第一篇：《復變函數與積分變換》課程教學大綱

《復變函數與積分變換》課程教學大綱 課程名稱：復變函數與積分變換 課程代碼：

英文名稱：Function of Complex Variable and Integral Transformation 課程性質：專業必修課程 學分/學時：2學分/36學時 開課學期：第3學期 適用專業：電氣工程及其自動化 先修課程：高等數學 后續課程：自動控制原理、信號與系統、檢測技術與儀表 開課單位：機電工程學院 課程負責人：

大綱執筆人：

大綱審核人：

一、課程性質和教學目標（在人才培養中的地位與性質及主要內容，指明學生需掌握知識與能力及其應達到的水平）課程性質：《復變函數與積分變換》的理論和方法廣泛應用于電氣工程、通訊工程、自動化等相關學科，并且已經成為解決眾多理論和實際問題的強有力工具，成為了電氣工程及其自動化專業一門重要的基礎理論課程，而高等數學的是它的必須的先修課程。對于本專業而言，是學習《自動控制原理》、《現代控制理論》、《線性系統理論》、《信號與系統》等許多相關課程的必須先修課程之一。

教學目標：通過本課程的講授和學習，使學生在學習高等數學的基礎上，系統的掌握《復變函數與積分變換》中必要的基礎理論和常用的計算方法，培養學生比較熟練的運算能力，能比較熟練運用復變函數、積分變換的方法來有效地比較系統地解決一些問題。并且逐步培養能夠建立比較復雜系統數學模型的能力，在此基礎上，進一步地提升分析問題、解決問題的水平和能力。并為后續的專業基礎課程、專業課程的學習，以及將來從事教學、科研及其它實際工作打下必要相當水準的理論知識基礎。

本課程的具體教學目標如下：

1.熟練掌握復數與復變函數、解析函數、復變函數積分、復級數、留數、傅里葉變換和拉普拉斯變換的基本概念、基本理論、基本方法和某些相關的應用，為進一步學習打下堅實的理論基礎。

2.大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數學模型，為后續課程比較復雜的線性電氣系統或者比較復雜的線性力學系統的數學模型的建立、分析和控制做好理論、學識上準備。

3.基本理解時滯環節的頻域表達形式，并且與上述的線性系統有機結合，構建相對更加復雜的非線性系統的數學模型，為以后專業課上對此非線性系統的數學模型的分析、控制做好基礎的準備。為以后解決實際復雜工程問題做好知識上的儲備。

教學目標與畢業要求的對應關系：

畢業要求 指標點 課程目標 對應關系說明 畢業要求1：工程知識 1-1 握專業所需的數理知識，能用于專業問題的理解、建模、分析與求解 教學目標1 能比較熟練運用復變函數、積分變換的方法，大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數學模型。

畢業要求2：問題分析 2-1 運用數理和工程知識進行專業領域復雜工程問題中的內涵識別與理解分析 教學目標2 了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數學模型，為復雜的線性系統的數學模型分析提供理論基礎。

教學目標3 基本理解時滯環節的頻域表達形式，并且對與線性系統有機結合、構建相對更加復雜的非線性系統的數學模型有所認識。

二、課程教學內容及學時分配（含課程教學、自學、作業、討論等內容和要求，指明重點內容和難點內容。重點內容：?；

難點內容：? 1、復數和復變函數（4學時）（支撐教學目標1）1.1 復數 知識點：復數的概念，共軛復數及復數的四則運算 1.2 復平面及復數的三角表達式 知識點：復平面，復數的模與幅角及三角表達式，復數模的三角不等式，利用復數的三角表達式作乘除法，復數的乘方和開方。

1.3 平面點集 知識點：鄰域和開集，區域、簡單曲線，連通域，無窮遠點 1.4 復變函數 知識點：復變函數的概念，復變函數的極限與連續性 要求：掌握復數的概念（復數是向量）及其各種不同的表示方法，了解各個表示方法的特點和適合使用的場合；

