第一篇：2017初三數學圓教案.doc
第七章 圓
一.本周教學內容：
第七章 圓
三 圓和圓的位置關系
［學習目標］
1.掌握圓和圓的各種位置關系的概念及判定方法； 2.理解并掌握兩圓相切的性質定理；
3.掌握相交兩圓的性質定理，并完成相關的計算和證明；
4.理解圓的內、外公切線概念，會計算內、外公切線長及兩公切線夾角；并能根據公切線的條數確定兩圓的位置關系；
5.通過兩圓位置關系的學習，進一步理解事物之間是相互聯系和運動變化的觀點，學會在變化中尋找規律，培養綜合運用知識的能力。
［知識回顧］
1.圓與圓的位置關系的判定方法及圖形特征
2.兩圓相切的性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上。3.兩圓相交的性質：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4.設兩圓公切線長L，兩圓半徑R、r，兩公切線的夾角α
【典型例題】
例1.已知⊙O1、⊙O2半徑分別為15cm和13cm，它們相交于A、B兩點，且AB長24cm，求O1O2長。
分析：該題沒有給出圖形，兩圓相交有兩種可能性： 1.兩圓心在公共弦的兩側； 2.兩圓心在公共弦的同側；
因此，我們必須分兩種情況來解。
解：（1）連結O1O2交AB于C（2）連結O1O2并延長交AB于C ∵⊙O1 ⊙O2交于A、B兩點
在Rt△AO1C中，由勾股定理：
在Rt△AO2C中，由勾股定理：
∴如圖（1）O1O2=O1C+O2C=14cm
如圖（2）O1O2=O1C－O2C=4cm
例1是兩圓相交時的一題兩解問題，希望引起同學們的重視。
例2.如圖，⊙O1與⊙O2外切于點P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求證：
（1）PC平分∠BPD（2）若兩圓內切，結論還成立嗎？證明你的結論。
證明：（1）過P點作公切線PM交AC于M點
∵AC切⊙O2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC 在⊙O1中，由弦切角定理：
∠BPM=∠A ∵∠CPD為△APC的外角
∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC ∴PC平分∠BPD。
（2）兩圓內切時仍有這樣的結論。
證明：過P點作公切線PM交AB延長線于M
∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP ∴∠MPC=∠MCP ∴∠MPB=∠A ∵∠MCP為△CPA的外角 ∠MCP=∠CPA+∠A 又∠MPC=∠MPB+∠BPC ∴∠BPC=∠CPA 即PC平分∠BPD。
在解決有關兩圓相切的問題時，過切點作兩圓的公切線是常見的一條輔助線，利用弦切角及圓周角的性質或切線長定理，可使問題迎刃而解。
從這道題我們還可以聯想到做過的兩道題，①當A、B重合時，也就是AC成為兩圓的外公切線時，PC⊥AD，即我們書上的例題（P129 例4）
②當APD經過O1、O2時，PB⊥AC，PC平分∠BPD的證法就更多了。
例3.如圖，以FA為直徑的⊙O1與以OA為直徑的⊙O1內切于點A，△ADF內接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，連結AC并延長交⊙O于E，求證：
（1）AC=CE（2）AC=DB－BC
分析：（1）易證
（2）由（1）我們可聯想到相交弦定理，延長DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂徑定理可知DB=BG，問題就解決了。
證明：（1）連結OG，延長DB交⊙O于G，∵OA為⊙O1直徑 ∴OC⊥AE 在⊙O中 OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直徑AF ∴DB=GB 由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）
∵AC=CE ∴AC＝DB－BC
本題中主要應用了垂徑定理，相交弦定理等知識，另外，證明過程中線段代換比較巧妙，應認真體會。
例4.如圖：⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，過A作⊙O1切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓割線交⊙O1和⊙O2于D、E，DE與AC相交于P點，222222
（1）求證：PA·PE=PC·PD（2）當AD與⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12時，求AD的長。
分析：（1）從圖中我們看到有相交弦定理和切割線定理可用。
（2）求AD想到用切割線定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它們的乘積，我們連結公共弦得兩個弦切角，再連結CE，可推出AD∥CE，這樣，問題就解決了。
（1）證明：∵PA切⊙O1于A，PBD為⊙O1割線
在⊙O2中 由相交弦定理
（2）連結AB、CE ∵CA切⊙O1于A AB為弦 ∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E ∴∠D=∠E ∴AD∥CE
∴BE=3+4=7 DB=12－3=9 由切割線定理 AD=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12
解與兩圓相交的有關問題時，作兩圓的公共弦為輔助線，使不同的兩個圓的圓周角建立聯系，溝通它們之間某些量的關系，同學們應注意它的應用。
例5.如圖，已知：⊙O與⊙B相交于點M、N，點B在⊙O上，NE為⊙B的直徑，點C在⊙B上，CM交⊙O于點A，連結AB并延長交NC于點D，求證：AD⊥NC。
分析：要證AD⊥NC，我們可證∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，這里可用到的是①NE為直徑，它對的圓周角是直角，因此我們連結EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圓內接四邊形的性質得∠ENM=∠CAD，從而得證。
證明：連結EC ∵EN為直徑 ∴∠ECM+∠ACD=90°
∵四邊形ABNM內接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE ∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠ADC=180°－90°=90°
∴AD⊥NC 從證明中可見點B在⊙O上這一條件的重要性。
例6.如圖：已知△DEC中DE=DC，過DE作⊙O1交EC、DC于B、A，過A、B、C作⊙O2，過B作BF⊥DC 于F，延長FB交⊙O1于G，連DG交EC于H，（1）求證：BF過⊙O2的圓心O2
（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的長。
分析：要證BF過⊙O2圓心O2，只需證它所在弦對的圓周角是直角即可，故應延長BF交⊙O2于M，連CM，去證∠MCA+∠ACB=90°，而連AB后可得∠MCA轉移到∠MBA，再由圓內接四邊形的性質轉移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可證。
（1）證明：延長BF交⊙O2于M，連MC、AB ∵四邊形ABGD內接于⊙O1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG⊥EC于H ∴∠ADG+∠DCH=90°
∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM ∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM為⊙O2直徑
∴BF過⊙O2的圓心O2。
（2）解：∵四邊形ADEB內接于⊙O1
∴∠CAB=∠E ∵DE=DC ∠E=∠DCB ∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA∽△CDE
∴設CD=5k，EC=6k ∵DH⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k，∴k=2 ∴CD=10 在Rt△DHE中，由勾股定理：
∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH·HG=EH·HB
∴DG=8+1.5=9.5
例7.如圖：⊙O1與⊙O2外切于點P，AB是兩圓外公切線，AB與O1O2延長線交于
（1）求證：AC⊥EC（2）求證：PC=EC
（1）證明：連結BP
∴△APB∽△AEC ∴∠ACE=∠APB 由例4結論得∠APB=90°
∴∠ACE=90° 即AC⊥EC
（2）證明：連結BD，∵∠APB=∠BPD=90° ∴BD為直徑
∵AB為外公切線 B為切點 ∴BD⊥AC于B ∵AC⊥EC ∴BD∥EC
∴PC=EC（3）解：設PC交⊙O2于F，連結BF 在Rt△ABD中 BP⊥AD
∴BP=3 ∵CB切⊙O2于B ∴∠CBF=∠BPC ∠ABP=∠BFP ∵∠BCF=∠PCB
∵PC=EC
第二篇：初三數學 圓教案
圓
一、本章知識框架
二、本章重點
1．圓的定義：
(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．
(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d (1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角． 圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數． (2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質： ①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角． ④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角． (3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半． 4．圓的性質：(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心． 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等． (2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論： (1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧． (2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧． (4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等． 5．三角形的內心、外心、重心、垂心 (1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點． 6．切線的判定、性質：(1)切線的判定： ①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質： ①圓的切線垂直于過切點的半徑． ②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點． ③經過切點作切線的垂線經過圓心． (3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長． (4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內接四邊形和外切四邊形 (1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角． (2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關系： 設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d． (1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R． (2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d ．(1)外離(2)含(3)外切(4)d 內有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部d＝R＋r． 的每個點都在內部有唯一公共點，除這個點外，內切d＝R－r． 相交(5)有兩個公共點R－r 10．兩圓的性質： (1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線． (2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點． 11．圓中有關計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR． 圓心角為n°、半徑為R的弧長． 圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算． ． 圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為 ．，側圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有 ． 本文由：西安論壇http://www.tmdps.cn 西安婚紗攝影http://www.tmdps.cn 寶雞論壇http://www.tmdps.cn 共同整理 初三數學 圓教案 一、本章知識框架 二、本章重點 1．圓的定義： (1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓． (2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d (1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角． 圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數． (2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質： ①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角． ④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角． (3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半． 4．圓的性質： (1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心． 