第一篇：高三數(shù)學(xué)解排列組合應(yīng)用題

解排列組合應(yīng)用題的21種策略

排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（）

A、60種 B、48種 C、36種 D、24種

4解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4?24種，答案：D.2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）

A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、4800種

52解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個空位有A6種，不同的排法種52數(shù)是A5A6?3600種，選B.3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A,B可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（）

A、24種 B、60種 C、90種 D、120種

解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的15?60種，選B.一半，即A524.標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）

A、6種 B、9種 C、11種 D、23種

解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選B.5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）

A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種

解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三

211步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有C10C8C7?2520種，選C.（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（）

44C12C84C4A、CCC種 B、3CCC種 C、CCA種 D、種 3A***4124833答案：A.6.全員分配問題分組法: 例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？

23解析：把四名學(xué)生分成3組有C4種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有A3種，故共有23C4A3?36種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.（2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）

A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 答案：B.7.名額分配問題隔板法: 例7：10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？ 解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，6故共有不同的分配方案為C9?84種.8.限制條件的分配問題分類法: 例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？

解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：

①若甲乙都不參加，則有派遣方案A84種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，333然后安排其余學(xué)生有A8方法，所以共有3A8；③若乙參加而甲不參加同理也有3A8種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有A82種，4332共有7A82方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A8?3A8?3A8?7A8?4088種.9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)，最后總計.例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）

A、210種 B、300種 C、464種 D、600種

5解析：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有A5個，11311311313A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個，合并總計300個,選B.（2）從1，2，3?，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？

解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A??7,14,21,?98?共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A??1,2,3,4,?,100?共有86個元素；由此可知，從A中任取2211個元素的取法有C14，從A中任取一個，又從A中任取一個共有C14，兩種情形共符合要C86211求的取法有C14?C14C86?1295種.（3）從1，2，3，?，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？

解析：將I??1,2,3?,100?分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A??4,8,12,?100?；能被4除余1的數(shù)集B??1,5,9,?97?，能被4除余2的數(shù)集C??2,6,?,98?，能被4除余3的數(shù)集D??3,7,11,?99?，易見這四個集合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從B,D中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要

2112求；所以符合要求的取法共有C25種.?C25C25?C2510.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B).例10.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？

解析：設(shè)全集=｛6人中任取4人參賽的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：

4332n(I)?n(A)?n(B)?n(A?B)?A6?A5?A5?A4?252種.11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。

例11.1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？

14解析：老師在中間三個位置上選一個有A3種，4名同學(xué)在其余4個位置上有A4種方法；所14以共有A3A4?72種。.12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例12.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（）

A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種

6解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共A6?720

種，選C.（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？

2解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A4種，某1個元素排在后15半段的四個位置中選一個有A4種，其余5個元素任排5個位置上有A5種，故共有125A4A4A5?5760種排法.13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法: 例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙 型電視機各一臺，則不同的取法共有（）

A、140種 B、80種 C、70種 D、35種

解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，333故不同的取法共有C9?C4?C5?70種,選.C

解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙

2112型1臺；故不同的取法有C5C4?C5C4?70臺,選C.14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？

2解析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C4種，再排：在四個盒中每次233排3個有A4種，故共有C4A4?144種.（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？

22解析：先取男女運動員各2名，有C52C4種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有A2中排法，故共222有C5C4A2?120種.15.部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（）

A、70種 B、64種 C、58種 D、52種 解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C84?12?58個.（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）

A、150種 B、147種 C、144種 D、141種

4解析：10個點中任取4個點共有C10種，其中四點共面的有三種情況：①在四面體的四個面

44上，每面內(nèi)四點共面的情況為C6，四個面共有4C6個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是44C10?4C6?3?6?141種.16.圓排問題單排法:把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列n個普通排列：

a1,a2,a3?,an;a2,a3,a4,?,an,?;an,a1,?,an?1在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，n個元素的圓排列數(shù)有

n!種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的n?1元素n全排列.例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？

4解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A4種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24?25?768種不同站法.1mAn種不同排法.m17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約說明：從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有束，可逐一安排元素的位置，一般地n個不同元素排在m個不同位置的排列數(shù)有mn種方法.例17.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種不同方案.18.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法: 例18.馬路上有編號為1，2，3?，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？

3解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C5種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法: 例19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？

解析：從5個球中取出2個與盒子對號有C52種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也

2只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C5?20種.20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法: 例20.（1）30030能被多少個不同偶數(shù)整除？ 解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，所有的偶因數(shù)為

012345C5?C5?C5?C5?C5?C5?32個.（2）正方體8個頂點可連成多少隊異面直線？

解析：因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構(gòu)成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構(gòu)成的四面體有C84?12?58個，所以8個頂點可連成的異面直線有3×58=174對.21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例21.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？

解析：因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個點可以確定多少個不同44的四邊形，顯然有C10個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有C10個.（2）某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從A到B的最短路徑有多少種？

B

A

解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從A到B最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確

4定路徑，因此不同走法有C7種.

