第一篇：二次函數利潤問題

1、某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策，商場決定采取適當的降價措施.調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．

（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數表達式；（不要求寫自變量的取值范圍）

（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？

（3）每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少？

解：（1）根據題意，得y=（2400-2000-x）（8+4×），即；

（2）由題意，得

整理，得x2-300x+20000=0，解這個方程，得x1=100，x2=200，要使百姓得到實惠，取x=200，所以，每臺冰箱應降價200元；

（3）對于 當時，y最大值=（2400-2000-150）（8+4×）=250×20=5000，所以，每臺冰箱的售價降價150元時，商場的利潤最高，最高利潤是5000元。

．

2、某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0≤x≤15且x為整數）；

（2）配方法，有y=-10（x-5.5）2+2402.5∵a=-10<0

∴當x=5.5時，y有最大值2402.5

∵0≤x≤15，且x為整數

當x=5時，50+x=55，y=2400

當x=6時，50+x=56，y=2400

∴當售價定為每件55或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；

（3）當y=2200時，-l0x2+110x+2100=2200

解得x1=1，x2=10。

∴當x=1時，50+x=5

1當x=10時，50+x=60

∴當售價定為每件51或60元時，每個月的利潤恰為2200元

當51元≤售價≤60元且為整數時，每個月的利潤不低于2200元（或當售價為51，52，53，54，55，56，57，58，59或60元時，每個月的利潤不低于2200元）。

3、某商場購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元出售，那么每月可售出500個，根據銷售

經驗，售價每提高1元，銷售量相應減少10個；

（1）假設銷售單價提高x元，那么銷售每個籃球所獲得的利潤是元；這種籃球每月的銷售量是______________________個；（用含x的代數式表示）（4分）

（2）8000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，此時籃球的售價應定為多少元？（8分）

解：（1）.(10+x)（500-10x）

（2）.500-10x

（3）.由(10+x)（500-10x）=-10x2+400x+5000=-10（x-20）2+9000得最大利潤9000

此時售價604、某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上

漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

(1)y=(210-10x）(50+x-40)=-10x^2+110x+2100=-10(x-5.5)^2+2402.5(0≤x≤15)

(2)∵X為正整數∴最大利潤代入X=5（或者6），y=2400

(3)根據題意，得（210-10x）（10+x）=2200．

整理，得x2-11x+10=0，解這個方程，得x1=1，x2=10

∴當x=1時，50+x=51，當x=10時，50+x=60．

答：當每件商品的售價定為51元或60元時，每個月的利潤恰為2200元

第二篇：二次函數利潤應用教學設計

二次函數與實際問題

利潤的最大化問題——教學設計

教學目標：

1、探究實際問題與二次函數的關系

2、讓學生掌握用二次函數最值的性質解決最大值問題的方法

3、讓學生充分感受實際情景與數學知識合理轉化的過程，體會如何遇到問題—提出問題—解決問題的思考脈絡。教學重點：

探究利用二次函數的最大值性質解決實際問題的方法 教學難點：

如何將實際問題轉化為二次函數的數學問題，并利用函數性質進行決策 教學過程 : 情境設置：水果店售某種水果，平均每天售出20千克，每千克售價60元，進價20元。經市場調查發現，在進價不變的情況下，若每千克這種水果在原售價的基礎上每漲價1元，日銷售量減少1千克；若每降價1元，日銷售量將增加2千克。現商店為增加利潤，擴大銷售，盡量減少庫存，決定采取適當措施。

（1）如果水果店日銷水果要盈利1200元，那么每千克這種水果應漲價或降價多少元？

解：設每千克這種水果降價x元。

（60-20-x）(20+2x)=1200

解得x=10或x =20 水果店擴大銷售，盡量減少庫存 x=10不合題意，舍 x=20 答：每千克這種水果應降價20元。

（2）如果水果店日銷水果要盈利最多，應如何調價？最多獲利多少元？

設計：問題1是利用一元二次方程解決問題，引導學生先根據題意判斷出應只選擇降價，只是一種可能。通過分析“降價”讓學生自主完成，教師點評，強調驗根。因學生已經學習過一元二次方程，困難不會太大。

