2010年全國高中數學聯賽

一

試

一、填空題（每小題8分，共64分，）

1.函數的值域是

.2.已知函數的最小值為，則實數的取值范圍是

.3.雙曲線的右半支與直線圍成的區域內部（不含邊界）整點（縱橫坐標均為整數的點）的個數是

.4.已知是公差不為的等差數列，是等比數列，其中，且存在常數使得對每一個正整數都有，則

.5.函數

在區間上的最大值為8，則它在這個區間上的最小值是

.6.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是

.7.正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,則

.8.方程滿足的正整數解（x,y,z）的個數是

.二、解答題（本題滿分56分）

9.（16分）已知函數，當時，試求的最大值.10.（20分）已知拋物線上的兩個動點，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值.11.（20分）證明：方程恰有一個實數根，且存在唯一的嚴格遞增正整數數列，使得

.解

答

1.提示：易知的定義域是，且在上是增函數，從而可知的值域為.2.提示：令，則原函數化為，即

.由，及

知

即

.（1）

當時（1）總成立；

對；對.從而可知

.3.9800

提示：由對稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內部的整點的個數為，從而在軸上方區域內部整點的個數為

.又軸上有98個整點，所以所求整點的個數為.4.提示

：設的公差為的公比為，則

（1），（2）

（1）代入（2）得，求得.從而有

對一切正整數都成立，即

對一切正整數都成立.從而，求得，.5.提示：令則原函數化為,在上是遞增的.當時，,，所以；

當時，，所以

.綜上在上的最小值為.6.提示：同時投擲兩顆骰子點數和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為

.7.提示：解法一：如圖，以所在直線為軸，線段中點為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.設正三棱柱的棱長為2，則，從而，.設分別與平面、平面垂直的向量是、，則

由此可設，所以，即

.所以

.解法二：如圖，.設與交于點

則

.從而平面

.過在平面上作,垂足為.連結,則為二面角的平面角.設,則易求得.在直角中，,即

.又

..8.336675

提示：首先易知的正整數解的個數為

.把滿足的正整數解分為三類：

（1）均相等的正整數解的個數顯然為1；

（2）中有且僅有2個相等的正整數解的個數，易知為1003；

(3)設兩兩均不相等的正整數解為.易知，所以，即

.從而滿足的正整數解的個數為

.9.解法一：

由

得

.所以，所以.又易知當（為常數）滿足題設條件，所以最大值為.解法二：.設，則當時，.設，則..容易知道當時，.從而當時，即，從而,，由

知.又易知當（為常數）滿足題設條件，所以最大值為.10.解法一：設線段的中點為，則，.線段的垂直平分線的方程是

.（1）

易知是（1）的一個解，所以線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為.由（1）知直線的方程為，即

.（2）

（2）代入得，即

.（3）

依題意，是方程（3）的兩個實根，且，所以,..定點到線段的距離

..當且僅當，即,或時等號成立.所以，面積的最大值為.解法二：同解法一，線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為.設，則的絕對值，所以,當且僅當且，即,或

時等號成立.所以，面積的最大值是.11.令，則，所以是嚴格遞增的.又，故有唯一實數根.所以，.故數列是滿足題設要求的數列.若存在兩個不同的正整數數列和滿足，去掉上面等式兩邊相同的項，有，這里，所有的與都是不同的.不妨設，則，矛盾.故滿足題設的數列是唯一的.加

試

1.（40分）如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點（不是邊BC的中點），D是線段AK延長線上一點，直線BD與AC交于點N，直線CD與AB交于點M．求證：若OK⊥MN，則A，B，D，C四點共圓．

2.（40分）設k是給定的正整數，．記，．證明：存在正整數m，使得為一個整數．這里，表示不小于實數x的最小整數，例如：，．

3.（50分）給定整數，設正實數滿足，記

．

求證：

．

4.（50分）一種密碼鎖的密碼設置是在正n邊形的每個頂點處賦值0和1兩個數中的一個，同時在每個頂點處涂染紅、藍兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個頂點的數字或顏色中至少有一個相同．問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設置？

解

答

1.用反證法．若A，B，D，C不四點共圓，設三角形ABC的外接圓與AD交于點E，連接BE并延長交直線AN于點Q，連接CE并延長交直線AM于點P，連接PQ．

因為P的冪（關于⊙O）K的冪（關于⊙O），同理，所以，故⊥．

由題設，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是

．

①

由梅內勞斯（Menelaus）定理，得，②

．

③

由①，②，③可得，所以，故△DMN

∽

△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K為BC的中點，矛盾！從而四點共圓.注1：“P的冪（關于⊙O）K的冪（關于⊙O）”的證明：延長PK至點F，使得，④

則P，E，F，A四點共圓，故，從而E，C，F，K四點共圓，于是，⑤

⑤-④，得

P的冪（關于⊙O）K的冪（關于⊙O）．

注2：若點E在線段AD的延長線上，完全類似．

2.記表示正整數n所含的2的冪次．則當時，為整數．

下面我們對用數學歸納法．

當時，k為奇數，為偶數，此時

為整數．

假設命題對成立．

對于，設k的二進制表示具有形式，這里，或者1，．

于是，①

這里

.顯然中所含的2的冪次為．故由歸納假設知，經過f的v次迭代得到整數，由①知，是一個整數，這就完成了歸納證明．

3.由知，對，有．

注意到當時，有，于是對，有，故

．

4.對于該種密碼鎖的一種密碼設置，如果相鄰兩個頂點上所賦值的數字不同，在它們所在的邊上標上a，如果顏色不同，則標上b，如果數字和顏色都相同，則標上c．于是對于給定的點上的設置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點上的設置．為了使得最終回到時的設置與初始時相同，標有a和b的邊都是偶數條．所以這種密碼鎖的所有不同的密碼設置方法數等于在邊上標記a，b，c，使得標有a和b的邊都是偶數條的方法數的4倍．

設標有a的邊有條，標有b的邊有條，．選取條邊標記a的有種方法，在余下的邊中取出條邊標記b的有種方法，其余的邊標記c．由乘法原理，此時共有種標記方法．對i，j求和，密碼鎖的所有不同的密碼設置方法數為

．

①

這里我們約定．

當n為奇數時，此時

．

②

代入①式中，得

．

當n為偶數時，若，則②式仍然成立；若，則正n邊形的所有邊都標記a，此時只有一種標記方法．于是，當n為偶數時，所有不同的密碼設置的方法數為

．

綜上所述，這種密碼鎖的所有不同的密碼設置方法數是：當n為奇數時有種；當n為偶數時有種．