第二篇：三年級數(shù)學(xué) 作圖法解應(yīng)用題

作圖法解題

專題分析：

用作圖法把應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系表示出來，使題意形象具體，一目了然，以便較快地找到解題的途徑，它對解答條件隱蔽、復(fù)雜疑難的應(yīng)用題，能起化難為易的作用。

在解答已知一個數(shù)或者幾個數(shù)的和差、差倍以及相互之間的關(guān)系、求其中一個數(shù)或者幾倍數(shù)問題等應(yīng)用題時，我們可以抓住題中給出的數(shù)量關(guān)系，借助線段圖進行分析，從而列出算式。【經(jīng)典例題】

例

1、五

（一）班的男生人數(shù)和女生人數(shù)同樣多。抽去18名男生和26名女生參加合唱團，剩下的男生人數(shù)是女生的3倍。五

（一）班原有男女生多少人？☆☆☆☆

練習(xí)一：

1、兩根電線一樣長，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根長度的3倍。這兩根電線原來共長多少厘米？

2、甲乙兩筐水果個數(shù)一樣多，從第一筐中取出31個，第二筐中取出19個后，第二筐剩下的個數(shù)是第一筐的4倍。原來兩筐水果各有多少個？

3、哥哥現(xiàn)存的錢是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元。二人的存款正好相等。哥哥原來存有多少錢？

例

2、兩根電線共長59米，如果第一根剪去3米，第一根電線的長度就是第二根的3倍。求原來兩根電線各長多少米？

練習(xí)二：

1、甲乙兩筐蘋果共重83千克，如果從甲筐取出3千克后，甲筐蘋果的重量就是乙筐的4倍。甲乙兩筐蘋果原來各重多少千克？

2、學(xué)校圖書室共有圖書和故事書250本，又買來50本科技書后，科技書的本數(shù)是故事書的2倍，學(xué)校圖書館原來各有科技書和故事書多少本？

3、參加奧數(shù)競賽集訓(xùn)的男生和女生共有21人，如果女生減少5名，男生人數(shù)就是女生的3 倍，參加奧數(shù)競賽集訓(xùn)的男女生各有多少人？

例

3、甲乙丙丁四個小組的同學(xué)共植樹45棵，如果甲組多植2棵，乙組少植2棵，丙組植的棵數(shù)擴大2倍丁組植樹減少一半，那么四個組植的樹正好相同。原來四個小組各植樹多少棵？

練習(xí)三：

1、甲乙丙丁四個數(shù)的和是100，甲數(shù)加上4，乙數(shù)減去4，丙數(shù)乘以4，丁數(shù)除以4，四個數(shù)正好相等，求這四個數(shù)。

2、甲乙丙三人分113個蘋果，如果把甲分得個數(shù)減去5，乙分得的個數(shù)減去24，丙把分得的個數(shù)送給別人一半后，三人的蘋果個數(shù)相同。三人原來分得蘋果各多少個？

3、甲乙丙丁一共做370個零件，如果把甲做的個數(shù)加10，乙做的個數(shù)減少20，丙做的個數(shù)乘以2，丁做的個數(shù)除以2，四人做的零件就相同。求乙實際做了多少個？

【極限挑戰(zhàn)】

例

4、用繩子測井深，把繩子三折來量，井外余16分米，把繩子四折來量，井外余4分米，求井深和繩長。☆☆☆☆☆☆☆☆

作業(yè)

1、甲、乙兩個倉庫存糧一樣多。從甲倉庫運出18噸，乙倉庫支出26噸后，甲倉庫剩下的糧正好是乙倉庫的3倍。甲、乙倉庫共存糧多少噸？

2、某校男生人數(shù)是女生的3倍。如果男生再招30人，女生再招70人，男、女生人數(shù)正好相等。該校原有男生多少人？

3、桌上放著桃子、梨、杏三種水果。桃子有12個，梨比桃子和杏的總和還多8個。梨比杏多多少個？

4、倉庫運來一批糧食。其中小麥35噸，稻谷比小麥和黃豆的總數(shù)還多12噸。問：運來的黃豆比稻谷少多少噸？

5、在期末考試中，亮亮語文得了92分，數(shù)學(xué)比語文和體育的總分少83分。亮亮的數(shù)學(xué)比體育高多少分？

【極限挑戰(zhàn)】

1、（小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題）兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則除除數(shù)等于。

2、甲倉庫的貨物比乙倉庫的貨物多52噸。現(xiàn)在從甲、乙兩倉庫分別運走20噸后，甲倉庫剩下貨物的重量是乙倉庫剩下貨物的重量的三倍，那么，甲、乙兩倉庫原來各有貨物多少噸？

3、甲、乙、丙、丁四位同學(xué)共有故事書135本，如果甲的書減少一半，乙的增加一倍，丙的書減少4本，丁的書增加4本，它們的書就相等。那么甲、乙、丙、丁各有多少本書？

4、（數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）姐姐現(xiàn)在的年齡是弟弟當(dāng)年年齡的4倍，姐姐當(dāng)年的年齡和弟弟現(xiàn)在的年齡相同，姐姐與弟弟現(xiàn)在的年齡和為26歲，則弟弟現(xiàn)在的年齡是 歲。

5、小明前3次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是88分，第4次成績比4次的平均成績還多6分，第4次考了多少分？

6、甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇。它們各自到達對方車站后立即返回原地，途中，又在距A地42千米處相遇。兩次相遇地點相距多少千米？

7、用繩子測量井深，如果把繩子三折來量，井外余4米；如果把繩子4折來量，井外余1米。井深和繩子長多少米？

8、把一個長方形的長減少3分米，寬增加2分米，就變成一個正方形，它與原來的長方形的面積相等，那么正方形的面積是平方多少分米？

第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜恚@樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。

題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題：

1、歸一問題

2、歸總問題

3、和差問題

4、和倍問題

5、差倍問題

6、倍比問題

7、相遇問題

8、追及問題

9、植樹問題 歸一問題

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5＝0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）列成綜合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

