第一篇：數學史論文

數學史論文 ——中世紀的中國數學

院系：數信學院

班級：數教一班 姓名：韓軍香

學號：20120503031 摘要：從公元476年西羅馬帝國滅亡到14世紀文藝復興長達1000多年的歐洲歷史稱為歐洲中世紀。與希臘數學相比，中世紀的東方數學表現出強烈的算法精神，特別是中國與印度數學，著重算法的概括。算法本來是古代河谷文明的傳統，但在中世紀卻有了質的提高，它很難再僅僅被看作是簡單的經驗法則，而是一種歸納思維能力的產物。從公元前后至公元14世紀，前后經歷了三次發展高潮，其中宋元時期達到了中國古典數學的頂峰。

關鍵字：中世紀、中國數學、算法

牙牙學語的時候，我們就開始接觸到數學。從簡單的加減乘除再到現在的高等數學。數學與我們的生活息息相關，貫穿了我們的整個學習過程。那數學又有怎樣一段歷史呢？下面是對中世紀的數學的簡單介紹：

一、《周髀算經》與《九章算術》

（一）、《周髀算經》：編纂于西漢末年，天文學著作。西漢末年﹝公元前一世紀﹞編纂的《周髀算經》，盡管是談論蓋天說宇宙論的天文學著作，但包含許多數學內容，在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為后來重差術（勾股測量法）的先驅。此外，還有較復雜的開方問題和分數運算等。

（二）、《九章算術》：中國傳統數學最重要的著作，全書246個問題，分成九章。它完整地敘述了當時已有的數學成就，在長達一千多年間，一直作為中國的數學教科書，并被公認為世界數學古典名著之一。《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系正式形成。《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書于東漢初年﹝公元前一世紀﹞。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關于勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關于線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進制值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，并通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展

二、劉徽與祖沖之

（一 劉徽公元263年撰《九章算術注》，系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位，成為中國傳統數學最具代表性的人物。

劉徽數學成就中最突出的是“割圓術”，他運用“割圓術”得出圓周率的近似值為3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，為解決球體積公式的問題而構造了“牟合方蓋”的幾何模型，為祖暅獲得正確結果開辟了道路；為建立多面體體積理論，運用極限方法成功地證明了陽馬術；他還撰著《海島算經》，發揚了古代勾股測量術----重差術。

（二）祖沖之（公元429年─公元500年）是我國杰出的數學家，科學家。南北朝時期人，漢族人，字文遠。祖沖之從小接受家傳的科學知識。青年時進入華林學省，從事學術活動。一生先后任過南徐州（今鎮江市）從事史、公府參軍、婁縣（今昆山市東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻在數學、天文歷法和機械三方面。

著作《綴術》取得了圓周率的計算和球體體積的推導兩大數學成就。祖沖之算出圓周率在3．1415926與3．1415927之間，并以355/113（=3．1415929?）為密率，22/7（=3．1428?）為約率，他計算圓周率，取得當時世界最先進成就，900多年之后，其精度方被人超過。《綴術》的另一貢獻是祖氏原理 ：冪勢既同則積不容異，在西方文獻中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究過度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。隋唐時期以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數值。

（三）《算經十書》：隋唐時期是中國封建官僚制度建立時期，隨著科舉制度與國子監制度的確立，數學教育有了長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》﹝包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》﹞，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。它們是唐代以前的主要數學著作，代表了中國古代數學的光輝成就。傳本《周髀算經》，有趙爽注、甄鸞注等，當時被稱為“算經”。

三、宋元數學

宋元時期是中國數學發展的高峰，這一時期重新統一了的中國社會發生了一系列有利于數學發展的變化，以籌算為主要內容的中國傳統數學達到了鼎盛時期。還涌現了許多杰出的數學家和先進的數學計算技術，是數學全盛時期，其印刷出版、記載著中國傳統數學最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產。

(一)賈憲三角與秦九韶“正負開方術”

1、賈憲（約公元11世紀）約1050年完成《黃帝九章算術細草》，發明了“增乘開方法”，創造了“開方作法本源圖”。楊輝《詳解九章算法》（1261）載有“開方作法本源”圖，注明“賈憲用此術”。這就是著名的“賈憲三角”，或稱“楊輝三角”。《詳解九章算法》同時錄有賈憲進行高次冪開方的“增乘開方法”。

他的一些獨到的數學思想和方法，主要有以下兩點。

（1）、抽象分析法：在研究《九章》過程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問題是更為突出，他首先提出了“勾股生變十三圖”。他完備了勾股弦及其和差的所有關系，說這些關系“有用而取，無用不取，立圖而驗之”，說明他已經拋開《九章》算題本身而對勾股問題進行抽象分析了。

（2）、程序化方法：主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟.適用于同一理論體系下，同一類問題的解決。賈憲的“增乘開方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地體現了這一方法，2、秦九韶（約1202－1261年）1247年完成數學名著《數書九章》，推廣了增乘開方法，敘述了高次方程的數值解法，他列舉了二十多個來自實踐的高次方程的解法，最高為十次方程。其中兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上占有突出的地位。一是創立了“大衍求一術”（中國剩余定理），二是提出了“正負開方術”。“秦九韶算法”，一般地，一元n次多項式的求值需要經過[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工計算時，一次大大簡化了運算過程。特別是在現代，在使用計算機解決數學問題時，對于計算機程序算法而言秦九韶算法可以以更快的速度得到結果，減少了CPU運算時間。

