第一篇：XX年點與直線、直線與直線的位置關系高考復習教案

XX年點與直線、直線與直線的位置關系

高考復習教案

本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址XX年高考第一輪復習數學北師理第八章8.2 點與直線、直線與直線的位置關系

考綱要求

．能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．

2．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．

3．掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．

知識梳理

．兩直線的位置關系

平面內兩條直線的位置關系包括平行、相交、重合三種情況．

兩直線平行

對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?________________.對于直線l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1∥l2?__________________________.兩直線垂直

對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2?k1?k2＝____.對于直線l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1⊥l2?____________.2．兩直線的交點

設直線l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，將這兩條直線的方程聯立，得方程組A1x＋B1y＋c1＝0，A2x＋B2y＋c2＝0，若方程組有唯一解，則l1與l2____，此解就是兩直線交點的坐標；若方程組無解，則l1與l2____；若方程組有無數個解，則l1與l2____.3．有關距離

兩點間的距離

平面上兩點P1，P2間的距離|P1P2|＝____________.點到直線的距離

平面上一點P到一條直線l：Ax＋By＋c＝0的距離d＝____________.兩平行線間的距離

已知l1，l2是平行線，求l1，l2間距離的方法：

①求一條直線上一點到另一條直線的距離；

②設l1：Ax＋By＋c1＝0，l2：Ax＋By＋c2＝0，則l1與l2之間的距離d＝________.4．對稱問題

中點坐標公式

設A，B，則線段AB的中點坐標為____________．

中心對稱

若點m及N關于P對稱，則由中點坐標公式得______．

軸對稱

若兩點P1與P2關于直線l：Ax＋By＋c＝0對稱，則線段P1P2的中點在對稱軸l上，而且連接P1P2的直線垂直于對稱軸l.由方程組Ax1＋x22＋By1＋y22＋c＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標．

基礎自測

．過點且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是．

A．x－2y－1＝0

B．x－2y＋1＝0

c．2x＋y－2＝0

D．x＋2y－1＝0

2．點P在直線x＋y－4＝0上，o為坐標原點，則|oP|的最小值為．

A．13

B．22

c．6

D．2

3．已知兩條直線y＝ax－2和y＝x＋1互相垂直，則a＝．

A．2

B．1

c．0

D．－1

4．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點，則b＝．

A．－1

B．－12

c．2

D．12

5．求與直線x－y＋2＝0平行，且它們之間的距離為32的直線方程．

思維拓展

．研究兩直線的位置關系時，若直線方程的系數含有變量應注意什么？

提示：在利用斜率、截距研究兩直線的位置關系時，若直線方程中y的系數含有字母參數，則斜率可能有不存在的情況．此時，應對其按y的系數為零和不為零兩種情況進行討論．利用斜率相等研究兩條直線平行時，要注意重合的情形．

2．運用距離公式時應注意什么？

提示：點到直線的斜率公式適用于任何形式的直線方程，在運用該公式時，應首先把直線方程化為一般式；在運用兩平行線間的距離公式時，要注意先把兩直線方程中x，y的系數化成相等的形式．

一、兩直線的平行

【例1】直線l1：2x＋y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，則m的值為．

A．2

B．－3

c．2或－3

D．－2或－3

方法提煉1．判定兩直線平行的方法：

判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，則兩直線平行；若斜率都不存在，還要判定是否重合．

直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進行討論：

設直線l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1c2－B2c1≠0.2．與直線Ax＋By＋c＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0，這也是經常采用的解題技巧．

請做[針對訓練]1

二、兩直線的垂直

【例2】求經過點A，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．

方法提煉1．判定兩直線垂直的方法：

判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1?k2＝－1，則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩直線也垂直．

直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進行討論：設直線l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．與Ax＋By＋c＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0，這也是經常采用的解題技巧．

請做[針對訓練]2

三、距離公式的應用

【例3－1】已知直線l過兩直線3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交點P，且與A，B兩點距離相等，求直線l的方程．

