第一篇：利用導數解決生活中的優化問題

利用導數解決生活中的優化問題

本節是用導數的知識解決實際生活中的一些問題，這些問題運用導數的知識解決非常方便.例如，在生活、生產和科研中經常遇到的成本最低、用料最省、效率最高、利潤最大等問題，這些問題統稱為優化問題.一、利用導數解決優化問題，往往歸結為求函數的最大值或最小值問題.二、利用導數解決實際問題中的優化問題時，要注意以下幾點：

1.當問題中涉及多個變量時，應根據題意分析它們的關系，找出變量間的關系式；

2.確定函數關系式中自變量的取值范圍；

3.所得的結果要符合問題的實際意義.三、要注意方法的靈活運用，如配方法、基本不等式法、導數法.例題：已知某商品生產成本C與產量q（０

8q，求產量q為何值時，利潤L最大.一、用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬

之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

二、統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：y=1

128000x?23

80x?8(0

距100千米。

（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

三、某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．

（I）將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；

（II）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

四、已知A、B兩地相距200千米，一只船從A地逆水到B地，水速為8千米小時，船在靜水中的速度為v千米小時（8＜v≤v0）.若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v=12千米小時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？

第二篇：最新高考數學公切線解決導數中零點問題復習

最新高考數學公切線解決導數中零點問題復習

【知識點】將題目中的零點問題，通過轉化成初等函數的圖形之間的位置關系問題，然后利用公切線的變化求出。

考點一、無零點

【例

1-1】（16年房山二模文科）已知函數

（Ⅱ）若直線與曲線沒有公共點，求實數的取值范圍。

【解析】因為直線與曲線沒有公共點，所以方程無實根，即無實根，等價于無實根

設，即無零點。

當時，顯然無零點，符合題意；

當時，令

極小值，顯然不符合題意；

當時，令

極大值，所以時，符合題意

綜上所述：

【練

1-1】（13年福建文）已知函數().(3)當的值時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.【解析】當時,令,則直線:與曲線沒有公共點,等價于方程在上沒有實數解.假設,此時，又函數的圖象連續不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數解”矛盾,故.又時，知方程在上沒有實數解.所以的最大值為.考點二、一個零點

【例

2-1】（13年朝陽一模理）已知函數,其中.(Ⅱ)若函數在上有且只有一個零點,求實數的取值范圍.【解析】①當時,由(Ⅰ)可知,函數的單調遞減區間為,在單調遞增.所以在上的最小值為,由于,要使在上有且只有一個零點,需滿足或解得或.②當時,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)當時,函數在上單調遞增;

且,所以在上有且只有一個零點.(ⅱ)當時,函數在上單調遞減,在上單調遞增;

又因為,所以當時,總有.因為,所以.所以在區間內必有零點.又因為在內單調遞增,從而當時,在上有且只有一個零點.綜上所述,或或時,在上有且只有一個零點

【練

2-1】（2012年房山一模18）已知函數．

（III）若函數在區間上恰有兩個零點，求的取值范圍．

【解析】當時，在區間上為增函數，在區間不可能恰有兩個零點．

………10分

當時，由（II）問知，又，為的一個零點．

……11分

若在恰有兩個零點，只需

即

………13分

【練

2-2】（13年昌平二模理科）已知函數

(Ⅱ)求在區間上的最小值;