復數的四則運算、乘方、開方運算及其幾何意義；

能夠在復平面上找到由代數或三角表示復數的坐標所在；

共軛復數及其運算性質；

復變函數的概念，復變函數的極限和連續的概念（與實函數做比較）。

了解：復平面的概念，平面點集的概念，復變函數的極限和連續的概念。

理解：復變函數的概念，共軛復數及其運算性質。

掌握：復數的概念及其各種表示法，復數的四則運算、乘方、開方運算及其幾何意義。

重點內容：復數的四則運算及乘冪與開方的運算，復數的表示法，復變函數的概念。

教學難點：復變函數的極限與連續性。

2、解析函數（6學時）（支撐教學目標1）2.1 解析函數的概念 知識點：復變函數的導數，解析函數的概念與求導規則，函數解析的充要條件 2.2 解析函數與調和函數的關系 知識點：調和函數，共軛調和函數 2.3 初等函數 知識點：指數函數，對數函數，冪函數，三角函數在復數域下的概念及解析性 要求：掌握函數解析的充要條件，柯西-黎曼條件判別函數解析性的方法，解析函數與調和函數的關系。

了解：調和函數的定義，初等函數的定義及解析性。

理解：復變函數導數的概念、運算性質及求導方法，解析函數的概念。

掌握：函數解析的充要條件，用柯西-黎曼條件判別函數解析性的方法，解析函數與調和函數的關系。

重點內容：解析函數的概念，函數解析的充要條件，解析函數與調和函數的關系。

教學難點：解析函數的概念，函數解析的充要條件。

3、復變函數的積分（6學時）（支撐教學目標1）3.1 復變函數的積分 知識點：復變函數積分的定義，基本性質，計算方法 3.2 柯西-古薩定理 知識點：柯西積分定理，復合閉路定理，利用原函數求解析函數的積分 3.3 柯西積分公式 知識點：柯西積分公式，高階導數公式 要求：掌握復變函數積分的定義，基本性質和基本的計算方法；

原函數的概念，如何利用原函數求解析函數的積分。柯西積分定理，柯西積分公式，高階導數公式及復合閉路定理的計算。

了解：柯西積分定理、柯西積分公式、復合閉路定理的證明。

理解：復變函數積分的概念和性質，原函數的概念，利用原函數求解析函數的積分。

掌握：柯西積分定理，柯西積分公式，高階導數公式及復合閉路定理的計算。

重點內容：柯西積分定理，柯西積分公式，復合閉路定理及其應用。

教學難點：復合閉路定理及其應用。

4、級數（6學時）（支撐教學目標1）4.1 復級項數的基本概念 知識點：復數項級數的概念，復變函數項級數的概念及其收斂的判定 4.2 冪級數 知識點：阿貝爾定理，收斂半徑的求法 4.3 泰勒級數 知識點：泰勒展開定理，直接法，間接法將函數展開成泰勒展開式 4.4 羅朗級數 知識點：羅朗定理，將函數在不同環域內展開成羅朗級數 要求：掌握復數列極限的概念，復數列收斂的充要條件，復函數項級數收斂域與和函數的概念，阿貝爾定理，冪級數在其收斂圓內的性質。冪級數收斂半徑的求法，將函數展開成泰勒展開式、羅朗展開式的方法。

了解：復數列極限的概念，復數列收斂的充要條件，復函數項級數收斂域與和函數的概念，冪級數在其收斂圓內的性質。

理解：阿貝爾定理，泰勒級數概念，羅朗級數概念。

掌握：冪級數收斂半徑的求法，將函數展開成泰勒展開式、羅朗展開式的方法。

重點內容：泰勒級數，羅朗級數。

教學難點：間接法求簡單函數的泰勒展開式，在不同環域內將解析函數展開成羅朗展開式。

5、留數定理（6學時）（支撐教學目標1、2）5.1 零點與孤立奇點 知識點：孤立奇點的概念，判別，零點與極點的關系 5.2 留數定理 知識點：留數的計算方法，留數定理及其應用 5.3 留數理論在實積分中的應用 知識點：不同的三類實積分的計算 要求：掌握零點、孤立奇點以及孤立奇點的分類及判定方法，零點與極點的關系。留數的概念及計算方法，留數定理及其在定積分計算中應用。

