專題三

含參數函數不等式恒成立問題

不等式問題是數學中的重要內容之一，而含參數函數不等式恒成立問題又是重點中的難點．這類問題既含參數又含變量，與多個知識有效交匯，有利于考查學生的綜合解題能力，檢驗學生思維的靈活性與創造性，這正符合高考強調能力立意，強調數學思想與方法的命題思想，因此恒成立問題成為近年來全國各地高考數學試題的一個熱點．

模塊1

整理方法

提升能力

處理含參數函數不等式（一個未知數）恒成立問題，從方法上，可考慮分離參數法或猜想最值法（必要條件法）．如果使用分離參數法，則猜想是沒有作用的，對于難一點的分離參數法，可能要使用多次求導或洛必達法則．如果使用猜想法，則后續有3種可能：一是猜想沒有任何作用；二是利用猜想減少分類討論；三是在猜想的基礎上強化，從而得到答案．從改造的形式上，解答題優先選擇一平一曲，可利用分離參數法轉化為一平一曲兩個函數，也可以把函數化歸為一邊，考慮函數的圖象與軸的交點情況（本質上也是一平一曲）．

洛必達法則

如果當（也可以是）時，兩個函數和都趨向于零或都趨向于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在．如果存在，其極限值也不盡相同．我們稱這類極限為型或型不定式極限．對于這類極限，一般要用洛必達法則來求．

定理1：若函數和滿足條件：

（1）．

（2）和在的某個去心鄰域內可導，且．

（3）存在或為無窮大．

則有．

定理2：若函數和滿足條件：

（1）．

（2）和在的某個去心鄰域內可導，且．

（3）存在或為無窮大．

則有．

在定理1和定理2中，將分子、分母分別求導再求極限的方法稱為洛必達法則．

使用洛必達法則時需要注意：

（1）必須是型或型不定式極限．

（2）若還是型或型不定式極限，且函數和仍滿足定理中和所滿足的條件，則可繼續使用洛必達法則，即．

（3）若無法判定的極限狀態，或能判定它的極限振蕩而不存在，則洛必達法則失效，此時，需要用其它方法計算．

（4）可以把定理中的換為，，此時只要把定理中的條件作相應的修改，定理仍然成立．

例1

已知函數（）．

（1）求在上的最小值；

（2）若對恒成立，求正數的最大值．

【解析】（1）定義域為，．

①當時，函數在為增函數，所以．

②當時，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．于是在上的最小值為或．

（i）當，即時，．

（ii）當，即時，．

綜上所述，當時，；當時，．

（2）令，則對恒成立對恒成立．

法1：（分離參數法）當，不等式恒成立，于是對恒成立對恒成立．

令，則，令，則，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增．

由洛必達法則，可得，于是，所以正數的最大值為．

法2：（不猜想直接用最值法）構造函數，則．

①當，即時，所以函數在上遞增，所以．

②當，即時，由可得，所以函數在上遞減，于是在上，不合題意．

綜上所述，正數的最大值為．

法3：（先猜想并將猜想強化）由常用不等式（）可得，即．當時，式子恒成立，當，有恒成立，而，所以．

下面證明可以取到，即證明不等式對恒成立．構造函數（），則，所以函數在上遞增，所以，所以不等式對恒成立，所以正數的最大值為．

法4：（先猜想并將猜想強化）對恒成立，因為所以，即．

下同法3．

法5：（先猜想并將猜想強化）當，不等式恒成立，于是對恒成立對恒成立．由洛必達法則，可得，于是．

下同法3．

【點評】法1（分離參數法）把恒成立問題轉化為求的最小值，法2（最值法）把恒成立問題轉化為求的最小值．由此可見最值法與分離參數法本質上是相通的，其本質都是把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，其區別在于所求的函數中是否含有參數．

