最新高考數學公切線解決導數中零點問題復習

【知識點】將題目中的零點問題，通過轉化成初等函數的圖形之間的位置關系問題，然后利用公切線的變化求出。

考點一、無零點

【例

1-1】（16年房山二模文科）已知函數

（Ⅱ）若直線與曲線沒有公共點，求實數的取值范圍。

【解析】因為直線與曲線沒有公共點，所以方程無實根，即無實根，等價于無實根

設，即無零點。

當時，顯然無零點，符合題意；

當時，令

極小值，顯然不符合題意；

當時，令

極大值，所以時，符合題意

綜上所述：

【練

1-1】（13年福建文）已知函數().(3)當的值時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.【解析】當時,令,則直線:與曲線沒有公共點,等價于方程在上沒有實數解.假設,此時，又函數的圖象連續不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數解”矛盾,故.又時，知方程在上沒有實數解.所以的最大值為.考點二、一個零點

【例

2-1】（13年朝陽一模理）已知函數,其中.(Ⅱ)若函數在上有且只有一個零點,求實數的取值范圍.【解析】①當時,由(Ⅰ)可知,函數的單調遞減區間為,在單調遞增.所以在上的最小值為,由于,要使在上有且只有一個零點,需滿足或解得或.②當時,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)當時,函數在上單調遞增;

且,所以在上有且只有一個零點.(ⅱ)當時,函數在上單調遞減,在上單調遞增;

又因為,所以當時,總有.因為,所以.所以在區間內必有零點.又因為在內單調遞增,從而當時,在上有且只有一個零點.綜上所述,或或時,在上有且只有一個零點

【練

2-1】（2012年房山一模18）已知函數．

（III）若函數在區間上恰有兩個零點，求的取值范圍．

【解析】當時，在區間上為增函數，在區間不可能恰有兩個零點．

………10分

當時，由（II）問知，又，為的一個零點．

……11分

若在恰有兩個零點，只需

即

………13分

【練

2-2】（13年昌平二模理科）已知函數

(Ⅱ)求在區間上的最小值;

(III)若在區間上恰有兩個零點,求的取值范圍.【解析】可知當或時,在上是單調遞增或遞減函數,不可能存在兩個零點.當時,要使在區間上恰有兩個零點,則

∴

即,此時,.所以,的取值范圍為

考點三、兩個零點

【例

3-1】已知函數.（III）討論函數在區間上零點的個數.【解析】

【練

3-1】（15年海淀期末文科）已知函數.（Ⅲ）問集合（且為常數）的元素有多少個？（只需寫出結論）

考點四、線上下線問題

【例

4-1】（13年北京高考理科）設L為曲線C：在點(1，0)處的切線.(I)求L的方程；

方程為

(II)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線L的下方.【練

4-1】（14年海淀一模理科）已知曲線.(Ⅱ)對任意實數，曲線總在直線:的上方，求實數的取值范圍.【解析】對于任意實數a，曲線C總在直線的的上方，等價于

?x,，都有，即

?x,R，恒成立，令，則等價于?，恒成立，令，則，由得，的情況如下：

0

0

+

極小值

所以的最小值為，實數b的取值范圍是．