（二）內插法與垛積術

1、郭守敬（1231－1316年）1280年完成了中國古代最精密的歷法《授時歷》，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當于現在球面三角的兩個公式。郭守敬建造的河南登封觀星臺（1276）留存至今。

2、楊輝（公元13世紀）1261年完成《詳解九章算法》，其中主要的數學貢獻是“垛積術”，另一貢獻是所謂的“楊輝三角”，其實是記載了賈憲的工作。楊輝在《詳解九章算法》中用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運算法。他署名的數學書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構成規律的數學家。

楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項式展開后的系數構成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”。

(三)天元術與四元術

1李冶（1192－1279年）1248年撰成代數名著《測圓海鏡》，該書是首部系統論述“天元術”的著作，是符號代數的嘗試，在數學史上具有里程碑意義。李冶在數學上的主要成就是總結并完善了天元術，使之成為中國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早三百年左右。他的《測圓海鏡》是天元術的代表作，而《益古演段》則是一本普及天元術的著作。

所謂天元術，就是一種用數學符號列方程的方法，“立天元一為某某”相當于今“設x為某某”是一致的。李冶則在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。他討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

2、公元1303年，元代朱世杰著《四元玉鑒》，它是中國宋元數學高峰的又一個標志，他把“天元術”推廣為“四元術”（四元高次聯立方程）,并提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱才提出同樣的解法。朱世杰還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利和公元1676一1678年間牛頓才提出內插法的一般公式。

“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。他的主要貢獻是創造了一套完整的消未知數方法，稱為四元消法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》，《四元玉鑒》中還有兩項重要成就，即創立了一般的高階等差級數求和公式及等間距四次內插法公式，后者通常稱為招差術。

中國中世紀的數學家的學習探索精神值得我們借鑒和學習，但是，我們也要看到時間數學史的發展歷程，有其實近代數學史，中國已經被甩在后頭，這需要我們清醒的認識!“取其精華去其糟粕”這是千古名言，需要我們牢記。

參考文獻：

1、張維忠.數學, 文化與數學課程[ M].上海: 上海教育出版 社, 1999

2、斯科特，數學史 中國人民出版社

3、費泰生.算法及其特征[ J].數學通訊, 2004, 7

4、李文林，數學史教程 高等教育出版社 斯普林格出版社

5、張奠宙.算法[ J].科學, 2003, 55(2)

第二篇：數學史論文

數 學 史 論 文

:課程論文 班級：09數學2班

內容

古希臘數學發展史初探

【摘要】： “古希臘數學”只是一個習慣用語，它并不等同于希臘這個國家或地區所創造的數學，而是指包括希臘半島，整個愛琴海區域和北面的馬其頓褐色雷斯，意大利半島和小亞西亞，以及非洲北部等地。從時間上看，是始于BC600年左右，到641年為止，一共持續了1300年的數學的統稱。本文，我就這一時間段的數學發展，也就是古希臘數學發展進行初探。

【關鍵詞】：古希臘數學

發展史

學派

數學家

地中海的燦爛陽光——古希臘文明著稱于世。擁有特殊的地里環境的克里特島是希臘文明的發端，同時，政治和經濟的發展造就了希臘文化。希臘文化汲取了各種各樣的優秀東方文化。其中，希臘數學就是希臘文化中的一個主要分支。希臘數學匯集了巴比倫精湛的算術和埃及神奇的幾何學。我們將希臘數學的賣力發展史分為下列三大歷史時期;一． 第一時期： BC600—BC323 這一時期又可以希波戰爭為界限劃分為前后2個歷史時期。希波戰爭前的希臘數學就是以愛奧尼亞學派和畢達哥拉斯學派為主要代表的。希波戰爭之后，則以巧辯學派，埃利亞學派，原子論學派柏拉圖學派的成就為代表。尤其是從BC480年到BC336年，數學史上又

稱為雅典時期。雅典時期哲學和經濟的空前繁榮誕生了像亞里斯多德這樣的百科全書般的杰出人物。BC4世紀以后的希臘數學慢慢成為了獨立的學科。數學的歷史進入了一個新的階段——初等數學時期。在這一個時期里，初等幾何，算術，初等代數大體已經分化出來。同17世紀出現的解析幾何學，微積分學相比，這一時期的研究內容可以用“初等數學”來概括，因此叫做初等數學時期。

在這一大時期里，希臘各地涌現了許許多多的學派，他們共同作用于希臘數學的發展。在這些學派中最有影響力的主要有三大流派;

（一）愛奧尼亞學派——古希臘歷史上的第一個學派

愛奧尼亞學派是由彼賦盛名的“希臘科學之父”泰勒斯創立。泰勒斯是一個精明的商人，他流轉于各地經商，并從巴比倫河埃及等地帶回了數學知識，故而創立了愛奧尼亞學派。他在數學上的最著名的業績是測量金字塔的高度，而劃時代的貢獻是開始引入了命題證明的思想，因而被認為是希臘幾何的先驅。關于泰勒斯，希臘史詩并無明確的記載，但據可靠的材料我們可以推斷出下列五大命題的發現時歸功于泰勒斯：

（1）圓的直徑將圓平分。（2）等腰三角形兩底角相等。（3）兩條直線相交，對頂角相等。

（4）有兩角夾一邊分別相等的兩個三角形全等。（5）對半圓的圓周角是直角。

其中，第五個命題還被人們稱為“泰勒斯定理”。泰勒斯證明了或視

圖證明這些命題，使得數學從具體的，實驗的階段開始向抽象的，理論的階段過渡，這是數學史上的一個重大創舉。也就是說，泰勒斯對于數學科學的發展的貢獻并比僅是存在于他發現了這些定理，更重要的是泰勒斯為它們提供了某種的邏輯證明。從泰勒斯開始，人們已經不再只是利用直觀和實驗解答數學問題，而是將邏輯學中的演繹推理引入了數學，奠定了演繹數學的基礎，這使得他榮獲了“第一位數學家”和“論證幾何學鼻祖”的美譽，還被尊稱為“希臘七賢之首”。