10、年齡問題

11、行船問題

12、列車問題

13、時鐘問題

14、盈虧問題

15、工程問題

16、正反比例問題

17、按比例分配

18、百分?jǐn)?shù)問題

19、“牛吃草”問題 20、雞兔同籠問題

21、方陣問題

22、商品利潤問題

23、存款利率問題

24、溶液濃度問題

25、構(gòu)圖布數(shù)問題

26、幻方問題

27、抽屜原則問題

28、公約公倍問題

29、最值問題 30、列方程問題 答：需要1.92元。

例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6 天耕地多少公頃？ 解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？ 90÷3÷3＝10（公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 10×5×6＝300（公頃）列成綜合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）答：5臺拖拉機6 天耕地300公頃。

例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？ 解（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 100÷5÷4＝5（噸）（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 5×7＝35（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105÷35＝3（次）列成綜合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要運3次。2 歸總問題

解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。1份數(shù)量×份數(shù)＝總量 總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)

總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

解（1）這批布總共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。

例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？ 解（1）《紅巖》這本書總共多少頁？ 24×12＝288（頁）（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36＝8（天）列成綜合算式 24×12÷36＝8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解（1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）列成綜合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）答：這批蔬菜可以吃25天。3 和差問題

已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。大數(shù)＝（和＋差）÷ 2 小數(shù)＝（和－差）÷ 2

簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例1 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解 甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。

例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解 長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）

長方形的面積 ＝10×8＝80（平方厘米）答：長方形的面積為80平方厘米。

例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

解 “從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐）

答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。4 和倍問題

已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。

總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù) 總和 － 較小的數(shù) ＝ 較大的數(shù) 較小的數(shù) ×幾倍 ＝ 較大的數(shù)

簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ 解（1）西庫存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）（2）東庫存糧數(shù)＝480－200＝280（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？

解 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當(dāng)于（2＋1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）

所求天數(shù)為（52－28）÷（28－24）＝6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？ 解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； 又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時（170＋4－6）就相當(dāng)于（1＋2＋3）倍。那么，甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28 乙數(shù)＝28×2－4＝52 丙數(shù)＝28×3＋6＝90 答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。5 差倍問題

已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。

兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？ 解（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

解 如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（2－1）倍，因此 上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）本月盈利＝18＋30＝48（萬元）

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當(dāng)于（3－1）倍，因此

剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸）運糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6 倍比問題

有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù) 另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量

先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克）列成綜合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。

例2 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？ 解（1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）（2）共植樹多少棵？ 400×160＝64000（棵）列成綜合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？ 解（1）800畝是4畝的幾倍？ 800÷4＝200（倍）（2）800畝收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？ 16000÷800＝20（倍）（4）16000畝收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。7 相遇問題

兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間

簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ 解 392÷（28＋21）＝8（小時）答：經(jīng)過8小時兩船相遇。例2 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？ 解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2

相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。

例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。

解 “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）答：兩地距離是84千米。8 追及問題

兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解（1）劣馬先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（120－75）＝20（天）列成綜合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20天能追上劣馬。

例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是（500－200）÷［40×（500÷200）］ ＝300÷100＝3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？

解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知 追及時間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小時）

答：解放軍在11小時后可以追上敵人。

例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

解 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為 16×2÷（48－40）＝4（小時）所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝88×4 ＝352（千米）

答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5 兄妹二人同時由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠？

解 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為 180×2÷（90－60）＝12（分鐘）

家離學(xué)校的距離為 90×12－180＝900（米）答：家離學(xué)校有900米遠。

例6 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。

解 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分鐘。所以

步行1千米所用時間為 1÷［9－（10－5）］ ＝0.25（小時）＝15（分鐘）

跑步1千米所用時間為 15－［9－（10－5）］＝11（分鐘）跑步速度為每小時 1÷11／60＝5.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時 5.5千米。9 植樹問題

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。

線形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距＋1 環(huán)形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距 方形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距－4 三角形植樹 棵數(shù)＝距離÷棵距－3 面積植樹 棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。

例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？ 解 400÷4＝100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。

例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？ 解 220×4÷8－4＝110－4＝106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。

例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？

解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）答：至少需要400塊地板磚。

例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

解（1）橋的一邊有多少個電桿？ 500÷50＋1＝11（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11×2＝22（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10 年齡問題

這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。

年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37－7＝30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）列成綜合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為 49＋3×2＝55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為 55÷（4＋1）＝11（歲）

今年父親年齡為 11×4＝44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。11 行船問題

行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝水速

順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟? 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？ 解 由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時 320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速為 25－15＝10（千米）

船逆水行這段路程的時間為 320÷10＝32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。

例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？

解由題意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36 甲船速－水速＝360÷18＝20 可見（36－20）相當(dāng)于水速的2倍，所以，水速為每小時（36－20）÷2＝8（千米）又因為，乙船速－水速＝360÷15，所以，乙船速為 360÷15＋8＝32（千米）乙船順?biāo)贋?32＋8＝40（千米）所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要 360÷40＝9（小時）

答：乙船返回原地需要9小時。

例3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風(fēng)速為每小時24千米，飛機逆風(fēng)飛行3小時到達，順風(fēng)飛回需要幾小時？ 解 這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城相距多少千米？（576－24）×3＝1656（千米）（2）順風(fēng)飛回需要多少小時？ 1656÷（576＋24）＝2.76（小時）列成綜合算式

［（576－24）×3］÷（576＋24）＝2.76（小時）

答：飛機順風(fēng)飛回需要2.76小時。12 列車問題

這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速 火車追及： 追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

火車相遇： 相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？ 900×3＝2700（米）（2）這列火車長多少米？ 2700－2400＝300（米）列成綜合算式 900×3－2400＝300（米）答：這列火車長300米。