【例3－2】已知直線l過點P，且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程．

方法提煉運用點到直線的距離公式時，需把直線方程化為一般式；運用兩平行線的距離公式時，需先把兩平行線方程中x，y的系數化為相同的形式．

請做[針對訓練]3

四、對稱問題

【例4－1】已知直線l1：2x－3y＋1＝0，點A．求：

點A關于直線l1的對稱點A′的坐標；

直線m：3x－2y－6＝0關于直線l1的對稱直線l2的方程；

直線l1關于點A對稱的直線l3的方程．

【例4－2】已知直線l1：2x＋y－4＝0，求l1關于直線l：3x＋4y－1＝0對稱的直線l2的方程．

方法提煉1．在對稱問題中，點關于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱．處理這種問題關鍵是抓住垂直與平分兩個幾何條件，轉化為代數關系列方程求解；線關于線的對稱問題，可以轉化為點關于直線的對稱問題來解決；直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱來處理，結合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個通法．

2．求與距離有關的最值問題，一般是通過作圖，轉化為對稱問題加以解決．

請做[針對訓練]4

考情分析

通過分析近幾年的高考試題可以看出，對于本節內容的考查，主要側重以下幾個方面：判斷兩直線平行與垂直的位置關系，或以平行、垂直的位置關系為載體求相關參數的值；對距離公式的考查，主要是把它作為工具來使用；對稱問題側重點與點關于直線的對稱．思想方法主要側重分類討論、數形結合、方程思想等．考查的形式以選擇題、填空題為主．

針對訓練

．與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點的直線l的方程為__________．

2．若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實數m＝________.3．若P在直線x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．

4．在直線l：3x－y－1＝0上求一點P，使得P到A和B的距離之差最大；

在直線l：3x－y－1＝0上求一點Q，使得Q到A和c的距離之和最小．

參考答案

基礎梳理自測

知識梳理

．k1＝k2，且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且B1c2－B2c1≠0 －1 A1A2＋B1B2＝0

2．相交平行 重合 3．2＋2

|Ax0＋By0＋c|A2＋B2 ②|c1－c2|A2＋B2

4．x1＋x22，y1＋y22

x＝2a－x1，y＝2b－y1

基礎自測

．A 解析：∵所求直線與直線x－2y－2＝0平行，∴所求直線的斜率為12，方程為y－0＝12，即x－2y－1＝0.2．B 解析：根據題意知，|oP|的最小值為原點o到直線x＋y－4＝0的距離．根據點到直線的距離公式，得42＝22.3．D 解析：∵兩直線垂直，∴a＝－1.∴a＝－1.4．B 解析：解方程組2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，∴三條直線交于點．

∴－1－2b＝0，即b＝－12.5．解：設與直線x－y＋2＝0平行的直線方程為x－y＋m＝0，根據平行線間的距離公式，得|2－m|2＝32?|2－m|＝6?m＝－4或m＝8，即所求的直線方程為x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.考點探究突破

【例1】c 解析：解法一：當m＝－1時，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0顯然l1與l2不平行；

當m≠－1時，因為l1∥l2，所以應滿足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－3.解法二：若l1∥l2，需2×3－m＝0，解得m＝－3或m＝2.當m＝－3或2時，－2－12≠0.∴m＝－3或2為所求．

【例2】解：解法一：∵直線2x＋y－10＝0的斜率不為0，∴直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k.∵直線l與直線2x＋y－10＝0垂直，∴k?＝－1.∴k＝12.又∵l經過點A，∴所求直線l的方程為y－1＝12，即x－2y＝0.解法二：設與直線2x＋y－10＝0垂直的直線方程為x－2y＋m＝0.∵直線l經過點A，∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.∴所求直線l的方程為x－2y＝0.【例3－1】解：解方程組3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.故交點P．

當直線l的斜率存在時，設l的方程為y－2＝k，即kx－y＋k＋2＝0.由題意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，∴直線l方程為y－2＝－13即x＋3y－5＝0.當直線l的斜率不存在時，則l的方程為x＝－1，此時也符合題目要求．

綜合知，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.【例3－2】解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1，l2的交點分別是A，B，截得的線段長|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意．

當直線l的斜率存在時，則設直線l的方程為y＝k＋1，分別與直線l1，l2的方程聯立，由y＝k＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.由y＝k＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.由兩點間的距離公式，得

3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，解得k＝0，即所求直線方程為y＝1.綜上可知，直線l的方程為x＝3，或y＝1.解法二：因為兩平行線間的距離d＝|6－1|2＝522，如圖，直線l被兩平行線截得的線段長為5，設直線l與兩平行線的夾角為θ，則，所以θ=45°.因為兩平行線的斜率是，故所求直線的斜率不存在，或為0.又因為直線l過點P，所以直線l的方程為x=3，或y=1.【例4－1】解：設A′，由已知得y＋2x＋1?23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.故A′－3313，413.在直線m上取一點，如m，則m關于l1的對稱點必在l2上．