愛奧尼亞學派的其他成員有安納西曼德，安納西尼斯，安納薩戈拉斯等人，學術思想綿延百年。以客觀的角度看來，以泰勒斯為首的愛奧尼亞學派并不出色，但他們在哲學特別是自然哲學方面的工作卻是無與倫比的。他們具有理性的思維觀念，并用這一觀念解釋數學問題的奧妙之所在。

（二）畢達哥拉斯學派——西方古代美學的開端

畢達哥拉斯與泰勒斯一樣也是撲朔迷離的傳說人物，二者都沒有著作留世，我們甚至不知道他們是否寫過著作。如今我們對于畢達哥拉斯的了解也只是通過一些其他的著作提及的相關信息。根據這些間接的資料，我們知道畢達哥拉斯于BC570年生于薩摩斯島，是古希臘哲學家，天文學家和音樂理論學家，他愛好游學。他游歷各地，最后定居于意大利半島南部的克羅多內（古：大希臘），還廣收門徒，秘密組織了一個集政治、學術、宗教三位于一體的組織——畢達哥拉斯學派。這個學派主要是研究“哲學”和“數學”。相傳，創造了“哲學”和“數學”這2個詞。

在幾何學方面，畢達哥拉斯學派主要有2大幾何學成就，一就是發現和證明了“勾股定理”，后來被歐幾里得編入了《幾何原本》之中。至今，西方人仍然把“勾股定理”叫做“畢達哥拉斯定理”。這個偉大的定理導致了無理數的發現。畢達哥拉斯學派的另外一項幾何成就就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。盡管人們將許多的集合成就歸功于畢達哥拉斯學派，但這個學派適中的及基本信條是“萬物皆數”。

畢達哥拉斯學派崇拜的數主要有整數和兩個整數形成的比，即有理數。他們對這些數做出過深入的研究，發現了完全和親和數，即將抽象的數作為萬物的本源，通過揭露數的奧秘來探索宇宙的永恒真理。該學派宣稱宇宙的萬物主宰者也就是上帝是用數來統御宇宙的，認為萬物含數。一個畢達哥拉斯學派的成員曾經說過：“人們所知道的一切事物都包含數，因此，沒有數即不可能來表達也不可能來理解任何事物。”而一切數中最神圣的是10，10在他們的眼中是最完美和最和諧的標志，這種“萬物皆數”的概念從另一個角度強調了數學作用于客觀世界，這也是數學化思想的最初表述形式。該學派的初步數學化思想促進了對自然數的分類研究，他們定義了很多的概念。

畢達哥拉斯學派還從數與形的關系出發，研究了二者的結合物——“行數”，且由此得出了一些數列的重要公式，這一系列的數列現在已經成為高階等差數列的范圍。

畢達哥拉斯學派數字神秘主義的外殼，包含著理性的內核。首先，它加強了數的概念中的理論傾向。其次，“萬物皆數”的信念，使畢

達哥拉斯成為相信自然現象可以通過數字來理解的先驅。他們認為宇宙萬物依賴于整數的信條，由于不可公度量的發現而收到了動搖。據柏拉圖記載，后來又發現了一些無理數。這些“怪物”深深地困惑著古希臘啦的數學家，希臘數學中出現的這一個邏輯難題被史稱為“第一次數學危機”。約1世紀之后，這一危機才由畢達哥拉斯學派成員啊切塔斯的學生歐多克斯提出的新比例理論二暫時得到了消除。畢達哥拉斯在政治中被殺害之后，該學派還存在了2世紀之久。阿爾·西塔斯則是這個學派的晚期的代表人物。他繼承和發展了畢達哥拉斯學說。

畢達哥拉斯學派有這么一個教規，就是一切的發明都歸功于學派的領袖，而且還對外保密，因此早期的學派成員幾乎沒有留下名字。直到BC480年，畢達哥拉斯遇害，組織被破壞，他們的研究才公諸于世。

（三）巧辯學派，埃利亞學派，原子論學派

巧辯學派是古代希臘的一個學派，開始以“智者學派”自稱，后來因為過于偏重于利用言辭雄辯，純粹是為了解釋二解釋，逐漸變得很虛偽。后變成了巧辯學派。

埃利亞學派是古希臘最早的唯心主義哲學派別之一，宣揚唯心主義和形而上學，以善辯而著稱。克塞諾芬尼是克塞諾芬尼的創始人。該學派成員巴門尼德提出的“存在”是對宇宙萬物共同本質的抽象概括，使哲學從而擺脫了用具體物質形態說明世界本原的原始樸素形式，是認識史的重要進步。“存在”概念成為以后哲學討論的中心概念。

他們提出的存在與非存在、一與多、運動與靜止等范疇，對以后的辯證法研究有一定啟示。

原子論學派是古希臘BC5世紀至BC4世紀活躍于色雷斯地區的學派。創始人是勒西普斯。其基本觀點是認為萬物的本原是“原子”與虛空。原子是一種最小的、不可再分的、看不見的物質微粒，而虛空是原子運動的場所。這種看法已孕育著近代積分論的萌芽。原子論在邏輯上是不嚴密的，卻是古代數學家發現新結果的重要線索。原子論學派的思想影響到近現代，今天計算積分常用的微元法也是原子論的思想。