法3、法4和法5都是先求出必要條件，然后將必要條件進行強化，需要解題的敏感度和判斷力．如果我們將這個必要條件與法2的最值法進行結合，可減少法2的分類討論．

例2

設函數．

（1）求的單調區間；

（2）若，為整數，且當時，求的最大值．

【解析】（1）．

①當時，在上恒成立，所以在上遞增．

②當時，由可得，由可得．所以在上遞減，在上遞增．

（2）當時，所以，即在上恒成立．

法1：（分離參數法）在上恒成立在上恒成立．令，則，令，有在上恒成立，所以在上遞增（也可由（1）可知，函數在上遞增）．而，所以在上有唯一根，所以當時，當時，于是在上遞減，在上遞增，所以在上的最小值為，因為，所以，于是，所以，所以的最大值為．

法2：（不猜想直接用最值法）令，則，令可得．

①當，即時，有在上恒成立，于是在上遞增，從而在上有，于是在上恒成立．

②當，即時（因為是整數，所以），可知當時，當時，于是在上的最小值是．令，則在上恒成立，所以在上單調遞減．而，．所以當時，有在上恒成立，當時，在上不恒成立．

綜上所述，的最大值為．

法3：（先猜想并將猜想強化）因為在上恒成立，所以當時，該式子也成立，于是，即．下證的最大值為．

令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．所以，于是的最大值為．

【點評】由于是整數，所以先猜想再將猜想強化是優先采用的解題方法．如果將是整數這個條件去掉，則得到的必要條件既不能強化又不能減少分類討論，此時猜想將沒有任何作用，只能用法1的分離參數法和法2的最值法進行求解．

例3

設函數．

（1）若，求的單調區間；

（2）若當時，求的取值范圍．

【解析】（1）當時，．由可得，由可得．所以的遞增區間是，遞減區間是．

（2）法1：（分離參數法）在上恒成立在上恒成立．

當時，式子顯然成立；當時，分離參數可得在上恒成立．令，則，令，可得，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增，于是，所以，所以在上遞增．

由洛必達法則，可得，所以在上有，所以．

法2：（不猜想直接用最值法），．

①當，即時，有，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以．

②當，即時，由可得時，于是在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，于是，于是不恒成立．

綜上所述，的取值范圍是．

法3：（先猜想并將猜想強化）當時，在上恒成立．

當時，在上恒成立在上恒成立．由洛必達法則，可得，所以．，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以．

【點評】對于恒成立問題，最值法與分離參數法是兩種最常用的方法．如果分離后的函數容易求最值，則選用分離參數法，否則選用最值法．最值法主要考查學生分類討論的思想，一般遵循“構造函數——分類討論”兩部曲來展開．一些稍難的恒成立問題，如果用分離參數法來處理，往往需要多次求導和使用洛必達法則．本題中，法2的最值法比法1的分離參數法要簡單，這是因為處理的最小值要比處理的最小值要容易．

猜想最值法的模式是解決恒成立問題的重要模式，猜想的一般方法有：特殊值代入，不等式放縮，洛必達法則，端點效應．

模塊2

練習鞏固

整合提升

練習1：已知函數．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求證：當時，；

（3）設實數使得對恒成立，求的最大值．

【解析】（1），因為，所以，于是切線方程為．

【證明】（2）構造函數，．因為，所以在上遞增，所以．于是當時，．

【解析】（3）法1：（不猜想直接用最值法）構造函數，則．

①當時，所以在上遞增，所以．

②當時，所以在上遞增，所以．

③當時，由可得，于是在上遞減，所以，于是在上不恒成立．

綜上所述，的最大值為．

法2：（先猜想并將猜想強化）由（2）可知，猜想的最大值為．下面證明當

時，在上不恒成立．

構造函數，則．當時，由可得，于是在上遞減，所以，于是在上不恒成立．

練習2：設函數．

（1）證明：在單調遞減，在單調遞增；

（2）若對于任意、，都有，求的取值范圍．

【證明】（1），令，則，所以在上遞增，而，所以當時，當時，所以在單調遞減，在單調遞增．

【解析】（2）由（1）可知，在上遞減，在上遞增，所以，于是對于任意、，都有，即．構造函數，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．又因為，所以的取值范圍是．