(III)若在區間上恰有兩個零點,求的取值范圍.【解析】可知當或時,在上是單調遞增或遞減函數,不可能存在兩個零點.當時,要使在區間上恰有兩個零點,則

∴

即,此時,.所以,的取值范圍為

考點三、兩個零點

【例

3-1】已知函數.（III）討論函數在區間上零點的個數.【解析】

【練

3-1】（15年海淀期末文科）已知函數.（Ⅲ）問集合（且為常數）的元素有多少個？（只需寫出結論）

考點四、線上下線問題

【例

4-1】（13年北京高考理科）設L為曲線C：在點(1，0)處的切線.(I)求L的方程；

方程為

(II)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線L的下方.【練

4-1】（14年海淀一模理科）已知曲線.(Ⅱ)對任意實數，曲線總在直線:的上方，求實數的取值范圍.【解析】對于任意實數a，曲線C總在直線的的上方，等價于

?x,，都有，即

?x,R，恒成立，令，則等價于?，恒成立，令，則，由得，的情況如下：

0

0

+

極小值

所以的最小值為，實數b的取值范圍是．

第三篇：利用虛擬光驅解決“請在光驅中運行”問題

很多光盤內容復制到電腦上就不能使用，下面以教學光盤為例： 小學數學教師用書光盤DVD2，復制到電腦上后，1、單擊開始圖標

2、彈出右邊提示框

為了解決這一問題，我們使用：UltraISO軟碟通，它是一款功能強大而又方便實用的光盤映像文件制作/編輯/轉換工具。

3、下載安裝完成后，我的電腦里面也會多出一個驅動器：

4、打開軟件：

5、此時打開光盤文件夾所在目錄，全選，把所有文件拖到上面的方框里，6、單擊文件，另存為，系統會自動保存為“.iso”文件。

7、回到工具主界面，工具，加載到虛擬光驅，8、單擊映像文件后面的省略號按鈕，選擇第6步保存的“.iso”文件，單擊加載，此時第3步的驅動器里面已經有光盤了。

9、雙擊打開，再點第1步的圖標就可以了。

第四篇：利用導數處理與不等式有關的問題

利用導數處理與不等式有關的問題

關鍵詞：導數，不等式，單調性，最值。

導數是研究函數性質的一種重要工具。例如求函數的單調區間、求最大（小）值、求函數的值域等等。而在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數的性質；因此，很多時侯可以利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式問題。下面具體討論導數在解決與不等式有關的問題時的作用。

一、利用導數證明不等式

（一）、利用導數得出函數單調性來證明不等式

我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性,然后再用函數單調性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉化為證明函數的單調性。具體有如下幾種形式：

1、直接構造函數，然后用導數證明該函數的增減性；再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），來證明不等式成立。

x2例1：x>0時,求證；x?－ln(1+x)＜0

2x2x2'證明：設f(x)= x?－ln(1+x)(x>0), 則f(x)=? 21?x

∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上遞減，x2所以x>0時,f(x)

例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求證:ab>b a,(e為自然對數的底)

證：要證ab>b a只需證lnab>lnba 即證：blna－alnb>0

a設f(x)=xlna－alnx(x>a>e)；則f '(x)=lna－, x

a∵a>e,x>a ∴lna>1,<1,∴f '(x)>0,因而f(x)在（e, +∞）上遞增 x

∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb

所以ab>b a成立。

（注意，此題若以a為自變量構造函數f(x)=blnx－xlnb(e0時x?，故f(x)在區間（e, b）lnbxlnb

Page 1 of

5bb的大小而定，當然由題可以推測e? lnblnb

b故f(x)在區間（e, b）上的遞減,但要證明e?則需另費周折，因此，本題還lnb

是選擇以a為自變量來構造函數好，由本例可知用函數單調性證明不等式時，如何選擇自變量來構造函數是比較重要的。）

（二）、利用導數求出函數的最值（或值域）后，再證明不等式。

導數的另一個作用是求函數的最值.因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數求出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題。

例

3、求證：n∈N*,n≥3時，2n >2n+

1證明：要證原式，即需證：2n－2n－1>0,n≥3時成立

設f(x)=2x－2x－1(x≥3),則f'(x)=2xln2－2(x≥3),∵x≥3,∴f'(x)≥23ln3－2>0 上的增減性要由e與∴f(x)在[3，+∞)上是增函數，∴f(x)的最小值為f(3)=23－2×3－1=1>0

所以，n∈N*,n≥3時，f(n)≥f(3)>0, 即n≥3時,2n－2n－1>0成立，xb例

4、gA(x)?(?1)2?(?1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a

若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)

求證:g4（k∈N*）(x1)?g(x2)> k(k?1)IkIk?

1'2x22b2b2???證明：由題知g(x)= aaxx

2x22b2b2???g'(x)= =0時x4－ax3－a2b2+a2bx=0 aaxx即(x4－a2b2)－ax(x2－ab)=0,化簡得(x2－ab)(x2－ax+ab)=0

所以x2－ax+ab =0或x2－ab=0，∵0

由x2－ab=0

解得x?x=（舍）

故g'(x)>0時x∈, g'(x)<0時x∈

[a，因而g(x)在上遞增，在上遞減

所以

是gA(x)的極小值點，Page 2 of

5又∵gA(x)在區間[a,b)只有一個極值

∴gA)=2?1)2是gA(x)的最小值。k?12(k?

1)2?1)2?2(?1)2?所以，g(x)的最小值為g(=2)1kIIkkkk

k?222?1)2?()

g(x2)的最小值為2(k?1k?1Ik?1

又∵224??? k(k?1)k(k?1)∴x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)時

g4（k∈N*）成立(x1)?g(x2)> k(k?1)IkIk?13、利用導數求出函數的值域，再證明不等式。

14例5：f(x)=x3－x, x1,x2∈[－1,1]時，求證：|f(x1)－f(x2)|≤ 3

3證明：∵f'(x)=x2－1, x∈[－1,1]時,f'(x)≤0,2∴f(x)在[－1,1]上遞減.故f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)= 3

222最小值為f(1)=?,即f(x)在 [－1,1]上的值域為[?,]； 333

22所以x1,x2∈[－1,1]時，|f(x1)|?, |f(x2)|?, 33

224即有 |f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)|??? 333

二、利用導數解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為m>f(x)(或m

a例6、已知函數f(x)?(?9(a?R),對f(x)定義域內任意的x的值，x

f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍

解：函數f(x)的定義域為（0，+∞），由f(x)≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立 知

???x∈（0，+∞）恒成立，即a??x∈（0，+∞）恒成立

Page 3 of

5′h(x)=0

解x?設h(x)??

