第一篇：點、直線、平面之間的位置關系知識點總結

點、直線、平面之間的位置關系知識點總結

立體幾何知識點總結 1.直線在平面內的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點在平面內，則這條直線在平面內.(2)若兩個平面互相垂直，則經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.(3)過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直于已知直線的平面內，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.(4)過平面外一點和該平面平行的直線，都在過此點而與該平面平行的平面內，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.(5)如果一條直線與一個平面平行，那么過這個平面內一點與這條直線平行的直線必在這個平面內，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.2.存在性和唯一性定理

(1)過直線外一點與這條直線平行的直線有且只有一條；(2)過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3)過平面外一點與這個平面平行的平面有且只有一個；(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5)過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；

(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個；(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個；

(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個.3.射影及有關性質

(1)點在平面上的射影自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影，點的射影還是點.(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個點向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個點；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.(3)圖形在平面上的射影一個平面圖形上所有的點在一個平面上的射影的集合叫做這個平面圖形在該平面上的射影.當圖形所在平面與射影面垂直時，射影是一條線段； 當圖形所在平面不與射影面垂直時，射影仍是一個圖形.(4)射影的有關性質

從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；(ii)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.4.空間中的各種角 等角定理及其推論

定理若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個角相等.推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.異面直線所成的角

(1)定義：a、b是兩條異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.(2)取值范圍：0°＜θ≤90°.(3)求解方法

①根據定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.5.直線和平面所成的角

(1)定義 和平面所成的角有三種：

(i)垂線 面所成的角 的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.(ii)垂線與平面所成的角 直線垂直于平面，則它們所成的角是直角.(iii)一條直線和平面平行，或在平面內，則它們所成的角是0°的角.(2)取值范圍0°≤θ≤90°(3)求解方法

①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理

斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內任何直線所成的角.6.二面角及二面角的平面角

(1)半平面 直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.若兩個平面相交，則以兩個平面的交線為棱形成四個二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常認為二面角的平面角θ的取值范圍是 0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一點為端點，分別在兩個面內作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.如圖，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小與頂點C在棱AB上的位置無關.②二面角的平面角具有下列性質：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(異于角的頂點)作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長線)上.(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定義法(ii)垂面法(iii)三垂線法

(Ⅳ)根據特殊圖形的性質(4)求二面角大小的常見方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.②利用面積射影定理 S′=S·cosα

其中S為二面角一個面內平面圖形的面積，S′是這個平面圖形在另一個面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.③利用異面直線上兩點間的距離公式求二面角的大小.7.空間的各種距離 點到平面的距離

(1)定義 面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.(2)求點面距離常用的方法： 1)直接利用定義求

①找到(或作出)表示距離的線段； ②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.2)利用兩平面互相垂直的性質.即如果已知點在已知平面的垂面上，則已知點到兩平面交線的距離就是所求的點面距離.3)體積法其步驟是：①在平面內選取適當三點，和已知點構成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點構成三角形的面積S；③由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優點是不必作出垂線即可求點面距離.難點在于如何構造合適的三棱錐以便于計算.4)轉化法將點到平面的距離轉化為(平行)直線與平面的距離來求.8.直線和平面的距離

(1)定義一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.(2)求線面距離常用的方法

①直接利用定義求證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計算之.②將線面距離轉化為點面距離，然后運用解三角形或體積法求解之.③作輔助垂直平面，把求線面距離轉化為求點線距離.9.平行平面的距離(1)定義 個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.兩個平行平面的公垂線段的長度叫做這兩個平行平面的距離.(2)求平行平面距離常用的方法 ①直接利用定義求

證(或連或作)某線段為距離，然后通過解三角形計算之.②把面面平行距離轉化為線面平行距離，再轉化為線線平行距離，最后轉化為點線(面)距離，通過解三角形或體積法求解之.10.異面直線的距離

(1)定義 條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離.任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.(2)求兩條異面直線的距離常用的方法

①定義法 題目所給的條件，找出(或作出)兩條異面直線的公垂線段，再根據有關定理、性質求出公垂線段的長.此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形.②轉化法 為以下兩種形式：線面距離面面距離 ③等體積法④最值法⑤射影法⑥公式法

