數學上可以存在很多碼，可以映射到不同空間，但只有在通信系統中能生成和識別的碼才能應用。編碼理論與通信結合形成了兩個方向：信源編碼與信道編碼。

調制理論可劃分為線性調制與非線性調制，它們的區別在于線性調制不改變調制信號的頻譜結構，非線性調制要改變調制信號的頻譜結構，并且往往占有更寬的頻帶，因而非線性調制通常比線性調制有更好的抗噪聲性能。

接收端將調制信號與載波信號分開，還原調制信號的過程稱之為解調或檢測。作為通信原理課程，還包含系統方面的內容，主要有同步和信道復用。在數字通信系統中，只有接收信號與發送信號同步或者信號間建立相同的時間關系，接收端才能解調和識別信號。信道復用是為了提高通信效率，是安排很多信號同時通過同一信道的一種約定或者規范，使得多個用戶的話音、圖像等消息能同時通過同一電纜或者其他信道傳輸。

在通信原理之上是專業課程，可以進一步講述通信系統的設計或深化某一方面的理論或技術。要設計制造通信系統，了解原理是必要的，但只知道原理是不夠的，還必須熟悉硬件（電路、微波）與軟件（系統軟件與嵌入式軟件），這是專業課程計劃中的另一分支的課程體系結構。

通信原理課程的教學從內容上主要分為模擬通信和數字通信兩部分。重點是數字通信的調制、編碼、同步等內容。（以上為引用內容）

看了我們這個專業要培養的大學生要具備的能力之后，我們應該初步了解了我們以后要與信號打交道，那我們在信號處理中，分析設計濾波器等是會用到。某些時候在信號處理，圖像處理時都會用到。我們的專業是通信工程，信號處理都要用到復變函數和積分變換里的知識，那這門功課是起到承上啟下的作用。為我們接下來的課程做準備的。了解數學史的人都知道：有關振動和波形的學科，特別是信號這個領域的長足發展是在傅里葉變換這個理論之后。我們在處理信號或圖像肯定就繞不開我們學的傅里葉變換和拉普拉斯變換。所以說復變函數是我們學習接下來的專業課程的基礎，我們處理信號要用到它，我們做頻譜分析要用到它等等，我就不一一來列舉啦！

復變函數對電子信息工程的學生來說是很重要的。它是我們分析，處理信號的必備工具。從我個人來說，學習了復變函數后看某些問題的角度都有不同還有就是通過上課了解了很多數學文化，也很感謝老師能為我們介紹數學文化。這是一門很好的課程！

第二篇：復變函數總結

第一章

復數

=-1

歐拉公式

z=x+iy

實部Re

z

虛部

Im

z

2運算

①

②

③

④

⑤

共軛復數

共軛技巧

運算律

P1頁

3代數，幾何表示

z與平面點一一對應，與向量一一對應

輻角

當z≠0時，向量z和x軸正向之間的夾角θ，記作θ=Arg

z=

k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg

z輻角主值

記作=

4如何尋找arg

z

例：z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1

π

極坐標：，利用歐拉公式

可得到

高次冪及n次方

凡是滿足方程的ω值稱為z的n次方根，記作

即

第二章解析函數

1極限

2函數極限

①

復變函數

對于任一都有

與其對應

注：與實際情況相比，定義域，值域變化

例

②

稱當時以A為極限

☆

當時，連續

例1

證明在每一點都連續

證：

所以在每一點都連續

3導數

例2

時有

證：對有

所以

例3證明不可導

解：令

當時，不存在，所以不可導。

定理：在處可導u，v在處可微，且滿足C-R條件

且

例4證明不可導

解：

其中

u,v

關于x,y可微

不滿足C-R條件

所以在每一點都不可導

例5

解：

不滿足C-R條件

所以在每一點都不可導

例6：

解：

其中

根據C-R條件可得

所以該函數在處可導

4解析

若在的一個鄰域內都可導，此時稱在處解析。

用C-R條件必須明確u,v

四則運算

☆

例：證明

解：

則

任一點處滿足C-R條件

所以處處解析

練習：求下列函數的導數

解:

