第一篇：高等數學中幾個常見不等式及其應用

本科畢業論文（設計）

題 目：高等數學中幾個常見不等式及其應用 學 生： 學號： 學 院： 專業：

入學時間： 年 月 日 指導教師： 職稱：

完成日期： 年 0 月 日 高等數學中幾個常見不等式及其應用

摘要：在高等數學中，不等式的證實和應用是我們學習高等數學知識常見難題之一。本文將的介紹這些不等式，并討論它們的證明、變形及應用。

關鍵詞：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；H?lder不等式；Minkowski不等式

..A few common inequality in the application of higher mathematics

Abstract: In higher mathematics, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge.This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.Key words: Average inequality;Cauchy inequality;Holder inequality;Minkowski inequality

目 錄

0 引言（緒論）................................................4 1.1平均值不等式...............................................4 1.2平均值不等式應用...........................................5 1.3平均值不等式的推廣...........................................5 2 柯西不等式..................................................6 2.1 柯西不等式定理及證明.......................................6 3 施瓦茨等式..................................................8 3.1施瓦茨不等式定理...........................................8 3.2 施瓦茨不等式應用..........................................9 3 4 H?..lder不等式..............................................10 4.1 H?..lder不等式定理形式及證明...............................10 4.2 H?..lder不等式的應用.......................................11 5 Minkowski不等式.............................................12 5.1 Minkowski不等式定理及證明.............................12 6 結束語......................................................13 參考文獻.......................................................13 致謝...........................................................14

0 引 言 不等式是高等數學知識研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同時，不等式本身非常抽象，邏輯性很高，證明方法多種多樣，應用變化萬千。本文將主要介紹柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定義，定理，及應用。

1.1平均值不等式

基本概念

定理1 對任意n個實數ai?0?i?1,2,?,n?恒有

na1a2?an?a1?a2???an（1）

n（即幾何平均值?算術平均值）,其中當且僅當a1?a2???an時成立。證 i 首先有

a?a2?a?a2??a1?a2?a1a2??1（2）?????12?2??2?22（相等當且僅當a1?a2）類似的，任意的k?N,重復上面方法k次2ka1a2?a2ka1?a2???a2ka1?a2a3?a4a2k?1?a2k ?????2222k（等號當且僅當a1?a2???a2k時成立）。

ii記A?立，則

A?nA?Aa1?a2???an?An?1??a1a2?anA n?1n?1a1?a2???an,則nA?a1?a2???an.假設不等式對n?1也成n故 An?1?a1a2?anA，An?a1a2?an，A??a1a2?an?

1n因此不等式對任意n成立，等號當且僅當a1?a2???an時成立。1.2 均值不等式的應用

下面通過例題說明均值不等式的應用 例1 設正值函數f?x?在?0,1?上連續，試證：

1lnf?x?dx?0e??f?x?dx.01證：由已知條件得f?x?,lnf?x?在?0,1?上可積。將閉區間?0,1?分成n等分，利用積分定義得，?10f?x?dx?lim1n??n?nf??i??，i?1?n?1?1nnf?x?dx?lim1n0lnn??n?lnf??i???limln??i?1?n?n?????f??i??i?1?n?????，1n1lnf?x?dxlimln??f?i??nn得 e?10?en??????i?1n???????lim??nn??????f?i?????.i?1?n??再由定理1，得

1?n???f??i????n1n?i?1?n????n?f??i?i?1?n??，故

e?10lnf?x?dx??10f?x?dx.1.3 均值不等式的推廣

定義1 設ai?0 ?i?1,2,?,n?，記

1nM?a????1?ar?rr?ni? ?r?0?，i?1?稱Mr?a?為a1,a2,?an的r次冪平均.它與算術平均的關系為

M1?a??a1?a2??ann?A?a?，Mr?a???A?ar??1r

定義 2（加權平均）,pi?0, ?i?1,2,?,n?, 6 ?r??piai記Mr?a,p???i?1n???pi?i?1n???，???1n1r??n1G?a,p?????apii???pip1ppn?pn?i?1?a1a22?an2???p.i?1???p1Mr?a,p?和G?a,p?分別稱為a1,a2,?,an的（r次冪）算數平均。

