第一篇：初中一年級函數問題

初中一年級函數問題

小明準備將平時的零用錢節約一些儲存起來，他已存有50元，從現在起每個月存12元。

（1）試寫出小明的存款數與從現在開始的月份數之間的函數關系式。（2）小明的同學小張以前沒有存過零用錢，聽到小明在存零用錢，表示從現在起每個月存18元，爭取超過小明。半年后小張的存款數是多少？能否超過小明？至少幾個月后小張的存款數超過小明？ 解：（1）設小明的存款數y,從現在開始的月份數x y=50+12x(2)半年后小張的存款數是18*6=108元,小明的存款數=50+12*6=110元

還沒有超過小明

再過一個月，即7個月后，就能超過小明

第二篇：初中函數數學教案

函數初中數學教案

教學目標：

1：是學生分清楚變量與常量，以及會判斷哪些量是變量

2：理解函數的概念，分清自變量以及應變量，同時會判斷一個變量是不是另一個的函數，3：能從實際題目中抽象出函數關系，并且會列出函數解析式 4：理解函數的定義域，并會求函數的定義域，以及函數值 5：理解函數的記號y?f(x)

教學重點：

1：函數的概念

2：由題目寫出函數解析式以及會求定義域和函數值

教學難點：

1：函數的概念

2：函數的本質：一個變量取定一個值，另一個變量有且只有唯一的一個值與之對應 3：函數的記號：y?f(x)

教學過程

1:量、數、數量

在物理中我們學過很多“量”，比如說：質量，長度，重量，面積，體積，密度，速度，路程，時間等等很多，而“量”是表示事物的某些屬性，比如：質量

同時我們用“數”來表示“量”的大小，將“數”與“度量單位”合在一起就是“數量”，比如說：一個物體質量為5kg，一個圓的半徑是5cm等等 2：變量與常量

請同學們看課本52頁的問題1 題中的r0是一個不變的值，而r和a都是可以取不同的值，正如我們以前學的用字母表示數，這個字母可以表示不同的數，它是一個變化的，不是確定的。而這樣的在我們的研究過程中，可以取不同數值的量叫做“變量”，與之相對的保持數值不變的量叫做“常量”（或常數）

a2?此題中我們可以得到：r?r0?(米)，我們可以看出r與a是有關系的，也就是說在a在變化時r也在變化，當a確定時，r也隨之確定，即：r與a之間存在一種依賴關系。同學們再看53頁的問題2 請同學回答 問題3

如圖等腰直角三角形ABC，其

中∠C=90°，AB=10cm，E為BC上一點，設BE等于x，求陰影部分的面積y，并求x 的取值范圍

3：函數的概念

通過三個問題我們引出函數的概念：

一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x、y，如果在變量x的允許取值范圍內，變量y隨著x的變化而變化，且對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們就說，變量y是變量x的函數.X稱為自變量，y稱為應變量（因變量），我們知道問題1,2,3中的兩個變量就是一種函數關系。

注：自變量不一定都用x表示，應變量不一定都用y表示，x、y是常用的表示

問題1,2,3中的兩個變量之間是用數學式子表示出來的，我把這種用數學式子表示出兩個變量之間的函數關系的式子稱為函數解析式

提問：是不是所有的函數都可以用函數解析式表示呢？ 同學們請看例題1、2：請同學回答

CEADB例1中的變量就是t和T 注：例題1、2告訴我們不是所有的函數關系都可以用數學式子表示出來的，表示函數的表示方法有三種：圖像法（例題1），列表法（例題2），解析法（問題1,2,3）例題：課本55頁的第4題

4：函數的定義域和函數值

考慮：函數y?2x?5和y?x

對第一個函數x可以取任意實數，但是第二個函數的x不能去負數，因為在實數范圍內，當x<0時y?x沒有意義。

我們前面在敘述函數的定義的時候提到一句話：如果在變量x的允許取值范圍內 我們把：函數的自變量允許取值的范圍，叫做函數的定義域

每個函數都有定義域，對于用解析式表示的函數，如果不加說明，那么這個函數的定義域是能使這個函數解析式有意義的所有實數，但是在實際問題中，除了是函數解析式有意義外，還要使實際問題有意義。

例

1、求下列函數中自變量x的取值范圍．（使解析式有意義的x的取值范圍）

2（1）y?5x?