二． 第二時期：BC336-----BC30（亞歷山大里亞前期）

這個時期，亦稱為黃金時代，科學文化的中心也從雅典轉移到埃及的亞歷山大里亞。亞歷山大里亞城市東南海路交通的樞紐，又經過托勒密王狄加意的經營，慢慢地成為了新的希臘文化的中心，取代了希臘本土的主要要地位。BC146年，古希臘滅亡，希臘數學以羅馬為中心，達到了一個巔峰時期，史稱“希臘化的科學時代”。在這一時期，以歐幾里得.阿基米德和阿波羅尼奧斯的研究為主要代表。同時，他們也成為了希臘數學史上最有影響力的數學家。正是他們讓數學開始了相對獨立的發展。

（一）歐幾里得及其《原本》

歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者。關于他的生平，我們知之甚少。歐幾里得寫過不好的數學，天文，光學和音樂方面的著作，現存的有《原本》，《論剖分》，《現象》，《光學》和《鏡

面反射》。其中，最出名的莫過于《原本》。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數學著作。《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果和精神于一書。既是數學巨著，也是哲學巨著，還是第一次完成了人類對空間的認識。除《圣經》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相提并論。

《幾何原本》，共13卷，含有23條定義，5條公理，5條公設，在此基礎上，演繹了467個命題。《幾何原本》的特點和歷史地位：

（1）抽象化的內容。它主要體現在藥酒的對象都是抽象的概念和命題。撇開研究對象的具體內容來講，它僅僅保留了空間形式和數量關系，這些形式和關系是一種形式化的思想。同時，它獨立地創造出了思想成果，一邏輯為鏈條的形式化符號系統，數字的形式化方法決定了數學能對純粹的量進行獨立地，理想化地，系統性地進行研究。從抽象程度上看，《幾何原本》每一次抽象都是理性思維的結晶，體現了當時人類思維的最高級形態。（2）公理化的方法

《幾何原本》是實質公理學的典范。公理學研究的對象，性質和關系是由初始的概念來表示的。該書把亞里斯多德初步總結出來的公理化思想應用于數學，整理，總和發展了希臘古典時期的大量數學知識。它在數學史上是一座不朽的里

程碑。

（3）封閉式的演繹

它以一些原始概念和不證明的公設和公理為基礎，運用邏輯原則，演繹出幾何學中的所有定理。與此同時，《原本》的理論體系回避了社會中的任何實際性問題，所以說，它對于整個社會而言也是封閉的。

（二）阿基米德——數學之神

阿基米德是歷史上的偉大數學家和偉大力學學者，享有“力學之父”的美稱。他有這么一句名言眾所周知“給我一個支點，我將翹起整個地球”。作為數學家，他寫出了《論球和圓柱》、《圓的度量》、《拋物線求積》、《論螺線》、《論錐體和球體》、《沙的計算》數學著作。作為力學家，他著有《論圖形的平衡》、《論浮體》、《論杠桿》、《原理》等力學著作。阿基米德因創造性的成果受到了后人的高度贊揚，與牛頓，高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數學家，他們和歐拉一起并稱為四個最偉大的數學家。除了偉大的牛頓和愛因斯坦，再沒有一個人可以像阿基米德那樣為人類的進步做出過這樣大的貢獻。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。他是“理論天才與實驗天才合于一人的理想化身”。

阿基米德還制作過天文儀器，發明了螺旋水漿。他的獨創與論證相結合，計算技巧與邏輯分析相結合，注意理論聯系實際的學風獨步千年，留芳百世。

對于阿基米德來說，機械和物理的研究發明還只是次要的，他比較有興趣而且還投注許多時間的是純理論上的研究，尤其是在數學和天文方面。在數學方面，他利用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線、橢圓面積，使得后世的數學家可以依據這樣的“逼近法”加以發展成近代的“微積分”。在推演這些公式的過程中，他進一步發展了歐多克斯發明的“窮竭法”，就是用內接和外切的直邊圖形不斷地逼近曲邊形以用來解決曲面面積問題,即我們今天所說的逐步近似求極限的方法，因而被公認為微積分計算的鼻祖。他用圓內接多邊形與外切多邊形邊數增多、面積逐漸接近的方法，比較精確的求出了圓周率。他甚至還研究出螺旋形曲線的性質，現今的“阿基米德螺線”曲線，就是為紀念他而命名。另外他在《恒河沙數》一書中，他創造了一套記大數的方法，簡化了記數的方式，避免了冗長的希臘數字。

（三）阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線輪》

阿波羅尼奧斯約BC262年生于佩爾格,在BC190年卒，是一位數學家。它的主要貢獻是在前人工作的基礎上發展了圓錐曲線理論。他注意圖形的幾何性質，把前輩們的所得到的圓錐曲線知識，予以嚴格的系統化，可以收是代表了希臘幾何的最高水平，直到17世紀，希臘幾何學并無實質性的進步。下面我就來說所《圓錐曲線論》的意義。《圓錐曲線輪》是一部經典巨著，此書集前人之大成，且提出很多新的性質。書中首先證明三種圓

錐曲線都可以由同一個圓錐體截取而得，并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱，取代了過去的一些叫法。此書可以是把圓錐曲線的性質網羅殆盡，其他人毫無插足之地。三． 第三時期：BC30-----AD641 這個時期，亞歷山大里亞被阿拉伯人占領。從此，希臘數學開始走向了滅亡之路了，史稱亞歷山大里亞后期。雖然這一時期，希臘數學慢慢隱沒，但是也涌現了一批的杰出數學家。這一時期以海倫，帕波斯，丟番圖，海帕西婭等人為主要代表。