第二篇：2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能

（1）了解空間中直線與平面的位置關系；（2）了解空間中平面與平面的位置關系；（3）培養學生的空間想象能力。

2、過程與方法

（1）學生通過觀察與類比加深了對這些位置關系的理解、掌握；（2）讓學生利用已有的知識與經驗歸納整理本節所學知識。

2.教學重點/難點

重點：空間直線與平面、平面與平面之間的位置關系。難點：用圖形表達直線與平面、平面與平面的位置關系。

3.教學用具

投影儀等.4.標簽

數學，立體幾何

教學過程

（一）創設情景、導入課題

教師以生活中的實例以及課本P49的思考題為載體，提出了：空間中直線與平面有多少種位置關系？（板書課題）

（二）研探新知

1、引導學生觀察、思考身邊的實物，從而直觀、準確地歸納出直線與平面有三種位置關系：

（1）直線在平面內 —— 有無數個公共點（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a 表示

α來

例4（投影）師生共同完成例4 例4的給出加深了學生對這幾種位置關系的理解。

2、引導學生對生活實例以及對長方體模型的觀察、思考，準確歸納出兩個平面之間有兩種位置關系：

（1）兩個平面平行 —— 沒有公共點

（2）兩個平面相交 —— 有且只有一條公共直線

用類比的方法，學生很快地理解與掌握了新內容，這兩種位置關系用圖形表示為

教師指出：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行。教材P51 探究

讓學生獨立思考，稍后教師作指導，加深學生對這兩種位置關系的理解 教材P51 練習

學生獨立完成后教師檢查、指導

（三）歸納整理、整體認識

教師引導學生歸納，整理本節課的知識脈絡，提升他們掌握知識的層次。

（四）作業

1、讓學生回去整理這三節課的內容，理清脈絡。

2、教材P51習題2.1 A組第3題、第5題，B組第1題

課堂小結

教師引導學生歸納，整理本節課的知識脈絡，提升他們掌握知識的層次。

課后習題 作業

1、讓學生回去整理這三節課的內容，理清脈絡。

2、教材P51習題2.1 A組第3題、第5題，B組第1題

板書 略

第三篇：直線與平面之間的位置關系教學設計

一、教學目標

1、知識與技能：（1）了解空間中直線與平面的位置關系；（2）了解空間中平面與平面的位置關系；（3）培養學生的空間想象能力。

2、過程與方法：（1）學生通過觀察與類比加深了對這些位置關系的理解、掌握；（2）讓學生利用已有的知識與經驗歸納整理本節所學知識。

二、教學重點、難點

重點：空間直線與平面、平面與平面之間的位置關系。

難點：用圖形表達直線與平面、平面與平面的位置關系。

三、學法與教法

1、學法：學生借助實物，通過觀察、類比、思考等，較好地完成本節課的教學目標。

2、教法：觀察類比，探究交流。

四、教學過程

（一）復習引入：空間兩直線的位置關系：（1）相交；（2）平行；（3）異面

2.公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 推理模式： ．

3.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

4.等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線。推理模式： 與 是異面直線

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經過空間任一點 作直線，所成的角的大小與點 的選擇無關，把 所成的銳角（或直角）叫異面直線 所成的角（或夾角）．為了簡便，點 通常取在異面直線的一條上

8．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線 垂直，記作 ．

（二）研探新知

1、引導學生觀察、思考身邊的實物，從而直觀、準確地歸納出直線與平面有三種位置關系：

（1）直線在平面內 —— 有無數個公共點

（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a α來表示

a α a∩α=A a∥α

例1下列命題中正確的個數是（）

?內，則L∥?⑴若直線L上有無數個點不在平面

內的任意一條直線都平行?平行，則L與平面?(2)若直線L與平面

（3）如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

內任意一條直線都沒有公共點?平行，則L與平面?（4）若直線L與平面

（A）0(B)1(C)2(D)

