專題二

函數零點問題

函數的零點作為函數、方程、圖象的交匯點，充分體現了函數與方程的聯系，蘊含了豐富的數形結合思想．諸如方程的根的問題、存在性問題、交點問題等最終都可以轉化為函數零點問題進行處理，因此函數的零點問題成為了近年來高考新的生長點和熱點，且形式逐漸多樣化，備受青睞．

模塊1

整理方法

提升能力

對于函數零點問題，其解題策略一般是轉化為兩個函數圖象的交點．

對于兩個函數的選擇，有3種情況：一平一曲，一斜一曲，兩曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情況最為常見．

分離參數法是處理零點問題的常見方法，其本質是選擇一平一曲兩個函數；部分題目直接考慮函數的圖象與軸的交點情況，其本質是選擇一平一曲兩個函數；部分題目利用零點存在性定理并結合函數的單調性處理零點，其本質是選擇一平一曲兩個函數．

函數的凸性

1．下凸函數定義

設函數為定義在區間上的函數，若對上任意兩點，總有，當且僅當時取等號，則稱為上的下凸函數．

2．上凸函數定義

設函數為定義在區間上的函數，若對上任意兩點，總有，當且僅當時取等號，則稱為上的上凸函數．

3．下凸函數相關定理

定理：設函數為區間上的可導函數，則為上的下凸函數

為上的遞增函數且不在的任一子區間上恒為零．

4．上凸函數相關定理

定理：設函數為區間上的可導函數，則為上的上凸函數為上的遞減函數且不在的任一子區間上恒為零．

例1

已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍．

【解析】（1），．

①當時，所以，所以在上遞減．

②當時，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．

（2）法1：①當時，由（1）可知，在上遞減，不可能有兩個零點．

②當時，令，則，所以在上遞增，而，所以當時，從而沒有兩個零點．

當時，，于是在上有個零點；因為，且，所以在上有個零點．

綜上所述，的取值范圍為．

法2：．令，則，令，則，所以在上遞增，而，所以當時，當時，于是當時，當時，所以

在上遞增，在上遞減．，當時，當時，．若有兩個零點，則與有兩個交點，所以的取值范圍是．

法3：設，則，于是，令，則，令，則，所以在上遞增，而，所以當時，，當時，，所以

在上遞增，在上遞減．，當時，當時，．若有兩個零點，則與有兩個交點，所以的取值范圍是．

法4：設，則，于是

．令，則有兩個零點等價于與有兩個交點．因為，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，當時，．是斜率為，過定點的直線．

當與相切的時候，設切點，則有，消去和，可得，即，即．令，顯然是增函數，且，于是，此時切點，斜率．所以當與有兩個交點時，所以的取值范圍是．

法5：，令，，則有兩個零點與的圖象有兩個不同交點．，所以兩個函數圖象有一個交點．令，則，由可得，由可得，于是在上遞減，在上遞增，而，所以，因此與

相切于點，除切點外，的圖象總在圖象的上方．

由（1）可知，．

當時，將圖象上每一點的橫坐標固定不動，縱坐標變為原來的倍，就得到了的圖象，此時與的圖象沒有交點．當時，的圖象就是的圖象，此時與的圖象只有1個交點．當時，將圖象上每一點的橫坐標固定不動，縱坐標變為原來的倍，就得到了的圖象，此時與的圖象有兩個不同交點．

綜上所述，的取值范圍是．

法6：，令，則有兩個零點與的圖象有兩個不同交點．，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減，當時，．

由（1）可知，所以是下凸函數，而是

上凸函數．當與相切時，設切點為，則有，消去，可得，即，即．令，顯然是增函數，而，于是，此時切點，．所以當與的圖象有兩個交點時，所以的取值范圍是．

【點評】函數零點問題，其解題策略是轉化為兩個函數圖象的交點，三種方式中（一平一曲、一斜一曲、兩曲）最為常見的是一平一曲．法1是直接考慮函數的圖象與軸的交點情況，法2是分離參數法，法3用了換元，3種方法的本質都是一平一曲，其中法3將指數換成了對數，雖然沒有比法2簡單，但是也提示我們某些函數或許可以通過換元，降低函數的解決難度．法4是一斜一曲情況，直線與曲線相切時的值是一個重要的分界值．法5和法6都是兩曲的情況，但法6比法5要簡單，其原因在于法5的兩曲凸性相同而法6的兩曲凸性相反．

