第一篇：高考數學難點突破難點—— 運用向量法解題
難點3 運用向量法解題
平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節內容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關問題.●難點磁場
(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究
［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當CD的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.CC1命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數量關系的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區別與聯系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數量積為零即可.(1)證明：設CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)
=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD，∴CD=1時，A1C⊥平面C1BD.CC1［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；
I(2)求cos
(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當的空間直角坐標系O－xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標.錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6
|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30.10(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)
112211C1M?(，0),A1B?(?1,1,?2)
2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M，22∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計
1.解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想.2.向量的數量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.II 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？
(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？ ●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)設A、B、C、D四點坐標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形
B.矩形 C.菱形
D.平行四邊形
2.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，15,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）4A.30°
B.－150°
C.150°
D.30°或150°
二、填空題
3.(★★★★★)將二次函數y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題
5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側棱長為2a.(1)建立適當的坐標系，并寫出A、B、A1、C1的坐標；(2)求AC1與側面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數列.(1)點P的軌跡是什么曲線？
(2)若點P坐標為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；
III(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM? 參考答案
難點磁場
解：(1)點M的坐標為xM=
1(OA?OB?OC?OD).4?1?17?299?0;yM??,?M(0,)2222221.29?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5
D點分BC的比為2.∴xD=?1?2?117?2?211?,yD??
1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.333(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145殲滅難點訓練
一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵1511?·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.242又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C
二、3.(2,0)4.13 cm
IV
三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb
①
又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.②
?1?m??a??n?m?1?0∵a與b不共線，∴?
即??m?1?nn??m?1?0??解方程組③得：m=
③
1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－1???1???1???λ)b］.6.解：(1)以點A為坐標原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－
3aa，222a).3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)
a2由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?3aaa，2a),AM?(0，2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a
443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a
444292a34? 323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1與AM所成的角，即AC1與側面ABB1A1所成的角為30°.V 7.解：(1)設P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數列，等價于
1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點P的坐標為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222
1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x?|y0| 02cos?4?x08.證明：(1）連結BG，則EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中(2）因為EH?AH?AE?121BD=EH）21111AD?AB?(AD?AB)?BD.2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH
所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?被M平分，所以 11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一點M且 VI OM??1(OA?OB?OC?OD).41111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222222.VII
第二篇：2013年高考數學重點難點突破運用向量法解題
2013年新課標高考數學之運用向量法解題
平面向量是新課標教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節內容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關問題.●難點磁場
(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究
［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當CDCC1的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數量關系的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區別與聯系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數量積為零即可.(1)證明：設CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)
=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD，∴CDCC1=1時，A1C⊥平面C1BD.I ［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；
(2)求cos
(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬
★★★★級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當的空間直角坐標系O－xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標.錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?|CB1|?(0?0)?(1?0)?(2?0)BA1?CB1|BC1|?|CB1|2226 5 36?53010??cos?BA1,CB1????.(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)
22C1M?(11，0),A1B?(?1,1,?2)2212?1?12?(?2)?0?0,?A1B?C1M，11∴A1B?C1M?(?1)?∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計
1.解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的
II 各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想.2.向量的數量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：
(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？
(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)設A、B、C、D四點坐標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形 C.菱形
B.矩形
D.平行四邊形
1542.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，A.30° B.－150°
C.150° ,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）
D.30°或150°
二、填空題
3.(★★★★★)將二次函數y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題
5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側棱長為2a.(1)建立適當的坐標系，并寫出A、B、A1、C1的坐標；(2)求AC1與側面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數列.(1)點P的軌跡是什么曲線？
(2)若點P坐標為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.III 8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；
(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM?