了解：孤立奇點性質的證明，留數在定積分計算中的應用。

理解：孤立奇點的概念，函數在孤立奇點處留數的概念。

掌握：孤立奇點的分類及判定方法，留數的計算方法，留數定理及其應用。

重點內容：孤立奇點的概念，留數的概念及計算方法，留數定理。

教學難點：孤立奇點的判別，留數在定積分中的應用。

6、傅里葉變換（4學時）（支撐教學目標2、3）6.1 傅里葉變換的概念與性質 知識點：傅里葉積分定理，傅里葉變換，單位脈沖函數及傅里葉變換 6.2 傅里葉變換的性質 知識點：線性性質、位移性質、微分性質、積分性質、乘積定理、能量積分、卷積定理 6.3 傅里葉變換的應用 知識點：傅里葉變換應用的舉例 要求：掌握傅里葉變換、傅里葉變換的逆變換的定義以及相關的性質和定理。典型時域信號的頻域表達式，大致有個一一對應的概念。

了解：函數的定義，卷積定理。

理解：傅里葉變換的定義及傅里葉積分公式。

掌握：函數的基本性質及其傅氏變換，傅氏逆變換的基本性質。

重點內容：求傅氏變換的方法，求傅氏逆變換的方法，傅氏變換的基本性質。

教學難點：求傅氏變換和傅氏逆變換的方法。

7、拉普拉斯變換（4學時）（支撐教學目2、3）7.1 拉普拉斯變換的概念 知識點：傅里葉變換的局限性，拉普拉斯變換的定義與存在性定理，拉普拉斯逆變換公式 7.2 拉普拉斯變換的性質 知識點：線性性質、微分性質、積分性質、位移性質、延遲性質 7.3 卷積及其性質 知識點：卷積的概念，卷積定理 7.4 拉普拉斯變換的應用 知識點：拉普拉斯變換在求解微分方程中的應用舉例 要求：掌握拉氏變換、拉氏變換的逆變換的定義以及相關的性質和定理，利用留數計算拉氏逆變換的方法以及拉氏變換在求解微分方程中的應用。大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數學模型，為后續課程比較復雜的線性電系統或者比較復雜的線性力學系統的數學模型的建立、分析和控制做好理論、學識上準備。進一步如果有可能，基本理解時滯環節的頻域表達形式，并且與上述的線性系統有機結合，構建相對更加復雜的非線性系統的數學模型，為以后專業課上對此非線性系統的數學模型的分析、控制做好基礎的準備。為以后解決實際復雜工程問題做好知識上的儲備。

了解：拉氏變換在求解微分方程中的應用。

理解：拉氏變換的定義，反演積分公式。

掌握：拉氏變換的性質，利用留數計算拉氏逆變換的方法。

重點內容：拉氏變換的性質，拉氏變換的應用。

教學難點：利用留數計算拉氏逆變換。

三、教學方法 主要通過實函數與復函數的對比，引導學生自己發現兩者之間的聯系和不同，從而總結出復變函數的一些特征和結論。以此培養學生分析問題解決問題的能力，培養學生通過已經解決過的問題分析出未知問題的規律以及癥結所在。在積分變換的教學過程中，主要通過由傅里葉變換得到拉普拉斯變換的特征和性質。從而培養學生解決問題的能力。讓學生知道解決問題的一般方法：由特殊現象到一般規律，再由一般規律來得到特殊情況的解決方法。傳統教學手段與現代教學手段相結合，由于總學時的限制，以傳統教學手段為主，采用多媒體輔助教學的教學手段。在教學方式上，根據具體教學內容，綜合運用課堂講授和演示、課堂討論、課堂練習、發現學習法和自學指導法，通過引入問題和啟發式教學，使學生更加明確教學內容的知識體系，引導學生主動學習，激發內在學習動機，提高課堂的積極性。在教學過程中，引導學生發現問題，思考解決方案，為后續教學內容作鋪墊。