所以

根據C-R方程可得

所以當時存在導數且導數為0，其它點不存在導數。

初等函數

Ⅰ常數

Ⅱ指數函數

①

定義域

②

③

④

Ⅲ對數函數

稱滿足的叫做的對數函數，記作

分類：類比的求法（經驗）

目標：尋找

幅角主值

可用：

過程：

所以

例：求的值

Ⅳ冪函數

對于任意復數，當時

例1：求的值

解：

例2：求

Ⅴ三角函數

定義：對于任意復數，由關系式可得的余弦函數和正弦函數

例：求

解：

第三章復變函數的積分

1復積分

定理3.1

設C是復平面上的逐段光滑曲線在C上連續，則在C上可積，且有

注：①C是線

②方式跟一元一樣

方法一：思路：復數→實化

把函數與微分相乘，可得

方法二：參數方程法

☆核心：把C參數

C：

例：

求

①C：0→的直線段②；

解：①C：

②

★

結果不一樣

2柯西積分定理

例：

C：以a為圓心，ρ為半徑的圓，方向：逆時針

解：C：

☆

積分與路徑無關：①單聯通

②處處解析

例：求，其中C是連接O到點的擺線：

解：已知，直線段L與C構成一條閉曲線。因在全平面上解析，則

即

把函數沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于

故

★關鍵：①恰當參數

②合適準確帶入z

3不定積分

定義3.2

設函數在區域D內連續，若D內的一個函數滿足條件

定理3.7

若可用上式，則

例：

計算

解：

練習：計算

解：

4柯西積分公式

定理

處處解析在簡單閉曲線C所圍成的區域內則

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：①C：

②

一次分式

③找到

在D內處處解析

例4：

解：5

解析函數的高階導數

公式：

n=1，2……

應用要點：①

②

③精準分離

例：

調和函數

若滿足則稱叫做D內的調和函數

若在D內解析

所以

把稱為共軛調和函數

第四章

級數理論

1復數到

距離

談極限

對若有使得

此時

為的極限點

記作

或

推廣：對一個度量空間都可談極限

極限的性質

級數問題

部分和數列

若

則收斂，反之則發散。

性質：1若

都收斂，則收斂

2若一個收斂，一個發散，可推出發散

若

絕對收斂

若

但收斂，為條件收斂

等比級數

：

時收斂，其他發散

冪級數

則

求收斂域

例：求的收斂半徑及收斂圓

解：因為

所以級數的收斂半徑為R=1，收斂圓為

泰勒級數

泰勒定理：設函數在圓K：內解析，則在K內可以展成冪級數

其中，（n=0,1,2……），且展式還是唯一的。

例

1：求在處的泰勒展式

解

：在全平面上解析，所以在處的泰勒展式為

例2：

將函數展成的冪級數

解：

羅朗級數

羅朗定理

若函數在圓環D：內解析，則當時，有

其中

例：將函數在圓環（1）

（2）

內展成羅朗級數。

解：（1）在內，由于，所以

（2）在內，由于，所以

孤立奇點

定義：若函數在的去心鄰域內解析，在點不解析，則稱為的孤立奇點。

例

：

為可去奇點

為一級極點

為本性奇點

第5章

留數理論（殘數）

定義：

設函數以有限項點為孤立奇點，即在的去心鄰域內解析，則稱積分的值為函數在點處的留數

記作：

其中，C的方向是逆時針。

例1：求函數在處的留數。

解：因為以為一級零點，而，因此以為一級極點。

例2：求函數在處的留數

解：是的本性奇點，因為

所以

可得

第7章

傅里葉變換

通過一種途徑使復雜問題簡單化，以便于研究。

定義：對滿足某些條件的函數

在上有定義，則稱

為傅里葉變換。

同時

為傅里葉逆變換

注：①傅里葉變換是把函數變為函數

②傅里葉逆變換是把函數變為函數

③求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關鍵是計算積分