32、探析平面與平面的位置關系：

① 以長方體為例，探究相關平面之間的位置關系？ 聯系生活中的實例找面面關系.② 討論得出：相交、平行。

→定義：平行：沒有公共點；相交：有一條公共直線?！柋硎荆害痢桅?、α∩β＝b

→舉實例：…

③ 畫法：相交：……。平行：使兩個平行四邊形的對應邊互相平行

④ 練習： 畫平行平面；畫一條直線和兩個平行平面相交；畫一個平面和兩個平行平面相交

探究：A.分別在兩平行平面的兩條直線有什么位置關系？

B.三個平面兩兩相交，可以有交線多少條？ C.三個平面可以將空間分成多少部分？

D.若，則

（三）、鞏固練習

1．選擇題，則a∥b??，b? ④若a∥?，則a∥?，則a∥b ③若a∥b，b∥?，b∥? ②若a∥?，則a∥??表示平面）①若a∥b，b?（1）以下命題（其中a，b表示直線，其中正確命題的個數是（）

（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個，則直線a，b的位置關系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）?，b∥?（2）已知a∥

（A）2個（B）3個（C）4個（D）5個的位置關系一定是（）?的距離都是a，則直線AB和平面?外有兩點A、B，它們到平面?（3）如果平面

??（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB

=l，則l（）?∩?，?，n∥平面?（4）已知m，n為異面直線，m∥平面

（A）與m，n都相交（B）與m，n中至少一條相交

（C）與m，n都不相交（D）與m，n中一條相交

教材P51 練習學生獨立完成后教師檢查、指導

（四）歸納整理、整體認識

教師引導學生歸納，整理本節課的知識脈絡，提升他們掌握知識的層次。

（五）作業：

1、讓學生回去整理這三節課的內容，理清脈絡。

2、教材P51習題2.1 A組第5題

第四篇：高考二輪復習數學理配套講義9 空間點、直線、平面之間的位置關系

微專題9　空間點、直線、平面之間的位置關系

命

題

者

說

考

題

統

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅱ·T9·異面直線所成的角

2018·浙江高考·T6·直線與平面平行

2017·全國卷Ⅱ·T10·異面直線所成的角

2017·全國卷Ⅲ·T16·圓錐、異面直線所成的角

1.以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關系的判定與性質定理，對命題的真假進行判斷，屬基礎題。

2.空間中的平行、垂直關系的證明也是高考必考內容，多出現在立體幾何解答題中的第(1)問。

考向一

空間點、線、面的位置關系判斷

【例1】(1)已知α，β是兩個不同的平面，l，m，n是不同的直線，下列命題中不正確的是()

A．若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l⊥α

B．若l⊥α，l∥β，則α⊥β

C．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，則m⊥β

D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n

(2)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是()

A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

B．若m⊥α，n⊥α，則m∥n

C．若m∥α，n∥α，則m∥n

D．若l∥α，α∥β，則l∥β

解析(1)由l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，不能推出l⊥α，缺少條件m與n相交，故A不正確；若l⊥α，l∥β，則過l作平面γ，使γ∩β＝c，則l∥c，故c⊥α，c?β，故α⊥β，B正確；根據面面垂直的性質定理知C正確；D正確。故選A。

(2)若α⊥γ，β⊥γ，則α與β相交或平行，故A錯誤；若m⊥α，n⊥α，則由直線與平面垂直的性質得m∥n，故B正確；若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故C錯誤；若l∥α，α∥β，則l?β或l∥β，故D錯誤。故選B。

答案(1)A(2)B

判斷空間點、線、面位置關系，主要依據四個公理、平行關系和垂直關系的有關定義及定理，具體處理時可以構建長方體或三棱錐等模型，把要考查的點、線、面融入模型中，判斷會簡潔明了。如果要否定一結論，只需找到一個反例即可。

變|式|訓|練

1．已知直線a，b和平面α，β，下列命題中是假命題的有________(只填序號)。

①若a∥b，則a平行于經過b的任何平面；

②若a∥α，b∥α，則a∥b；

③若a∥α，b∥β，且α⊥β，則a⊥b；

④若α∩β＝a，且b∥α，則b∥a。

解析　①若a∥b，a，b可以確定平面，則a平行于經過b的任何平面，不正確；②若a∥α，b∥α，則a∥b或a，b相交、異面，不正確；③若a∥α，b∥β，且α⊥β，則a，b關系不確定，不正確；④若α∩β＝a，且b∥α，則b與a關系不確定，不正確。