（一）海倫——測量大師

海倫海倫生于埃及，是古希臘數學家、力學家、機械學家和測量家。海倫以解決幾何測量問題而聞名。著名的“海倫公式”就是由他證明得出的。他多才多藝，善于博采眾長。在論證中大膽使用某些經驗性的近似公式，注重數學的實際應用。他的主要著作右《量度論》一書。他的成就還有：正3到正12邊形面積計算法；長方臺體積公式；求立方根的近似公式等。

（二）丟番圖及其丟番圖問題

丟番圖是代數學的創始人之一。他認為代數方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，對算術理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式擺脫了幾何的羈絆，在希臘數學中獨樹一幟，被后世人叫做“代數學之父”。以下就是著名的丟番圖問題，它就是丟番圖的墓志銘:

“過路人！這里安葬著丟番圖，下面的題目可以告訴你他的壽命多長。他生命的一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年，再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年，也走完了人生的旅程。請問，丟番圖活了多大的年紀？”這段碑文散發著文學的芳香，是歷史留給我們唯一的有關他的訊息。它相當于方程：設：丟番圖X歲。

x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4

x=25/28x+9

3/28x=9

x=84

現在人們所說的丟番圖方程是指對于整系數的不定方程，求其整數解。

（三）海帕西婭——最早的女數學家

海帕西亞大約于AD 3 7 0 年生于埃及的亞歷山大里亞。她10歲就知道利用相似三角形對應邊成比例的原理去測量金字塔的高度了。海帕西婭是一位科學家，精通數學、醫學、哲學．教會感到她的雄辯才能和崇高的聲望足以威脅到他們的存在，于是把她視為眼中釘．AD415年3月的一天，在教長西里耳的主謀下，一群暴徒突然把她從馬車上拉到教堂里殘酷地殺死．這是歷史上一樁駭人聽聞的宗教迫害科學家的滔天罪行．人稱海帕西婭是世界上

第一位女數學家。而她的慘死實為一千古悲劇，也是她的死標志著希臘數學的消亡。

總之，亞歷山大時期達到開拓了希臘數學領域，正是由于這個時期的成就，希臘數學才能成為一個比較完整的體系載入史冊。而整個希臘數學的消亡是由羅馬人的入侵所導致的，羅馬統治是歐洲數學將進入了一個漫長的黑暗時期。AD641年，亞歷山大里亞被阿拉伯人占領，圖書館再次被焚，希臘數學悠久而又燦爛的歷史到此終結了。這是一個遺憾，一個歷史的遺憾，一個數學歷史的遺憾啊。【參考文獻】：

[1]王青建.數學史簡編.科學出版社，2004 [2]朱家莊.數學史.高等教育出版社，2011.5 [3]傅海倫.中外數學史概論.科學出版社,2007 [4]李文林.數學史概論.高等教育出版社,2011.2

第三篇：數學史論文

論文摘 要：數學史教育對學生數學的學習和數學思想方法的領悟是十分重要的。當前中學數學史教育的主要現狀是其內容和方法不能滿足學生對數學學習的需要。數學史教育應與日常的數學教育有機地結合起來。

一、引言

數學史是研究數學的發生、發展過程及其規律的一門學科，它研究的主要對象是歷史上的數學成果和影響數學發展的各種因素，探索前人的數學思想，借以指導數學的進展。并預見數學的未來。我國數學家吳文俊說過：“數學教育和數學史是分不開的。”本課題研究針對“現行教材中的有關數學史知識是否能滿足學生的強烈求知欲”、“數學史知識對學生的學習到底有何幫助”、“數學課堂教學中應該如何滲透數學史”等問題進行了探討。目的是通過對中學數學史教育現狀的調查。發現問題并提出建議，以促進中學數學史教育。

二、調查對象和方法

調查的對象是浙江省平湖市城關中學一(4)、一(6)班，東湖中學二(2)、二(3)班和南市中學三(1)、三(4)班共290位學生。主要采用問卷調查的方法。共發放問卷290份，回收率100％，其中有效問卷275份，有效率94.83％。

此次調查共分三個步驟進行：(1)首先對問卷進行了仔細的研究，盡量使問卷題目準確地反映調查者的目的，提高問卷的效度。(2)隨機選擇三所學校的六個班級進行問卷調查。(3)在問卷調查之前對學生做了必要的引導，避免學生出現不必要的心理負擔。保證了答卷的真實性和可靠性。

三、調查結果和分析

1、大部分學生喜歡數學史知識

從調查結果看，只有極少數學生不喜歡數學史；有半數以上的學生覺得數學史學習對于他們平時的數學學習是有幫助的：大部分學生認為數學課介紹數學史知識是有必要的。他們希望老師在上課的時候結合課堂內容講一些數學史方面的知識。學生對于數學史知識的獲得很依賴教師的講解，筆者也覺得教師在學生數學史知識的學習中起著重要的指導作用，課堂教學是滲透數學史知識的主要陣地，通過數學史知識的介紹，可以引發學生學習數學的興趣，促使學生有意識地關注數學史知識。