定理2 設a1,a2,?,an不全相等，則有G?a,p??M1?a,p?，即：appp11a22?ann?p1a1??pnan ?pi?0,?pi?1?.亦即：

?ap1pp1??pnan1a22?ann?p1?p2??ppn?1a1p?p?p

12?n只有a1,a2,?,an全相等時“<”才成為“=”.柯西不等式

2.1 柯西不等式定理及證明

定理3 設ai,bi為任意數?i?1,2,?,n?則

?n2???a?n2nibi??i?1??ai??b2i，（3）

i?1i?1等號當且僅當ai與bi成比例時成立。（3）式稱為柯西不等式。

證法Ⅰ（判別式法）

n0???aix?bi?2?i?1??n??a2?2?n??n2?i??x?2???aibi?x??i?1???bi?.i?1i?1?關于x的二次三項式保持非負，??b2?4ac?0故判別式

?2??nnn?a?2ibi??i?1??a2i?1?bi?0.i?i?1 證法Ⅱ（配方法）因

2nnn?n?2222ai??bi???aibi???ai??bj??aibi??ajbj?i?1i?1i?1j?1i?1j?1?i?1? nnnnn12?????ai2b2?abab?ab?ab?0,???jiijjijji2i,j?1i?1j?1i?1j?1nn2故（1）式獲證.當且僅當aibj?ajbi?i,j?1,2,...,n?時成立，上式可以等于0。

證法Ⅲ（利用二次型）

0???aix?biy?i?1n2?n2?2?n??n2?2???ai?x?2??aibi?xy???bi?y, ?i?1??i?1??i?1?即關于x,y的二次型非負定，因此

?ai?1ni?1n2i?abi?1nnii?0，?ab此即式（1）.ii?bi?12i 注 用方法Ⅲ，可以將結果進行推廣.因

0???ai1x1?ai2x2???aimxm?i?1n2???aikaijxkxji?1k,j?1mnm

?n?????aikaij?xkxj,k,j?1?i?1?此式右邊為x1,x2,?,xm的二次的型，此式表明該二次的型非負定，因此系數行列式

?a?n?Det??aikaij???i?1?n2i1?ai?1nni?1?ai?1ni?1ni1i22i2a????a?ai?1ni?1i?1nni1imai2ai1ai1?a?i2aim?0.（4）

2im?im?ai?1?ai?1n?imai2??a等號當且僅當?a11,a21,?,an1?,?a12,a22,?,an2?,?,?a1m,a2m,?,anm?線性相關【即：存在不全為零的常數x1,?xm使得ai1x1?ai2x2???aimxm?0 ?i?1,2,?,n?】成 8 立.施瓦茨不等式

柯西不等式的積分形式被稱為施瓦茲不等式，它可以通過積分的定義，得到柯西不等式直接推動，因此柯西不等式的證明可以模擬類似的證法。3.1 施瓦茨不等式

定理4 若f?x?、g?x?在?a,b?上可積，則

bb??????fxgxdx?f??a??a??22?x?dx?ag2?x?dx.（5）

b若f?x?、g?x?在?a,b?連續，當且僅當存在常數?,?,使得?f?x???g?x?時成立，等號相等(?,?不同時為零).證法I 將?a,b?n等分，令xi?a?2i?b?a?,應用柯西不等式，n21n?1n???f?xi?g?xi????fni?1?ni?1?1n2?xi???g?xi?，ni?1令n??取極限，即得式（1）證法II

b?f?x?g?x?dx???af?x?dx?ag?x?dx????a?bbbb1b21b222??f?x?dx?g?y?dy??f?y?dy?g?x?dx??f?x?g?x?dx?f?y?g?y?dyaaaa2a2a