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等． (2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論： (1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧． (2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧． (4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等． 5．三角形的內心、外心、重心、垂心 (1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點． 6．切線的判定、性質：(1)切線的判定： ①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質： ①圓的切線垂直于過切點的半徑． ②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點． ③經過切點作切線的垂線經過圓心． (3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長． (4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內接四邊形和外切四邊形 (1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角． (2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關系： 設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d． (1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R． (2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d ． (1)外離(2)含(3)外切(4)d 內有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部d＝R＋r． 的每個點都在內部有唯一公共點，除這個點外，內切d＝R－r． 相交(5)有兩個公共點R－r 10．兩圓的性質： (1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線． (2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點． 11．圓中有關計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR． 圓心角為n°、半徑為R的弧長． 圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算． ． 圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為 ．，側圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為【經典例題精講】 例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有 ． 分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規律． 解： 連結OP，P點為中點． 小結：此題運用垂徑定理進行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦． 解： A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確． B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B． 例3 四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解： 設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°． 小結：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長． 例4 為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關數據，進而可以求得鐵環半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是__________cm． 分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行 合作解決，即過P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數知識求解． 解： ． 小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型． 例5 已知 相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(如圖23-8)，設 與AB交于C，連結又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，則垂直平分AB，∴ ． 中，中，． ． ． 位于AB的同側(如圖23-9)，設 ． 的延長線與AB交于C，連結∵垂直平分AB，∴． 又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，． ． ． 注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題． 三、相關定理： 1.相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等） 說明：幾何語言： 若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1． 已知P為⊙O內一點，P任作一弦AB，設為。，⊙O半徑為，過，則關于的函數關系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割線定理 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。 解：設TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴ ∴，（舍）由勾股定∴ 四、輔助線總結 1.圓中常見的輔助線 1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等． 2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明． 3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算． 4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角． 5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角． 8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑． 9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點． 10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點． 11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線． 