作業是本課程的主要實踐環節，每次課程均應有相應的作業作為學生的練習。作業分為兩種類型：一種為必做題，另一種為選做題，學生根據自己的實際情況選擇做題。

輔導答疑方式有隨堂答疑、作業集中答疑、QQ或 WE CHAT答疑、E-MAIL答疑和定點、定時間的答疑，期中考試、期末考試前分別安排一次集中答疑。

在教學方法的實際執行過程中，每個教學環節都應具有明確的目的性。同時，以上教學方法需要根據教學過程中的實際效果、學生對知識點的掌握和應用情況不斷改進。教學效果不好、學生對知識點理解程度不高時，應適當調整教學方法，適當增加演示法或實驗訓練法，或在講授后續教學內容時，引導學生前后聯系，結合前置難點內容進行討論，強化知識掌握。在學生對知識掌握情況較好，系統性較好、實驗訓練效果較好的情況下，適當提高教學內容或實驗內容的難度，或增加發現學習法和自學指導法，設置具體應用問題，引導學生探索解決方案。

四、考核及成績評定方式 考核方式：閉卷筆試，期中考試、期末考試以及平時作業。

成績評定方式：期中考試 20%、期末考試70%，平時作業10% 五、教材及參考書目 教材：

[1] 《復變函數》（第四版），西安交大數學系 高等教育出版社，2003。

[2] 《積分變換》（第四版），東南大學數學系 高等教育出版社，2003。

參考書目：

[1] 《復變函數與積分變換學習輔導與習題全解》，高等教育出版，2003。

[2] 《復變函數論》（第三版）鐘玉泉 高等教育出版社，2004。

2016年7月修訂

第二篇：復變函數與積分變換復習題

復變函數與積分變換復習題

1，將下列復數化為三角形式與指數形式1)z?2i;

2)z?sin3?i

cos?

3;

3）z?1?icot?,????2?.4）z?1?cos??isin?,0????.(cos5??isin5?)2

5）z? 3(cos3??isin3?)

2，求下列函數的輻角

1)z?;2z)?n)3）求下列復數的模

1)z?45）設n為正整數，證明下式成立

3n?13n?1???1.6）證明函數f(z)?1?i4n?11?i4n?1??? Re(z)當z?0時極限不存在； z

z當z?0時極限不存在； z

1zz(?)當z?0時極限不存在； 2izz7）證明函數f(z)?8）證明函數f(z)?

?[Re(z2)]2,z?0?29)證明函數f(z)??在z=0點連續。z

??0,z?0

?x3y(y?ix),z?0?42f(z)?10)證明函數在z=0點連續。?x?y

?0,z?0?

11）判斷f(z)?x?2yi是否可導。

12）判斷函數的解析性

1）??z;2）??zRe(z)；

13）證明函數f(z)z=0處滿足C-R方程，但是不可導。（P33）

14）已知調和函數u(x,y)?x2?y2?xy，求一解析函數f(z)?u(x,y)?iv(x,y)使得f(0)?0，并求出df(z).dz

15）驗證以下函數為調和函數，并求出以z?x?iy為自變量的解析函數w?f(z)?u?iv.1)u(x,y)?(x?y)(x2?4xy?y2)

2）P74例題3.4.2例題3.4.3

16)解方程sinz?ish1.17）求Ln(?i),Ln(?3?4i)和它們的主值。

18）求ii,3i,(1?i)i的值。

19）解方程lnz?2?i

20）計算?6?czdz.（1）C：??i????i的直線段;