b1b??dy?f2?x?g2?y??f2?y?g2?x??2f?x?g?x?f?y?g?y?dxa2ab1b2??dy??f?x?g?y??g?x?f?y??dx?0,a2a22bb2??這就證明了式（5）.因此，如果f?x?、g?x?連續，當且僅當存在常數?,?不同時為零，使得?f?x???g?x?時成立.類似可以推廣到一般情況.若函數fi?x?,gi?x? ?i?1,2,?,m?在?a,b?上可積，則

bDet???afi?x?fj?x?dx???0.??如果fi?x?在?a,b?連續的，當且僅當fi?x? ?i?1,2,?,m?線性相關，等式時成立 9 的。（即存在不全為零的常數?1,?2,?,?m使得?1f1?x???2f2?x?????mfm?x??0時成立。）

3.2施瓦茨不等式的應用

應用施瓦茨不等式，可證明一些不等式，但使用時應注意一些技巧，下面介紹一些例題，說明施瓦茨不等式的應用。

例1 已知f?x??0,在?a,b?連續，?baf?x?dx?1,k任意實數，證：

?22??b???baf?x?coskxdx???????af?x?sinkxdx???1.（6）證(1)式左端第一項應用施瓦茨不等式

???b2?af?x?coskxdx????????f?x??f?x?coskx?2dx?????bf?x?dx??baaf?x?cos2kxdx（7）

??baf?x?cos2kxdx.同理 ????baf?x?sinkxdx?????baf?x?sin2kxdx.（8）式（7）+（8）即得式(9).例2 假設函數f?x?在閉區間?a,b??a?b?上有連續n階f?n??x?，并且f?k??a??0,k?0,1,?,n?1.求證：

m?k???b??k??112?2?1?2?af?x?dx?????2???b?a?m?k???b?f?m??x??2dx?2?a??，（9）

這里，0?k?m?n.分析 i先設法證明n?1 ?此時k?0,m?1?，我們只要證明的結論是：

假若??x?在?a,b?上有連續導數，??a??0,則必有

2?1?2'????fxdx?.(10)???a???x??dx??????b?a????????a??2?bb121212為把?與?'聯系起來，用公式

??x????'?x?dx.ax應用施瓦茨公式

???x??2xxxx2'2''2????????t?dt.(11)???tdt?1dt??tdt?x?a???a????aaa??2??兩邊同時積分

1?22?'2'2???????????????xdx?x?a?tdtdx??tdx?a?????a?a?a?a?abbxbx??2??'2??b?a?112'2'2?x?a?2???a??t?dt????a?x?a???x?dx???x?a222xx?bb2.???t?dtab兩邊同時開方，變得（10）式。

ii回到一般情況，令??x??f?k??x?，重復利用上述證明方法，即可證（9）式。H?lder不等式

4.1 H?lder不等式基本形式及證明

定理5 設ai,bi?1?i?n?是2n個正實數，??0,??0,????1, 則：

??....?aibi?i?1n??n??n????ai???bi?.?i?1??i?1?證： 令A??a,B??bii?1i?1ni?1nni 那么

?A??B???aibi??ai??bi??????? i?1?A??B?n???lgaia??lgi?AB?lgaiaaa??lgi?i??iAB?lgAB?????1? ?????? 11（利用Jensen不等式）

aa?ai??bi???????i??i

AB?A??B????n?n?ai??bi???????ai??bi?????1 ?Ai?1Bi?1i?1?A??B?n??即

????????ab?AB?ab??????iiii?, i?1?i?1??i?1?得證。

Holder不等式還有另一種表示形式，令nn?n???1111?p?q,??,??1及ai?xi,xi?ai,bi?yi,yi?bipqpq????????p?q???xiyi??aibi???ai????bi????xi????yi? i?1i?1?i?1??i?1??i?1??i?1?則：

1212nnn?n?n1pn1q?2??2?xiyi???xi???yi? ?i?1?i?1??i?1?4.2 H?lder不等式的應用..nnnpq??????fx??p,q?R,x?0，例3 設的最小值。??求函數