參考答案
難點磁場
解：(1)點M的坐標為xM=?1?12?0;yM?7?22?99,?M(0,)2214(OA?OB?OC?OD).?|AM|?(5?0)?(?1?292)2?2212.(2)|AB|?(5?1)?(?1?7)22?10,|AC|?(5?1)?(?1?2)22?5
D點分BC的比為2.∴xD=?1?2?11?2?13,yD?7?2?21?2?113
|AD|?(5?13)?(?1?2113)2?1432.(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)6?(?8)?2?(?5)2222?521029?2629145
殲滅難點訓練
一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵ 154?12·3·5sinα得sinα=
12,則α=30°或α=150°.IV 又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C
二、3.(2,0)4.13 cm
三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb
①
又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.∵a與b不共線，∴?解方程組③得：m=?1?m??a??n?m?1?0
即??m?1?nn??m?1?0??1??1???,n?1??1???
②
1③
代入①式得c=(1－m)a+mμb=
1???［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］.6.解：(1)以點A為坐標原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－
a32a,a2,2a).32(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－
2a,0,0）, 且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?32a,a2a,22a),AM?(0,?2a2a2,2a)，?AC1?AM?0?4?942a
2而|AC1|?34a?214a?2a2?3a,|AM|?a4?2a?32a
V 9?cos?AC1,AM??4a23a?32?a32
所以AC1與AM所成的角，即AC1與側面ABB1A1所成的角為30°.7.解：(1)設P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數列，等價于
1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2?x?0??2(1?x)?2(1?x)?0?所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點P的坐標為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|??(4?2x0)(4?2x0)?24?x0PM?PN|PM|?PN?0?x0?3,?12222(1?x)?y0?22(1?x0)?y0222?cos???14?x02
?3?cos??1,0???,?sin??1?cos??1?14?x02,?tan??sin?cos??3?x02?|y0|
8.證明：(1）連結BG，則EG?EB?BG?EB?12(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH
12BD=EH）由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中(2）因為EH?AH?AE?12AD?12AB?12(AD?AB)?12BD.所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH 所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
VI 由(2）知EH?被M平分，所以
OM??141212BD，同理FG?12BD，所以EH?FG，EHFG,所以EG、FH交于一點M且(OE?OG)?12OE?12OG?1111[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222.(OA?OB?OC?OD).VII
第三篇：Kuaarm高考數學難點突破 難點31 數學歸納法解題
生命是永恒不斷的創造，因為在它內部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現的形式表現出來。
－－泰戈爾
難點31 數學歸納法解題
數學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=
n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究
［例1］試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數列、等比數列的性質及數學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數)，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設a、b、c為等比數列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)
qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn
qqnn
an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)
22下面用數學歸納法證明：
a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴
22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即
22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()
2221［例2］在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；(3)求數列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數列、數學歸納法、數列極限等基礎知識.2知識依托：等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－
1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項，為公差的等差數列，進而求得SnS12技巧與方法：求通項可證明{通項公式.11成等比數列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)
(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－
3315解：∵an,Sn,Sn－
(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.2②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立
(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)(2k?3)(2k?1)2∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)
22∴Sk=
2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2
?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數列前n項和Sn=
1,∴S=limSn=0.n??2n?1●錦囊妙記
(1)數學歸納法的基本形式
設P(n)是關于自然數n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數n都成立.(2)數學歸納法的應用
具體常用數學歸納法證明：恒等式，不等式，數的整除性，幾何中計算問題，數列的通項與和等.●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30
B.26
C.36
D.6 2.(★★★★)用數學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）A.n=1
B.n=2
C.n=3
D.n=4
二、填空題
1311511173.(★★★★★)觀察下列式子：1??,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸
223423234納出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題
5.(★★★★)用數學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數，求證：
3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想
an?3211113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數列{bn}是等差數列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數列{bn}的通項公式bn;(2)設數列{an}的通項an=loga(1+
1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數列{an}的前n項和，試bn比較Sn與1logabn+1的大小，并證明你的結論.38.(★★★★★)設實數q滿足|q|＜1,數列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??