函數零點問題對函數圖象說明的要求很高，如解法2當中的是先增后減且極大值，但和的狀態會影響的取值范圍，所以必須要說清楚兩個趨勢的情況，才能得到最終的答案．

例2

設函數設，．

（1）求；

（2）證明：在內有且僅有一個零點（記為），且．

【解析】（1）因為，所以…①．由

…②，①②，得，所以．

【證明】（2）因為，由零點存在性定理可知在內至少存在一個零點．又因為，所以在內遞增，因此在內有且只有一個零點．

由于，所以，由此可得，即．因為，所以，所以，所以．

【點評】當函數滿足兩個條件：連續不斷，則可由零點存在性定理得到函數在上至少有1個零點．零點存在性定理是高中階段一個比較弱的定理，首先，該定理的兩個條件缺一不可，其次，就算滿足兩個條件，也只能得到有零點的結論，究竟有多少個零點，也不確定．零點存在性定理常與單調性綜合使用，這是處理函數零點問題的一種方法．

例3

已知函數．

（1）設是的極值點，求，并討論的單調性；

（2）當時，證明：．

【解析】（1），由是的極值點，可得，解得．于是，定義域為，則，所以在上遞增，又因為，所以當

時，當時，所以在上遞減，在上遞增．

【證明】（2）法1：定義域為，，于是在上遞增．又因為當時，當時，所以在上有唯一的實根，當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值．

由可得，即，于是．當時，；當時，等號成立的條件是，但顯然，所以等號不成立，即．

綜上所述，當時，．

法2：當，時，于是，所以只要證明，就能證明當時，．，于是在上遞增．又因為，所以在上有唯一的實根，且．當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值．

由可得，即．于是，于是．

綜上所述，當時，．

法3：當，時，于是，所以只要證明（），就能證明當時，．

由（）可得（），又因為（），且兩個不等號不能同時成立，所以，即（），所以當時，．

【點評】法1與法2中出現的的具體數值是無法求解的，只能求出其范圍，我們把這種零點稱為“隱性零點”．法2比法1簡單，這是因為利用了函數單調性將命題加強為，轉化為研究一個特例函數的問題，從而大大降低了題目的難度．

法2中，因為的表達式涉及、，都是超越式，所以的值不好計算，由此，需要對“隱性零點”滿足的式子進行變形，得到兩個式子和，然后進行反代，從而將超越式轉化為初等式．“反代”是處理“隱性零點”問題的常用策略．

法3使用了與、有關的常用不等式，證明過程相當快捷簡單．由于，且、的凸性相反，因此我們可以尋找兩個函數的公切線實現隔離放縮，事實上，就是、兩個函數的公切線．（不等式證明問題詳見專題四）

模塊2

練習鞏固

整合提升

練習1：設函數．

（1）討論的導函數的零點的個數；

（2）證明：當時，．

【解析】（1）的定義域為，．的零點的個數的根的個數與在上的交點的個數．

因為，所以在上遞增，又因為，時，所以當時，與沒有交點，當時，與有一個交點．

綜上所述，當時，的零點個數為，當時，的零點個數為．

【證明】（2）由（1）可知，在上有唯一的零點，當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值，且最小值為．

因為，所以，所以．

練習2：設函數（為常數，是自然對數的底數）．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在內存在兩個極值點，求的取值范圍．

【解析】（1）函數的定義域為，．當時，所以當時，當時，．所以的遞減區間為，遞增區間為．

（2）函數在內存在兩個極值點在內有兩個不同的根．

法1：問題在內有兩個不同的根．設，則．

當時，所以在上遞增，所以在內不存在兩個不同的根．

當時，由可得，由可得，所以的最小值為

．在內有兩個不同的根，解得．

綜上所述，的取值范圍為．

法2：問題在內有兩個不同的根與在內有兩個不同的交點．，當時，當時，．，當時，．畫出在內的圖象，可知要使與在內有兩個不同的交點，的取值范圍為．

練習3：已知函數和，直線：過點且與曲線相切．

（1）求切線的方程；

（2）若不等式恒成立，求的最大值；

（3）設，若函數有唯一零點，求證：．

【解析】（1）設直線與函數相切于點，則切線方程為，即，因為切線過點，所以，解得，所以切線的方程為．

（2）設，．當時，當時，所以在時取極小值，也是最小值．因此，要原不等式成立，則，所以的最大值是．

【證明】（3）由題設條件知，函數（），令，則，于是在上單調遞增．因為當時，當時，所以有唯一的實根，設為，則當時，當時，于是有唯一的極小值，也是最小值．當時，當時，．因此函數有唯一零點的充要條件是其最小值為，即（），所以，又因為，所以．設，則，所以在上單調遞增，又因為，由零點存在性定理可知．