設對稱點為m′，則由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得m′613，3013.設m與l1的交點為N，由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N．

又l2過N點，由兩點式得直線l2的方程為9x－46y＋102＝0.解法一：在l1：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如m，N．

則m，N關于點A的對稱點m′，N′均在直線l3上．

易知m′，N′，由兩點式可得l3的方程為2x－3y－9＝0.解法二：∵l1∥l3，∴可設l3的方程為2x－3y＋c＝0．

∵點A到兩直線的距離相等，∴由點到直線的距離公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c＝－9，∴l3的方程為2x－3y－9＝0.解法三：設P是l3上任一點，則P關于點A的對稱點為P′．

∵P′在直線l1上，∴2－3＋1＝0.整理得2x－3y－9＝0.【例4－2】解：方法一：由2x＋y－4＝0，3x＋4y－1＝0，得l1與l的交點為P，顯然P也在l2上．

設l2的斜率為k，又l1的斜率為－2，l的斜率為－34，則－34－1＋－34×＝k－－341＋－34k，解得k＝－211.故l2的直線方程為y＋2＝－211，即2x＋11y＋16＝0.方法二：在直線l1上取一點A，又設點A關于直線l的對稱點為B，則

y0－0x0－2＝43，3?2＋x02＋4?0＋y02－1＝0，解得B45，－85.故由兩點式可求得直線l2的方程為2x＋11y＋16＝0.演練鞏固提升

針對訓練

．3x＋4y－11＝0 解析：解法一：設直線l的斜率為k.∵l與直線3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－34.又∵l經過點，可得所求直線方程為y－2＝－34，即3x＋4y－11＝0.解法二：設與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0.∵l經過點，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.∴所求直線方程為3x＋4y－11＝0.2．1 解析：∵直線x－2y＋5＝0與2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋?m＝0，即m＝1.3．解：∵a2＋b2－2a－2b＋2＝2＋2，可看成是點P與點之間的距離．

又∵點P是直線x＋y＋1＝0上任一點，∴2＋2即是點與直線x＋y＋1＝0上任一點之間的距離．

因此，點到直線x＋y＋1＝0的距離即是2＋2的最小值．

由于點到直線x＋y＋1＝0的距離為d＝|1＋1＋1|12＋12＝322，故a2＋b2－2a－2b＋2的最小值為322.4．解：如圖甲所示，設點B關于l的對稱點為B′，連接AB′并延長交l于P，此時的P滿足|PA|－|PB|的值最大．

圖甲

設B′的坐標為，則kBB′?kl＝－1，即b－4a?3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①

又由于線段BB′的中點坐標為a2，b＋42，且在直線l上，∴3×a2－b＋42－1＝0，即3a－b－6＝0.②

①②聯立，解得a＝3，b＝3，∴B′．

于是AB′的方程為y－13－1＝x－43－4，即2x＋y－9＝0.解方程組3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0，得x＝2，y＝5，即l與AB′的交點坐標為P．

如圖乙所示，設c關于l的對稱點為c′，連接Ac′交l于點Q，此時的Q滿足|QA|＋|Qc|的值最小．

圖乙

設c′的坐標為，∴y′－4x′－3?3＝－1，3?x′＋32－y′＋42－1＝0.解得x′＝35，y′＝245.∴c′35，245.由兩點式得直線Ac′的方程為y－1245－1＝x－435－4，即19x＋17y－93＝0.解方程組19x＋17y－93＝0，3x－y－1＝0，得x＝117，y＝267.∴所求點Q的坐標為117，267.

第二篇：點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系教案

點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系；過圓上一點的圓的切線方程，判斷直線與圓相交、相切、相離的代數方法與幾何方法；兩圓位置關系的幾何特征和代數特征．

(二)能力訓練點

通過點與圓、直線與圓以及圓與圓位置關系的教學，培養學生綜合運用圓有關方面知識的能力．

(三)學科滲透點

點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系在初中平面幾何已進行了分析，現在是用代數方法來分析幾何問題，是平面幾何問題的深化．

二、教材分析

1．重點：(1)直線和圓的相切(圓的切線方程)、相交(弦長問題)；(2)圓系方程應用．

(解決辦法：(1)使學生掌握相切的幾何特征和代數特征，過圓上一點的圓的代線方程，弦長計算問題；(2)給學生介紹圓與圓相交的圓系方程以及直線與圓相交的圓系方程．)2．難點：圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(x0，y0)的切線方程的證明．(解決辦法：仿照課本上圓x2+y2=r2上一點(x0，y0)切線方程的證明．)

