第一篇：切線不等式的應用

利用不等式“?x?R,ex?x?1”解決高考壓軸題

呼和浩特市第二中學

郎礪志

“?x?R,ex?x?1”這一結論頻繁地出現(xiàn)在與導數相關的各種教輔材料中，可以說學生很熟悉這個不等式的結論和證明過程，但是大多數人可能僅僅把它當成是一道練習題，殊不知，就是這樣一個看似不起眼的結論，卻撐起了近5年高考理科數學導數試題（壓軸題）的半邊天，所以本文的主要內容就是：分析近幾年高考導數試題，誘發(fā)新的解題線索，提供高效而實用的解題方案，最后給出2013年全國理科數學新課標卷第21題的一種新解法。命題1.?x?R,ex?x?1.可以從兩個角度證明這個命題的正確性。角度1.構造函數

證明：設f(x)?ex?x?1,x?R，則f?(x)?ex?1

令f?(x)?ex?1=0，解得x?0，則當x?(??,0)時，f?(x)?0，f(x)單調遞減； 則當x?(0,??)時，f?(x)?0，f(x)單調遞增；

于是由單調性可知，f(x)min?f(x)極小=f(0)?0，即?x?R,ex?x?1。角度2.數形結合

在同一坐標平面內作出兩個函數f(x)?e,g(x)?x?1的圖象，如下圖所示，證完！

由上圖可知，這個不等式實際上反映的是曲線f(x)?e和其圖象上的點(0,1)處的切線圖形的高低關系。

xx于是這里得到，定理.?x?R,ex?x?1，當且僅當x?0時取等號。

由上面的定理可以立即得到，推論1.?x?[0,??),e?1?x?x?12x 2xx證明：讓我們換一套思路證明它，?t?R,e?t?1，則 ?x?R,?edt??(1?x)dt，00?t?t根據牛頓-萊布尼茨公式可得e?1?x?x12x，證完！2這里要點明，這個結論實際上在高等數學中是顯然的，根據函數的冪級數展開可得，x2x31e?1?x?????1?x?x2,x?[0,??).。

2!3!2x推論2.?x?R?,lnx?x?1，當且僅當x?1時取等號。

證明：由定理可得，?x?R?,ex?1?x，兩邊同時取以e為底的對數得，?lnx?x?1，當且僅當x?1時取等號。

推論3.?x?[1,??),lnx?11(x?).2x證明：?t?[1,??),lnt?t?1，則?x?[1,??),化簡可得推論3.接下來就是高考試題的分析。

題1（2010年全國理科數學Ⅱ卷第22題節(jié)選）設函數f(x)?1?e.?x?x1lntdt??(t?1)dt，1xx。x?1x證明：欲證 當x??1時，f(x)?，只須證明：

x?111?e?x?1?，即

x?11e?x?，也即

x?1求證：當x??1時，f(x)?ex?x?1，得證。

題2.(2013年遼寧理科數學卷第21題節(jié)選)已知函數f(x)?(1?x)e?2x.求證：當x?[0,1]時，f(x)?1.1?x證明：事實上，等價于證明e2x?(x?1)2，也即

ex?x?1.題3.(2010年理科數學新課標卷第21題節(jié)選)設函數f(x)?ex?1?x?ax2，當x?0時，f(x)?0.求實數a的取值范圍。解：由推論1可知，a?111滿足條件，于是當a?時均滿足條件，事實上，當a?時，222故當x?(0,ln(2a))時，f??(x)?ex?2a?0,f?(x)?ex?1?2ax,f??(x)?ex?2a，此時函數f?(x)單調遞減，有f?(x)?f?(0)?0,從而函數f(x)單調遞減，所以f(x)?f(0)?0，這和題目條件矛盾，綜上，a?1。2這里順便指出，利用這道題的結論可以輕松斷定2012年遼寧理科數學高考第12題的A選項是錯誤的，從而我們也能感受到高考試題的延續(xù)性。題4.（2011年湖北省理科數學卷第21題節(jié)選）設ak,bk(k?1,2,3,?,n)均為正數，證明：

若a1b1?a2b2???anbn?b1?b2???bn, 則a11a22?an證明：欲證a11a22?anbbbnbbbn?1。

bbb?1，只須證ln(a11a22?ann)?ln1?0，即b1lna1?b2lna2???bnlnan?0 ① 事實上，根據題意即推論2可知，lnak?ak?1,k?1,2,3,?,n，帶到①式左邊可得，b1lna1?b2lna2???bnlnan?b1(a1?1)?b2(a2?1)???bn(an?1)

=(b1a1?b2a2???bnan)?(b1?b2???bn)?0,證完。

題5.（2010年湖北省理科數學卷21題節(jié)選）求證：1?111n ?????ln(n?1)?23n2(n?1)證明：由推論3知：?x?[1,??),lnx?11(x?)； 且 2x11當x?1,lnx?(x?)；

2xk?1k?11k?11?1,(k?1,2,3,?n), 有l(wèi)n?(?)令x?kk2kk?1111[(1?)?(1?)]2kk?1111?(?)2kk?1?