3（2）y??3x

1x?11x?x?2

2（3）y?

（4）y?

（5）y?x?

1（6）y?2x?a

（7）y?1x?2x?82 例

2、問題3中x的取值范圍就是定義域

例3、57頁的例題4，（使實際問題有意義的x的取值范圍）解：y?x?10，定義域為：4?x?10

例

4、如圖，用一個30米長的籬笆圍成一個長靠在20米長墻的矩形羊圈，設寬為x，面積為y，寫出函數解析式，并求出定義域。解：y?x(30?2x)??2x2?30x

定義域：5

在例4這個函數中，取x=6時，y=108 取x=10時，y=100 我們可以看出：在定義域：5

如果變量y是自變量x的函數，那么對于x在定義域內取定的一個值a，變量y的對應值叫做當x=a時的函數值，同樣：一個函數所有函數值組成的范圍叫做值域 5：函數的記號y?f(x)

“y是x的函數”用記號y?f(x)來表示，其中x表示自變量，f表示表示y隨著x變化而變化的規律，即y與x之間的對應關系，比如：例3，例4中

注：在同一問題中同時研究幾個不同的函數時，表示函數的記號中，括號外的字母課采用不同的字母，如：f、g、h以及大寫的F、G、H等 補充：函數的三要素：定義域、對應關系f、值域

在例4這個函數中，取x=6時，y=108，有了記號y?f(x)后，我們就可以更簡單的記為 f(6)?108，即：我們用f(a)表示當x=a時的函數值。

x例5：課本57頁中的例題5（先求出函數的定義域）

例6：課本58頁的練習2 例7：已知f(x)?2x?3x?4,g(x)?x?5,定義h(x)?f(x)?g(x)，求h(4),h(11)以及h(x)的表達式和定義域

第三篇：函數值域問題

努力今天成就明

天

知識就是財富

求分式函數值域的幾種方法

求分式函數值域的常見方法 1 用配方法求分式函數的值域

如果分式函數變形后可以轉化為y?配方，用直接法求得函數的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因為2?x???≥?，4?88?所以函數的值域為：???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因為x?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數的值域為??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結論來求分式函數的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當y?1時①式是一個關于x的一元二次方程.因為x可以是任意實數，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當y?1時，x?0，?1?故函數的值域為?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數y?的值域為?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當y?2時x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達定理得，c?2，b??2.⑵當y?2時x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數的值域時要注意下列問題：

1、函數定義域為R（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當x不能取某些實數時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進行檢驗.3、轉換后的一元二次方程若二次項系數中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數單調性求分式函數的值

對于求函數的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數本質特征的通性通法即利用函數的單調性來求其值域.例1求函數y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數進而y是x的增函數，于是y????,?2?； x?1當x??1時，當x??1時，同樣y是x的增函數，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域為???,?2?∪?2,???.x?1a的單調性的結論： x在求分式函數時我們常運用函數y?x??⑴當a?0時在??,a和??a,??上增函數，在??a,0和0,a上是減函數.??????⑵當a?0時在???,0?和?0,???上是增函數.例求函數y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數，在?2,3?是上增函數，x所以x?2時，tmin?4；

x?1時，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域為?,?.?43?4.利用反函數法(反解)求分式函數的值域

設y?f(x)有反函數，則函數y?f(x)的定義域是它反函數的值域，函數y?f(x)的值域是其反函數的定義域.那么如果一個分式函數的反函數存在，我們就可以通過求反函數的定義域來求其值域.例1 求函數y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數存在，其反函數為5x?152??，5?解：由于函數y?y?x? 明顯知道該函數的定義域為?x|x?2?5x?2??2??故函數的值域為???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數，并且用此方法求函數的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關于y的不等式所以反函數求值域的實質是反函數的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數的值域