參考答案
難點磁場
1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2=
n(n?1)(3n2?11n?10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
k(k?1)(3k2+11k+10)12k(k?1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
2(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］
12設n=k時上式成立，即Sk=也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立.殲滅難點訓練
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)?f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.答案：C
二、3.解析：1?1312?1?1?即1??
1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???
2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?
33333 答案:、、、78910n?
5三、5.證明：(1)當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除
(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.×
11713 ???2?12?2122411113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k241111111則當n?k?1時,????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)246.證明：(1)當n=2時，?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)10b1?d?145?d?3?2?(2)證明：由bn=3n－2知
11)+…+loga(1+)43n?211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］
43n?2111而logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341(1+)與33n?1的大小.3n?2Sn=loga(1+1)+loga(1+取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+
1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當n=1時，已驗證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當n=k+1時，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+
?3k?233k?1
3k?1?(3k?233k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立
43k?23k?1由①②知，(*)式對任意正整數n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞
11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－
1n
q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)?綜合①②，猜想通項公式為an=?1k
?q n?2k時(k?N)??2下證：(1)當n=1,2時猜想成立
－(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk1則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－所以a2k+2=－1k
q,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對一切自然數n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)?這樣所求通項公式為an=?1k
?q 當n?2k時(k?N)??2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－(q+q2+…+qn)2
2(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()
1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴limq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知 4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜
2(1?q)5
第四篇：高考數學難點之數學歸納法解題.doc
高考數學難點之數學歸納法解題
數學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=●案例探究
［例1］試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數列、等比數列的性質及數學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數)，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設a、b、c為等比數列，a=
n(n?1)(an2+bn+c).12b,c=bq(q＞0且q≠1)qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn
qqnn
an?cna?cn(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)
22下面用數學歸納法證明：
a2?c2a?c2?()①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴
222
22ak?cka?ck?(), ②設n=k時成立，即22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當n=k+1時，241k+1k+1k1(a+c+a·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()
222＞［例2］在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；
用心
愛心
專心
1成等比數列.2(3)求數列{an}所有項的和.命題意圖：本題考查了數列、數學歸納法、數列極限等基礎知識.知識依托：等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?3111技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數列，進而求得通錯解分析：(2)中，Sk=－SnS12項公式.解：∵an,Sn,Sn－12成等比數列，∴Sn2=an·(Sn－12)(n≥2)
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－23 由a1=1，a2=－23,S3=13+a3代入(*)式得：a3=－215 ?1(n?1)同理可得：a4=－235,由此可推出：a?n=?2???(2n?3)(2n?1)(n?1)(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.②假設n=k(k≥2)時，a2k=－(2k?3)(2k?1)成立
故S2k2=－(2k?3)(2k?1)·(Sk－12)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk=112k?1,Sk??2k?3(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－12),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－12)?1(2k?1)2?a2k?1?2ak?12k?1?a2k?1?ak?12k?1?12ak?1?a?2
k?1?[2(k?1)?3][2(k?1)?1],即n?k?1命題也成立.?1(n?1)由①②知，a?n=?2對一切n∈N成立.???(2n?3)(2n?1)(n?2)用心
愛心
專心
(*)
(3)由(2)得數列前n項和Sn=●錦囊妙記
(1)數學歸納法的基本形式
1,∴S=limSn=0.n??2n?1設P(n)是關于自然數n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數n都成立.(2)數學歸納法的應用
具體常用數學歸納法證明：恒等式，不等式，數的整除性，幾何中計算問題，數列的通項與和等.●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30 A.n=1 B.26 B.n=2
C.36 C.n=3
D.6 D.n=4 2.(★★★★)用數學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證（）
二、填空題
3.(★★★★★)觀察下列式子：1?出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題
5.(★★★★)用數學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數，求證：
131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納2234232343an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想
a?32n
11113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數列{bn}是等差數列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數列{bn}的通項公式bn;(2)設數列{an}的通項an=loga(1+較Sn與
1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數列{an}的前n項和，試比bn1logabn+1的大小，并證明你的結論.38.(★★★★★)設實數q滿足|q|＜1,數列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達式，用心
愛心
專心 又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??
