第一篇：2014全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題3及解答（范文）

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題（A）

一．填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.3.若函數(shù)f(x)?x2?ax?1在[0,??)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________ ?x2?ax?a解：f(x)?x?ax?1=?2?x?ax?a2(x?1)

(x?1)

f(x)在[0,??)上單調(diào)遞增

?-2?a?0 ? ???-a?2?1 ?a??2?0

第二篇：2014全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答

2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題（A）

一．填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.若正數(shù)a,b滿足2+log2a?3?log3b?log6(a?b)，則11?的值為_______________ 解：設(shè)2+log2a?3?log3b?log6(a?b)=m

?2m?2

??a

則?3m?3?b?6m?a?b

?

?4a?27b?a?b

?1

a?1

b?4?27?108 ab??2m?4a?3m?27b?6m?a?b ??

第三篇：04全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及參考答案

2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

【第一試】

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1、設(shè)銳角q使關(guān)于x的方程有重根，則q的弧度數(shù)為

A．

B。

C。

D。

答：[

]

2、已知M=，N=，若對(duì)于所有的，均有則的取值范圍是

A．[]

B。（）C。（）

D。[]

答：[

]

3、不等式>0的解集是

A．[2，3]

B。（2，3）

C。[2，4]

D。（2，4）

答：[

]

4、設(shè)O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部，且有，則△ABC的面積與△AOC的面積之比為

A．2

B。

C。3

D。

答：[

]

5、設(shè)三位數(shù)，若以為三條邊的長可以構(gòu)成一個(gè)

等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)有

A．45個(gè)

B。81個(gè)

C。165個(gè)

D。216個(gè)

答：[

]

6、頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓的圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C是PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐O—HPC的體積最大時(shí)，OB的長是

A．

B。

C。

D。

答：[

]

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7、在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)在一個(gè)最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____________。

8、設(shè)函數(shù)滿足，且對(duì)任意的，都有=，則。

9、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是______________。

10、設(shè)是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)使得也

是一個(gè)正整數(shù)，則=________________。

11、已知數(shù)列滿足關(guān)系式

且，則的值是______。

12、在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)M（-1，2）和N（1，4），點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是___________。

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13、一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過關(guān)。問：

（Ⅰ）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過幾關(guān)？

（Ⅱ）他連過前三關(guān)的概率是多少？

（注：骰子是一個(gè)在各面上分別有1，2，3，4，5，6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。）

14、在平面直角坐標(biāo)系中，給定三點(diǎn)A（0，），B（-1，0），C（1，0）。點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB、AC距離的等比中頂。

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線L經(jīng)過△ABC的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率的取值范圍。

15、已知、是方程（）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)閇，]。

（Ⅰ）求

（Ⅱ）證明：對(duì)于，若，則。

【第二試】

一、（本題滿分50分）

在銳角△ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相

交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求

AK的長。

二、（本題滿分50分）

在平面直角坐標(biāo)系中，軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線（≥0）上的點(diǎn)列滿足，直線在X軸上的截距為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。

（Ⅰ）證明>>4。

（Ⅱ）證明有，使得對(duì)都有<。

三、（本題滿分50分）

對(duì)于整數(shù)≥4，求出最小的整數(shù)，使得對(duì)于任何正整數(shù)，集合的任一個(gè)元子集中，均有至少3個(gè)兩兩互素的元素。

參考答案

第一試

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1、解：因方程有重根，故

得，于是。

故選B。

2、解：相當(dāng)于點(diǎn)（0，b）在橢圓上或它的內(nèi)部。

故選A。

3、解：原不等式等價(jià)于

設(shè)

解得。

即。

故選C。

4、解：如圖，設(shè)D，E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，則

由（1）（2）得，即共線，且，故選C。

5、解：a，b，c要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為0。即

（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同，所以。

（2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中只有2個(gè)不同數(shù)碼。設(shè)為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（a，b）共有。但當(dāng)大數(shù)為底時(shí)，設(shè)a>b，必須滿足。此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是

a

b

4，3

2，1

4，3

2，1

3，2

3，2

1，2

1，2

共20種情況。

同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組（a，b）中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位，有種情況。

