專題一

含參數導數問題的分類討論

導數是研究函數的圖象和性質的重要工具，自從導數進入高中數學教材以來，有關導數問題幾乎是每年高考的必考試題之一．隨著高考對導數考查的不斷深入，含參數的導數問題成為了歷年高考命題的熱點．由于含參數的導數問題在解答時往往需要對參數進行分類討論，如何進行分類討論成為絕大多數考生答題的難點．

模塊1

整理方法

提升能力

在眾多的含參數導數問題中，根據所給的參數的不同范圍去討論函數的單調性是最常見的題目之一，求函數的極值、最值等問題，最終也需要討論函數單調性．對于含參數導數問題的單調性的分類討論，常見的分類討論點有以下三個：

分類討論點1：求導后，考慮是否有實根，從而引起分類討論；

分類討論點2：求導后，有實根，但不清楚的實根是否落在定義域內，從而引起分類討論；

分類討論點3：求導后，有實根，的實根也落在定義域內，但不清楚這些實根的大小關系，從而引起分類討論．

以上三點是討論含參數導數問題的單調性的三個基本分類點，在求解有關含參數導數問題的單調性時，可按上述三點的順序對參數進行討論．因此，對含參數的導數問題的分類討論，還是有一定的規律可循的．當然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就會復雜一些了，也有些題目可以根據其式子和題目的特點進行靈活處理，減少分類討論，需要靈活把握．

例1

設，討論函數的單調性．

【解析】的定義域是．

．

令，則的根的情況等價于的根的情況．由于的函數類型不能確定，所以需要對進行分類討論從而確定函數的類型．

（1）當時，是常數函數，此時，于是在上遞增．

（2）當時，是二次函數，類型確定后，我們首先考慮討論點——是否有實根的問題．由于不能因式分解，所以我們考慮其判別式，判別式的正負影響到的根的情況，由此可初步分為以下三種情況：①當，即時，沒有實根；②當，即時，有兩個相等的實根；③當，即或時，有兩個不等的實根．

對于第①種情況，沒有實根且永遠在軸上方，于是，所以在上遞增．

對于第②種情況，有兩個相等的實根，于是，所以在上遞增．

對于第③種情況，有兩個不等的實根，和．由于不知道兩根是否落在定義域內，因此要考慮討論點，而利用韋達定理進行判斷是一個快捷的方法．

因為，所以當時，有且，此時兩個根都在定義域內切（因為與的大小關系已經確定，所以不需要考慮討論點）．由可得或，所以在和上遞增；由可得，所以在上遞減．

當時，有且，此時，由可得，所以在上遞增；由可得，所以在上遞減．

綜上所述，當時，在和上遞增，在上遞減；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減

．其中，．

【點評】只要按照3個分類討論點進行思考，就能很好地處理含參數導數問題的單調性．此外，涉及兩根與0的大小比較的時候，利用韋達定理往往比較簡單．

例2

已知函數（）．

（1）求在上的最小值；

（2）若對恒成立，求正數的最大值．

【解析】（1）定義域為，．

法1：①當時，函數在為增函數，所以．

②當時，令可得．

（i）當，即時，在上恒成立，函數在為增函數，所以．

（ii）當，即時，在上恒成立，所以在為減函數，所以．

（iii）當，即時，在上恒成立，所以在為增函數，所以．

（iv）當，即時，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．于是在上的最小值為或．當，即時，；當，即時，．

綜上所述，當時，；當時，．

法2：①當時，函數在為增函數，所以．

②當時，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．于是在上的最小值為或．

（i）當，即時，．

（ii）當，即時，．

綜上所述，當時，；當時，．

（2）解答詳見專題三例1．

【點評】處理好函數的單調性，就能求出函數的最值．法1是按照常見的3個分類討論點進行討論：當時，沒有實根．當時，有實根，此時需考慮根在不在定義域內．當或或時，根都不在定義域內（把和并在里面是為了減少分類的情況）；當時，根在定義域內，由于定義域內只有1個根，所以就不用考慮第3個分類討論點了．法2是根據式子和題目的特點進行分類：由可知當時，在上遞增；當時，在上先增后減，所以最小值只能在或處取到，此時只需要比較兩者的大小就可以了．由于法2是根據式子和題目的特點進行分類的，所以能減少分類的情況．

