第一篇：空間點線面之間的位置關系教案

空間點、直線、平面之間的位置關系

考情分析

1．本講以考查點、線、面的位置關系為主，同時考查邏輯推理能力與空間想象能力．

2．有時考查應用公理、定理證明點共線、線共點、線共面的問題． 3．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題．

基礎知識

1．平面的基本性質

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內．

(2)公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．

(3)公理3：如果兩個平面(不重合的兩個平面)有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線． 推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面． 推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面． 2．直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類

(2)異面直線所成的角

①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)． ②范圍：.3．直線與平面的位置關系有平行、相交、在平面內三種情況． 4．平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．

5．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

6．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．

注意事項

1異面直線的判定方法：

(1)判定定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過該點的直線是異面直線．

(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．

2.(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內；③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內．

(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法．

(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線． 題型一平面的基本性質 【例1】正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點，那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是（）．

A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 解析

如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長與CB交于M，連接MR交BB1于E，連接PE、RE為截面的部分外形．

同理連PQ并延長交CD于N，連接NG交DD1于F，連接QF，FG.∴截面為六邊形PQFGRE.答案 D

【變式1】 下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________．

解析

在④圖中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點不共面．可證①中四邊形PQRS為梯形；③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；②中如圖所示取A1A與BC的中點為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．

答案 ①②③

題型二 異面直線

【例2】4．已知異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝c，那么直線c一定()

A．與a，b都相交

B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行

解析：若c與a、b都不相交，則c與a、b都平行．根據公理4，則a∥b.與a、b異面矛盾．

答案：C

【訓練2】 在下圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)．

解析 如題干圖(1)中，直線GH∥MN；

圖(2)中，G、H、N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面； 圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面； 圖(4)中，G、M、N共面，但H?面GMN，∴GH與MN異面．所以圖(2)、(4)中GH與MN異面． 答案(2)(4)

題型三 異面直線所成的角

【例3】如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，將△ABD沿對角線BD折起到△A′BD的位置，使點A′在平面BCD內的射影點O恰好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為________．

解析：如題圖所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°.【變式3】 A是△BCD平面外的一點，E，F分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．(1)證明 假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內，這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)解

如圖，取CD的中點G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.題型四 點共線、點共面、線共點的證明 【例4】?正方體

ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點．

證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE、D1F、DA三線共點．

【變式4】 如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F、G分別是邊BC、CD上的點，且＝＝，求證：三條直線EF、GH、AC交于一點

證明 ∵E、H分別為邊AB、AD的中點，∴EH綉BD，而＝＝，∴＝，且FG∥BD.∴四邊形EFGH為梯形，從而兩腰EF、GH必相交于一點P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交線AC上，故EF、GH、AC三直線交于一點．

【例5】l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面

解析 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直

線不一定共面，如三棱柱的三條側棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側棱，故D錯． 答案 B

鞏固提高

1．設A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是

（）A．若AC與BD共面，則AD與BC共面

B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線 C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC

解析：A中，若AC與BD共面，則A、B、C、D四點共面，則AD與BC共面；

B中，若AC與BD是異面直線，則A、B、C、D四點不共面，則AD與BC是異面直線；

C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC； D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以證明AD⊥BC.答案：C

2．已知a、b、c、d是空間四條直線，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()

A．a∥b且c∥d

B．a、b、c、d中任意兩條可能都不平行 C．a∥b或c∥d

D．a、b、c、d中至多有一對直線互相平行 解析：若a與b不平行，則存在平面β，使得a?β且b?β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，則c與d可能平行，也可能不平行．結合各選項知選C.答案：C

3．對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得（）A．a?α，b?α

B．a?α，b∥α

C．a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α 解析：不相交的直線a，b的位置有兩種：平行或異面．當a，b異面時，不存在平面α滿足A、C；又只有當a⊥b時，D才可能成立．

答案：B

4．已知空間中有三條線段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是()

A．AB∥CD

B． AB與CD異面 C．AB與CD相交

D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交

解：若三條線段共面，如果AB、BC、CD構成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線，故選D.答案：D

5．a，b，c是空間中的三條直線，下面給出三個命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c；

②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ③若a，b與c成等角，則a∥b.上述命題中正確的命題是________(只填序號)

解析：由基本性知①正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故③不正確．

答案：① 答案：90°

第二篇：點線面位置關系小結

課題：點線面位置關系小結

一、學習目標：

1.掌握面面垂直定義和判定定理,并會應用證明面面垂直.2.掌握折疊問題.二、重點：證明面面垂直.難點：折疊作圖及找到折疊前后的不變量.三、復習引入：

面面垂直的判定定理及應用的關鍵

四、導練展示：

例1.已知邊長為a的正三角形ABC的中線AF與中位線DE相

交于點G,將此三角形沿DE折成二面角A??DE?B.求證：面A?FG?面BCED

例2.如圖,將矩形ABCD沿對角線BD把?ABD折起,使A移到

A1點,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.求證：面A1BC?面A1BD

五、達標訓練：

1.在正三角形ABC中, AD?BC于D,沿AD折成二面角B?AD?C后,BC?