故。

綜上。

6、解：

。C是PA中點(diǎn)，最大，也即最大。

此時(shí)，故選D。

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7、解：，它的最小正周期為，振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對(duì)稱性，可將這圖形割補(bǔ)成長為、寬為的長方形，故它的面積是。

8、解：

=

即。

9、解：連結(jié)，垂足為E，延長CE交于F，則，連結(jié)AE，由對(duì)稱性知是二面角的平面角。

連結(jié)AC，設(shè)AB=1，則

中，在的補(bǔ)角。

10、解：設(shè)，從而是平方數(shù)，設(shè)為

。（負(fù)值舍去）

11、解：設(shè)

即

故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列。

12、解：經(jīng)過M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3－x上，設(shè)圓心為

S（a，3－a），則圓S的方程為：

對(duì)于定長的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過M，N，P三點(diǎn)的圓S必與X軸相切于點(diǎn)P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得

a=1或a=－7。

即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，而過點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)P（1，0）為所求，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1。

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，而，因此，當(dāng)時(shí)，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于已不可能。即這是一個(gè)不可能事件，過關(guān)的概率為0。所以最多只能連過4關(guān)。

.......5分

（Ⅱ）設(shè)事件為“第n關(guān)過關(guān)失敗”，則對(duì)立事件為“第n關(guān)過關(guān)成功”。

第n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為個(gè)。

第1關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和2這兩種情況），過此關(guān)的概率為：。

第2關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2，3，4時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。

過此關(guān)的概率為：。

........10分

第3關(guān)：事件所含基本事件為方程當(dāng)a分別取3，4，5，6，7，8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個(gè)）。

過此關(guān)的概率為：。

.........15分

故連過前三關(guān)的概率為：。

........20分

（說明：第2，3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來）

14、解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，即，化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為

圓S：

......5分

（Ⅱ）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分

圓S：

①

與雙曲線T：

②

因?yàn)锽（－1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為

③

（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分

（ii）當(dāng)時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：

情況1：直線L經(jīng)過點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。

故當(dāng)時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。

......15分

情況2：直線L不經(jīng)過點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡得

該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是

④

或

⑤

解方程④得，解方程⑤得。

綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。

......20分

15、解：（Ⅰ）設(shè)

則

又

故在區(qū)間上是增函數(shù)。

.......5分

......10分

（Ⅱ）證：

....15分，而均值不等式與柯西不等式中，等號(hào)不能同時(shí)成立，......20分

第四篇：10屆全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

一

試

一、填空題（每小題8分，共64分，）

1.函數(shù)的值域是

.2.已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.3.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是

.4.已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)都有，則

.5.函數(shù)

在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值是

.6.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是

.7.正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點(diǎn)，二面角,則

.8.方程滿足的正整數(shù)解（x,y,z）的個(gè)數(shù)是

.二、解答題（本題滿分56分）

9.（16分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試求的最大值.10.（20分）已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.11.（20分）證明：方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且存在唯一的嚴(yán)格遞增正整數(shù)數(shù)列，使得

.解

答

1.提示：易知的定義域是，且在上是增函數(shù)，從而可知的值域?yàn)?2.提示：令，則原函數(shù)化為，即

.由，及

知

即

.（1）

當(dāng)時(shí)（1）總成立；

對(duì)；對(duì).從而可知

.3.9800

提示：由對(duì)稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設(shè)與雙曲線右半支于,交直線于，則線段內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，從而在軸上方區(qū)域內(nèi)部整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

.又軸上有98個(gè)整點(diǎn)，所以所求整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.4.提示

：設(shè)的公差為的公比為，則

（1），（2）

（1）代入（2）得，求得.從而有

對(duì)一切正整數(shù)都成立，即

對(duì)一切正整數(shù)都成立.從而，求得，.5.提示：令則原函數(shù)化為,在上是遞增的.當(dāng)時(shí)，,，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以

.綜上在上的最小值為.6.提示：同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為

.7.提示：解法一：如圖，以所在直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的棱長為2，則，從而，.設(shè)分別與平面、平面垂直的向量是、，則