2、目前教材的處理和教學方法不能滿足學生的需要

對問卷“(5)你希望數學史的知識以怎樣的形式穿插在數學教材中”、“(7)你最希望得到的是哪方面的數學史知識”、“(4)你認為數學教材中的數學史內容是否豐富”、“(8)你們老師在數學課上是否經常介紹數學史知識”這四道題的調查顯示。現行初中數學教材中的數學史內容以旁注閱讀材料的形式穿插于其中是為絕大多數學生所接受的。對(4)題，只有6.18％的學生認為是豐富的，對(8)題，只有7.37％的學生認為是經常的。可見數學教材中的數學史內容還遠遠不能滿足學生對數學史知識的渴望，在課堂教學中融入數學史知識做得還很不夠。從調查結果中還可以看出，學生是希望知道數學知識的產生過程。希望知道數學家的生平事跡，希望了解數學的新發明、新成果。等等。從問卷的第(9)題“寫出你知道的若干數學家的名字”中，絕大多數學生寫出了陳景潤、華羅庚、祖沖之、高斯等數學家的名字，很少有學生寫出牛頓、歐拉、萊布尼茲、拉格朗日、費馬等國外大數學家的名字。由此可見。絕大多數學生對于數學家的情況了解不多。

四、數學史教育的建議

1、課堂教學是融入數學史知識的主陣地

(1)運用數學史知識進行新課引入

一節新課，好的引入能引起學生的注意力，激發起學生的求知欲望。運用數學史知識導入新課。能讓學生了解相關知識的來龍去脈。例如在學習等比數列時。可以向學生介紹古代印度國王獎賞國際象棋發明者的故事來引入。這樣，學生的學習熱情定能高漲，也就有可能進入學習狀態。

(2)運用數學史知識作為教學結尾

一堂課的收尾也會令人回味無窮、浮想聯翩。產生強烈的求知欲。譬如陳景潤的老師在講完整數的性質后這樣說：“自然科學的皇后是數學，數學的皇冠是數論，而哥德巴赫猜想則是皇冠上的一顆明珠，這是一顆金光閃耀的明珠，你們誰能把這顆明珠摘到手呢?”正是老師的這番話在陳景潤心中播下了哥德巴赫猜想的種子。因此，恰當地運用數學史知識作為教學結尾，能激起學生的學習情感，使其“余音繞梁。三日不絕”!

(3)運用數學史知識介紹數學知識的產生過程。數學教學的重要任務之一就是要學生了解數學知識產生的背景。應通過生動的史料知識讓學生知道數學知識產生、發展的歷史進程。例如，為了讓學生了解函數概念的產生背景。并從中獲得深刻的理解。可通過瑞士數學家約翰O柏努利對函數概念進行了擴張，把“由變數X和常數所構成的式子，叫做X的函數”。再后來歐拉將可以“解析表示的量”稱為函數。此后又經過了三次擴張，才得到如今中學教材中函數的概念。只有當學生了解函數的多次擴張的發展史，才能更好地認識和掌握它。

2、數學史內容的選擇

介紹數學史的內容要注意連續性。作為十七世紀數學的三大成就，介紹對數的發明、解析幾何的誕生。也就應該介紹微積分的創立。即便是對同一內容的介紹。也應遵循連續性。而且插入的數學史內容應與教材恰當地融合。還有，在課堂中穿插數學史的故事。不一定僅僅局限于數學家。事實上。歷史上那些并非是數學家的名人學習和鉆研數學的故事對學生、尤其是對那些不喜歡數學的學生來說，同樣能產生教育的效果。

3、改變時間觀念

介紹數學史我們可以用多種方法，可以詳細講、也可以簡略介紹，增加這些內容不會對學生造成很大的負擔。只會增加教學內容的趣味性、靈活性和可讀性。我們不一定都在課堂上滲透，可以讓學生自己進圖書館或通過網絡查找相關資料進行學習而獲得。對于重點教學內容(如：對數的發明，函數定義簡史，等差數列與等比數列等)，教師可以利用課前5－10分鐘進行介紹。或融入在課堂教學之中。

4、運用數學史開展研究性學習

以數學史為載體開展一些研究性學習活動，可以讓學生體會到數學與生活通常是完美、和諧地相結合的。在數學教學中滲透數學史知識，給學生提供豐富的數學史料。為學生提供有效的學習方法，從而產生持久的學習動力。學生從教師那里獲得的知識，經過自己的思考、探索，更能發現知識的欠缺，從而明確前進的方向。

5、開展豐富多彩的課外活動

數學史在課堂上的講解是很有限的。有時需要結合班會、數學知識競賽等豐富多彩的課外活動來加強數學史知識的學習氛圍。比如，開設數學角、數學信箱等，征集學生感興趣的數學史知識予以學習交流。這些活動具有一定的計劃性和多樣性，在課外活動中學生的身心得到放松，獲取的知識更能得到切實的效果。而且通過親自動手收集資料，可化被動學習為主動學習。同時對其它功課的學習都有一定的幫助。

在數學教學中融入數學史知識，力求保證學生掌握基本的數學思想、基礎的數學知識和技能。形成對數學比較全面的認識；讓學生了解教材中所安排的與學習內容相關的數學發展史和數學家的傳記、數學發展趨勢和潛力等：充分體會數學發展的歷史所蘊含著的豐富的數學思想和方法。這既是發展學生智力和培養學生創新意識的基礎，也是提高學生數學素養的有效手段。

第四篇：數學史小論文

數學史小論文

圓周率的歷史作用

中文摘要：圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。圓周率是一個常數（約等于3.1415926），是代表圓周長和直徑的比例。它是一個無理數，即是一個無限不循環小數。圓周率在生產實踐中應用非常廣泛，在科學不很發達的古代，計算圓周率是一件相當復雜和困難的工作。因此，圓周率的理論和計算在一定程度上反映了一個國家的數學水平。