④兩種常見的積分方法：湊微分、分部積分

復習積分：①

②

③

④

⑤

注：

例1：求的解：

例2：求的解：

-函數

定義：如果對于任意一個在區間上連續的函數，恒有，則稱為-函數。

例1：求-函數的解：

例2：求正弦函數的傅氏變換

解：

☆

第8章

拉普拉斯變換

設在時有定義

第三篇：復變函數小結

復變函數小結 第一章 復變函數

1)掌握復數的定義(引入),知道復數的幾何意義(即復數可看成復數平面的一個點也可以表示為復數平面上的向量)2)掌握 復數的直角坐標表示與三角表示式及指數表示式的關系.3)掌握復數的幾種運算:(1)相等;(2)加法;(3)減法;(4)乘法;(5)除法;(6)開方;(7)共軛.需要注意的是開方 : 開n次有n個根.例題

nz1?n?1ei??0?2?k??n?1ei??0?2?k?n,?k?0,1,2,?n?1?

4)掌握復變函數的定義,知道復變函數的極限與連續的定義.5)熟悉幾個常用的基本初等函數及性質:(1)多項式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指數;(5)三角函數.6)掌握復變函數導數的定義, 因復變函數導數的定義在形式上跟實變函數的導數定義一樣,故實變函數中關于導數的規則和公式在復變函數情況仍適用.7)復變函數可導的充要條件是:(1)函數f(z)的實部u 與虛部的偏導數存在,且連續.?u?u?v?v，,?x?y?x?y(2)滿足 C-R條件

?u?v?u?v?,??.?x?y?y?x8)知道復變函數解析的定義,復變函數解析,可導及連續的關系.9)解析函數的性質:

(1)若f(z)在區域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v的等值(勢)線互相正交.(2)若f(z)在區域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v均為調和函數.(3)若f(z)在區域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v 不是獨立的,可由己知解析函數的實部u(或v)求出解析函數f(z).具體求法有3種

:1.直接積分法;2.湊全微分法;3.路徑積分法.10)解析函數性質的應用:

平面標量場.11)知道復變函數中多值性的起源在于幅角,只需對幅角作限定(一般限定在主值范圍,且一般把幅角作限定的復變平面稱為黎曼面.),多值函數就退化為單值函數.第二章 復變函數的積分

1)知道復變函數積分的定義,以及它與實變函數的路徑的關系.2)掌握單連通區域與復連通區域上Cauchy定理及數學表示式:?f?z?dz?0(1)其中l為區域的所有邊界線.l

對單連通區域(1)可表示為

?lf?z?dzn?0,(2)對復連通區域(1)也可表示為:

?f?z?dz???f?z?dzli?1ci(3)其中l為區域的外邊界線,ci為區域的內邊界線.(3)式反映對復連通區域的解析函數沿外邊界的積分值與沿內邊界積分的關系.作為(3)式一個特例: 包含一個奇點的任意一個閉合曲線積分值相同,它為求積分帶來方便.n??z?adz?l?0,?n??1?一個重要的積分公式: ?z?a?ndz?2?i,?n??1?

?l其中l 包含a 點.Cauchy定理為本章的重點.3)解析函數的不定積分.f?z??f'12?i12?i?llf???d???z?z),4)Cauchy公式

?z???z???(?lf???d?2, ,fnn!2?i?(?f???d??z)n?1若對復連通區域 l 為區域的所有邊界線.第三章 冪級數

1)了解一般的復數項級數,知道級數收斂的Cauchy判據,絕對收斂與一致收斂的概念,掌握外氏定理及運用.2)掌握冪級數的一般形式,收斂半徑的計算(R?limn??anan?1)，知道冪級數在收斂圓內絕對且一致收斂，能逐項求導與積分.3)掌握解析函數在單連通區域的Taylor 展開式: ?f?z???a?z?z?k0k?0k,ak?fk?z0?k!