4x2?7x??0,1?求函數例1（2005年全國高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數的值域即為關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數的值域為??4,?3?..利用換元法求分式函數的值域

當題目的條件與結論看不出直接的聯系（甚至相去甚遠）時，為了溝通已知與未知的聯系，我們常常引進一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質，發現解題方向.換元法是一種重要的數學解題方法，掌握它的關鍵在于通過觀察、聯想，發現與構造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學數學問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點代換、參數代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因為1?2?[,2]，t414所以函數f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當且僅當tan2??2時“?”成立.x4?4?所以函數y?的值域為0,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據三角函數的有界性求能求出函數的值域.在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數的值域.若原函數通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數為正；②各變數的和或積為常數.則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因為x?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當x?1時取等號），8故函數的值域為?0,3?.例2 設Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數學聯賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數最值的問題f(n)?164n?34?n.又因為n?34?當n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時“?”成立，所以對任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數列的問題而實際是我們可以將其轉化為求函數值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質來求其值域就使得整個解題過程利用數更簡單.8.斜率法求分式函數的值域

數形結合是中學數學中的一種重要的數學思想方法.數是形的抽象概括，形是數的直觀表現.華羅庚先生指出：數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現在數學的其它領域中，在求函數的值域與最值時也有良好的反映.聯想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數化為斜率式并利用數形結合法來求函數的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標系中A點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時，f(t)min?4.34此時x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數的值域為??51???2,2??.

第四篇：怎樣教學初中階段二次函數應用問題

怎樣教學初中階段二次函數應用問題

二次函數問題在整個初中階段既是重點又是難點，其應用題綜合性比較強，知識涉及面廣，對學生能力的要求更高，因此成為教學中的重點，也成為學習的一大難點。在升學考試中占有相當大的分值，往往又以中檔題或高檔題的形式出現，成為中考的壓軸題。作為教師在組織教學的過程中，應注意選擇合適的教學方法分散其難點。若采用分類教學，學生易于掌握，針對不同的題型進行訓練，短期內確實有利于提高學生的學習成績。但從長遠看，這樣做容易使學生形成思維定勢，不利于思維能力和創新能力的培養。教師可以針對不同的學生分梯度設置不同的題型，放手讓學生自主探索，自己去感悟，疑難問題通過小組合作學習來解決，同時教師做適當的點撥，這樣可以激發學生學習數學的興趣，讓不同的學生都得到發展。

我認為初中階段應從以下幾個方面來處理好二次函數的應用問題：

一、注重與代數式知識的類比教學，觸及函數知識。

現在人教版教材把函數提前到初二進行教學，我認為這是很好的整合。初二的學生對基本概念還是比較難理解，但能夠要求學生有意識的去理解函數這一概念，逐步接觸函數的知識和建模思想，認識到數學問題來源于生活應用于生活，建模后又高于生活。不管是列代數式還是代 1 數式的求值，只要變換一個字母或量的數值，代數式的值就隨之變化，這本身就可以培養學生的函數意識。

二、注意在方程教學中有意識滲透函數思想。

方程與函數之間具有很深的聯系。在學習方程時要有意識的打破只關注等量關系而忽略分析數量關系的弊端，這是對函數建模提供的最好的契機。教師在組織教學中，特別是應用題教學，不能只讓學生尋找等量關系，而不注重學生分析量與量、數與數之間的內在聯系能力的培養，從而更加大了學生學習函數的難度。不管是一元方程還是二元方程應用題教學中，應該訓練學生分析問題中的量與量關系的能力，讓學生樹立只要有量就應該也可以用字母去表示它，不要怕量多字母多，量表示好了再通過數量關系逐步縮少字母即可。這樣就為后續函數的學習做好了鋪墊。

三、通過數形結合方法體驗函數建模思想。

不管是長度、角度還是面積的有關計算，都應該通過適當變換數據來樹立函數思想。圖形具有豐富性與直觀性，圖形變化具有條件性，因此說圖形教學相比純粹數量計算教學更能夠體現函數思想。