答案?、佗冖邰?/p>

2．(2018·益陽、湘潭調研)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()

A．①③

B．②③

C．②④

D．②③④

解析　由題意，可知題圖①中，GH∥MN，因此直線GH與MN共面；題圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；題圖③中，連接MG，則GM∥HN，因此直線GH與MN共面；題圖④中，連接GN，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，所以直線GH與MN異面。故選C。

答案　C

考向二

異面直線所成的角

【例2】(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()

A．

B．

C．

D．

解析

解法一：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0，0，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，因為cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為。故選C。

解法二：如圖，補上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1。易知AD1∥DE1，則∠B1DE1或其補角為異面直線AD1與DB1所成角。因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以DE1＝＝＝2，DB1＝＝，B1E1＝＝＝，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝＝>0，所以∠B1DE1為銳角，即為異面直線AD1與DB1所成的角，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C。

解法三：如圖，連接BD1，交DB1于點O，取AB的中點M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角。因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C。

答案　C

求異面直線所成的角，一般是用平移法把異面直線平移為相交直線，然后再解三角形求解。

變|式|訓|練

(2018·陜西質量檢測)已知△ABC與△BCD均為正三角形，且AB＝4。若平面ABC⊥平面BCD，且異面直線AB和CD所成的角為θ，則cosθ＝()

A．－　　B．

C．－

D．

解析

如圖，取BC的中點O，取BD的中點E，取AC的中點F，連接OA，OE，OF，EF，則OE∥CD，OF∥AB，則∠EOF或其補角為異面直線AB與CD所成的角，依題得OE＝CD＝2，OF＝AB＝2，過點F作FG⊥BC于點G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝OA＝，G為OC的中點，則OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝60°，所以由余弦定理得EG＝

＝＝，由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝6，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝＝，所以cosθ＝。故選D。

答案　D

考向三

空間點、線、面的綜合問題

【例3】(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()

A．A1E⊥DC1

B．A1E⊥BD

C．A1E⊥BC1

D．A1E⊥AC

(2)若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，給出下列結論：

①四面體ABCD每組對棱相互垂直；

②四面體ABCD每個面的面積相等；

③從四面體ABCD每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于90°且小于180°；

④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分；

⑤從四面體ABCD每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長。

其中正確結論的序號是________。

解析(1)解法一：由正方體的性質，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD。又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1。故選C。

解法二：因為A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，所以B、D錯誤；因為A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1，所以A1E⊥BC1，(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，所以BC1⊥平面CEA1B1。又A1E?平面CEA1B1，所以A1E⊥BC1。)，C正確；因為A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直。A錯誤。故選C。

(2)對于①，如圖①，AE，CF分別為BD邊上的高，由AD＝BC，AB＝CD，BD＝DB可知△ABD≌△CDB，所以AE＝CF，DE＝BF，當且僅當AD＝AB，CD＝BC時，E，F重合，此時AC⊥BD，所以當四面體ABCD為正四面體時，每組對棱才相互垂直，故①錯誤；對于②，由題設可知四面體的四個面全等，所以四面體ABCD每個面的面積相等，故②正確；對于③，當四面體為正四面體時，同一個頂點出發的任意兩條棱的夾角均為60°，此時四面體ABCD每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和等于180°，故③錯誤；對于④，如圖②，G，H，I，J為各邊中點，因為AC＝BD，所以四邊形GHIJ為菱形，所以GI，HJ相互垂直平分，其他同理可得，所以連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分，故④正確；對于⑤，從A點出發的三條棱為AB，AC，AD，因為AC＝BD，所以AB，AC，AD可以構成三角形，其他同理可得，所以從四面體ABCD每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長，故⑤正確。綜上所述，正確的結論為②④⑤。