圓周率是極其馳名的數。從這個數有文字記載歷史開始，這個數就引起了外行人和學者的興趣。幾千年來，無數古往今外為此奉獻出自己的智慧和勞動。

巴比倫人最早發現了圓周率。1600年，英國威廉奧托蘭特首先使用pi表示圓周率，因為pi是希臘之“圓周”的第一個字母。1706年，英國的瓊斯首先使用pi。1737年，歐拉在其著作中使用，后來被數學家廣泛接受，一直沿用至今。pi是一個非常重要的常數，一位德國數學家評論道：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時數學發展水平的重要標志，古今中外很多數學家都孜孜不倦地尋求過值的計算方法。從埃及道巴比倫到中國一直都在對圓周率的精確值做出研究。

早期的測算中人們使用了很粗糙方法。古埃及、古希臘人曾用谷粒擺在圓形上，以數粒數與方形對比的方法取得數值。或用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值??由此，得到圓周率的稍好些的值。

在我國東、西漢之交，新朝王莽令劉歆制造量的容器――律嘉量斛。劉歆在制造標準容器的過程中就需要用到圓周率的值。他得到一些關于圓周率的并不劃一的近似值，分別為3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比徑一周三的古率已有所進步。人類的這種探索的結果，當主要估計圓田面積時，對生產沒有太大影響，但以此來制造器皿或其它計算就不合適了。此外為我們所知的就是祖沖之了。

公元前200年間古希臘數學家阿基米德首先從理論上給出pi值的正確求法。他專門寫了一篇論文《圓的度量》用圓外切與內接多邊形的周長以大小兩個方向上同時逐步逼近圓的周長，巧妙地求得pi。這是第一次在科學中創用上下界來確定近似值，公元前150年左右，另一位古希臘數學家托勒密用弦表法（以1的圓心角所對弦長乘以360再除以圓的直徑）給出了pi的近似值3.1416。

公元200年間，我國數學家劉徽在注釋《九章算術》中獨立發現了用幾何方法求圓周率的方法，稱之為“割圓術”。劉徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。

公元前200年間古希臘數學家阿基米德首先從理論上給出pi值的正確求法。他專門寫了一篇論文《圓的度量》用圓外切與內接多邊形的周長以大小兩個方向上同時逐步逼近圓的周長，巧妙地求得pi。這是第一次在科學中創用上下界來確定近似值，公元前150年左右，另一位古希臘數學家托勒密用弦表法（以1的圓心角所對弦長乘以360再除以圓的直徑）給出了pi的近似值3.1416。

公元200年間，我國數學家劉徽在注釋《九章算術》中獨立發現了用幾何方法求圓周率的方法，稱之為“割圓術”。劉徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。邊數越多越接近圓，最后劉徽求得π≈ 3.1416。

劉薇與阿基米德的方法有所不同，他只從圓內接正六邊形入手，也是不斷將邊數加倍，只是劉薇用正多邊形的面積逼近圓的面積。劉薇認為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣。”包含有樸素的極限思想。公元460年，南朝的祖沖之利用劉薇的割圓術，把值算到小數點后第七位3.1415926。這個具有七位小數的圓周率當時是世界首次，祖沖之還找到了兩個分數22、7和355、113。用分數來代替pi，極大地簡化了計算，這種思想比西方早一千年。可見當時的中國數學家對圓周率的值作了比較的精確計算為中國日后的數學發展起著舉足輕重的作用。1579年法國韋達發現了關系式，首次擺脫了幾何學的陳舊方法，尋求到了pi的解析表達式。1650年瓦里斯把pi表示成無窮乘積，無窮連分數，無窮級數等各種值表達式紛紛出現，值計算精度也迅速增加。稍后，萊布尼茨發現接著歐拉證明了這些公式的計算量都很大。盡管形式非常簡單，pi值的計算方法的最大突破是找到了它的反正切函數表達式。1706年英國數學家麥欣首先發現了其計算速度遠遠超過方典算法。

某個古代文牘員以不同長度的半徑畫了一些圓，他取了每個圓的直徑（將半徑加倍）只是為了好玩。他決定以每個圓的直徑為單位長度在圓周上丈量。令人驚奇的是，不管圓的大小如何，圓周總是直徑的3倍多一點。由于pi與圓的特殊關系，故數學家設計用來計算出圓的面積和周長的新方法。

為什么數學家們還象登山運動員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對 π 的探索呢？為什么其小數值有如此的魅力呢？這其中大概免不了有人類的好奇心與領先于人的心態作怪，但除此之外，還有許多其它原因。

1、它現在可以被人們用來測試或檢驗超級計算機的各項性能，特別是運算速度與計算過程的穩定性。

2、計算的方法和思路可以引發新的概念和思想。π 的故事講述的是人類的勝利，而不是機器的勝利。

3、還有一個關于 π 的計算的問題是：我們能否無限地繼續算下去？

4、作為一個無窮數列，數學家感興趣的把 π 展開到上億位，能夠提供充足的數據來驗證人們所提出的某些理論問題，可以發現許多迷人的性質。如，在 π 的十進展開中，10個數字，哪些比較稀，哪些比較密？ π 的數字展開中某些數字出現的頻率會比另一些高嗎？或許它們并非完全隨意？這樣的想法并非是無聊之舉。只有那些思想敏銳的人才會問這種貌似簡單，許多人司空見慣但卻不屑發問的問題。