AB,這時二面角B?AD?C的大小為（）A.60?

B.90?

C.45?

D.120?

2.在矩形ABCD中,AB?3,BC?3,沿對角線BD把?BCD折起,使C移到C?,且平面ABC?面ABD.⑴求證：AC??BC?

⑵求AB與面BC?D所成角的正弦值.六、小結：

①折疊問題注意如何作圖.可將平面圖先畫成直觀圖再畫折疊圖.甚至改

變視角作用.②折疊問題注意折疊前后的不變量作為隱含的已知條件.③證明面面垂直問題的關鍵是找線面及線線垂直.

第三篇：點線面位置關系定理總結

培優輔導，陪你更優秀！

1.線面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（簡述為線線平行線面平行）表述及圖示

a?? b??a//ba//?2.線面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（簡述為線面平行線線平行）a//?a//b a??????b3.平面平行判定定理：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

a//?b//?a???//? b??a?b?P4.平面平行性質定理：如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ?//?a//b????a

????b5.線面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線就垂直于這個a?ba?c平面。b?c?Aa??

b??c??6.線面垂直性質定理：垂直于同一平面的兩條直線平行。a??b?? a//b7.面面垂直判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。簡述為“線面垂直，則面面垂直”。a????? a??8.面面垂直性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。???????l???

a??a?l

第四篇：空間點線面的位置關系教案

空間點線面的位置關系

（一）教學目標：

1.知識與技能

（1）理解空間直線、平面位置關系的定義；（2）了解作為推理依據的公理和定理。

（3）會根據定理和公理進行簡單的線面關系的推理和證明，并能夠進行簡單的體積或面積運算

2.過程與方法

（1）通過對空間事物的觀察，經歷由具體到抽象的思維過程（2）通過對空間圖形的描述和理解，體驗由圖形歸納性質的過程 3.情感、態度與價值觀

（1）由圖形歸納性質的過程中，培養學生從具體到抽象的思維能力（2）又實際空間物體聯想空間線面關系，使學生感受到數學在實際生活中的應用。

（二）教學重點和難點：

1、教學重點：空間中線面平行和垂直關系的性質和判定；

2、教學難點：線面平行和垂直關系判定和性質定理的應用。

（三）教學過程：

【復習引入】

提問：空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系有幾種?

如何來證明線線，線面，面面的平行和垂直？

【新課講授】

根據空間具體事物，能夠抽象地畫出它的直觀圖形，并通過定理和公理進行推理證明是立體幾何的基本問題之一．如何正確理解空間直線、平面的位置關系，能夠通過定理和公理判斷和推理證明平行和垂直關系是解決這個基本問題的途徑。

1、高考數學（文科）考試說明的了解

2、針對性訓練及講解：

題組一：（空間點線面位置關系的判斷）（1）、已知兩條不同直線l1和l2及平面a,則直線l1//l2的一個充分條件是 A、l1//a且l2//a B.l1⊥a且l2⊥a C.l1//a且l2?a D.l//a且l?a

12（2）、已知?,?是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題： ①若m??,m??，則???；

②若m??,n??,m//?，n//?,則?//?； ③如果m??,n??,m,n是異面直線，那么n與?相交； ④若????m,n//m,且n??,n?其中正確的命題是

簡單點撥：題組一主要是對線面、面面位置關系的判斷以及根據平行或垂直有關的定理和公理進行判斷，要求學生對性質和定理要熟悉。題組二：（線面、面面位置關系的推理證明和體積運算）（1）、如圖，已知ABCD?A1B1C1D1是底面為正方形的 長方體，?AD1A點P是AD1上的動點． 1?60，AD1?4，BCPA1AD?，則n//?且n//?