則h'(x)?? 9

′h(x)>0時，解得0＜x

＜(x)＞0時x

＞99′

所以h(x)在（0，）上遞增，在（+∞）上遞減,9

944 故h(x)的最大值為h(?，所以a? 999

三、利用導數解不等式

例8：函數

?ax(a?0),解不等式f(x)≤1

解：由題知f'(x)??a??a

①∵?1??1

∴a≥1時,f'(x)<1－a<0恒成立，故f(x)在R上單調遞減，又f(0)=1，所以x≥0時f(x)≤f(0)=1，即a≥1時f(x)≤1的解為 {x|x≥0}

②0

時，若f'(x)?a ?a??a=0

則x?x=-

f'(x)>0時解得x

∈(??,∪ ??), f'(x)f'(x)<0

時解得x?(故f(x)

在(或上單調遞減，f(x)

在(??,2a

1?a??)上單調遞增，又f(x)=1時解得x=0或x=，Page 4 of 5

且0

時0??2a

1?a

2a

1?a2

2a

1?a所以0

總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數的單調性或最值，我們都可以用導數作工具來解決。這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現。

參考資料：

（1）趙大鵬：《3+X高考導練.數學》，中國致公出版社

（2）王宜學：《沙場點兵.數學》，遼寧大學出版社

（3）《狀元之路.數學》

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第五篇：高中數學構造函數解決導數問題專題復習

高中數學構造函數解決導數問題專題復習

【知識框架】

【考點分類】

考點一、直接作差構造函數證明；

兩個函數，一個變量，直接構造函數求最值；

【例1-1】（14順義一模理18）已知函數（）

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若在區間上函數的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函數.（Ⅰ）當時，若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，求實數的值；

（Ⅱ）若，都有，求實數的取值范圍.【練1-1】（14西城一模文18）已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）如果對于任意，都有，求的取值范圍．

【練1-2】已知函數是常數．

（Ⅰ）求函數的圖象在點處的切線的方程；

（Ⅱ）證明函數的圖象在直線的下方；

（Ⅲ）討論函數零點的個數．

【練1-3】已知曲線.(Ⅰ)若曲線C在點處的切線為，求實數和的值；

(Ⅱ)對任意實數，曲線總在直線:的上方，求實數的取值范圍.【練1-4】已知函數，求證：在區間上，函數的圖像在函數的圖像的下方；

【練1-5】.已知函數；

（1）當時，求在區間上的最大值和最小值；

（2）若在區間上，函數的圖像恒在直線下方，求的取值范圍。

【練1-6】已知函數；

（1）求的極小值；

（2）如果直線與函數的圖像無交點，求的取值范圍；

答案：

考點二、從條件特征入手構造函數證明

【例2-1】若函數

在上可導且滿足不等式，恒成立，且常數，滿足，求證：。

【例2-2】設是上的可導函數，分別為的導函數，且滿足，則當時，有（）

A.B.C.D.【練2-1】設是上的可導函數，，求不等式的解集。

【練2-2】已知定義在的函數滿足，且，若，求關于的不等式的解集。

【練2-3】已知定義域為的奇函數的導函數為，當時，若，則下列關于的大小關系正確的是（）D

A.B.C.D.【練2-4】已知函數為定義在上的可導函數，且對于任意恒成立，為自然對數的底數，則（）C

A.B.C.D.【練2-5】

設是上的可導函數，且，求的值。

【練2-6】函數為定義在上的可導函數，導函數為，且，下面的不等式在內恒成立的是（）

A.B.C.D.【練2-7】已知函數為定義在上的可導函數，導函數為，當時，且，若存在，使，求的值。

（二）關系式為“減”型

（1），構造；

（2），構造；

（3），構造；

（注意對的符號進行討論）

考點三、變形構造函數

【例3-1】證明：對任意的正整數，不等式都成立。

【例3-2】已知函數；

（1）求函數的單調區間與極值；

（2）若對于任意，恒成立，求實數的取值范圍；

【練3-1】設為曲線在點處的切線。

（1）求的方程；

（2）證明：除切點之外，曲線在直線的下方；

【練3-2】已知函數；

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，求證：；

【練3-3】已知函數，其中；

（1）求的單調區間；

（2）若對任意的，總存在，使得，求實數的值；

【練3-4】，（1）討論的單調情況；

（2）設，對．求證：．

【練3-5】已知函數；

（1）求的單調區間；

（2）當時，設斜率為的直線與函數相交于兩點，求證：

考點四、消參構造函數

【例4-1】已知函數和的圖像有公共點，且在點處的切線相同；

（1）若點的坐標為，求的值；

（2）已知，求切點的坐標。

【例4-2】（2009全國卷2理22）設函數有兩個極值點，且

（Ⅰ）求的取值范圍，并討論的單調性；

（Ⅱ）證明：