2sinxcosx??解：取4525??,??5,于是，??1.由

4??511Holder不等式有

45p?q? 4545p?sinx??sinx?25?q4525?cosx??cosx?25q??p????sin2x?cos2xcosx??sinx??15?pqf?x?????p?q?sinxcosx?4545??, ??54 12 p22?p?5sinxsinx?當且僅當?，tanx??時，等號成立。所以，f?x?的最小值是2??qcosx?q?cosx44?5??p?q5?。????54 Minkowski不等式

5.1 Minkowski不等式基本形式及證明

定理6 設ak,bk?mk?1?k?n?均為實數，p?1則

1pn1p????ak?bk???mk???k?1np????p?p?p??a?b???a?????????kkk??k?1??k?1??k?1???nn1p1p特別地，當p?2及n?2時，?n??n???ai????bi???i?1??i?1?n22a1?b1?a2?b2???an?bn

222222證： 由Holder不等式可知：

(??i?i)?(??ik)(??ik1)i?1i?1i?1n1kn1k1

由上述不等式可得：

?(?i??i)???i(?i??i)ki?1i?1n1kn1k1i?1i?1nnk?1???i(?i??i)k?1?i?11knn

1k1(??ik)[?(?i??i)(k?1)k1]?(??ik)[?(?i??i)(k?1)k1]i?1i?1n

其中k?1,11??1,(k?1)k1?k,所以 kk1k(???)?ii?[(??)?(??)][?(?i??i)]i?1i?1i?1i?1nn1kkin1kkin1kk1

即：

上述不等式稱為明可夫斯基不等式．當k=2時，它的幾何意義是兩個向量和的模小于每個向量模的和．結束語

i?1i?1i?1[?(?i??i)]?(??)?(??)n1kkn1kkin1kki以上介紹了幾類常見的不等式。由上述實例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等數學知識的應用非常廣泛，還有均值不等式的定理及推廣，應用到許多高等數學證明題中，可以做到深入淺出，使問題的解決更加簡單。也突顯了不等式證明方法靈活多樣。但在數學的學習中，應具體問題具體分析，對待不同的問題，思維要靈活，思路要清晰，找出問題的關鍵所在，把握問題本質，快速而準確地應用這幾個常見的不等式取解決高等數學中的證明問題。

參考文獻：

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第二篇：高等數學中不等式的證明方法

高等數學中不等式的證明方法

摘要：各種不等式就是各種形式的數量和變量之間的相互比較關系或制約關系，因此，不等式很自然地成為分析數學與離散數學諸分支學科中極為重要的工具，而且早已成為 專門的研究對象。高等數學中存在大量的不等式證明，本文主要介紹不等式證明的幾種 方法，運用四種通法，利用導數研究函數的單調性，極值或最值以及積分中值定理來解 決不等式證明的問題。我們可以通過這些方法解決有關的問題，培養我們的創新精神，創新思維，使一些較難的題目簡單化、方便化。

關鍵詞：高等數學；不等式；極值；單調性；積分中值定理

Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints.Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（畢業論文參考網原創論文）ches of mathematics.It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics.This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem.We can resolvethe problems identified through these methods.It can bring up our innovative spirit

and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics;Inequality;Extreme value Monotonicity;Integral Mean Value

Theorem

文章來自：全刊雜志賞析網(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm

【摘要】不等式證明是高等數學學習中的一個重要內容，通過解答考研數學中出現的不等式試題，對一些常用的不等式證明方法進行總結。

【關鍵詞】不等式； 中值定理； 泰勒公式； 輔助函數； 柯西施瓦茨； 凹凸性

在高等數學的學習過程當中，一個重點和難點就是不等式的證明，大多數學生在遇到不等式證明問題不知到如何下手，實際上在許多不等式問題都存在一題多解，針對不等式的證明，以考研試題為例，總結了幾種證明不等式的方法，即中值定理法、輔助函數法、泰勒公