例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？ 解 火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為

8×125－200＝800（米）答：大橋的長度是800米。

例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？

解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為

（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）答：需要73秒。

例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？

解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。150÷（22＋3）＝6（秒）

答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？

解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長。可知火車在（88－58）秒的時間內(nèi)行駛了（2000－1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）進而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，因此，車長為 25×58－1250＝200（米）

答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。13 時鐘問題

就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。變通為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？

解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

分針追上時針的時間為 20÷（1－1/12）≈ 22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。

例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？

解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？

解 六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。

（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？

解 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？ 3×12＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。

例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？

解 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知 原定完成任務(wù)的天數(shù)為

（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）這條路全長為 300×（22＋4）＝7800（米）答：這條路全長7800米。

例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？

解 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）答：有6 輛車，有270人。15 工程問題

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間 工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？ 解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。

例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？ 解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以

（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7÷（1/6－1/8）＝168（個）答：這批零件共有168個。

解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：

兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7 所以，這批零件共有 24÷1/7＝168（個）

例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？

解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做還需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）答：還需要5小時才能完成。

例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當(dāng)打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？

解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。

要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知 每小時的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為 1×4×5－1×5＝15 又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為 1×2，所以，2小時內(nèi)注滿一池水

至少需要多少個進水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）

答：至少需要9個進水管。16 正反比例問題

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解 由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長為 300÷（4－3）×12＝3600（米）

答： 這條公路總長3600米。

例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？ 解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系 設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28∶4＝91∶X 28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13 答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。

例3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ 解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系 設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10 17 按比例分配問題

所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。

從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數(shù)＝比的前后項之和 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 解 總份數(shù)為 47＋48＋45＝140 一班植樹 560×47/140＝188（棵）二班植樹 560×48/140＝192（棵）三班植樹 560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？ 解 3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。

解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝17 17×9/17＝9 17×6/17＝6 17×2/17＝2 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。18 百分?jǐn)?shù)問題

百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù) 一般有三種基本類型：

（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 解（1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。

例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量 所以（525－420）÷525＝0.2＝20% 或者 1－420÷525＝0.2＝20% 答：男職工人數(shù)比女職工少20%。

例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此（525－420）÷420＝0.25＝25% 或者 525÷420－1＝0.25＝25% 答：女職工人數(shù)比男職工多25%。

例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？ 解（1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%（2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6% 答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。

例5 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有： 增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100% 合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100% 出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100% 出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100% 缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100% 發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100% 成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100% 出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100% 命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100% 19 “牛吃草”問題 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù) 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。

例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以 1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長量 同理 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量 由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長量為 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5 天內(nèi)草總量 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋5×5＝125（4）求多少頭牛5 天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量

因為，3小時內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量 10小時內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量 所以，（10－3）小時內(nèi)的進水量為 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小時的進水量為 14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時）答：17人2小時可以淘完水。20 雞兔同籠問題

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。第一雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？

解 假設(shè)35只全為兔，則

雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數(shù)＝35－23＝12（只）也可以先假設(shè)35只全為雞，則

兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。

例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有 白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）答：白菜地有10畝。

例3 李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？

解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有 作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。

例4（第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？ 解 假設(shè)100只全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）雞數(shù)＝100－20＝80（只）答：有雞80只，有兔20只。

例5 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？ 解 假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）共有大和尚 100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21 方陣問題

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）－（內(nèi)邊人數(shù)）內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1 在育才小學(xué)的運動會上，進行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？

解 22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。

例2 有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解 10－（10－3×2）＝84（人）答：全方陣84人。

例3 有一隊學(xué)生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊學(xué)生共多少人？ 解（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160（人）答：這隊學(xué)生共160人。

例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？

解（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。

例5 有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

解 第一種方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）答：這個三角形樹林一共有15棵樹。22 商品利潤問題

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。利潤＝售價－進貨價

利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100% 售價＝進貨價×（1＋利潤率）虧損＝進貨價－售價

虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100% 簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

解 設(shè)這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原價下降了1%。

例2 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？

解 要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為52元是原價的80%，所以原價為（52÷80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）

可以看出該店是盈利的，盈利率為（52－50）÷50＝4% 答：該店是盈利的，盈利率是4%。

例3 成本0.25元的作業(yè)本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當(dāng)銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？

解 問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×（1＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即 0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）剩下的作業(yè)本每冊盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）又可知（0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80% 答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。

例4 某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。解 設(shè)乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為 1－10%＝0.9 甲店定價為 0.9×（1＋30%）＝1.17 乙店定價為 1×（1＋20%）＝1.20 由此可得 乙店進貨價為 6÷（1.20－1.17）＝200（元）乙店定價為 200×1.2＝240（元）答：乙店的定價是240元。23 存款利率問題

把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。

年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100% 利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］

簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1 李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。解 因為存款期內(nèi)的總利息是（1488－1200）元，所以總利率為（1488－1200）÷1200 又因為已知月利率，所以存款月數(shù)為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大強的存款期是30月即兩年半。

例2 銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？ 解 甲的總利息

［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3 ＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）乙的總利息 10000×9%×5＝4500（元）4500－4461.47＝38.53（元）

答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。24 溶液濃度問題 在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。溶液＝溶劑＋溶質(zhì) 濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1 爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）

答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

例2 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？ 解 假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出 600×（30%－25%）＝30（克）

這是因為30%的糖水多用了。于是，我們設(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖 100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600－200＝400（克）

答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。25 構(gòu)圖布數(shù)問題

這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學(xué)問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中。“構(gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。根據(jù)不同題目的要求而定。