① 試求四棱錐P?A1B1C1D1體積的最大值； ② 試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面B1PA1垂直于平面并證明你的結論

B1D1AA1D1？

C1（2）、已知三棱柱ABC—A1B1C1的三視圖如圖所示，其中主視圖AA1B1B和 左視圖B1BCC1均為矩形，在俯視圖△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5,cos?A1?3.5① 在三棱柱ABC—A1B1C1中，若D是底邊AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1.② 在三棱柱ABC—A1B1C1中，求證：

BC⊥AC1；

③ 若三棱柱的高為5,求三視圖中左 視圖的面積.B1俯視圖A1B主視圖CC1ACB左視圖BDB1C1A1C1B1B1C1A1CA點撥講解：要進行平行或垂直的證明，首要是應用什么定理或性質，然后根據定理的內容對題目進行分析，找出合適的條件。

3、課后練習： P67 1、4、12

教學札記：空間點線面的位置關系的判斷和證明，關鍵在于學生能夠了解關于線面或面面平行、垂直的判定和性質定理，并能夠靈活應用。

第五篇：1.2《點線面之間的位置關系--線面垂直的判定和性質2》教案(蘇教版必修2)

第17課時 直線與平面垂直的判定和性質

（二）教學目標：

使學生掌握直線和平面垂直的性質，點到面的距離，線到面的距離；對學生進行轉化思想滲透，培養學生空間想象能力；使學生從問題解決過程，認識事物的發展、變化、規律。

教學重點：

直線和平面垂直的性質。

教學難點：

性質定理的證明、等價轉化思想的滲透。

教學過程：

1．復習回顧：

1.判定直線和平面垂直的方法有幾種？ ［生］定義，例1的結論、判定定理.2.各判定方法在何種條件或情形下方可熟練運用？

［生］若能確定直線和平面內任意一線垂直，則運用定義說明.若能說明所證直線和平面的一條垂線平行，則可運用例題結論說明之.若能說明直線和平面內兩相交線垂直，則運用判定定理去完成判定.2．講授新課：

［師］直線和平面是否垂直的判定方法上節課已研究過，這節課我們來共同探討：直線和平面如果垂直，則其應具備的性質是什么？

下面先思考一個問題：

例1：已知:a⊥α，b⊥α.求證：b∥a.［師］此問題是在a⊥α，b⊥α的條件下，研究a和b是否平行，若從正面去證明b∥a，則較困難，而利用反證法來完成此題，相對要容易，但難在輔助線b′的做出，這也是立體幾何開始這部分較難的一個證明.在師的指導下，學生嘗試證明，待后給出過程.證明：假定b不平行于a，設b∩α＝O，b′是經過點O與

直線a平行的直線

∵a∥b′，a⊥α

∴b′⊥α

即經過同一點O的兩條直線b、b′都垂直于平面α，而這是不可能的，因此，b∥a.有了上述證明，師生可共同得到結論：

直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行.［師］下面給出點到面的距離.從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間距離叫做這個點到這個平面的距離.應明白，點到面的距離是一線段.A．a∥β，b∥β

B．a⊥β,b⊥β C．a⊥c，b⊥c

D．a與c，b與c所成角相等 2）平面α外的點A到平面α內各點的線段中，以OA最短，那么OAα的關系是

（）A.B.C.在α內

D.不確定 3關系是

（）A.B.C.平行或相交

D.一定垂直 4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，求平行直線AB與CD之間的距離.解答：

1.排除法找滿足題意的選擇支B

［對于選擇支A，平行于同一面的兩線可能相交，也 可能異面，故不一定推出a∥b，排除A.對于選擇支C，因垂直于同一線的兩線可能異面、故排除C.對于選擇支D，若a、b、c三線能圍成三角形.且a與c、b與c成角相等，則a與b不平行，排除D，故選B.而B利用性質定理可驗證其正確.］ 2.此題也可用排除法找到正確選擇支B ［滿足題目的線段，其一個端點在平面外，故A、C應排除，因該線不會和平面又平行，也不會在平面α內，而滿足OA最短的線只有一條，故應選B，或依平面外一點和平面內各點的連線垂線段最短，從而選B.］

3.利用分類討論找選擇支C ［平面外的直線上有兩點到這個平面的距離相等，這條直線和這個平面的位置取決于點與平面的關系，與這兩點在平面的同側時，直線和平面平行，當這兩點在平面的異側時，直線和平面相交.］

4.［此題的解決主要是充分利用直線和平面垂直判定及平行線間的距離完成.］ 解：因ABEF及EFCD都是矩形，故應有

EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E

故EF⊥面BEC 而AB∥EF，CD∥EF

則AB⊥面BEC，CD⊥面BEC BC?面BEC

那么

AB⊥BC，CD⊥BC BC就是AB與CD間的距離

BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9

即BC＝3.4．課時小結：

1.能正確利用性質定理解題.2..5．課后作業：

課本P38

習題第5，7，8，9題.-