問題2，引導學生由一元二次方程過度到二次函數，并想到利用二次函數最值的性質去解決問題。給學生空間時間去思考。老師問兩個問題；1 怎樣設？2什么方法去解決？

解：設每千克這種水果降價x元。y=（60-20-x）(20+2x)=-2 x2+60x+800(0< x≤40)a=-2<0 y有最大值

當x= 15時，y最大 此時，y=1250

答：每千克應降價15元，使獲利最多，最多可獲利1250元。得到答案后，學生自做幫學生梳理過程，并畫圖象，更深刻體會。易忽略自變取值范圍。

小結：解決利潤最大化問題的基本方法和步驟： 方法：二次函數思想

步驟

1、設自變量

2、建立函數解析式

3、確定自變量取值范圍

4、頂點公式求出最值（在自變量取值范圍內）

變式：若將題中“擴大銷售，盡量減少庫存”去掉，水果店應如何調價？

解：分兩種情況討論：

（1）設每千克這種水果降價x元。y=（60-20-x）(20+2x)=-2 x2+60x+800(0< x≤40)a=-2<0 y有最大值

當x =15時，y最大 此時，y=1250 答：每千克應降價15元，使獲利最多，最多可獲利1250元。

（2）設每千克這種水果應漲價x元 y=(60-20+x)(20-x)=-x2-20x+800(0< x≤20)a=-1<0 y有最大值 x =-10-10<0

當x>-10 時，y隨x增大而減小

當x=0時，y取最大值

此時y=800 由上述討論可知：應每千克降價15元，獲利最多，最多可獲利為1250元。

讓學生想到是二種可能，漲價和降價，得分類討論思想，函數思想，數形結合思想。強調在自變量取值范圍內取最值，如頂點不在這個范圍，根據函數圖象的增減性來判斷，而且實際問題的圖象不是整個的拋物線，而是局部，這取決于自變量取值范圍。學生自己整哩書寫，教師指導。練習與作業

某商品的進價為每件30元，現在的售價為每件40元，每星期可賣出150件。市場調查反映：如果每件的售價每漲1元（售價每件不能高于45元），那么每星期少賣10件。設每件漲價x元（x為非負整數），每星期的銷售為y件。

（1）求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；

（2）如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？

第三篇：實際問題與二次函數(商品利潤問題)教學設計

22.3 實際問題與二次函數

第2課時 二次函數與商品利潤

教

學

目

標 知識技能：

①會根據實際問題列二次函數，并能根據實際情況確定自變量的取值范圍； ②使學生能夠運用二次函數及其圖象、性質解決實際問題。方法過程：

讓學生通過閱讀、合作討論、動手畫草圖、分析、對比，能找出實際問題中的數量關系，揭示兩個變量的關系，培養學生結合圖形與其性質解決問題的能力 解決問題：

通過兩個變量之間的關系，進一步體會二次函數的應用，體驗數形結合思想。情感態度：

通過具體實例，讓學生經歷應用二次函數解決實際問題得全過程，體驗數學來源于生活，服務于生活的辯證觀點。

重點：培養學生解決實際問題，綜合解決問題的能力，滲透數形結合的思想方法。難點：對實際問題中變量和變量之間的相互依賴關系的確定。教學過程： 基礎掃描

1.二次函數y=2(x-3)2+5的對稱軸是 直線x=3，頂點坐標是(3，5)。當x= 3 時，y的最小 值是 5。

2.二次函數y=-3(x+4)2-1的對稱軸是 直線x=-4，頂點坐標是(-4，-1)。當x=-4 時，函數有最 大 值是-1。

3.二次函數y=2x2-8x+9的對稱軸是 直線x=2，2 時，函數有最 小 值，頂點坐標是(2，1).當x= 是 1。

在日常生活中存在著許許多多的與數學知識有關的 實際問題。如繁華的商業城中很多人在買賣東西。

如果你去買商品，你會選買哪一家呢？如果你是商場經理，如何定價才能使商場獲得最大利潤呢？

自主探究

問題1.已知某商品的進價為每件40元，售價是每件 60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如果調整價格，每漲 價1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤，該 商品應定價為多少元？

分析：沒調價之前商場一周的利潤為 6000 元； 設銷售單價上調了x元，那么每件商品的利潤（20+x）元，每周的銷售量可表示為 可表示為（300-10x）件，一周的利潤可表示為(20+x)(300-10x)元，要想獲得6090元利潤可 列方程(20+x)(300-10x)=6090。