于是有，ln(k?1)?lnk?111(?),k?1,2,3,?n.2kk?1將這n個同向不等式相加并整理即可得：

1?證完。111n ?????ln(n?1)?23n2(n?1)下面給出2013年全國新課標卷第21題的一種新解法。題6.已知函數f(x)?e?ln(x?m)當m?2時，f(x)?0.證明：很明顯，f(x)?e?ln(x?2)，若記g(x)?e?lnx(?2)，則只須證明

xxxg(x)?ex?ln(x?2)?0即可，事實上，由推論2，ln(x?2)?x?1知，g(x)?ex?(x?1)，設h(x)?ex?(x?1)，由定理?可知h(x)?0成立，但上述等號無法同時取得，綜上，利用“>”的傳遞性可得，當m?2時，f(x)?0.證完！上面的各個例題告訴我們，不等式“?x?R,e?x?1”及其推論在高考試卷中的應用是廣泛而重要的，能靈活地運用這些結論對快速高效地解決高考導數大題意義深遠，另外，通過分析高考試題，我們也可以得到一個結論：看似紛繁蕪雜的導數試題中其實蘊含著永恒的規(guī)律，遵循本文給出的解題線索，你一定能擁有針對性極強的解題意識，在高考壓軸題的海洋中遨游。

x

第二篇：均值不等式及其應用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復習數學學案

均值不等式及其應用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數a,b的算術平均值，_________稱為正數a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設正實數x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓練1.若x??1，求函數f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數學）設a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓練

2、已知a,b,c都是實數，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸到第幾年年底,該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網總長最小？

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產品的年銷售量為100萬只,每只產品的銷售價為10元,每只產品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數,n?N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第三篇：均值不等式應用

均值不等式應用

一．均值不等式

22a?b1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?a?b時取“=”）22

22.(1)若a,b?R*，則a?b?(2)若a,b?R*，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=”）2

a?b?(當且僅當a?b時取“=”(3)若a,b?R*，則ab??）???2?2

3.若x?0，則x?

取“=”）1）;若x?0，則x?1??2(當且僅當x??1時?2(當且僅當x?1時取“=”xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”）

xxx

ab4.若ab?0，則??2(當且僅當a?b時取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當且僅當a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當且僅當a?b時取“=”）)?22

注：（1）3.已知x,y?R,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p為定值，那么當且僅當時，s=x+y有；

②若s為定值，那么當且僅當時，p=xy有。

（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”

應用一：求最值

解題技巧：技巧一：湊項

例1：已知x??5，求函數y?4x?2?1的最大值。44x?

51不是常數，所以對4x?2要進行拆、4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)?

湊項，∵x?511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當且僅當5?4x?1，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。5?4x

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數

例1.當

時，求y?x(8?2x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩

個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：設0?x?3，求函數y?4x(3?2x)的最大值。

32x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222??

3?當且僅當2x?3?2x,即x?3???0,?時等號成立。

4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?1

解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??

5ttt

當,即t=

時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?等式來求最值。

技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數f(x)?x?調性。

例：求函數y?

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不g(x)

a的單x

2的值域。

2?t(t?

2)，則y?

?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。因為y?t?在區(qū)間?1,???單調遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調遞增函數，故y?所以，所求函數的值域為?,???。

練習．求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.t1t

1t5。

2?5?2??

11x2?3x?1

y?2sinx?,x?(0,?)y?2x?,x?3,(x?0)??(3)（1）y?（2）

sinxx?3x

2．已知0?x?

1，求函數y3．0?x?

.；，求函數y

3.條件求最值

ab

1.若實數滿足a?b?2，則3?3的最小值是.解： 3和3都是正數，3?3≥23a?3b?3a?b?6

a

b

a

b

ababab

當3?3時等號成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當a?b?1時，3?3的最小值

是6．

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y?0，且

??1，求x?y的最小值。xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12xyxy??

錯解： ∵x?0,y?0，且．．

故 ?x?y?min?12。

錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?y?x?

y，在1?9?x

y

成立條件是

?即y?9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題xy

時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：∵x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當且僅當

19y9x?時，上式等號成立，又??1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。

xyxy

x

y

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

?

(2)若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y為正實數，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系數為，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面將x，1y ＋分別看成兩個因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，≤，本題很簡單

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

變式: 求函數y?