三、活動設計

歸納講授、學生演板、重點講解、鞏固練習．

四、教學過程(一)知識準備

我們今天研究的課題是“點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系”，為了更好地講解這個課題，我們先復習歸納一下點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系中的一些知識．

1．點與圓的位置關系

設圓C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，點M(x0，y0)到圓心的距離為d，則有：(1)d＞r(2)d=r(3)d＜r 點M在圓外； 點M在圓上； 點M在圓內．

2．直線與圓的位置關系

設圓 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直線l的方程為Ax+By+C=0，圓心(a，判別式為△，則有：(1)d＜r(2)d=r(3)d＜r 直線與圓相交； 直線與圓相切；

直線與圓相離，即幾何特征；

直線與圓相交； 或(1)△＞0(2)△=0(3)△＜0 直線與圓相切；

直線與圓相離，即代數特征，3．圓與圓的位置關系

設圓C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圓C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且設兩圓圓心距為d，則有：

(1)d=k+r(2)d=k-r(3)d＞k+r(4)d＜k+r 兩圓外切； 兩圓內切； 兩圓外離； 兩圓內含；

兩圓相交．

(5)k-r＜d＜k+r 4．其他

(1)過圓上一點的切線方程：

①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則此點的切線方程為x0x+y0y=r2(課本命題)．

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．

(2)相交兩圓的公共弦所在直線方程：

設圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若兩圓相交，則過兩圓交點的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．

(3)圓系方程：

①設圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若兩圓相交，則過交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數，圓系中不包括圓C2，λ=-1為兩圓的公共弦所在直線方程)．

②設圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數)．

(二)應用舉例

和切點坐標．

分析：求已知圓的切線問題，基本思路一般有兩個方面：(1)從代數特征分析；(2)從幾何特征分析．一般來說，從幾何特征分析計算量要小些．該例題由學生演板完成．

∵圓心O(0，0)到切線的距離為4，把這兩個切線方程寫成

注意到過圓x2+y2=r2上的一點P(x0，y0)的切線的方程為x0x+y0y=r2，例

2已知實數A、B、C滿足A2+B2=2C2≠0，求證直線Ax+By+C=0與圓x2+y2=1交于不同的兩點P、Q，并求弦PQ的長．

分析：證明直線與圓相交既可以用代數方法列方程組、消元、證明△＞0，又可以用幾何方法證明圓心到直線的距離小于圓半徑，由教師完成．

證：設圓心O(0，0)到直線Ax+By+C=0的距離為d，則d=

∴直線Ax+By+C=0與圓x2+y1=1相交于兩個不同點P、Q．

例

3求以圓C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程．

解法一：

相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0．

∵所求圓以AB為直徑，于是圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=25． 解法二：

設所求圓的方程為：

x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ為參數)

∵圓心C應在公共弦AB所在直線上，∴ 所求圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0． 小結：

解法一體現了求圓的相交弦所在直線方程的方法；解法二采取了圓系方程求待定系數，解法比較簡練．

(三)鞏固練習

1．已知圓的方程是x2+y2=1，求：

(1)斜率為1的切線方程；

2．(1)圓(x-1)2+(y+2)2=4上的點到直線2x-y+1=0的最短距離是

(2)兩圓C1∶x2+y2-4x+2y+4=0與C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置關系是______．(內切)由學生口答．

3．未經過原點，且過圓x2+y2+8x-6y+21=0和直線x-y+5=0的兩個交點的圓的方程．

分析：若要先求出直線和圓的交點，根據圓的一般方程，由三點可求得圓的方程；若沒過交點的圓系方程，由此圓系過原點可確定參數λ，從而求得圓的方程．由兩個同學演板給出兩種解法：

解法一：

設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0． ∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三點在圓上，解法二：

設過交點的圓系方程為：

x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．

五、布置作業

2．求證：兩圓x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切． 3．求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程．