知道Taylor 展開式是唯一的,即同一個函數在同一區域的展開式不管用什么方法得出其結果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展開式: 例?1?ez,?2?cosz,sinz,?3?11?z,?4?ln?1?z?

知道函數在無窮運點的展開式.4)掌握解析函數在復連通區域的洛朗 展開式: f?z???a?z?kk????z0?,其中akk??2?i??c1f???d??z0?k?1，c為環域內任一沿逆時針方向的閉合曲線.知道洛朗 展開式是唯一的,即同一個函數在同一環域的展開式不管用什么方法得出其結果是相同的.所以對洛朗展開可利用熟悉的一些基本Taylor展開式來處理,例如對有理分式總可以把它分解為一系列最簡單的有理分式（1z?z0)之和, 而對1z?z0能用等比級數來展開(關鍵是滿足公比的絕對值小11?z?于1).并與

??k?0z,z?1 比較.知道在什么情況下洛

k朗展開就退化為Taylor展開.5)掌握孤立奇點的分類方法:(1)可去奇點:設z0是f(z)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中沒有負冪項,就稱z0是f(z)的可去奇點.性質limf?z??a

a為常數.z?z0(2)m階極點: 設z0是f(z)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有有限項負冪項,其負冪項的最高冪為m,就稱z0是f(z)的m階極點.性質limf?z??z?z0?.(4)本性奇點: 設z0是f(z)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有無窮多項負冪項,就稱z0是f(z)的本性奇點.性質limf?z?不存在z?z0

知道函數在無窮運點奇點的分類.第四章 留數定理

1)掌握留數定理及其計算

?f?z?dzl?2?i?Resf?zi?,其中zi為l內的奇點i?1n 2)掌握留數計算的兩種方法

(1)洛朗展開 : 設z0是f(z)的奇點當f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中的負一次冪的系數a-1=Resf(z0).任何情況都適合.(2)對m階極點Resf?z0??lim?mz?z01dn?1n?1?1?!dz??z?z0?f?z??,作為一個特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),當f(z)為一階極點, P?z0??0,Q?z0??0,Resf?z0??? 'Q?z0?P?z0主要處理有理分式中分母為單根情況.3)應用留數定理計算實變函數定積分 ?類型一

2??0?z?z?1z?z?1R?cos?,sin??d???R?,?22i?z?1?dz??iz?2?i?Resf?zi?,?1???1??iz?zi為f?z?在單單位圓的奇點?z?z?1z?z?1,f?z??R?,?22i?

?1)被積函數為三角函數的有理分式.2)積分區域為[0,2π] 作變換z=eiθ,當θ從變到2π時,復變數z恰好在單位圓上走一圈.類型二

積分條件: 1)積分區域為(-∞,∞)

2)f(z)在實軸有一價極點bk,且在上半平面除有限個奇點ak外是解析的，3)當z→∞時,zf(z)→0 ??f?x?dx???2?i?Resf?ak???i?Resf?bk?.(2)

k?1k?1mp

?類型三

(m>0)???f?x?eimxdx,令F?z??f?z?eimz

積分條件: 1)積分區域為(-∞,∞)

2)f(z)在實軸有一價極點bk,且在上半平面除有限個奇點ak外是解析的，3)當z→∞時,f(z)→0, ??f?x?e???imxdx?2?i?ResF?ak???i?ResF?bk?k?1k?1mp

(3)當f(x)為奇函數時(3)為?f?x?sin0mxdx??[?ResF?ak??k?1?m1pRe?2k?1?sF?bk?]當f??x?為偶函數時,???mf?x?eimxdx?2?f?x?cosmxdx,0

?f?x?cosmxdx0??i[?ResF?ak??k?11pRe?2k?1sF?bk?]