通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1 十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。解 符合題目要求的圖形應(yīng)是一個五角星。4×5÷2＝10 因為五角星的5條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。

例2 九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。解 符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形，一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。

例3 九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。

解 符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上重復(fù)應(yīng)減去，正好9棵。4×3－3＝9 例4 把12拆成1到7這七個數(shù)中三個不同數(shù)的和，有幾種寫法？請設(shè)計一種圖形，填入這七個數(shù)，每個數(shù)只填一處，且每條線上三個數(shù)的和都等于12。

解 共有五種寫法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7 12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5 在這五個算式中，4出現(xiàn)三次，其余的1、2、3、5、6、7各出現(xiàn)兩次，因此，4應(yīng)位于三條線的交點處，其余數(shù)都位于兩條線的交點處。據(jù)此，我們可以設(shè)計出以下三種圖形： 27 抽屜原則問題

把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問題。

基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說明理由，得出結(jié)論。

例1 育才小學(xué)有367個1999年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個學(xué)生的生日是同 一天的？

解 由于1999年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個1999年出生的學(xué)生看作367個“元素”。367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。這說明至少有2個學(xué)生的生日是同一天的。

例2 據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？

解 人的頭發(fā)不超過20萬根，可看作20萬個“抽屜”，3645萬人可看作3645萬個“元素”，把3645萬個“元素”放到20萬個“抽屜”中，得到

3645÷20＝182??5 根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183 答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。

例3 一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個。某人閉著眼睛從中取出若干個，試問他至少要取多少個球，才能保證至少有4個球顏色相同？

解 把四種顏色的球的總數(shù)（3＋3＋3＋2）＝11 看作11個“抽屜”，那么，至少要取（11＋1）個球才能保證至少有4個球的顏色相同。

答；他至少要取12個球才能保證至少有4個球的顏色相同。28 公約公倍問題

需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答。

先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。

例1 一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？

解 硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長是4厘米。

例2 甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發(fā)，問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇？ 解 要求多少時間才能在同一起點相遇，這個時間必定同時是36、30、48的倍數(shù)。因為問至少要多少時間，所以應(yīng)是36、30、48的最小公倍數(shù)。36、30、48的最小公倍數(shù)是720。答：至少要720分鐘（即12小時）這三輛汽車才能同時又在起點相遇。

例3 一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？

解 相鄰兩樹的間距應(yīng)是60、72、96、84的公約數(shù)，要使植樹的棵數(shù)盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個相等的間距應(yīng)是60、72、96、84這幾個數(shù)的最大公約數(shù)12。所以，至少應(yīng)植樹（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）答：至少要植26棵樹。

例4 一盒圍棋子，4個4個地數(shù)多1個，5個5個地數(shù)多1個，6個6個地數(shù)還多1個。又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。

解 如果從總數(shù)中取出1個，余下的總數(shù)便是4、5、6的公倍數(shù)。因為4、5、6的最小公倍數(shù)是60，又知棋子總數(shù)在150到200之間，所以這個總數(shù)為 60×3＋1＝181（個）答：棋子的總數(shù)是181個。最值問題2009-12-31 11:15 科學(xué)的發(fā)展觀認(rèn)為，國民經(jīng)濟的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應(yīng)用題叫做最值問題。一般是求最大值或最小值。

按照題目的要求，求出最大值或最小值。

例1 在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？

解 先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。答：最少需要9分鐘。

例3 北京和上海同時制成計算機若干臺，北京可調(diào)運外地10臺，上海可調(diào)運外地4臺。現(xiàn)決定給重慶調(diào)運8臺，給武漢調(diào)運6臺，若每臺運費如右表，問如何調(diào)運才使運費最省？ 解 北京調(diào)運到重慶的運費最高，因此，北京 往重慶應(yīng)盡量少調(diào)運。這樣，把上海的4臺全都調(diào)

往重慶，再從北京調(diào)往重慶4臺，調(diào)往武漢6臺，運費就會最少，其數(shù)額為 500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）

答：上海調(diào)往重慶4臺，北京調(diào)往武漢6臺，調(diào)往重慶4臺，這樣運費最少。30 列方程問題

把應(yīng)用題中的未知數(shù)用字母Χ代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式——方程，通過解這個方程而得到應(yīng)用題的答案，這個過程，就叫做列方程解應(yīng)用題。方程的等號兩邊數(shù)量相等。

可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗、答”六字法。

（1）審：認(rèn)真審題，弄清應(yīng)用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關(guān)系是什么。（2）設(shè)：把應(yīng)用題中的未知數(shù)設(shè)為Χ。

（3）列；根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。

（5）驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。（6）答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。

同學(xué)們在列方程解應(yīng)用題時，一般只寫出四項內(nèi)容，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語。設(shè)未知數(shù)時要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗的過程不必寫出，但必須檢驗。

例1 甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？ 解 第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。找等量關(guān)系：甲班人數(shù)＝乙班人數(shù)×2－30人。列方程： 90－Χ＝2Χ－30 解方程得 Χ＝40 從而知 90－Χ＝50 第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得 Χ＝40 從而得知 2Χ－30＝50 答：甲班有50人，乙班有40人。

例2 雞兔35只，共有94只腳，問有多少兔？多少雞？ 解 第一種方法：設(shè)兔為Χ只，則雞為（35－Χ）只，兔的腳數(shù)為4Χ個，雞的腳數(shù)為2（35－Χ）個。根據(jù)等量關(guān)系“兔腳數(shù)＋雞腳數(shù)＝94”可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ＝12 則35－Χ＝23 第二種方法：可按“雞兔同籠”問題來解答。假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）所以 兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：雞是23只，兔是12只。