4．由圓外一點Q(a，b)向圓x2+y2=r2作割線交圓于A、B兩點，向圓x2+y2=r2作切線QC、QD，求：

(1)切線長；

(2)AB中點P的軌跡方程． 作業答案：

2．證明兩圓連心線的長等于兩圓半徑之和 3．x2+y2-x+7y-32=0

六、板書設計

第三篇：直線與拋物線的位置關系教案

課題：直線與拋物線的位置關系 教學目地

培養學生從形及數兩個角度研究分析問題的習慣，學會依形判數，就數論形，互相驗證的數學方法，提高數形結合的能力。

教學重點

運用解析幾何的基本方法建立數形聯系。媒體運用

電腦powerpoint 課件，幾何畫板動態演示，實物投影 教學課型 新授課 教學過程

（一）復習引入

通過問題復習方程和曲線的關系。

1、怎樣判斷直線L與拋物線C的位置關系？

為了使學生思考更有針對性，給出具體的例題：已知直線L：y?1(x?1)，拋物線C：2y2?4x，怎樣判斷它們是否有公共點？若有公共點，怎樣求公共點？

1?y?(x?1)?估計學生都能回答：由方程組?的解判斷L與C的關系，緊接著提出問題： 2?y2?4x?1??y?(x?1)

2、問為什么說方程組?有解，L與C就有公共點，為什么該方程組的解對2?y2?4x?應的點就是L與C的交點？

通過這一問題，復習一下的對應關系： 直線L上的點?方程y?1(x?1)的解；拋物線C上的點?方程y2?4x的解；L與21?y?(x?1)?C的公共點?方程組?的解。2?y2?4x?既然有了這樣的一一對應的關系，那么研究直線與拋物線的公共點，可以通過研究對應的方程組的解來解決；同樣，討論方程組是否有解，也可通過研究直線與拋物線是否有公共點來解決。這樣就引出了解決這一類問題的兩種方法，代數法和幾何法。

（二）分析討論例題

討論直線L：y?m(x?1)與拋物線C：y2?4x公共點的個數。

?y?m(x?1)請一位學生說一下解題思路，估計能回答出：考慮方程組?2的解，然后讓

y?4x?學生嘗試自己解決。

提出下列幾個問題：

1、從幾何圖形上估計一下，能否猜想一下結論？

如果被提問的學生不會回答，可作引導：直線L有什么特點？m表示什么？拋物線C有什么特點？在解決這些問題的同時畫出圖形。

2、m為何值時，L與C相切？

3、當m很接近于零但不等于零時（在提問同時用圖形表示），L與C是否僅有一個公共點？

后兩個問題從圖像看不準，對于問題3，可能有部分同學認為僅有一個公共點，另外一些同學認為會有兩個公共點，帶著這個問題用代數法驗證。

探究：請學生畫出圖形表示上述幾個位置關系，從圖中發現直線與拋物線只有一個公共點時是什么情況？（幾何畫板動態演示）<有兩種情況，一種是直線平行于拋物線的對稱軸，另一種是直線與拋物線相切.后一種反映在代數上是一元二次方程的兩根相等。

（三）小結：

1、幾何關系與代數結論的對照

?Ax?By?C?0直線L ：Ax+By+C＝0與拋物線C：y＝2px的位置關系?討論方程組?2?y?2px2的解，消元轉化為關于x或y方程ax?bx?c?0(或ay?by?c?0)。

L與C的對稱軸平行或重合?a=0； L與C有兩個不同的公共點??22?a?0?a?0；L與C相切于一點? ? ??0??0??L與C相離? ??a?0

???02、學會從幾何、代數兩個角度考慮問題。解決該類問題的一般步驟是：先從幾何角度觀察估計，再用代數方法運算分析，最后利用較精確的圖形驗證結論。如遇矛盾，應從兩方面檢查：是幾何估計偏差還是代數運算有誤？從而總結經驗教訓。

（四）課堂訓練（學生解答）

1、直線y?x?1與拋物線y?x2的交點有幾個？

2、討論直線x=a與拋物線y2?2x的交點的個數？

3、若直線L：y?1?a?x?2?與拋物線y2?2x有兩個交點，求a在什么范圍內取值？

4、直線y??a?1?x?1與曲線y2?ax恰有一個公共點，求a的值。

前兩個題由學生口頭回答，在學生回答時提醒他們從代數、幾何兩個不同的角度考慮。后兩個題請學生動筆演算后在回答。其中3題作為依形判數的典型：先從幾何角度得出結論（即當L與x軸平行時與C交與一點，否則都交于兩點），然后估計聯立方程后將會得到什么相應的結論（消元后得到一元二次方程ax2?bx?c?0(或ay2?by?c?0)，必須在計算?之前，先考慮二次項系數a與零的關系）最后用代數解法驗證以上估計。其中4題作為就數論形的典型，該題從幾何圖形上不易直接得出結論，因此只能先用代數方法分析，得出結論（a?0,?1,?