13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊． 2、圓中較特殊的輔助線 1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補充完整． 3)．作輔助圓． 例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為() A．2 B．3 C．4 D．5 分析：連結OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設AE＝x，則在Rt△CEO中，則，(舍去)．，即，答案：A． 例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于() A．35° B．90° C．110° D．120° 分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C． 例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于()A． B． C． D． 分析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即 ．答案：B． 例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，求：EM的長． ． 簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是則AM·MB＝x(7－x)，即 ．所以 ．設EM＝x，．而EM>MC，即EM＝4． 例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程 (其中m為實數)的兩根． (1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數． 簡析：(1)由BE、BD是關于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為(2)由相交弦定理，得 ．得，即 ．故BE＝BD． ．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以 ．在Rt△ACB中，故∠A＝60°． 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 第七章 圓 一.本周教學內容： 第七章 圓 三 圓和圓的位置關系 ［學習目標］ 1.掌握圓和圓的各種位置關系的概念及判定方法； 2.理解并掌握兩圓相切的性質定理； 3.掌握相交兩圓的性質定理，并完成相關的計算和證明； 4.理解圓的內、外公切線概念，會計算內、外公切線長及兩公切線夾角；并能根據公切線的條數確定兩圓的位置關系； 5.通過兩圓位置關系的學習，進一步理解事物之間是相互聯系和運動變化的觀點，學會在變化中尋找規律，培養綜合運用知識的能力。 ［知識回顧］ 1.圓與圓的位置關系的判定方法及圖形特征 兩圓位置關公共點個數 系 外離 0 相對關系 一圓在另一圓外部 除公共點外，一圓在另一圓外部 數量關系 d>R+r 公切線條數 4 外切 1 d=R+r 3 R－r 2.兩圓相切的性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上。3.兩圓相交的性質：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4.設兩圓公切線長L，兩圓半徑R、r，兩公切線的夾角α 則有：外公切線長L外?d2?(R?r)2這時sin?2?R?r d億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 內公切線長L內?d2?(R?r)2這時sin?2?R?r d 【典型例題】 例1.已知⊙O1、⊙O2半徑分別為15cm和13cm，它們相交于A、B兩點，且AB長24cm，求O1O2長。 分析：該題沒有給出圖形，兩圓相交有兩種可能性： 1.兩圓心在公共弦的兩側； 2.兩圓心在公共弦的同側； 因此，我們必須分兩種情況來解。 解：（1）連結O1O2交AB于C（2）連結O1O2并延長交AB于C ∵⊙O1 ⊙O2交于A、B兩點 ∴O1O2⊥AB，且AC?1AB?12cm 2 在Rt△AO1C中，由勾股定理： O1C?O1A2?AC2?152?122?9(cm) 在Rt△AO2C中，由勾股定理： O2C?O2A2?AC2?132?122?5cm ∴如圖（1）O1O2=O1C+O2C=14cm 如圖（2）O1O2=O1C－O2C=4cm 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 例1是兩圓相交時的一題兩解問題，希望引起同學們的重視。 例2.如圖，⊙O1與⊙O2外切于點P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求證： （1）PC平分∠BPD（2）若兩圓內切，結論還成立嗎？證明你的結論。 證明：（1）過P點作公切線PM交AC于M點 ∵AC切⊙O2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC 在⊙O1中，由弦切角定理： ∠BPM=∠A ∵∠CPD為△APC的外角 ∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC ∴PC平分∠BPD。 （2）兩圓內切時仍有這樣的結論。 證明：過P點作公切線PM交AB延長線于M ∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP ∴∠MPC=∠MCP ∴∠MPB=∠A ∵∠MCP為△CPA的外角 ∠MCP=∠CPA+∠A 又∠MPC=∠MPB+∠BPC ∴∠BPC=∠CPA 即PC平分∠BPD。 在解決有關兩圓相切的問題時，過切點作兩圓的公切線是常見的一條輔助線，利用弦切角及圓周角的性質或切線長定理，可使問題迎刃而解。 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 從這道題我們還可以聯想到做過的兩道題，①當A、B重合時，也就是AC成為兩圓的外公切線時，PC⊥AD，即我們書上的例題（P129 例4） ②當APD經過O1、O2時，PB⊥AC，PC平分∠BPD的證法就更多了。 例3.如圖，以FA為直徑的⊙O1與以OA為直徑的⊙O1內切于點A，△ADF內接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，連結AC并延長交⊙O于E，求證： （1）AC=CE（2）AC=DB－BC 分析：（1）易證 （2）由（1）我們可聯想到相交弦定理，延長DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂徑定理可知DB=BG，問題就解決了。 證明：（1）連結OG，延長DB交⊙O于G，∵OA為⊙O1直徑 ∴OC⊥AE 在⊙O中 OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直徑AF ∴DB=GB 由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC） ∵AC=CE ∴AC＝DB－BC 本題中主要應用了垂徑定理，相交弦定理等知識，另外，證明過程中線段代換比較巧妙，應認真體會。 例4.