例3 倉庫里有化肥940袋，兩輛汽車4次可以運完，已知甲汽車每次運125袋，乙汽車每次運多少袋？ 解 第一種方法：求出甲乙兩車一次共可運的袋數(shù)，再減去甲車一次運的袋數(shù)，即是所求。940÷4－125＝110（袋）

第二種方法：從總量里減去甲汽車4次運的袋數(shù)，即為乙汽車共運的袋數(shù)，再除以4，即是所求。（940－125×4）÷4＝110（袋）

第三種方法：設(shè)乙汽車每次運Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125 解方程得 Χ＝110 第四種方法：設(shè)乙汽車每次運Χ袋，依題意得（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110 答：乙汽車每次運110袋。

第四篇：08屆高三數(shù)學(xué)排列組合綜合問題

g3.1092 排列與組合的綜合問題

一、知識梳理

1.排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置的數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合問題的基本思維是“先組，后排”.2.解排列組合的應(yīng)用題，要注意四點：

（1）仔細審題，判斷是組合問題還是排列問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進行分步.（2）深入分析、嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，既不少也不多，辯證思．．維，多角度分析，全面考慮，這不僅有助于提高邏輯推理能力，也盡可能地避免出錯.（3）對于附有條件的比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡單的基本問題后應(yīng)用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理來解決.（4）由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同.在對排列組合問題分類時，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù).二、基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.（04福建）某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為

2A.A6C2

4B.122A6C24

2C.A6A24D.2A6

2.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競賽，其中A不參加物理、化學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為

A.24

B.48

C.120

D.72 3.5本不同的書，全部分給四個學(xué)生，每個學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為

A.480

B.240

C.120

D.96 4.從1，3，5，7中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有_____________個.（用數(shù)字作答）

5.市內(nèi)某公共汽車站有10個候車位（成一排），現(xiàn)有4名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有5個連續(xù)空座位的候車方式共有_____________種.（用數(shù)字作答）

例1.從6名短跑運動員中選4人參加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問共有多少種參賽方法? 例2.對某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進行測試，至區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好在第5次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能? 思考討論 用類似的方法，討論如下問題.某種產(chǎn)品有5件不同的正品，4件不同的次品，現(xiàn)在一件件地進行檢測，直到4件次品全部測出為止，則最后一件次品恰好在第6次檢測時被測出，這樣的檢測方案有多少種？

提示：問題相當(dāng)于從10件產(chǎn)品中取出6件的一個排列，第6位為次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先從4件產(chǎn)品中留出1件次品排第6位，有

42種方法；再從5件正品中取2件，有C5種方法；再把3件次品和取出的2件正

2品排在前五位有A5種方法.所以檢測方案種數(shù)為4×C5·A5=4800.55例3.在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的種植方法共有多少種？

例4.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

A.234

B.346

C.350

D.363 例5.（1）一條長椅上有9個座位，3個人坐，若相鄰2人之間至少有2個空椅子，共有幾種不同的坐法?（2）一條長椅上有7個座位，4個人坐，要求3個空位中，恰有2個空位相鄰，共有多少種不同的坐法? 例6.已知1（1+n）m.四、同步練習(xí)

g3.1092 排列與組合的綜合問題

1.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植.不同的種植方法共有

A.24種

B.18種

C.12種

D.6種

2.四個不同的小球全部隨意放入三個不同的盒子中，使每個盒子都不空的放法種數(shù)為

A.A13A34

3B.C24A3

2C.C34A2

2D.C14C34C2

3．（05湖北卷）把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù) A．168 B．96 C．72 D．144 4.（05江蘇卷）四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的,沒有公共頂點的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的,現(xiàn)打算用編號為①、②、③、④的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不同方法種數(shù)為

（A）96

（B）48

（C）24

（D）0 5．從6名短跑運動員中選出4人參加4 × 100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方案有 A．180種

B．240種

C．300種

D．360種

6.書架上原有5本書，再放上2本，但要求原有書的相對順序不變，則不同的放法有_____________種.7.（04浙江）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點落在點（3，0）（允許重復(fù)過此點）處，．．則質(zhì)點不同的運動方法共有__________種.（用數(shù)字作答）

8.在一張節(jié)目表上原有6個節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，再添加進去三個節(jié)目，求共有多少種安排方法?

9.18人的旅游團要選一男一女參加生活服務(wù)工作，有兩位老年男人不在推選之列，共有64種不同選法，問這個團中男女各幾人?

10.如下圖，矩形的對角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有多少種不同的涂色方法?

ABCD

11.6名運動員分到4所學(xué)校去做教練，每校至少1人，有多少種不同的分配方法?

參與答案

基本訓(xùn)練

1.將4名學(xué)生均分成兩組，方法數(shù)為C24，再分配給6個年級中的2個，222分配方法數(shù)為A6，∴合要求的安排方法數(shù)為C24·A6.112答案：B

432.若不含A，則有A4若含有A，則有C3C12·A3C12·A34種；4·3種.∴A4+C4·3=72.答案：D

23.先把5本書中的兩本捆起來（C5），再分成四份（A4，∴分法種數(shù)為4）2C5·A44=240.答案：B 4.①四位數(shù)中包含5和0的情況：

12C13·C14·（A33+A2·A2）=120.②四位數(shù)中包含5，不含0的情況：

3C13·C24·A3=108.③四位數(shù)中包含0，不含5的情況： 2C3C14A3=72.3綜上，四位數(shù)總數(shù)為120+108+72=300.答案：300 5.把四位乘客當(dāng)作4個元素作全排列有A4種排法，將一個空位和余下的4422個空位作為一個元素插空有A5種排法.∴A4·A5=480.4答案：480 例題分析