第四篇：大學復變函數課件-復變函數

第二章

復變函數

第一節

解析函數的概念及C.-R.方程

1、導數、解析函數

定義2.1：設是在區域內確定的單值函數，并且。如果極限

存在，為復數，則稱在處可導或可微，極限稱為在處的導數，記作，或。

定義2.2：如果在及的某個鄰域內處處可導，則稱在處解析；如果在區域內處處解析，則我們稱在內解析，也稱是的解析函數。解析函數的導（函）數一般記為或。

注解1、語言，如果任給，可以找到一個與有關的正數，使得當，并且時，則稱在處可導。

注解2、解析性與連續性：在一個點的可導的函數必然是這個點的連續函數；反之不一定成立；

注解3、解析性與可導性：在一個點的可導性是一個局部概念，而解析性是一個整體概念；

注解4、函數在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內解析，因此在此點可導；反之，在一個點的可導性不能得到在這個點解析。

解析函數的四則運算：

和在區域內解析，那么，（分母不為零）也在區域內解析，并且有下面的導數的四則運算法則：。

復合求導法則：設在平面上的區域內解析，在平面上的區域內解析，而且當時，那么復合函數在內解析，并且有

求導的例子：

（1）、如果（常數），那么；

（2）、，；

（3）、的任何多項式

在整個復平面解析，并且有

（4）、在復平面上，任何有理函數，除去使分母為零的點外是解析的，它的導數的求法與是實變量時相同。

2、柯西-黎曼條件

可微復變函數的實部與虛部滿足下面的定理：

定理2.1

設函數在區域內確定，那么在點可微的充要條件是：

1、實部和虛部在處可微；

2、和滿足柯西-黎曼條件（簡稱方程）

證明：（必要性）設在有導數，根據導數的定義，當時

其中。比較上式的實部與虛部，得

因此，由實變二元函數的可微性定義知，在點可微，并且有

因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）設，在點可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

設則由可微性的定義，有：

令，當（）時，有

令，則有

所以，在點可微的。

定理2.2

設函數在區域內確定，那么在區域內解析的充要條件是：

1、實部和虛部在內可微；

2、)和在內滿足柯西-黎曼條件（簡稱方程）

關于柯西-黎曼條件，有下面的注解：

注解1、解析函數的實部與虛部不是完全獨立的，它們是方程的一組解，它們是在研究流體力學時得到的；

注解2、解析函數的導數形式更簡潔：

公式可避免利用定義計算帶來的困難。

注解3、利用兩個定理，可以判斷一個復變函數是否在一點可微或在一個區域內解析。

3、例題

例1

證明在任何點都不可微。

解，四個偏導數在復平面內連續，但任何點都不滿足方程，故在任何點都不可微。

例2

試討論定義于復平面內的函數的可導性。

解：

四個偏導數在復平面內連續，且在復平面內滿足方程，故在復平面內處處可導。

例3

設函數在復平面可導，試確定常數之值。

解

由方程

得

（1）

（2）

由（1）

得

（3）

由（2）

得

（4）

（5）

解（3），（4），（5）得。

第二節

初等解析函數

1、冪函數

利用對數函數，可以定義冪函數：設是任何復數，則定義的次冪函數為

當為正實數，且時，還規定。

由于

因此，對同一個的不同數值的個數等于不同數值的因子

個數。

2、冪函數的基本性質：

1、由于對數函數的多值性，冪函數一般是一個多值函數；

2、當是正整數時，冪函數是一個單值函數；

3、當（當是正整數）時，冪函數是一個值函數；

4、當是有理數時，冪函數是一個值函數；

5、當是無理數或虛數時，冪函數是一個無窮值多值函數。

設在區域內，我們可以把分成無窮個解析分支。對于的一個解析分支，相應地有一個單值連續分支。根據復合函數求導法則，的這個單值連續分支在內解析，并且,其中應當理解為對它求導數的那個分支，應當理解為對數函數相應的分支。