由此可設(shè)，所以，即

.所以

.解法二：如圖，.設(shè)與交于點(diǎn)

則

.從而平面

.過在平面上作,垂足為.連結(jié),則為二面角的平面角.設(shè),則易求得.在直角中，,即

.又

..8.336675

提示：首先易知的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

.把滿足的正整數(shù)解分為三類：

（1）均相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)顯然為1；

（2）中有且僅有2個(gè)相等的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，易知為1003；

(3)設(shè)兩兩均不相等的正整數(shù)解為.易知，所以，即

.從而滿足的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

.9.解法一：

由

得

.所以，所以.又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.解法二：.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則..容易知道當(dāng)時(shí)，.從而當(dāng)時(shí)，即，從而,，由

知.又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為.10.解法一：設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，.線段的垂直平分線的方程是

.（1）

易知是（1）的一個(gè)解，所以線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為.由（1）知直線的方程為，即

.（2）

（2）代入得，即

.（3）

依題意，是方程（3）的兩個(gè)實(shí)根，且，所以,..定點(diǎn)到線段的距離

..當(dāng)且僅當(dāng)，即,或時(shí)等號(hào)成立.所以，面積的最大值為.解法二：同解法一，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)，則的絕對(duì)值，所以,當(dāng)且僅當(dāng)且，即,或

時(shí)等號(hào)成立.所以，面積的最大值是.11.令，則，所以是嚴(yán)格遞增的.又，故有唯一實(shí)數(shù)根.所以，.故數(shù)列是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.若存在兩個(gè)不同的正整數(shù)數(shù)列和滿足，去掉上面等式兩邊相同的項(xiàng)，有，這里，所有的與都是不同的.不妨設(shè)，則，矛盾.故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的.加

試

1.（40分）如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點(diǎn)（不是邊BC的中點(diǎn)），D是線段AK延長線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于點(diǎn)M．求證：若OK⊥MN，則A，B，D，C四點(diǎn)共圓．

2.（40分）設(shè)k是給定的正整數(shù)，．記，．證明：存在正整數(shù)m，使得為一個(gè)整數(shù)．這里，表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如：，．

3.（50分）給定整數(shù)，設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，記

．

求證：

．

4.（50分）一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值0和1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，同時(shí)在每個(gè)頂點(diǎn)處涂染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同．問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置？

解

答

1.用反證法．若A，B，D，C不四點(diǎn)共圓，設(shè)三角形ABC的外接圓與AD交于點(diǎn)E，連接BE并延長交直線AN于點(diǎn)Q，連接CE并延長交直線AM于點(diǎn)P，連接PQ．

因?yàn)镻的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O），同理，所以，故⊥．

由題設(shè)，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是

．

①

由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）定理，得，②

．

③

由①，②，③可得，所以，故△DMN

∽

△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K為BC的中點(diǎn)，矛盾！從而四點(diǎn)共圓.注1：“P的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O）”的證明：延長PK至點(diǎn)F，使得，④

則P，E，F(xiàn)，A四點(diǎn)共圓，故，從而E，C，F(xiàn)，K四點(diǎn)共圓，于是，⑤

⑤-④，得

P的冪（關(guān)于⊙O）K的冪（關(guān)于⊙O）．

注2：若點(diǎn)E在線段AD的延長線上，完全類似．

2.記表示正整數(shù)n所含的2的冪次．則當(dāng)時(shí)，為整數(shù)．

下面我們對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時(shí)，k為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時(shí)

為整數(shù)．

假設(shè)命題對(duì)成立．

對(duì)于，設(shè)k的二進(jìn)制表示具有形式，這里，或者1，．

于是，①

這里

.顯然中所含的2的冪次為．故由歸納假設(shè)知，經(jīng)過f的v次迭代得到整數(shù)，由①知，是一個(gè)整數(shù)，這就完成了歸納證明．

3.由知，對(duì)，有．

注意到當(dāng)時(shí)，有，于是對(duì)，有，故

．

4.對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，如果相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同，在它們所在的邊上標(biāo)上a，如果顏色不同，則標(biāo)上b，如果數(shù)字和顏色都相同，則標(biāo)上c．于是對(duì)于給定的點(diǎn)上的設(shè)置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點(diǎn)上的設(shè)置．為了使得最終回到時(shí)的設(shè)置與初始時(shí)相同，標(biāo)有a和b的邊都是偶數(shù)條．所以這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標(biāo)記a，b，c，使得標(biāo)有a和b的邊都是偶數(shù)條的方法數(shù)的4倍．