1?x?5)的最大值。

解析：注意到2x?

1與5?2x的和為定值。

y2?

2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當且僅當2

x?1=5?2x，即x?

時取等號。故ymax? 2

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

應用二：利用均值不等式證明不等式

1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a?b?c?ab?bc?ca

2正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?

3、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求證：???1???1???1??8

?a??b??c?

?

解：?a、b、c?R，a?b?c?1。

?1?1?1?a?b?c?

1?1

1?1

aaabc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1時取等號。?1??1??1?。當且僅當a?b?c??1?1?1?8??????3?a??b??c?

應用三：均值不等式與恒成立問題

例：已知x?0,y?0且1?9?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。

x

y

條件：m≤(x+y)的最小值，m????,16?

應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

1a?b(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關系是22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?a?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

22Q?

第四篇：應用導數證明不等式

應用導數證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數學與統(tǒng)計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數學和高等代數中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數的觀點來認識不等式，以導數為工具來證明不等式。

關鍵字： 導數 不等式最值中值定理單調性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內容為：

定理1.如果函數f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據函數的單調性和最大值和最小值。

（2）我們可根據其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數單調性證明不等式

我們在初等數學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據函數的導數的思想來判斷大小。

定理：設函數f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導，那么

（1）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞增。

（2）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數的最大值和最小值證明不等式

當等式中含有“=”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數，通過導數求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構造函數f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數f(x)內只有一個駐點，沒有不可導點，又函數f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(x?0和x?1)的函數值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數的泰勒展式證明不等式

若函數f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導函數f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數學分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數學分析》上冊，四川大學出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.?4?華東師范大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.

第五篇：均值不等式的應用

均值不等式的應用

教學目標：

1.掌握平均不等式的基礎上進而掌握極值定理

2.運用基本不等式和極值定理熟練地處理一些極值與最值問題 教學重點：應用 教學難點：應用

教學方法：講練結合 教

具：多媒體 教學過程

一、復習引入：

1.算術平均數與幾何平均數定義，平均不等式 2.算術平均數與幾何平均數之間的關系----并推廣：調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數 3.極值定理：積定和最小；和定積最大

注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應用時應該注意的問題： 4.練習：

3①若x?0,求y?1?2x?的最大值.xx2?2x?2②?4?x?1,求的最值.2x?2y2?2?1,求x1?y2的最大值.③x?R,且x?21④ y?x(2?3x)⑤y?1?4x?

5?4x

二、新授：

1.基本應用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重視運用過程中的三個條件：正數、相等、常數

4例1.求函數y?x?的值域.x(??,?4]或[4,??)

例2.已知x?2y?1,x、y?R?，求x2y的最大值.11x?x?4y31x?2y32)??(2?)?分析：x2y??x?x?4y?（443432721當x=4y即x?,y?時取等號.36例3.設a,b,x,y?R，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：運用柯西不等式 2．變形運用：

對于某些復雜的函數式，需適當變形后，再運用重要不等式求最值.?23例4.求y?sinxcos2x(x?(0,))函數的最大值.29ab例5.已知a,b,x,y?R?且??1，求x?y的最小值.xy分析：此題若能靈活變形，運用重要不等式求最值，則能起到事半功倍的效果.解法一：用判別式法----轉換為一個未知數利用判別式 解法二：換元法----令x?acsc2?,y?bsec2? 解法三：轉換為一個字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用x?y=(x?y)?(?)

xy11變形：已知a,b,x,y?R?，且x?2y?1,求u??的最小值.xy3.綜合運用：

例6.已知直角三角形的內切圓半徑為1，求此三角形面積的最小值.解：略.例7.將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個角（四個全等的正方形），作成一個 無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？

解：設剪去的小正方形的邊長為x

a則其容積為V?x(a?2x)2,(0?x?)

2114x?(a?2x)?(a?2x)32a3V??4x?(a?2x)?(a?2x)?[]?

44327aa2a3當且僅當4x?a?2x即x?時取“=”即剪去的小邊長為時，容積為

6627

三、練習：

66?3x2的最小值，y?2?3x的最小值.xx2.已知a,b滿足ab?a?b?3,求ab的范圍.1.x?0時求y?3.已知x,y滿足xy?x?y?1，求x?y的最小值.4.已知a2?b2?10，求a+b的范圍.5.已知x?0,y?0,z?0，求(1?x2)(1?y2)(1?z2)?8xyz的解.四、小結：

五、作業(yè)：

1.若0?x?1, 求y?x4(1?x2)的最大值

2．制作一個容積為16?m3的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時，用料最省？（不計加工時的損耗及接縫用料）(R?2m,h?4m)

六、板書設計：