對應于在內任一解析分支：當是整數時，在內是同一解析函數；當時，在G內有個解析分支；當是無理數或虛數時，冪函數在內有無窮多個解析分支，是一個無窮值多值函數。

例如當是大于1的整數時，稱為根式函數，它是的反函數。當時，有

這是一個值函數。在復平面上以負實軸（包括0）為割線而得得區域內，它有個不同的解析分支：

它們也可以記作，這些分支在負實軸的上沿與下沿所取的值，與相應的連續分支在該處所取的值一致。

當不是整數時，原點及無窮遠點是的支點。但按照a是有理數或者不是有理數，這兩個支點具有完全不同的性質。

為了理解這些結論，我們在0或無窮遠點的充分小的鄰域內，任作一條簡單閉曲線圍繞0或無窮遠點。在上任取一點，確定在的一個值；相應地確定,在的一個值。現在考慮下列兩種情況：

(1)

是有理數，當一點從出發按反時針或順時針方向連續變動周時，從連續變動到，而則從相應地連續變動到,也即第一次回到了它從出發時的值。這時，我們稱原點和無窮遠點是的階支點，也稱為階代數支點。

（2）不是有理數時，容易驗證原點和無窮遠點是的無窮階支點。

當不是整數時，由于原點和無窮遠點是的支點，所以任取連接這兩個支點的一條簡單連續曲線作為割線，得一個區域。在內，可以把分解成解析分支。

關于冪函數當為正實數時的映射性質，有下面的結論：

設是一個實數，并且。在平面上取正實數軸（包括原點）作為割線，得到一個區域。考慮內的角形，并取在內的一個解析分支

當描出內的一條射線時（不包括0），在平面描出一條射線。讓從0增加到（不包括0及），那么射線掃過角形，而相應的射線掃過角形，因此把夾角為的角形雙射成一個夾角為的角形，同時，這個函數把中以原點為心的圓弧映射成中以原點為心的圓弧。

類似地，我們有，當是正整數時，的個分支

分別把區域雙射成平面的個角形

.3、例題

例1、作出一個含的區域，使得函數

在這個區域內可以分解成解析分支；求一個分支在點的值。

解：由于

我們先求函數的支點。因為的支點是0及無窮遠點，所以函數可能的支點是0、1、2及無窮遠點。任作一條簡單連續閉曲線，使其不經過0、1、2，并使其內區域含0，但不包含1及2。設是上一點，我們確定、及在這點的值分別為

。當從按反時針方向沿連續變動一周時，通過連續變動可以看到，增加了，而

沒有變化，于是在的值就從

連續變動到

因此0是函數的一個支點；

同時，任作一條簡單連續閉曲線，使其不經過0、1、2，并使其內區域含1，但不包含0及2。設是上一點，我們確定、及在這點的值分別為

。當從按反時針方向沿連續變動一周時，通過連續變動可以看到，增加了，而沒有變化，于是在的值就從

連續變動到

因此1也是函數的一個支點；

同理，2和無窮遠點也是它的支點。

支點確定后，我們作區域，把函數分解成單值解析分支。

首先，在復平面內作一條連接0、1、2及無窮遠點的任意無界簡單連續曲線作為割線，在所得區域內，可以把分解成連續分支。例如可取作為復平面上這樣的割線，得區域。

其次，任作作一條簡單連續閉曲線，使其不經過0、1、2，并使其內區域包含這三個點中的兩個，但不包含另外一點。設是上一點，確定在的一個值，同樣的討論，有當從沿連續變化一周回到時，連續變化而得的值沒有變化。