（五）總結

1、再一次強調要養成從形及數兩個角度研究分析問題的習慣，學會依形判數，就數論形，互相補充，互相驗證的數學方法。

2、對比幾何、代數兩種方法的優劣。

在總結中強調代數法能解決一般問題，不能讓學生形成“代數法繁瑣”這樣的偏見，強調以代數法為主，以幾何法為輔的思想。說到底，解析幾何就數用代數方法研究幾何問題的一門數學學科。

（六）布置作業

1、直線y?2x?1與拋物線y??2x的公共點的有幾個？求出公共點坐標。

2、由實數p的取值，討論直線y?x?1與曲線y?2px的公共點個數

3、若不論a取何實數，直線y?m?a(x?1)與拋物線y?4x總有公共點，求實數m的取值范圍。

2224）后，再利用圖形逐一驗證。

54、已知拋物線C:y2?4x，直線L:y?1?k(x?2),.當k為何值時，直線L與拋物線C只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？

解：由題意，設直線l的方程為y?1?k(x?2)，?y?1?k(x?2)由方程組?2，（*）

y?4x?消去x，可得ky2?4y?4(2k?1)?0.①（1）當k?0時，由方程①得 y＝1.把y＝1代入y?4x，得x?21.414這時，直線l與拋物線只有一個公共點(,1).(2)當k?0時，方程①的判別式為???16(2k2?k?1).21°由??0，即2k?k?1?0，解得

于是，當k??1,或k?1時，方程①只有一個解，從而方程組（*）只有一個解.這時，21.2直線l與拋物線只有一個公共點.22°由??0，即2k?k?1?0，解得?1?k?于是，當?1?k?1，且k?0時，方程①有兩個解，從而方程組（*）有兩個解.這時，21。2直線l與拋物線有兩個公共點.23°由??0，即2k?k?1?0，解得k??1,或k?于是，當k??1,或k?與拋物線沒有公共點.綜上，我們可得 當k??1,或k?當?1?k?1時，方程①沒有實數解，從而方程組（*）沒有解.這時，直線l21，或k?0時，直線l與拋物線只有一個公共點.21，且k?0時，直線l與拋物線有兩個公共點.21當k??1,或k?時，直線l與拋物線沒有公共點.2 備注：

這堂課的教案是基于在國培期間學習時，受到以下諸位專家教授觀點的啟發并結合自己的一點思考寫下的，敬請各位同行和各位專家予以批評指正。

1、“搬”——30歲的時候我將知識從書上搬到授課筆記上，再從授課筆記搬到黑板上（并且書寫工整，保存完整，盡量不檫黑板）

“卷”——現在我將學生卷入課堂，數學教學從數學問題開始。

數學是玩概念的，許多老師卻不重視概念，不重視概念應用的教學。做題目為什么——鞏固概念，理解概念。概念課就應該使概念出得自然、水到渠成，否則就不叫做“教數學”、“學數學”．

一定要重視概念教學，核心概念的教學更要“不惜時、不惜力”．

————陶維林

2、缺乏問題意識，對學生的創新精神和實踐能力培養不利；

重結果輕過程，“掐頭去尾燒中段”，關注知識背景和應用不夠，導致學習過程不完整

講邏輯而不講思想，關注數學思想、理性精神不夠，對學生整體數學素養的提高不利。立意不高是普遍問題，許多教師的“匠氣”太濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著“功利”，缺少思想、精神的追求，嚴重影響數學育人。

數學概括能力是數學學科能力的基礎，數學概括能力的訓練是數學思維能力訓練的基礎。概括是思維的速度，靈活遷移的程度，廣度和深度、創造程度等思維品質的基礎。概括是概念教學的核心，概括是人們掌握概念的直接前提，把概括的機會讓給學生。

————章建躍

3、石家莊二中試驗學校的老師講的課《導數的應用》時，所采用的例題是從課本上的一道例題衍生而來的，只是幾個字母的變化，卻能體現小臺階大容量的思維過程，水到渠成般的實現了能力的提升。受其啟發，本節課所選案例題也盡量體現由一道例題衍生而來的過程，力求抓住其中的內在聯系和思維的逐步延伸性。