例3

設函數，其中．

（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（2）當時，求函數的極值點．

【解析】（1）函數的定義域為，．令，則．當時，所以在上恒大于，所以，于是當時，函數在定義域上遞增．

（2）首先考慮是否有實根．

①當，即時，由（1）知函數無極值點．

②當，即時，有唯一的實根，于是在上恒成立，所以函數在上遞增，從而函數在上無極值點．

③當，即時，有兩個不同的根，其中．這兩個根是否都在定義域內呢？這需要對參數的取值進一步分類討論．

當時，，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，在上有唯一極小值點．

當時，，由可得或，由可得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以當時，在上有一個極大值點和一個極小值點．

綜上所述，當時，在上有唯一的極小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點；當時，函數在上無極值點．

【點評】當有兩個不同的根和的時候，由于，所以只需要考慮討論點2，判斷這兩個根是否都在定義域內就可以了，顯然，因此只需對作判斷就可以了．判斷的方法有三種，第一種方法是待定符號法，將與之間的大小符號待定為，則有，所以當時，；當時，．第二種方法是韋達定理，判斷、與的大小關系等價于判斷、與的大小關系，由此把韋達定理調整為，此時的判斷就變得十分容易了．第三種方法是利用二次函數的圖象，是開口方向向上，對稱軸為的二次函數，與軸的交點是，由圖象可知當時，當時．

模塊2

練習鞏固

整合提升

練習1：設函數，其中為常數．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調性．

【解析】（1）當時，．此時，于是，所以曲線在點處的切線方程為．

（2）函數的定義域為，．

①當時，所以函數在上遞增．

②當時，令，則．

（i）當時，所以，于是，所以函數在上遞減．

（ii）當時，此時有兩個不同的根，，．下判斷、是否在定義域內．

法1：（待定符號法），由于，所以．

法2：（韋達定理）由可得．

法3：（圖象法）是開口方向向下的拋物線，對稱軸為，由圖象可知、都在定義域內．

當或時，有，所以函數遞減；當時，有，所以函數遞增．

綜上所述，當時，函數在上遞增；當時，函數在上遞減；當時，函數在，上遞減，在上遞增．

練習2：設函數．

（1）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；

（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

【解析】（1）由解得，此時，由解得或，由解得，所以在區間，上遞增，在區間上遞減．

（2）的定義域為，記，其判別式為．

①若，即時，在上恒成立，所以無極值．

②若，即或時，有兩個不同的實根和，且，由韋達定理可得，即．

（i）當時，有，即，從而在上沒有實根，所以無極值．

（ii）當時，有，即，從而在上有兩個不同的根，且在，處取得極值．

綜上所述，存在極值時，的取值范圍為．的極值之和為，而，所以．

練習3：已知函數，其中、，為自然對數的底數．

（1）設是函數的導函數，求函數在區間上的最小值；

（2）若，函數在區間內有零點，求的取值范圍．

【解析】（1），．因為，所以．

①若，即時，有，所以函數在區間上遞增，于是．

②若，即時，當時，當時，所以函數在區間上遞減，在區間上遞增，于是．

③若，即時，有，所以函數在區間上遞減，于是．

綜上所述，在區間上的最小值為．

（2）法1：由可得，于是，又，所以函數在區間內有零點，則函數在區間內至少有三個單調區間．

由（1）知當或時，函數即在區間上遞增或遞減，所以不可能滿足“函數在區間內至少有三個單調區間”這一要求．

若，則．令（），則．由可得，由可得，所以在區間上遞增，在區間上遞減，所以，即，于是函數在區間內至少有三個單調區間，由此解得，又因為，所以．

綜上所述，的取值范圍為．

法2：由可得，于是，又，所以函數在區間上至少有兩個零點．，所以在區間上至少有兩個零點與，的圖象至少有兩個交點．，令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以，于是

在上遞增，在上也遞增．因為，當時，當時，于是與，的圖象有兩個交點時，的取值范圍是．