（2）C：左半平面以原點為中心逆時針方向的單位半圓周.21）計算積分dz(n?Z).n??(z?z)0CC:z?z0?r?0.22）計算積分dz,??zCdz,??zC??Cdzz,C:z?1.23）計算積分1dz,C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線.2??z?zC

ez

24）計算積分?,其中C:z?1,a為a?1的任何復數.3?(z?a)C

25）計算積分3z?2,其中C:z?(1?i)? 4??z?1C

ez

26）計算積分?,其中C:z?r(r?1,2).?z(z?1)(z?2)C

27）計算積分z,其中C:z?2.2??(9?z)(z?i)C

cosz,其中C:z?2.5??(z?1)C28）計算積分

ez

29）計算積分?,其中C:z?r?1.22?(z?1)C

30）計算積分sin5z,其中C:z?4.32??z(z?1)C

31）判斷下列數列是否收斂？如果收斂，求出其極限。

1i?)n?;n?ncinos?n?(1?en.32）下列級數是否收斂？是否絕對收斂？

n?n?1ii?(8i)?(1)i?(1?e)n?;;?n ]?nn2n?1nn?0n?n?1?

33）求下列冪級數的收斂半徑

zn?(z?1n)?

?3;?;?(coinszn)nn?1nn?1n?0?

34）把函數1展成z的冪級數.(1?z)3

1展成z的冪級數,1

1展成z-1冪級數,0

37）把函數z2?2z?5展成z的冪級數,1

2z?2z?5展成z的冪級數,2

1展成z的冪級數.(z-1)(z-2)38）把函數

39）把函數ze在0

41）求積分?z?z0?1e1z?z0(z?z0)?3dz.42）求積分ze?z?21?z.1z

43）求下列各函數在孤立奇點（不考慮無窮遠點）的留數

z2n1?e2z1;4;n1?zzsinz

44）計算積分?z?1

2sinz.2zz(1?e)

z.(z?2)2(z?1)45）計算積分?1z?2?2

122??C1?z4.C:x?y?2x.sinz3.C:z?.47）計算積分??Cz246）計算積分

3z3?248）計算積分??C(z?1)(z2?9).C:z?4.49）計算積分??Czdz.C正向曲線:z?2.z4?1

50）計算積分1??C(z+i)10(z?1)5(z?4).C正向曲線:z?5.2?

51）計算積分?0

2?sin2?d?.(a?b?0).a?bcos?

52）計算積分cos2?d?.(0?p?1).2?1?2pcos??p0

?

計算積分cos2?d?.(a2?1).2?1?2acos??a0

??

53）計算積分?01dx.(n?0,1,2,?).2n?1(1?x)

x2

54）計算積分?2dx.(a?0,b?0).222(x?a)(x?b)??

????

55）計算積分cosaxdx.(a?0).2?x?1??

??

56）計算積分?0

??xsinxdx.(a?0).22x?a(x2?1)cosax57）計算積分?dx.42x?x?1??

|z|?1f(z)dz?2πi?Res[f(z),z]kk?1n

第三篇：復變與積分變換教案

《復變與積分變換教案》

第七次課 教學目標：導出解析函數的高階導數，學會運用高階導數公式計算復積分。

講課段落：

? Cauchy積分高階導數定理的背景； ? 多連通域的Cauchy積分高階導數定理 ? 運用高階導數公式計算復積分。知識要點：

? 對每個自然數

n，在D內定義函數

f(?)Fn(z)??d? n?(??z)則對?z?D，有

Fn?(z)?nFn?1(z)

? 對每個自然數n，f(z)在D內處處有n階 導數，且對?z?D 有 f(n)n!f(?)(z)?d?n?1? 2?i?(??z)? 由于f?(z)?ux?ivx?vy?iuy，而高階導數定理認定，一但

f(z)解析 則f?(z)也解析，自然更有f?(z)連續，從而可知ux,vx,uy,vy都連續。

? 設D為單連域，f(z)在D內連續，若對

f(z)dz?0C?D任一內簡單閉曲線有 C，則f(z)在D解析。

第四篇：讀《復變函數》與《積分變換》有感

班級B10202姓名李建良學號36

讀《復變函數》與《積分變換》有感

在學了《高等數學》之后，我們進一步學習《復變函數》和《積分變換》這兩本書，這兩本書是《高等數學》的微積分擴展和延伸，還有將復數將以深入學習和擴展，并引入函數的概念。因此感覺有一定的深度和難度。它們都利用數學的理論來解決實際問題。