所以，我們可以作為割線如下，取線段及從2出發且不與

相交的射線為割線，也可以把分解成連續分支。例如取在所得區域內，可以把w分解成連續分支。例如可取及作為復平面上的割線，得區域。

求在上述區域中的一個解析分支

在的值。

在，取

于是在或內，可以分解成兩個解析分支

由于所求的分支在的值為，可見這個分支是

由下圖可以得到，在或內處，因此的所求分支在的值是

.例2、驗證函數在區域內可以分解成解析分支；求出這個函數在上沿取正實值的一個分支在處的值及函數在下沿的值。

證明：我們有

則0及1是的三階支點，而無窮遠點不是它的支點。

事實上，任作一條簡單連續閉曲線，使其內區域包含0、1，設是上一點，確定在的一個值，當從沿連續變化一周回到時，連續變化而得的值沒有變化。

因此，在區域內，可以把分解成解析分支。現在選取在上沿取正實值的那一支，即在上沿，其中，根號表示算術根。求這一支在的值。

在上沿，取。于是所求的一支為

其中，根號表示算術根。求這一支在的在內處

于是的指定的一支在處的值是

.最后，考慮上述單值分支在下沿取值的情況。在區域內，當沿右邊的曲線，從上沿變動到下沿時，沒有變化，而減少了，于是在的下沿，有

當沿左邊的曲線，從上沿變動到下沿時，增加了，而

沒有變化，于是在的下沿，有

因此，無論怎樣，當在的下沿時，上述單值分支的值是

.注解1：

對具有多個有限支點的多值函數，不便采取限制輻角范圍的辦法，而是首先求出該函數的一切支點，然后適當聯結支點以割破復平面，于是，在復平面上以此割線為邊界的區域內就能分出該函數的單值解析分支。因為在內變點不能穿過支割線，也就不能單獨繞任一支點轉一整周，函數就不可能在內同一點取不同的值了。

注解2：

解例1，例2這類題的要點，就是作圖觀察，當動點z沿路線（在內，且不穿過支割線）從起點到終點時，各因子輻角的連續改變量：，即觀察向量的輻角的連續改變量。由此可計算。

第五篇：復變函數教案1.1

第一章

復數與復變函數

教學課題：第一節 復數

教學目的：

1、復習、了解中學所學復數的知識；

2、理解所補充的新理論；

3、熟練掌握復數的運算并能靈活運用。

教學重點：復數的輻角 教學難點：輻角的計算 教學方法：啟發式教學

教學手段：多媒體與板書相結合 教材分析：復變函數這門學科的一切討論都是在復數范圍內進行的，它是學好本們課程的基礎。因此，復習、了解中學所學復數的知識，理解所補充的新理論，熟練掌握復數的運算并能靈活運用顯得尤為重要。教學過程：

1、復數域：

每個復數z具有x?iy的形狀，其中別稱為

x和y?R，i??1是虛數單位；

x和y分z的實部和虛部，分別記作x?Rez，y?Imz。

復數z1?x1?iy1和z2?x2?iy2相等是指它們的實部與虛部分別相等。

z可以看成一個實數；如果Imz?0，那么z稱為一個虛數；如果Imz?0，而Rez?0，則稱z為一個純虛數。如果Imz?0，則復數的四則運算定義為：

(a1?ib1)?(a2?ib2)?(a1?a2)?i(b1?b2)(a1?ib1)(a2?ib2)?(a1a2?b1b2)?i(a1b2?a2b1)

(a1?ib1)a1a2?b1b2a2b1?a1b2)?2?i 222(a2?ib2)a2?b2a2?b2復數在四則運算這個代數結構下，構成一個復數域，記為C。

2、復平面：

C也可以看成平面R，我們稱為復平面。

2作映射：C?R2:z?x?iy?(x,y)，則在復數集與平面R2之建立了一個1-1對應。橫坐標軸稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復平面一般稱為z-平面，w-平面等。