第四篇：直線與拋物線的位置關系 教案

2.4.2直線與拋物線的位置關系

教學目標

1、知識與技能 掌握直線與拋物線的位置關系及判斷方法；

2、過程與方法 聯立方程組的解析法與坐標法

3、情感態度價值觀 讓學生體驗研究解析幾何的基本思想，培養學生主動探索的精神

教學重點：直線與拋物線的位置關系及其判斷方法

教學難點： 直線與拋物線的位置關系的判斷方法的應用

教學方法：多媒體教學、學案式教學

教學過程

一、課題引入

師：之前我們學習了直線與橢圓和雙曲線的位置關系，請位同學說說如何判斷直線與橢圓和雙曲線的位置關系.提問的目的：

1、類比直線與橢圓及雙曲線的位置關系得出直線與拋物線的三種位置關系；

2、“直線與雙曲線有一個交點不一定是切點”和“直線與拋物線有一個交點不一定是相切的情形”類似，為后面總結直線與拋物線的位置關系的“特殊性”做鋪墊.）

師：在學案給出的拋物線圖中，畫直線，觀察直線與拋物線的位置關系，從交點個數入手，有幾種情況？（培養學生動手和歸納總結的能力）在研究直線與橢圓和雙曲線位置關系時，除了從幾何圖形入手研究位置關系外，我們還可以用什么方法來研究直線與圓錐曲線的位置關系？（引出代數法）

二、新課講授

例1：已知拋物線的方程為y?4x動直線l過定點P(-2,1),斜率為k.。當k為何值時，直線l與拋物線y?4x。（1）只有一個公共點。（2）有兩個公共點；（3）沒有公共點

例題設計思路及目的：在本例中，學生會用幾何判斷法和解方程組的方法.對于幾何判斷法，隨著斜率k的變化，直線與拋物線的位置關系在不斷變化，但是對應的k的具體取值范圍無法確定。另一方面在學完直線與橢圓及雙曲線位置關系后，幾何法行不通學生自然會想到利用方程聯立得到新的一元二次方程，通過判斷?及判斷交點的個數，即把幾何圖形的問題轉化為了代數問題.這個思維過程體現了轉化與化歸的思想、數形結合的思想.那么該方程組的解的個數問題又可以轉化為一個什么問題呢？此處引導學生消元（消去x或y）得到關于y或x的方程，同時注意消元方法的選擇（板書過程中，引導學生消元，消去哪一個未知數在下一步計算當中更方便一些，通過比較得出最好的一種消元方法）.消元后的方程ky?4y?4(2k?1)?0①這樣由于方程組解的個數與導出的方程解的個數相同，我們只需討論消元后的方程①解的個數.提問學生，該方程一定是關于y的一元二次方程嗎？學生意識到系數符號不同，方程的類型也不同.若系數為零，則是一次方程，此時消元后的方程只有一個解，對應的方程組只有一個解，從而直線與拋物線只有一個公共點.若系數不為零，則消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的個數與判別式符號有關，故只需討論判別式的符號.當判別式??0時，方程有兩個解，對應的方程組就有兩個解，此時直線與拋物線有兩個公共點；當判別式??0時，方程只有一個解，對應的方程組只有一個解，此時直線與拋物線有一個公共點；當??0時，方程沒有解，對應的方程組沒有解，此時直線與拋物線沒有公共點.該環節體現了轉化的思想與分類討論的思想.根據上述分析過程，教師在黑板上示范整個書寫過程，同時讓學生總結出“直線與拋物線的 222位置關系”及“相應的判斷方法”：直線與拋物線有一個公共點的情況有兩種情形，一種是直線平行于拋物線的對稱軸，另一種是直線與拋物線相切.后一種反映在代數上是一元二次方程的兩根相等（根的判別式??0）,所利用的方法叫代數方法.教師在學生總結的基礎上歸納出整個解題的基本步驟.課堂練習1 變式訓練

已知拋物線的方程為y2?4x，直線l過定點P(0,1)，斜率為k.k為何值時，直線l與拋物線y2?4x：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？

在例題的基礎上做相應的變式訓練，強化解題的過程及解題要點，叫一名同學到板前解題，解題結束后做相應的點評.要點一：求直線的方程

要點二：消元的基本方法（簡單）要點三：對系數進行分類討論

要點四：解一元二次不等式，注意取“交集”