如圖：⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，過A作⊙O1切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓割線交⊙O1和⊙O2于D、E，DE與AC相交于P點，222222億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 （1）求證：PA·PE=PC·PD（2）當AD與⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12時，求AD的長。 分析：（1）從圖中我們看到有相交弦定理和切割線定理可用。 （2）求AD想到用切割線定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它們的乘積，我們連結公共弦得兩個弦切角，再連結CE，可推出AD∥CE，這樣，問題就解決了。 （1）證明：∵PA切⊙O1于A，PBD為⊙O1割線 ∴PA?PB·PD2PA2∴PB? PD 在⊙O2中 由相交弦定理 PA·PC?PB·PE∴PB?PA·PC PEPA2PA·PC? ∴PDPE（2）連結AB、CE ∴PA·PE?PC·PD ∵CA切⊙O1于A AB為弦 ∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E ∴∠D=∠E ∴AD∥CE ∴PCPE?PAPD∵PC?2PA?6PD?12 ∴PE?PC·PD2×12??4 PA6∴PB?2×6?3 4 由相交弦定理：PB·PE?PC·PA ∴BE=3+4=7 DB=12－3=9 由切割線定理 AD=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 2億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 解與兩圓相交的有關問題時，作兩圓的公共弦為輔助線，使不同的兩個圓的圓周角建立聯系，溝通它們之間某些量的關系，同學們應注意它的應用。 例5.如圖，已知：⊙O與⊙B相交于點M、N，點B在⊙O上，NE為⊙B的直徑，點C在⊙B上，CM交⊙O于點A，連結AB并延長交NC于點D，求證：AD⊥NC。 分析：要證AD⊥NC，我們可證∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，這里可用到的是①NE為直徑，它對的圓周角是直角，因此我們連結EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圓內接四邊形的性質得∠ENM=∠CAD，從而得證。 證明：連結EC ∵EN為直徑 ∴∠ECM+∠ACD=90° ∵四邊形ABNM內接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠ADC=180°－90°=90° ∴AD⊥NC 從證明中可見點B在⊙O上這一條件的重要性。 例6.如圖：已知△DEC中DE=DC，過DE作⊙O1交EC、DC于B、A，過A、B、C作⊙O2，過B作BF⊥DC 于F，延長FB交⊙O1于G，連DG交EC于H，（1）求證：BF過⊙O2的圓心O2 （2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的長。 分析：要證BF過⊙O2圓心O2，只需證它所在弦對的圓周角是直角即可，故應延長BF交⊙O2于M，連CM，去證∠MCA+∠ACB=90°，而連AB后可得∠MCA轉移到∠MBA，再由圓內接四邊形的性質轉移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可證。 （1）證明：延長BF交⊙O2于M，連MC、AB ∵四邊形ABGD內接于⊙O1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG⊥EC于H ∴∠ADG+∠DCH=90° 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 ∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM ∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM為⊙O2直徑 ∴BF過⊙O2的圓心O2。 （2）解：∵四邊形ADEB內接于⊙O1 ∴∠CAB=∠E ∵DE=DC ∠E=∠DCB ∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA∽△CDE ∴CDBC45??? ECAC4.86 ∴設CD=5k，EC=6k ∵DH⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k，∴k=2 ∴CD=10 在Rt△DHE中，由勾股定理： DH?102?62?8 ∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH·HG=EH·HB ∴HG?EH·HB2×63???15.DH82 ∴DG=8+1.5=9.5 例7.如圖：⊙O1與⊙O2外切于點P，AB是兩圓外公切線，AB與O1O2延長線交于 C點，AP延長線上一點E，滿足條件APAC?ABAEPE交⊙O2于點D，（1）求證：AC⊥EC（2）求證：PC=EC(3)若AP?4PD?（1）證明：連結BP ∵94求BC的值 ECAPAC?ABAE∠A?∠A ∴△APB∽△AEC ∴∠ACE=∠APB 由例4結論得∠APB=90° ∴∠ACE=90° 即AC⊥EC 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 （2）證明：連結BD，∵∠APB=∠BPD=90° ∴BD為直徑 ∵AB為外公切線 B為切點 ∴BD⊥AC于B ∵AC⊥EC ∴BD∥EC ∴△PO2D∽△PCE ∴PC=EC（3）解：設PC交⊙O2于F，連結BF 在Rt△ABD中 BP⊥AD ∴由射影定理：BP?AP·PD?4× ∴BP=3 ∵CB切⊙O2于B ∴∠CBF=∠BPC ∠ABP=∠BFP ∵∠BCF=∠PCB ∴△BCF∽△PCB∴ ∵PC=EC ∴ 2O2DEC??1 O2PPC9 4BCBFBP3??ctg∠BFP?ctg∠ABP?? PCBPAP4BCBC3?? ECPC4億庫教育網 http://www.tmdps.cn 百萬教學資源免費下載 精品講義 貢獻人：蜀道鵬 圓綜合復習 一、本章知識框架 二、本章重點 1．圓的定義： (1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓． (2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d (1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角． 圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數． (2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質： ①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角． ④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角． (3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半． 精品講義 貢獻人：蜀道鵬 4．圓的性質： (1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心． 