例1.解法一：問題分成三類：（1）甲、乙兩人均不參加，有A4種；（2）甲、4乙兩人有且僅有一人參加，有2C3（A4－A3）種；（3）甲、乙兩人均參加，有443C2（A4－2A3＋A2）種.故共有252種.44324解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為A6，除去甲、乙兩人中至少有一人不排在恰當(dāng)位置的有C12 A3種，因前后把甲、乙兩人都不在恰當(dāng)位置的種數(shù)A2減544去了兩次.故共有A6－C12 A3＋A2=252種.54評述：對于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種方法處理.4例2.解：C14（C16C33）A4=576，第5次必測出一次品，余下3件在前4次被測出，從4件中確定最后一件品有C14種方法，前4次中應(yīng)有1正品、3次品，4有C16C33種，前4次測試中的順序有A4種，由分步計數(shù)原理即得.評述：本題涉及一類重要問題，即問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列.例3.解：依題意，A、B兩種作物的間隔至少6壟，至多8壟.（1）間隔6

2壟時，有3×A2（2）間隔7壟時，有2×A22種；2種.（3）間隔8壟時，有A2種.22所以共有3A22+2A2+A2=12種種植方法.例4.解法一：分類討論法.（1）前排一個，后排一個，2C18·C112=192.（2）后排坐兩個（不相鄰），2（10+9+8+?+1）=110.（3）前排坐兩個，2·（6+5+?+1）+2=44個.∴總共有192+110+44=346個.解法二：考慮中間三個位置不坐，4號座位與8號座位不算相鄰.2∴總共有A19+2+2=346個.答案：B 評述：本題考查分類討論在解排列組合應(yīng)用題中的運用.這是一道難度較大的小綜合題.例5.解：（1）先將3人（用×表示）與4張空椅子（用□表示）排列如圖（×□□×□□×），這時共占據(jù)了7張椅子，還有2張空椅子，一是分開插入，如圖中箭頭所示（↓×□↓□×□↓□×↓），從4個空當(dāng)中選2個插入，有C2種4插法；二是2張同時插入，有C14種插法，再考慮3人可交換有A3種方法.3所以，共有A3（C2+C14）=60（種）.34下面再看另一種構(gòu)造方法：

先將3人與2張空椅子排成一排，從5個位置中選出3個位置排人，另2個位置排空椅子，有A3C2種排法，再將4張空椅子中的每兩張插入每兩人之間，52只有1種插法，所以所求的坐法數(shù)為A3·C2=60.52（2）可先讓4人坐在4個位置上，有A4種排法，再讓2個“元素”（一個4是兩個作為一個整體的空位，另一個是單獨的空位）插入4個人形成的5個“空22當(dāng)”之間，有A5種插法，所以所求的坐法數(shù)為A44·A5=480.01n1n例6.證法一：由二項式定理（1+m）n=C0nm+Cnm+?+Cnm，011mm（1+n）m=C0，mn+Cmn+?+Cmn又因為Cinmi=Anmi!ii，C

imni=

Amni!ii，2322333mmm而Ainmi>Aimni，所以C2>Cm.nm>Cmn，Cnm>Cmn，?，Cnmmn0001111又因為C0nm=Cmn，Cnm=Cmn，所以（1+m）n>（1+n）m.證法二：（1+m）n>（1+n）m

?nln（1+m）>mln（1+n）

?ln(1?m)mx>

ln(1?n)n.令f（x）=ln(1?x)，x∈［2，+∞］，只要證f（x）在［2，+∞］上單調(diào)遞減，只要證f ′（x）<0.f ′（x）=[ln(1?x)]?x?x??ln(1?x)x2=

x?ln(1?x)2(1?x)x(1?x).當(dāng)x≥2時，x－lg（1+x）(1?x)<0，x2（1+x）>0，得f ′（x）<0，即x∈［2,+∞］時，f ′（x）<0.以上各步都可逆推，得（1+m）n>（1+n）m.作業(yè)：1—4 BBDBB

6.42

7.5 8.解法一：添加的三個節(jié)目有三類辦法排進去：①三個節(jié)目連排，有C17A33種方法；②三個節(jié)目互不相鄰，有A3種方法；③有且僅有兩個節(jié)目連排，有7C13C17C16A2種方法.根據(jù)分類計數(shù)原理共有C17A3+A3+C13C17C16A2=504種.2372解法二：從結(jié)果考慮，排好的節(jié)目表中有9個位置，先排入三個添加節(jié)目有A3種方法，余下的六個位置上按6個節(jié)目的原有順序排入只有一種方法.故所求9排法為A3=504種.9解法三：A9A669=504.評述：插空法是處理排列、組合問題常用的方法.9.解：設(shè)這個團中有男人x人，則有女人18－x人，根據(jù)題意得C1x?2· C118?x=64.解得x=10.∴這個團中有男10人，女8人.10.解法一：依題意，給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：

4第一類，用4種顏色涂色，有A5種方法；

第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有C35種；在涂的過程中，選對頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或B、D）涂同色，另兩部分涂異色有C12種選法；3種顏

313色涂上去有A33種涂法.共C5·C2·A3種涂法；

2第三類，用兩種顏色涂色.選顏色有C5種選法；A、C與B、D各涂一色有22A22種涂法.共C5·A2種涂法.41322所以共有涂色方法A5+C35·C2·A3+C5·A2=260種.解法二：區(qū)域A有5種涂色法；區(qū)域B有4種涂色法；區(qū)域C的涂色法有2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色法，區(qū)域D也有3種涂色法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260種涂色法.11.解法一：先取人，后取位子.1，1，1，3：6人中先取3人有C3種取法，與剩余3人分到4所學(xué)校去有6A4種不同分法，∴共C3A4種分法； 46421，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C6·C2·C12種，4然后分到4所學(xué)校去，有