式法、函數的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

1中值定理定理法

利用中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來證明不等式首先要熟記各個中值定理的應用條件，可將原不等式通過變形找到一個輔助函數，使其在所給區間上滿足中值定理的條件，證明的關鍵是處理好ξ點，分析函數或其導數在該點的性質即可得到所要結論，在證明過程中也會出現反復應用同一定理或同時應用幾個定理進行證明的情況。

例1設e4e2(b-a)。

解：對函數ln2x在［a,b］上應用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ設φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2當x>e時，φ′(x)<0，所以φ(x)單調減少，從而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。

也可利用函數的單調性證明，可設φ(x)=ln2x-4e2x

例2設不恒為常數的函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，在開區間(a,b)內可導，且f(a)=f(b)，證明在（a,b）內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)>0。

解：因f(x)不恒為常數且f(a)≠f(b)，故至少存在一點c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。

若f(c)>f(a)則在［a,c］上f(x)滿足拉格朗日中值定理條件，因此至少存在一點ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。

若f(c)

2利用輔助函數的單調性證明

輔助函數方法比較常用，其主要思想是將不等式通過等價變形，找到一個輔助函數，通過求導確定函數在所給區間上的單調性，即可證明出結論。常用的方法是，直接將不等號右端項移到不等號左端，另不等號右端為零，左端即為所求輔助函數。

例3試證：當x>0時，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

解：設f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。

又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0

f(x)=2(x2-1)x3可見，當00，因此有當00。又由f′(1)=0及f′(x)是單調增加的函數推知，當00，因此進一步有f(x)≥f(1)=0(00時，(x2-1)lnx≥(x-1)2。

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例4設b>a>e，證明ab>ba。

分析：要證ab>ba，只需證blna>alnb或lnaa>lnbb

解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因為f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)

所以f(x)在x≥a時單調增加。因此當bφa時，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba。

解二：令f(x)=lnxx,x>e,則有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)單調減少，故當b>a>e時，有lnaa>lnbb即ab>ba。

3利用泰勒展開式證明

泰勒展開式的證明常用的是將函數f(x)在所給區間端點或一些特定點（如區間的中點，零點）進行展開，通過分析余項在ξ點的性質，而得出不等式。另外若余項在所給區間上不變號，也可將余項舍去而得到不等式。

例5設f(x)在［0，1］上具有二階可導函數，且滿足條件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非負常數，c是（0，1）內任意一點，證明|f′(x)|≤2a+b2。

分析:已知f(x)二階可導，應考慮用二階泰勒展開式。本題涉及證明|f′(x)|≤2a+b2，應在特定點x=c處將f(x)按泰勒公式展開。

解： 對f(x)在x=c處用泰勒公式展開，得

f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）

其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有

f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1

在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0

上述兩式相減得

f(1)-f(0)=f′(c)12!［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］,于是

|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|

≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)|(1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2

≤2a+b2［(1-c)2+c2］,又因當c∈(0,1)時，有

(1-c)2+c2≤1故 |f′(c)|≤2a+b2

因這里ξ與x有關，可將其記為ξ(x)，那么當令x分別取0和1時，對應的ξ可分別用ξ1和ξ2表示。

4柯西施瓦茨不等式

(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗

柯西施瓦茨不等式是一個常用的不等式，在證明過程中我們可以直接利用常用不等式進行證明，即方便又快捷。

例6設f(x)在區間［a,b］上連續，且f(x)>0,證明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2。〖jf)〗

證明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx〖jf)〗

即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗

5利用函數圖形的凹凸性進行證明

函數的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數f(x)，利用函數f(x)在所給區間［a,b］的二階導數確定函數的凹凸性。

f′(x)>0 函數為凹的,則 f(a)+f(b)>2f(a+b2)；

f′(x)<0 函數為凸的,則 f(a)+f(b)<2f(a+b2)，從而證明出結論。

例7xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)

令 f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是

12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)