合作交流 問題2.已知某商品的進價為每件40元，售價是每件60元，每星期可賣出300件。市 場調查反映：如調整價格，每漲價一元，每星期要少賣出10件。該商品應定價為多 少元時，商場能獲得最大利潤？

問題3.已知某商品的進價為每件40元。現在的售價是每件60元，每星期可賣 出300件。市場調查反映：如調整價格，每降價一元，每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大？

問題4.已知某商品的進價為每件40元。現在的售價是每件60元，每星期可賣 出300件。市場調查反映：如調整價格，每漲價一元，每星期要少賣出10件； 每降價一元，每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大？

解：設每件漲價為x元時獲得的總利潤為y元.y =(60-40+x)(300-10x)(0≤x≤30)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x)+6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 當x=5時，y的最大值是6250.定價:60+5=65（元）

解:設每件降價x元時的總利潤為y元.y=(60-40-x)(300+20x)怎樣確定x 的取值范圍 =(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20）所以定價為60-2.5=57.5時利潤最大,最大值為6125元.由(2)(3)的討論及現在的銷 售情況,你知道應該如何定 價能使利潤最大了嗎? 答:綜合以上兩種情況，定價為65元時可獲得 最大利潤為6250元.解決這類題目的一般步驟

（1）列出二次函數的解析式，并根據自變量的 實際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內，運用公式法或通 過配方求出二次函數的最大值或最小值.當堂檢測

1.某商店購進一批單價為20元的日用品,如果以單 價30元銷售,那么半個月內可以售出400件.根據銷 售經驗,提高單價會導致銷售量的減少,即銷售單價 每提高1元,銷售量相應減少20件.售價提高多少元 時,才能在半個月內獲得最大利潤? 解：設售價提高x元時，半月內獲得的利潤為y元.則 y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴當x=5時，y最大 =4500 答：當售價提高5元時，半月內可獲最大利潤4500元

2.某商店經營一種小商品，進價為2.5元，據市場 調查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500 件，而銷售單價每降低1元，平均每天就可以多售 出100件.（1）假設每件商品降低x元，商店每天銷售這種 小商品的利潤是y元，請你寫出y與x之間的函數關 系式，并注明x的取值范圍；（2）每件小商品銷售價是多少元時，商店每天銷 售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？（注：銷售利潤=銷售收入－購進成本）

解析：（1）降低x元后，所銷售的件數是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）

（2）y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）配方得y=－100（x－3）2+6400 當x=3時，y的最大值是6400元.即降價為3元時，利潤最大.所以銷售單價為10.5元時，最大利潤為6400元.答：銷售單價為10.5元時，最大利潤為6400元.布置作業：

第四篇：二次函數漲價問題

1、某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少買出10件；每降價1元，每星期可多買出20件。已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

2、某商店經營T恤衫，已知成批購進時單價是2.5元，根據市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關系：在某一時間內，單價是13.5元時，銷售量是500件，而單價每降低一元，就可以多售出200件。請你幫助分析：銷售單價是多少時，可以獲得最大利潤？

1、（1）解：設該商品定價為x元時，可獲得利潤為y元依題意得： y ＝（x－40）·〔300－10（x－60）〕 ＝－10x2＋1300x－36000 ＝－10(x－65)2＋6250 300－10（x－60）≥ 0 當x=65時，函數有最大值。

得x≤ 90（40≤x ≤ 90）即該商品定價65元時，可獲得最大利潤。（2）設漲價x元

(60+x)(300-10x)=18000 18000-600x+300x-10x^2=18000 300x+10x^2=0 10x(30+x)=0 x1=-30 x2=0 又30<40 所以不可以

又（60-x）(300+20x)=18000 x1=45 x2=0 又15小于40 所以綜上 定價60元是收益最大

2、解：設銷售價為x元Y=（x-2.5）(500+200(13.5-X))4

第五篇：二次函數最值問題

《二次函數最值問題》的教學反思

大河鎮 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現不了學生是學習的主人這一關鍵環節。

反思二：數學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現實問題，讓學生“從問題的背景出發，建立數學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（小）＝→解決問題”，讓學生在實踐中發現數2a4a學，掌握數學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現象。傳統的教學“五環節”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。