A4A2?A2224種不同的分法，共C·C·C·

262412A4A2?A2224種分法.所以符合條件的分配方法有CA+C·C·C·

3644262412A4A22422?A=1560種.解法二：先取位子，后取人.1，1，1，3：取一個位子放3個人，有C14種取法，6人中分別取3人、1人、1人、1人的取法有C3·C13·C12·C1種，∴共有C14·C3·C13·C12·C1種.61611，1，2，2：先取2個位子放2（其余2個位子放1）有C24種取法，6人中

22分別取2人，2人，1人，1人的取法有C6·C2C12·C1共有C2C6·C2C12·C14·1種，4·4·1種.112221所以符合條件的分配方法有C14·C36·C3·C2+C4·C6·C4·C2=1560種.

第五篇：六年級解比例應(yīng)用題

解比例應(yīng)用題

(1)一幅地圖，圖上的4厘米，表示實際距離200千米，這幅圖的比例尺是多少？

(2)甲、乙兩地相距240千米，畫在比例尺是1∶3000000的地圖上，長度是多少厘米？

(3在一幅地圖上，用3厘米的線段表示實際距離600千米。量得甲、乙兩地的距離是4.5厘米，甲、乙兩地的實際距離是多少千米？

(4)運來一批紙裝訂成練習(xí)本，每本36頁，可訂40本，若每本30頁，可訂多少本？

(5)在一幅比例尺是１：30000 的地圖上，量得東、西兩村的距離是12.3厘米，東、西兩村的實際距離是多少米？

(6)甲地到乙地的實際距離是120千米，在一幅比例尺是1:6000000的地圖上，應(yīng)畫多少厘米？

(7)一幅地圖，圖上的4厘米，表示實際距離200千米，這幅圖的比例尺是多少？

(8)在一幅比例尺是1：4000 的平面圖上，量得一塊三角形的菜地的底是12厘米，高是8厘米，這塊菜地的實際面積是多少公頃？

(9)一輛汽車2小時行駛130千米。照這樣的速度，從甲地到乙地共行駛5小時。甲、乙兩地相距多少千米？（用比例解）

(10)一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行64千米，5小時到達。如果要4小時到達，每小時需行駛多少千米？（用比例解）

(11)修一條公路，原計劃每天修360米，30天可以修完。如果要提前5天修完，每天要修多少米？（用比例解）

(12)修一條路，如果每天修120米，8天可以修完；如果每天修150米，可以提前幾天可以修完？（用比例方法解）

(13)修一條公路，總長12千米，開工3天修了1.5千米。照這樣計算，修完這條路還要多少天？（用比例解答）

(14)修一條路，如果每天修120米，8天可以修完；如果每天多修30米，幾天可以修完？（用比例方法解）

(15)小明買4本同樣的練習(xí)本用了4.8元,138元可以買多少本這樣的練習(xí)本?(用比例解答)

(16)工廠有一批煤，計劃每天燒2.4噸，42天可以燒完。實際每天節(jié)約1/8，實際可以燒多少天？（比例解）

用比例解

1、解放軍某部行軍演習(xí)，4小時走了22.4千米，照這樣的速度又行了6小時，一共行了多少千米？

2、一對互相嚙合的齒輪，主動輪有60個齒，每分轉(zhuǎn)80轉(zhuǎn)。從動輪有20個齒，每分轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)？

3、6臺榨油機每天榨油48.6噸，現(xiàn)在增加了13臺同樣的榨油機，每天共榨油多少噸？

4、一某工廠要生產(chǎn)一批機器零件，5天生產(chǎn)410個，照這樣計算，要生產(chǎn)1066個機器零件需要多少天？

5、某工地要運一堆土，每天運150車，需要24天運完，如果要提前４天完成，每天要多運多少車？

6、用一邊長為30厘米的方磚鋪地，需200塊，如果改用邊長為20厘米的方磚鋪地需多少塊？

7、一種農(nóng)藥，藥液與水重量的比是1：1000。（1）、20克藥液要加水多少克？

（2）、在6000克水中，要加多少克藥液？

（3）、現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥500.5千克，需要藥液和水各多少千克？

8、一種稻谷每1000千克能碾出大米720千克。照這樣計算，要得到180噸大米，需要稻谷多少噸？

9、某工程隊修一條公路，已修了1200米，這時已修的和未修的比是3:2，這條公路全長是多少米？

10、一輛汽車三天共行720千米，第一天行駛5小時，第二天行駛6小時，第三天行駛7小時，如果每小時行駛的路程都相同，這三天各行多少千米？

11、用邊長15厘米的方磚鋪一塊地，需要2000塊，如果改用邊長為20厘米的方磚鋪地，需要多少塊？

12、甲、乙兩堆煤原來噸數(shù)比是5：3，如果從甲堆運90噸放入乙堆，這時兩堆噸數(shù)相等，甲、乙原來各有多少噸？

13、園林綠化隊要栽一批樹苗，第一天栽了總數(shù)的15%，第二天栽了136棵，這時剩下的與已栽的棵數(shù)的比是3：5。這批樹苗一共有多少棵？

14、生產(chǎn)一批零件，計劃每天生產(chǎn)160個，27天可以完成，實際每天超產(chǎn)20個，可以提前幾天完成?