即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2

即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2

類似的如：證明 ex+ey2>ex+y2,(x≠y)。

文章來自：全刊雜志賞析網(qkzz.net) 原文地址：http://qkzz.net/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72_3.htm

第三篇：2014年高等數學競賽——專題五不等式

專題五不等式

1.設f(x)在 [0, 1]上連續,非負，單調減。

2.?f(x)dx?a?f(x)dx(0?a?1)00a1

b?abf(x)dx 3.設f(x)在[a,b]上連續，單調增。求證:?xf(x)dx?a2?ab

4.設f(x)在 [0, 1]上可導,且f(0)?0,0?f?(x)?1.1135.???0f(x)dx????0f(x)dx.??2

sinx?(0?x?)?x2

b2(b?a)(0?a?b)7.求證: ln?ab?a6.求證: 2?

8.比較e?與?e的大小.9．設limx?0f(x)?1，且f??(x)?0，證明：f(x)?x.（泰勒，最值，中值）x

10.設f(x)在[0,??)二階可導，且f(0)?1,f?(0)?1,f??(x)?f(x),(x?0).求證：f(x)?ex.11.設f(x)在??1,1?內有f??(x)?0，且limx?0f(x)?sinx?2，證明在??1,1?內有x

f(x)?3x.12.證明：0?x?1時 有?xln(1?x)?1?xarcsinx

x13.試利用函數f(x)?a,對于a?1,x?1,證明以下不等式

?a.n21naa?a?lna(n?1)2

1n?11n1n?1

第四篇：導數在不等式中的應用

指導教師：楊曉靜

摘要：本文探討了利用拉格朗日中值定理，函數的單調性，極值，冪級數展開式，凹凸性等進行不等式證明的具體方法，給出了各種方法的適用范圍和證明步驟，總結了應用各種方法進行證明的基本思路。

關鍵字：導數的應用不等式證明方法

引言

不等式的證明在初等數學里已介紹過若干種方法，比如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數學歸納法和構造法等。然而，有些不等式用初等數學的方法是很難證明的，但是應用導數證明卻相對較容易些，在處理與不等式有關的綜合性問題時，也常常需要構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數來研究函數的性態。因此，很多時候可以以導數為工具得出函數的性質，從而解決不等式問題，現具體討論導數在解決不等式有關的問題時的作用。

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理的意義在于建立了導數與函數之間的關系，證明不等式則是它的一個簡單應用。

拉格朗日中值定理：若函數f(x)滿足如下條件：（1）f在閉區間?a,b?上連續；（2）在開區間?a,b?內可導，則在?a,b?內至少存在一點?，使得f(?)?'f(b)?f(a)

b?a 應用拉格朗日中值定理證明的不等式的類型有f(b)?f(a)?M(b?a)或 證明步驟：（1）恰當的選取函數f(x)并使函數f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，并考慮f(x)的導數形式和M或m形式上的聯系。

（2）通過求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)?f(a)?f(?)(b?a)，??(a,b)

'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)?M，x??a,b?，則由上述等式得到不等式

f(b)?f(a)?M(b?a)，或由?的不確定性，計算出若f'(x)的取值范圍?m,M?,x??a,b?,則進而有不等式m(b?a)?

例：證明nbn?1f(b)?f(a)?M(b?a)(a?b)?a?b

nnn?nan?1(a?b)證明：構造函數f(x)?x，則顯然f在區間?b,a?上滿足拉格朗日中值定理，且

f(x)?nx

nn'n?1，n?1有a?b?n?(a?b)，又

第五篇：均值不等式及其應用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復習數學學案

均值不等式及其應用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現，難度為中低檔題，若出現證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數a,b的算術平均值，_________稱為正數a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設正實數x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓練1.若x??1，求函數f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數學）設a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓練

2、已知a,b,c都是實數，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸到第幾年年底,該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成。

（1）現有可圍36米長鋼筋網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網總長最小？

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產品的年銷售量為100萬只,每只產品的銷售價為10元,每只產品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數,n?N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?