3、復數的模和輻角

復數可以等同于平面中的向量，z(x,y)?x?iy。

x2?y2向量的長度稱為復數的模，定義為：|z|?；

向量與正實軸之間的夾角稱為復數的輻角，定義為：Argz?arctany?2?i（k?Zx）。

tan??y,??Argz我們知道人亦非零復數有無限多個輻角，今以xargz表示其中的一個特定值，并稱合條件

???argz??的一個為主值，或稱之為z的主輻角。于是，??Argz?argz?2k?,(k?0,?1,?2,?)。注意，當z=0時輻角無異議。當z?0時argz表示z的主輻角,它與反正切Arctan的主值arctan（???argz??，??arctan?）

22yxy有如下關系x?yx?y?arctan,當x?0,y?0;?x???,當x?0,y?0;?2?y??arctan??,當x?0,y?0;argz?x(z?0)?y?arctan??,當x?0,y?0;?x??-?,當x?0,y?0;??2復數的三角表示定義為：z?|z|(cosArgz?isinArgz)； 復數加法的幾何表示： 設z1、z2是兩個復數，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：

yz2z1?z2z2z1xz1?z20?z2關于兩個復數的和與差的模，有以下不等式：（1）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（2）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（3）、|z1?z2|?|z1|?|z2|；（4）、|z1?z2|?||z1|?|z2||；（5）、|Rez|?|z|,|Imz|?|z|；（6）、|z|2?zz； 例1 試用復數表示圓的方程：

a(x2?y2)?bx?cy?d?0

（a?0）

其中，a,b,c,d是實常數。

解：方程為

azz??z??z?d?0，其中??(b?ic)。

例

2、設z1、z2是兩個復數，證明

z1?z2?z1?z2,z1z2?z1z2

12z1?z1

利用復數的三角表示，我們可以更簡單的表示復數的乘法與除法：設z1、z2是兩個非零復數，則有 z1?|z1|(cosArgz1?isinArgz1)z2?|z2|(cosArgz2?isinArgz2)

則有

z1z2?|z1||z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1z2|?|z1||z2|，Arg(z1z2)?Argz1?Argz2，其中后一個式子應理解為集合相等。

同理，對除法，有

z1/z2?|z1|/|z2|[cos(Argz1?Argz2)?isin(Argz1?Argz2)]

即|z1/z2|?|z1|/|z2|，Arg(z1/z2)?Argz1?Argz2，其后一個式子也應理解為集合相等。

例

3、設z1、z2是兩個復數，求證：

|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?2Re(z1z2)，例

4、作出過復平面C上不同兩點a,b的直線及過不共線三點 a,b,c的圓的表示式。解：直線：Imz?a?0； b?az?ac?a)?0 圓：Im(z?bc?b4、復數的乘冪與方根

利用復數的三角表示，我們也可以考慮復數的乘冪：

ab

abc

zn?|z|n(cosnArgz?isinnArgz)?rn(cosn??isinn?)從而有zn?z,當r?1時,則得棣莫弗(DeMoivre)公式1，則 znn

令z?n?z?n?|z|?n[cos(?nArgz)?isin(?nArgz)]

進一步，有

11z?n|z|[cos(Argz)?isin(Argz)]

nn1n共有n-個值。

例

4、求4(1?i)的所有值。解：由于1?i?2(cos4??isin)，所以有 441?1?(?2k?)?isin(?2k?)] 4444?(1?i)?82[cos4(1?i)?82[cos(?16?k??k?)?isin(?)]2162其中，k?0,1,2,3。

5、共軛復數

復數的共軛定義為：z?x?iy；顯然z?z,Argz??Argz,這表明在復平面上,z與z兩點關于實軸是對稱的

我們也容易驗證下列公式：(1),?z??z,z1?z2?z1?z2,(2),z1z2?z1z2,(2z1z)?1(z2?0),z2z2z?zz?z ,Imz?,22i(4),設R(a,b,c?)表示對于復數a,b,c?的任一有理運算,則(3),z?zz,Rez?R(a,b,c?)?R(a,b,c?)

6、作業：