復變函數中有很多概念，其中理論和方法是實變函數在復數領域內的推廣和發展，因而它們有許多相似之處，但是復變函數與實變函數有不同之點。就拿第一章來說，復數與復變函數，本課程研究對象就是自變量為復數的函數。在中學階段，我們已經學習過復數的概念和基本運算。本章將原來的基礎上作簡要的復習和補充。然后再介紹在復變平面上區域以及復變函數的極限和連續性等概念，為進一步研究解析函數理論和方法奠定必要的基礎。概括一下，以前學過方程x2=-1是無解的，因而設有一個實數的平方等于-1。第一節是復習原來的內容，然后逐步引入函數的概念。再引進對復變函數的表達式和復變函數重冪與方根以及加減法研究。由于上學期，我們學習函數概念中，引入極限的概念，然而復變函數也有極限特性。所以對復變函數極限分析有著相似之處，因此可以借鑒學函數極限方法來研究復變函數，然而復變函數又有其獨特特性，研究時必然會給我們帶來很多困難和意想不到的問題，所以就是它的不同之處。后面將復變函數引入微積分的概念，剛開始覺得挺好學，按照以前學微積分的思想就能接納復變函數的微積分，當我遇到了用函數微積分解決復變函數時，復變函數的轉化和變形卻是難題，但是經過一番努力，我逐漸領悟到復變函數在微積分在數學中的獨特魅力。

在學習復變函數中，要勤于思考，善于比較分析其共同點，更要領越復變函數的獨特魅力，如果這樣才能抓住本質，融會貫通。

而《積分變換》研究的是將復雜的運算轉化為較簡單的運算。本書講解了積分在數學中的應用，常用的兩種積分變換Fourier變換和Laplace變換。利用Fourier變換和Laplace變換將復雜的積分轉化為簡單的積分變換，有利于對復雜積分的求解，所以學習《積分變換》的思路就不像學習《復變函數》一樣，它的解題思路和《積分變換》截然不同，就拿Fourier變換而言，先引進Fourier定理，然后利用Fourier定理解決數學中一些難解的積分，用積分變換也可以解決工業中一些工程計算。其重在積分變換。對于積分變換理論的學習，有助于解決我們在工業設計中遇到的問題，但對與此書著重對積分變換的思想培養和應用。當我開始學習《積分變換》時，感覺無從下手，尤其是對積分的變換，一看到積分變換的過程就很頭疼，不知道從哪個地方開始下手，當學到Laplace變換時，才發現積分變換有它的一定的規律，只要把Fourier變換的思路用在Laplace變換，就會簡化對Laplace變換的學習，我才明白Fourier變換只是學習積分變換的一種方法，第一種內容學會了，后面的內容就迎刃而解了。

通過這兩本書的學習，我覺的，它不僅僅帶給我的是挑戰，而且也將為我們將來在工程技術領域中開擴了思路，照亮了方向，這也讓我們知道數學在工程領域的作用和不可磨滅的高度。

第五篇：2014年3月大工《復變函數與積分變換》課程考試模擬試卷A

機密★啟用前

大連理工大學網絡教育學院

2014年3月份《復變函數與積分變換》課程考試

模 擬 試 卷

考試形式：閉卷試卷類型：（A）

☆ 注意事項：本考卷滿分共：100分；考試時間：90分鐘。

學習中心______________姓名____________學號____________

四、證明題（本大題1小題，共10分）

證明：若F[ei?(t)1。?(t)][F(?)?F(?)]]?F(?)，其中?(t)為一實函數，則F[cos2證明：F(?)????

??ei?(t)?e?i?tdt

??

??F(?)??ei?(t)ei?tdt??e?i?(t)?e?i?tdt ??

i?(t)??e1?e?i?(t)

?i?t[F(?)?F(??)]??edt ??22??

??cos?(t)e?i?tdt ????

?F[cos?(t)]

大工《復變函數與積分變換》課程考試 模擬試卷（A）