在這方面，還有如下的統計結果：在60億數字中已出現連在一起的8個8；9個7；10個6；小數點后第710150位與3204765位開始，均連續出現了七個3；小數點52638位起連續出現了14142135這八個數字，這恰是的前八位；小數點后第2747956位起，出現了有趣的數列876543210，遺憾的是前面缺個9；還有更有趣的數列123456789也出現了。如果繼續下去，看來各種類型的數字列組合可能都會出現。

背誦圓周率能夠鍛煉人的記憶力，我國橋梁專家茅以升年輕時就能背誦圓周率鍛煉記憶力。晚年時仍能輕松地背出圓周率的100位數值。

可見圓周率pi不僅與我們身邊的數學緊密相連更與我們的生活息息相關。俗話說得好，“有理走遍天下，無理寸步難行”圓周率pi就好比這個“理”。有了圓周率pi不僅解決了困惑眾多數學家的三大著名幾何問題之一的化圓為方的不可能性更為后續的數學研究奠定了基礎。

參考文獻：

[1].李文林.數學史概論:北京：高等教育出版社，2002年8月 [2].王樹禾.數學思想史；北京：國防工業出版社，2003年1月

第五篇：數學史論文三角恒等變換論文

數學史論文三角恒等變換論文：數學史對數學教學的啟發意

義

摘 要：數學史對數學教育的積極作用，已經得到國內外的普遍認可，也提出了許多可操作的方法，可以根據不同的教學內容，做出適當的選擇。新課改的北師大版高中數學教材中三角恒等變換開始用解析幾何的方法推導出三角恒等式，教材安排的非常簡練、嚴密，但是為了更好地幫助學生理解和記憶，可以參考數學史上不同時期的數學家探索三角變換的過程，會對教學提供一些有益的啟發。

關鍵詞：數學史；數學教學；三角恒等變換

一、研究的背景

數學是一門高度抽象的學科，不僅數學的概念是抽象的和思辨的，而且數學的思想和方法也是抽象和思辨的（亞歷山大洛夫，1988），數學教學不僅要教會學生用數學工具解決問題，更要讓學生理解數學中所用到的思想和方法，這是數學的靈魂。

歷史上許多大數學家都很重視數學史知識對數學學習所起的積極作用，但真正開始系統地研究他們之間的關系卻是在1972年，在第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics，簡稱hpm），該小組成立近30年來，對于如何

將數學史與數學教育作聯結，進而對數學教學的改善和數學課程的發展有所幫助，提供數學教師多種可以使用的資源提出了許多建議，受到國界數學教育界的關注。

我國的數學課程改革為我們的hpm研究提供了現實的背景和實踐的空間，事實上新課程標準有對數學史知識的要求“數學課程應適當反映數學發展的歷史、應用和趨勢，??應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀”，因此，數學史與數學教育的研究應該成為中學數學教師關注并引領實踐的重要內容。我國的李儼、錢寶琮、沈康身、汪曉勤、韓祥林幾位前輩在數學史的研究過程中著作頗豐，尤其是汪曉琴、韓祥林兩位教授在hpm研究方面取得了很多成果。對于怎樣在數學教育中融入數學史他們介紹了一種注入歷史的教學法——發生教學法（genetic approach to teaching and learning）。該方法需要：（1）數學教師了解所教主題的歷史；（2）確定該主題發展的關鍵步驟；（3）重新構建關鍵步驟，使之適用于課堂教學；（4）重構步驟按從易到難的系列問題給出，后面的問題建立在前面問題的基礎上。（如圖1）

二、數學史作用于數學教學的案例

如北師大版高中數學必修4第三章三角恒等變換中的內容，從教材內容來看，主要是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式以及簡單的恒等變換。但是對很多學生來說，三角變

換成了大堆的公式，成了符號和文字的組合，學生對它的理解也是機械的記憶，不利于學生對三角變換的理解。

為了更好地促進學生學習本章的內容，我們可以參照古希臘天文學家托勒密為了制作弦表而提出的托勒密定理：圓內接四邊形的對角線乘積等于兩對邊乘積之和。（如圖2）

設abcd是直徑為1的圓o的內接四邊形，對角線bd為圓的直徑，∠abd=α，∠dbc=β，利用托勒密定理即可得和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（證明略），差角公式也可以用類似的證明，但是這個證明的幾何推理相對比較繁瑣，讓學生感覺好像是在學習習近平面幾何，有喧賓奪主的感覺，有人參照該證明方法和勾股定理的幾何證明給出了如下的幾何證明差角公式的方法。（如圖3）oa=1，∠aoc=α，∠bod=β，由該圖容易證明兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ非常簡明直觀的給出了和角公式的幾何意義，雖然這里的角都是銳角的形式，還沒有進行角的推廣，如直角、鈍角甚至任意角的情況的證明，但是有助于學生運用先前的平面幾何的知識迅速的掌握和角公式。而本章后面的公式都可以用類似的方法證明，這里不再贅述。

三、數學史支持數學教學的優勢

我們可以將數學史上的類似知識同教材中的內容相互結合，更好地促進教學，讓代數與具體的圖形連接起來，可

以讓代數證明不再是抽象的文字游戲，讓代數結論展現在直觀的幾何圖形之上，有助于提升學生的學習動機與抽象公式的具體化。而在數學史上還有大量類似的知識，對教師的數學教學和學生的數學學習提供有力的支持，其中所體現的思想方法對學生也有重要的啟發意義。另外，現代的信息技術也可為數學史融入數學教學提供了技術支持，如何在技術的支持下實現數學史融入數學教學效果的最優化，也是一個值得探索的問題。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準：實驗［m］．北京：人民教育出版社，2003．

［2］汪曉勤，韓祥林.中學數學中的數學史.科學出版社，2002.