函數思想的建立，應用題解題方式的定型絕不是一蹴而就的，它需要慢慢的滲透與慢慢體驗的過程。從這個意義上說，二次函數應用題的教學不需要分類。二次函數的學習是把以前學習的內容進行適當加深或 2 以嶄新的視角重新審視，因此二次函數應用題的解決，需要師生在教與學中有意識的樹立函數思想。正是二次函數的這種綜合性，要求教師在組織教學中把這一難點消化在平日教學中，而不是簡單的把二次函數應用題進行分類來加重學生的負擔。

本文作者：四川省鄰水縣九龍鎮石鼓中心學校教師 聯系電話：08263546001 聯系地址：四川省鄰水縣九龍鎮石鼓中心學校 郵編：638510 郵箱：liaobangquan@126.com

吳小梅

第五篇：初中函數知識點總結

千承培訓學校

函數知識點總結(掌握函數的定義、性質和圖像)

（一）平面直角坐標系

1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系

2、各個象限內點的特征: 第一象限：（+，+）點P（x,y），則x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）點P（x,y），則x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）點P（x,y），則x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）點P（x,y），則x＞0,y＜0；

3、坐標軸上點的坐標特征：

x軸上的點，縱坐標為零；y軸上的點，橫坐標為零；原點的坐標為（0 , 0）。兩坐標軸的點不屬于任何象限。

4、點的對稱特征：已知點P(m,n), 關于x軸的對稱點坐標是(m,-n), 橫坐標相同，縱坐標反號 關于y軸的對稱點坐標是(-m,n)縱坐標相同，橫坐標反號 關于原點的對稱點坐標是(-m,-n)橫，縱坐標都反號

5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于y軸的直線上的任意兩點：橫坐標相等。

6、各象限角平分線上的點的坐標特征：

第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。

第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。

7、點P（x,y）的幾何意義： 點P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點P（x,y）到y軸的距離為 |x|。點P（x,y）到坐標原點的距離為

8、兩點之間的距離：

X軸上兩點為A(x1,0)、B(x2,0)|AB|?|x2?x1|

x2?y2 Y軸上兩點為C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

?|y2?y1|

(x2?x1)2?(y2?y1)

29、中點坐標公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M為AB的中點

則：M=(x2?x1y?y1 , 2)2210、點的平移特征： 在平面直角坐標系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應點（x-a，y）； 將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a，y）； 將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y＋b）； 將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y－b）。

注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標都要發生相應的變化；反過來，從圖形上點的坐標的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。

（二）函數的基本知識： 基本概念

1、變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量。

常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量。

2、函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數。*判斷A是否為B的函數，只要看B取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應

3、定義域：一般的，一個函數的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數的定義域。

4、確定函數定義域的方法：

（1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數；

（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；

（3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；

（4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；

（5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

5、函數的圖像 一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．

6、函數解析式：用含有表示自變量的字母的代數式表示因變量的式子叫做解析式。

7、描點法畫函數圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；

第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；

第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。

8、函數的表示方法

列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。

解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。

（三）正比例函數和一次函數

1、正比例函數及性質

一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.注：正比例函數一般形式 y=kx(k不為零)① k不為零 ② x指數為1 ③ b取零 當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，?直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．(1)解析式：y=kx（k是常數，k≠0）(2)必過點：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，?圖像經過二、四象限(4)增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

2、一次函數及性質

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.注：一次函數一般形式 y=kx+b(k不為零)① k不為零 ②x指數為1 ③ b取任意實數

一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（-

b，0）兩點的一條直線，我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k?0)（2）必過點：（0，b）和（-

b，0）k（3）走向： k>0，圖象經過第一、三象限；k<0，圖象經過第二、四象限 b>0，圖象經過第一、二象限；b<0，圖象經過第三、四象限

?k?0?k?0直線經過第一、二、三象限 ??直線經過第一、三、四象限 ???b?0?b?0?k?0?k?0?直線經過第一、二、四象限 ??直線經過第二、三、四象限 ?b?0b?0??注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k決定著直線的變化趨勢