練習3：已知函數．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）若當時，求的取值范圍．

【解析】（1）的定義域為．當時，，所以，．于是曲線在處的切線方程為．

（2）法1：（分離參數法）當時，．令，則，令，則，于是在上遞增，所以，于是，從而在上遞增．

由洛必達法則，可得，于是．于是的取值范圍是．

法2：（不猜想直接用最值法）．

①當，即時，所以在上遞增，所以．

②當時，令，則，所以（即）在上遞增，于是．

（i）若，即時，于是在上遞增，于是．

（ii）若，即時，存在，使得當時，于是在上遞減，所以．

綜上所述，的取值范圍是．

法3：（變形后不猜想直接用最值法）當時，．令，則，記，則是以為對稱軸，開口方向向上的拋物線．

①當，即時，所以，于是在上遞增，因此．

②當，即時，的判別式為，于是有兩根，不妨設為、，且．由韋達定理可得，于是，所以，于是，當時，所以，于是在上遞減，即．

綜上所述，的取值范圍是．

法4：（通過猜想減少分類討論）當時，．因為，所以，即．，記，則是以為對稱軸，開口方向向上的拋物線．當時，所以，于是在上遞增，因此．所以的取值范圍是．

法5：（通過猜想減少分類討論）當時，．由洛必達法則，可得，于是．

下同法4．

練習4：已知函數，曲線在點處的切線方程為．

（1）求、的值；

（2）如果當，且時，求的取值范圍．

【解析】（1），因為，所以，于是

．

（2）法1：（分離參數法）由可得，令（且）．，令，則，令，則，令，則．

當時，在上遞增，于是，即，所以在上遞減，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞減．

當時，在上遞增，于是，即，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞增．

由洛必達法則，可得，同理，所以當且時，有，于是．

法2：（不猜想直接用最值法）由（1）知，所以，考慮函數，則，此時有．，令，當時，其判別式為．

①當時，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當時，于是；當時，于是．所以當，且時，即恒成立．

②當時，是開口方向向下，以為對稱軸，與軸有兩個交點的二次函數．因為，所以當時，所以，于是在上遞增，所以．而時，所以，于是不恒成立．

③當時，所以在上是增函數，所以當時，而，所以，于是不恒成立．

④當時，是開口方向向上，以為對稱軸，與軸有兩個交點的二次函數．因為，所以在上恒成立，所以在上是增函數，以下同③，于是不恒成立．

⑤當時，是開口方向向上，以為對稱軸，與軸最多有一個交點的二次函數，所以在上恒成立，所以在上是增函數，以下同③，于是不恒成立．

綜上所述，的取值范圍為．

法3：（通過猜想減少分類討論）由（1）知，所以．因為，所以．

考慮函數，則，此時有．，令，這是開口方向向下的拋物線，其判別式為．

①當時，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當時，于是；當時，于是．所以當，且時，即恒成立．

②當時，是開口方向向下，以為對稱軸，與軸有兩個交點的二次函數．因為，所以當時，所以，于是在上遞增，所以．而時，所以，于是不恒成立．

綜上所述，的取值范圍為．

法4：（通過猜想減少分類討論）由可得，由洛必達法則，可得，于是，所以．

下同法2，只需討論法2的①②③三種情況即可．

法5：（通過猜想減少分類討論）由可得，由洛必達法則，可得，所以．

下同法2，只需討論法2的①即可．

【點評】法1的分離參數法，利用了高階導數以及洛必達法則，減少了解題的技巧性．法2的最值法構造了函數，只需由在上恒成立，求出的取值范圍即可．但的表達式比較復雜，其復雜的根源在于前面帶有，直接求導只會讓式子變得更復雜，因此我們提取，讓變得“純粹”一點．的正負取決于與的正負，由此可找到的3個界：0、1、2，從而對的范圍作出不重不漏的劃分．

法3、法4和法5都是猜想最值法，分別通過特殊值代入和洛必達法則得到相應的必要條件，有效縮小了參數的取值范圍，此時只需討論法2分類當中的若干情況即可，減少了分類討論，從而降低題目的難度．