答案(1)C(2)②④⑤

破解此類問題需：(1)認真審題，并細觀所給的圖形，利用空間直線、平面平行與垂直的判定定理和性質定理求解；(2)懂得轉化，即把面面關系問題轉化為線面關系問題，再把線面關系問題轉化為線線關系問題，通過轉化，把問題簡單化，問題的解決也就水到渠成了。

變|式|訓|練

1．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()

A．0條

B．1條

C．2條

D．0條或2條

解析　如圖，因為平行于三棱錐的兩條相對棱的平面截三棱錐所得的截面是平行四邊形，所以該三棱錐中與平面α平行的棱有2條。故選C。

答案　C

2．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()

A

B

C　　　　　D

解析

解法一：對于B，如圖所示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ。同理可證選項C，D中均有AB∥平面MNQ。故選A。

解法二：對于A，設正方體的底面對角線的交點為O(如圖所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因為OQ與平面MNQ有交點，所以AB與平面MNQ有交點，即AB與平面MNQ不平行。故選A。

答案　A

1．(考向一)(2018·重慶六校聯考)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是()

A．存在一條直線a，a∥α，a∥β

B．存在一條直線a，a?α，a∥β

C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

解析　對于A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項A的內容是α∥β的一個必要條件；同理，選項B，C的內容也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的內容是α∥β的一個充分條件。故選D。

答案　D

2．(考向二)(2018·全國卷Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()

A．8

B．6

C．8

D．8

解析

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BC1，根據線面角的定義可知∠AC1B＝30°，因為AB＝2，所以BC1＝2，從而求得CC1＝2，所以該長方體的體積為V＝2×2×2＝8。故選C。

答案　C

3．(考向三)在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，點E為棱PB的中點，點F在棱AD上，平面CEF與PA交于點K，且PA＝AB＝3，AF＝2，則等于()

A．　　　　B．

C．　　　　D．

解析　如圖所示，延長BA，CF交于點G，連接EG，與PA的交點就是K點，則AG＝6，過點A作AH∥PB，與EG交于點H，則＝＝＝＝＝。故選A。

答案　A

4．(考向三)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若P為三角形A1B1C1內一點(不含邊界)，則點P在底面ABC的投影可能在()

A．△ABC的內部

B．△ABC的外部

C．直線AB上

D．以上均有可能

解析　因為AC⊥AB，AC⊥BC1，所以AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線

AB上。若P為三角形A1B1C1內一點(不含邊界)，則點P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部。故選B。

答案　B

5．(考向三)(2018·成都診斷)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD為正方形，P為A1D1的中點，AD＝2，AA1＝，點Q是正方形ABCD所在平面內的一個動點，且QC＝QP，則線段BQ的長度的最大值為________。

解析　以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則P(1,0，)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，因為QC＝QP，所以＝?(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4?|y＋2|≤2?－4≤y≤0，BQ＝＝＝，根據－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，所以2≤BQ≤6，故線段BQ的長度的最大值為6。

答案　6

第五篇：空間中直線與直線之間的位置關系教學設計

《空間中直線與直線之間的位置關系》教學設計

西吉縣回民中學

潘燕

教材分析

高中數學新課程標準對本節課的要求是：在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義。它既是研究空間點、直線、平面之間各種位置關系的開始，又是學習這些位置關系的基礎。學情分析

學生通過前面知識的學習，具有一定的空間意識和空間想象能力，對數學學習有一定的興趣，能夠積極參與研究，但在分析推理能力、空間想象能力方面比較欠缺。在合作交流意識方面，發展不夠均衡，有待加強。教學目標：