2、（1）過點（3,1）與拋物線y?4x 只有一個公共點的直線有 ____條

（2）過點（1,2）與拋物線y?4x只有一個公共點的直線有 ____條

（3）過點（0,2）與拋物線y?4x 只有一個公共點的直線 有____條

（4）已知直線y?kx?k及拋物線y?2px(p?0)，則（）A.直線與拋物線有一個公共點 B.直線與拋物線有兩個公共點 C.直線與拋物線有一個或兩個公共點 D.直線與拋物線可能沒有公共點

3、思維拓展

在拋物線y?4x上是否存在一點，使它到直線l:y?x?3的距離最短，并求此距離.課堂總結

本節課我們學習了

1、直線與拋物線的位置關系，以及用代數的方法來判斷其位置關系要注意直線與拋物線位置關系的特殊性.2、數學思想：轉化的思想、分類討論的思想、數形結合的思想.作業： 222222

第五篇：直線與雙曲線的位置關系教案

直線與雙曲線的位置關系 xx中學 教者xxx

教學目標:

1、知識目標: 直線與雙曲線的位置關系。

2、能力目標: 深化雙曲線性質,提高分析問題,解決問題的能力。

3、德育目標: 事物之間即有區別又有聯系的辯證觀點。

教學重點: 直線與雙曲線的位置關系及判斷方法。教學難點: 學生解題綜合能力的培養。教學時數: 兩課時 教學方法: 啟發式 教學過程:

一、課題導入

回憶直線與橢圓的位置關系及判斷方法(將直線方程代入橢圓方程中 得到一個一元二次方程,然后用判別式來判斷)。

二、講授新課

通過觀察第一組動畫演示,學生能夠直觀的發現直線與雙曲線的位 置關系：

相離:沒有公共點。相切:有一個公共點。相交:有兩個公共點。

通過觀察第二組動畫演示,使學生能夠發現，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個公共點。

練習：判斷直線y?1x與雙曲線x2?y2?3的位置關系。

2例：已知直線l:y?kx?1,雙曲線x2?y2?4。問k取何值時，直

線與雙曲線相交、相切、相離？

分析：結合前面觀察的結果和直線與橢圓位置關系的判斷方法引導學生將 直線方程代入雙曲線方程中，得到一個方程,研究方程解的情況。解：

?y?kx?1由?2得2?x?y?4（1?k2）x2?2kx?5?0(1)：當1?k2?0，即k??1時，直線l與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線相交，但是它們只有一個公共點。(2):當1?k2?0，即k??1時??(2k)2?20(1?k2)??16k2?20????16k2?20?055?a?:?，即??k?且k??1時，直2221?k?0?線與雙曲線相交，有兩個公共點。????16k2?20?05?b?:?，即k??時，直線與雙曲線相221?k?0?切，只有一個公共點。????16k2?20?055?c?:?，即k??或k?時，直線與雙2221?k?0?曲線相離，無公共點。綜合以上得：當k?（?55，?1）?（?1，1）?（1，）時，直線與雙曲線相交，22

5有兩個公共點；當k??1時，直線與雙曲線相交，有一個公共點；k?? 255（??，?）?（，??）時，時,直線與雙曲線相切，有一個公共點；當k?22 直線與雙曲線相離，沒有公共點。結論：直線與雙曲線的位置關系的判斷方法：把直線方程與雙曲線方程

聯立，消去x（或y）后得到一個方程。若方程的二次項系數不 為零，則方程為一元二次方程。此時，當⊿ ＞0時，直線與雙曲 線相交；當⊿=0時，直線與雙曲線相切；當 ⊿＜0時，直線與雙 曲線相離。若方程的二次項系數為零，則方程為一元一次方程。此時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線相交，只有一個 公共點。

三、課堂練習

練習:

1、（辨析題）直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的

充要條件。

y22、過點P（0，3）的直線l與雙曲線x??1有一個公共點，42求直線l的方程。

四、小結

1、直線與雙曲線的位置關系

2、直線與雙曲線的位置關系的判斷方法

3、高考熱點：運用方程研究直線與雙曲線的位置關系，以及相

交時的弦長、中點弦。最值、范圍等有關問題。

五、作業

221、斜率存在且過點P（1，0）的直線l與雙曲線x?y?2

有公共點，求直線l的斜率的取值范圍。

2、課本復習題A組第5、6題

六、板書設計

直線與雙曲線的位置關系

1、直線與雙曲線的位置關系

3、例題

2、直線與雙曲線的位置關系的

4、練習 判斷方法

5、小結