參考答案
難點磁場
1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(3n2?11n?10)12k(k?1)(3k2+11k+10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2 設n=k時上式成立，即Sk=那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2===k(k?1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2(k?1)(k?2)(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)［3(k+1)2+11(k+1)+10］
12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立.殲滅難點訓練
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)?f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應驗證n=3.用心
愛心
專心 答案：C
二、3.解析：1?1312?1?1?即1??
1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???
2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、78910n?
5三、5.證明：(1)當n=1時，42
×1+1
+31+2=91能被13整除
(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.6.證明：(1)當n=2時，11713 ???2?12?2122411113 ?????k?1k?22k24(2)假設當n=k時成立，即則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)d?310b?d?145?1?2?用心
愛心
專心(2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+而(1+11)+…+loga(1+)43n?211)…(1+)］ 43n?2111logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341)與33n?1的大小.3n?2取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測：(1+1)(1+1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當n=1時，已驗證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當n=k+1時，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+3k?233k?1
3k?13k?23?(3k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)?3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立
43k?23k?1由①②知，(*)式對任意正整數n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1
用心
愛心
專心 兩式相除，得an1?,即an+2=q·an an?2q于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－
1n
q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(k?N)?綜合①②，猜想通項公式為an=?1k
?q n?2k時(k?N)??2下證：(1)當n=1,2時猜想成立(2)設n=2k－1時，a2k－1=2·qk可推知n=2k+1也成立.設n=2k時，a2k=－所以a2k+2=－
－1
則n=2k+1時，由于a2k+1=q·a2k－1
∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.1kq,則n=2k+2時，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對一切自然數n,猜想都成立.?2?qk?1 當n?2k?1時(k?N)?這樣所求通項公式為an=?1k
當n?2k時(k?N)??q ?2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－1(q+q2+…+qn)22(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()
1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴limq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知
4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜
2(1?q)5用心
愛心
專心
第五篇：難點31數學歸納法解題（定稿）
中國特級教師高考復習方法指導〈數學復習版〉
難點31數學歸納法解題
數學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.●難點磁場
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n?1)(an2+bn+c).1
2●案例探究
·a.命題意圖：本題考查了數列、數學歸納法、數列極限等基礎知識.知識依托：等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－1應舍去，這一點往往容易被忽視.2k?
3111}是以{}為首項，為公差的等差數列，進而求得通項公式.SnS12技巧與方法：求通項可證明{
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11成等比數列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)2
22(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 3
212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 3315解：∵an,Sn,Sn－
(n?1)?12?同理可得：a
=－,由此可推出：a=.具體常用數學歸納法證明：恒等式，不等式，數的整除性，幾何中計算問題，數列的通項與和等.●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()
A.30B.26C.36D.6
2.(★★★★)用數學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()
A.n=1B.n=2C.n=3D.n=
4二、填空題
3.(★★★★★)觀察下列式子：1?131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸納出_________.22342323
44.(★★★★)已知a1=
三、解答題 3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.an?
325.(★★★★)用數學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.與13
S2n＜那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12
(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 12也就是說，等式對n=k+1也成立.綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立.殲滅難點訓練
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)
?f(k+1)能被36整除
∴當n=k+1時也成立.由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.11713 ???2?12?21224
11113(2)假設當n=k時成立，即 ?????k?1k?22k246.證明：(1)當n=2時，則當n?k?1時,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1
131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?2
13113???242(2k?1)(k?1)24
?b1?1?b1?1??7.(1)解：設數列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2)與?k?1(3k?2)?3k?4?3(k?1)?13k?1
111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?(k?1)?1,即當n=k+1時，(*)式成立 43k?23k?1
由①②知，(*)式對任意正整數n都成立.于是，當a＞1時，Sn＞11logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 33
8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－9, 2
an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得
于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－1nq(n=1,2,3,…)
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