① k>0 直線從左向右是向上的 ② k<0 直線從左向右是向下的

2、b決定著直線與y軸的交點位置

① b>0 直線與y軸的正半軸相交 ② b<0 直線與y軸的負半軸相交

（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.3、一次函數y=kx＋b的圖象的畫法.根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標或縱坐標為0的點.注：對于y＝kx+b 而言，圖象共有以下四種情況：

1、k>0，b>0

2、k>0，b<0

3、k<0，b<0

4、k<0，b>0

4、直線y=kx＋b(k≠0)與坐標軸的交點．

(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；

(2)直線y=kx＋b與x軸交點坐標為

5、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟：

與 y軸交點坐標為(0，b)．

（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；

（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；

（3）解方程得出未知系數的值；

（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式.6、兩條直線交點坐標的求法：

方法：聯立方程組求x、y 例題：已知兩直線y＝x+6 與y＝2x-4交于點P，求P點的坐標？

7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系（1）兩條直線平行：k1=k2且b1?b2（2）兩直線相交：k1?k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作

.特別地，軸記作直線

8、正比例函數與一次函數圖象之間的關系

一次函數y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.9、一元一次方程與一次函數的關系

任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值.從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.10、一次函數與一元一次不等式的關系

任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量的取值范圍.11、一次函數與二元一次方程組

（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數y=?acx?的bb圖象相同.（2）二元一次方程組??a1x?b1y?c1ac的解可以看作是兩個一次函數y=?1x?1和

b1b1?a2x?b2y?c2y=?a2cx?2的圖象交點.b2b212、函數應用問題（理論應用 實際應用）

（1）利用圖象解題 通過函數圖象獲取信息，并利用所獲取的信息解決簡單的實際問題.（2）經營決策問題 函數建模的關鍵是將實際問題數學化，從而解決最佳方案，最佳策略等問題.建立一次函數模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關系，構建函數模型，從而利用數學知題.(四)反比例函數

一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y＝k／x(k為常數，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數。

取值范圍： ① k ≠ 0;②在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實數;③函數 y 的取值范圍也是任意非零實數。反比例函數的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線

反比例函數圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（K≠0）。

反比例函數的性質：

1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內,y隨x的增大而增大。

2.k>0時，函數在x<0和 x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0和x>0上同為增函數。

定義域為x≠0；值域為y≠0。

3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。

4.在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1＝S2=|K| 5.反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸

y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。

6.若設正比例函數y=mx與反比例函數y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關于原點對稱。

7.設在平面內有反比例函數y=k/x和一次函數y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2 +4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

8.反比例函數y=k/x的漸近線：x軸與y軸。

9.反比例函數關于正比例函數y=x,y=-x軸對稱,并且關于原點中心對稱.(第5點的同義不同表述)

10.反比例上一點m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k|

11.k值相等的反比例函數重合，k值不相等的反比例函數永不相交。

12.|k|越大，反比例函數的圖象離坐標軸的距離越遠。

（五）二次函數

二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般式(已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.)

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；

頂點式(已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.)

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點坐標為（-m，k）或（h,k）對稱軸為x=-m或x=h，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；

交點式(已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式)

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線] ；

拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點 頂點

拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。開口

二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的因素

一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。（左同右異）

c的大小決定拋物線當①時，∴拋物線,與與

軸交點的位置.與

軸有且只有一個交點（0，）： ,與

軸交于負半軸.，拋物線經過原點;②軸交于正半軸；③直線與拋物線的交點（1）（2）與(,軸與拋物線軸平行的直線).得交點為(0,).與拋物線

有且只有一個交點（3）拋物線與軸的交點 二次函數程根的判別式判定：

①有兩個交點

拋物線與軸相交；

拋物線與軸相切； 的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的 ②有一個交點（頂點在軸上）③沒有交點

拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是個實數根.（5）一次函數的圖像與二次函數的圖像的交的兩點，由方程組

①方程組有兩組不同的解時一個交點；③方程組無解時的解的數目來確定： 與與

有兩個交點;②方程組只有一組解時沒有交點.與

只有（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線，由于、是方程

與軸兩交點為的兩個根，故

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