1、知識與技能

（1）了解空間中兩條直線的位置關系；

（2）理解異面直線的概念、畫法，培養學生的空間想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；

（5）異面直線所成角的定義、范圍及應用。

2、過程與方法

（1）師生的共同討論與講授法相結合；（2）讓學生在學習過程不斷歸納整理所學知識。

3、情感與價值

讓學生感受到掌握空間兩直線關系的必要性，提高學生的學習興趣。教學重點、難點

重點：異面直線的概念、異面直線所成的角與簡單角的求法；公理4的運用．

難點：異面直線概念的理解與求法． 學法與教學用具

1、學法：學生通過閱讀教材、思考與教師交流、概括，從而較好地完成本節課的教學目標。

2、教學用具：投影儀、投影片、長方體模型、三角板 教學過程設計：

思考問題：空間直線與直線的位置關系有幾種？

設計意圖：由教科書第44頁“思考”中的問題，引起學生注意，誘發學生探知的欲望，養成思考問題的習慣．

師生活動：（虛擬）教師放課件圖片，引導學生觀察：日光燈所在線與黑板左右兩側所在直線的位置關系，讓學生發現，直線與直線有既不平行又不相交的位置關系．我們今天上課的內容是：

板書：空間中直線與直線的位置關系

觀察：如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'中，線段A'B'所在直線與線段BC所在直線的位置關系如何？ 學生：既不相交，又不平行．

教師：這種關系我們定義為異面直線．

板書：1．異面直線的定義：把不同在任何一個平面內的兩直線叫做異面直線．（關鍵點：不同在任何一個平面內）概念辨析：

下列說法是否正確？請同學思考后回答：

如圖，AD'?平面A'B'C'D'，BC?平面ABCD，問AD'，BC是否是異面關系。

教師：同學們要理解定義中關鍵詞“不同在任何一個平面內”，雖然直線AD'，BC是不在同一底面上，但它們卻在對角面A1BCD1內，因此，它們不是異面直線。

由學生歸納空間直線的位置關系有且僅有三種：

板書：2．空間直線的位置關系：

板書：3．異面直線畫法：（幻燈片給出圖形及小標題）：

（1）．一個平面襯托畫法：

（2）．兩個平面襯托畫法：

（1）師：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規律？ 組織學生思考：

長方體ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'與DD'平行嗎？

生：平行

再聯系其他相應實例歸納出公理4 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線

a∥b c∥b 強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。（2）例2（投影片）

例2的講解讓學生掌握了公理4的運用（3）教材P47探究

讓學生在思考和交流中提升了對公理4的運用能力。

4、組織學生思考教材P47的思考題

（投影）

讓學生觀察、思考：

∠ADC與A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？

生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教師畫出更具一般性的圖形，師生共同歸納出如下定理

=>a∥c

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

教師強調：并非所有關于平面圖形的結論都可以推廣到空間中來。

5、以教師講授為主，師生共同交流，導出異面直線所成的角的概念。（1）師：如圖，已知異面直線a、b，經過空間中任一點O作直線a'∥a、b'∥b，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。

（2）強調：

① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選

?2擇無關，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；

② 兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

③ 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；

④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； ⑤ 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

（3）例3（投影）

例3的給出讓學生掌握了如何求異面直線所成的角，從而鞏固了所學知識。

課堂練習

教材P49 練習1、2 充分調動學生動手的積極性，教師適時給予肯定。課堂小結

在師生互動中讓學生了解：（1）本節課學習了哪些知識內容？（2）計算異面直線所成的角應注意什么？ 板書設計 教后反思

本節課的教學目標是：理解異面直線的概念；會判斷兩條直線是否為異面直線；理解異面直線所成角的概念；會求簡單的異面直線所成角的大小。通過本節課的教學，使學生感知數學，體驗數學；培養學生的空間想象能力和化歸轉化能力；了解科學學習方法和研究方法，增強創新意識和實踐能力，訓練學生獨立分析問題解決問題的能力。我在使用信息技術上還是很不成熟的，這既與客觀條件有關系，也與我自己的認識和能力有關系，以后還有很多需要提高的地方。當然，在利用信息技術的同時，雙基的訓練不能忽略，還應當進一步加強，數學教學的本質是培養和鍛煉學生的邏輯思維能力，我們不能為了用課件而用課件，在這節課我深有體會，比如課堂上我發現有部分學生忙于記筆記，而跟不上上課的思路，導致引導起來比較費力一些。應該根據不同的學生和課堂情形，靈活處理，要充分發揮學生的主體地位，真正從學生的發展這個角度來靈活實現信息技術與數學教學的有機整合。