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等． (2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論： (1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧． (2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧． (4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等． 5．三角形的內心、外心、重心、垂心 (1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點． 6．切線的判定、性質：(1)切線的判定： ①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質： ①圓的切線垂直于過切點的半徑． ②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點． ③經過切點作切線的垂線經過圓心． (3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長． (4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內接四邊形和外切四邊形 (1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角． (2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關系： 設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d． (1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R． (2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d 精品講義 貢獻人：蜀道鵬 9．圓和圓的位置關系： 設(1)外離(2)含(3)外切(4)d ． 沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部d>R＋r． 沒有公共點，且的每一個點都在外部 內有唯一公共點，除這個點外，內切d＝R－r． 相交(5)有兩個公共點R－r 10．兩圓的性質： (1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線． (2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點． 11．圓中有關計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR． 圓心角為n°、半徑為R的弧長． 圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算． ． 圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為 ．，側圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為 ，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有． 精品講義 貢獻人：蜀道鵬 【經典例題精講】 例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？ 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦． 例3 四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 例4 為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關數據，進而可以求得鐵環半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是__________cm． 精品講義 貢獻人：蜀道鵬 例5 已知相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 三、相關定理： 1.相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等） 說明：幾何語言： 若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1． 已知P為⊙O內一點，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設，則關于的函數關系式為。2.切割線定理 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。 精品講義 貢獻人：蜀道鵬 四、輔助線總結 1.圓中常見的輔助線 1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等． 2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明． 3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算． 4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角． 5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角． 8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑． 9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點． 10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點． 11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線． 13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊． 2、圓中較特殊的輔助線 1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補充完整． 3)．作輔助圓． 【中考熱點】 近年來，在中考中圓的應用方面考查較多，與一元二次方程、函數、三角函數、實際問題、作圖等是中考中的熱點，也是難點． 例1（·北京市)如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為() A．2 B．3 C．4 D．5 例2(北京市)如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于() A．35° B．90° C．110° D．120° 例3（北京市)如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于()A． B． C． D． 精品講義 貢獻人：蜀道鵬 例4(河南省A卷)如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，(1)求EM的長． (2)求sin∠EOB的值． 例5（山西省)如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程 (其中m為實數)的兩根． (1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數． ．第三篇：初三數學圓教案
第四篇：初三數學圓教案含答案
第五篇：初三數學圓的綜合復習教案
點擊咨詢 