設(shè)標(biāo)有a的邊有條，標(biāo)有b的邊有條，．選取條邊標(biāo)記a的有種方法，在余下的邊中取出條邊標(biāo)記b的有種方法，其余的邊標(biāo)記c．由乘法原理，此時(shí)共有種標(biāo)記方法．對(duì)i，j求和，密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)為

．

①

這里我們約定．

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)

．

②

代入①式中，得

．

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若，則②式仍然成立；若，則正n邊形的所有邊都標(biāo)記a，此時(shí)只有一種標(biāo)記方法．于是，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所有不同的密碼設(shè)置的方法數(shù)為

．

綜上所述，這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)是：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有種；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有種．

第五篇：93全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1．若M={(x，y)|

|tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，則M∩N的元素個(gè)數(shù)是（）

(A)4

(B)5

(C)8

(D)9

5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin+cos的值是（）

(A)1

(B)

(C)

(D)-1

6．設(shè)m，n為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C，則方程|z+ni|+|z-mi|=n與|z+ni|-|z-mi|=-m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是（）

二、填空題（每小題5分，共30分）

1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為________．

2．實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)

S=x2+y2，則+=_______．

3．若z?C，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，則z的值是________.[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

4．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______.三、（本題滿分20分）

三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM相交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D￠，則D￠為三棱錐S－ABC的外接球球心．

四、（本題滿分20分）

設(shè)0

[來源:學(xué)科網(wǎng)]

五、（本題滿分20分）

設(shè)正數(shù)列a0，a1，a2，…，an，…滿足－=2an－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式．

第二試

一、（35分）

設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有DD是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個(gè)鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點(diǎn)．試證n應(yīng)滿足的充分必要條件是n≥4．

[來源:Z。xx。k.Com]

三、（35分）

水平直線m通過圓O的中心，直線l^m，l與m相交于M，點(diǎn)M在圓心的右側(cè)，直線l上不同的三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)最近，AP,BQ,CR為圓

O的三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)．試證：(1)l與圓O相切時(shí)，AB′CR+BC′AP=AC′BQ；(2)l與圓O相交時(shí)，AB′CR+BC′AP＜AC′BQ；(3)l與圓O相離時(shí)，AB′CR+BC′AP＞AC′BQ.1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽解答

第一試

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1．若M={(x，y)|

|tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，則M∩N的元素個(gè)數(shù)是（）

(A)4

(B)5

(C)8

(D)9

3．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，當(dāng)A1B時(shí)，(A，B)與(B，A)視為不同的對(duì)，則這樣的(A，B)對(duì)的個(gè)數(shù)是（）

（A）8

（B）9

（C）26

（D）27

【答案】D

【解析】a1∈A或?A，有2種可能，同樣a1∈B或?B，有2種可能，但a1?A與a1?B不能同時(shí)成立，故有22－1種安排方式，同樣a2、a3也各有22－1種安排方式，故共有(22－1)3種安排方式．選D．

5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長分別為a，b，c，若c-a等于AC邊上的高h(yuǎn)，則sin+cos的值是（）

(A)1

(B)

(C)

(D)-1

6．設(shè)m，n為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z?C，則方程|z+ni|+|z-mi|=n與|z+ni|-|z-mi|-m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn))是（）[來源:學(xué)。科。網(wǎng)]

【答案】B

【解析】方程①為橢圓，②為雙曲線的一支．二者的焦點(diǎn)均為(－ni，mi)，由①n>0，故否定A，由于n為橢圓的長軸，而C中兩個(gè)焦點(diǎn)與原點(diǎn)距離(分別表示|n|、|m|)均小于橢圓長軸，故否定C．

由B與D知，橢圓的兩個(gè)個(gè)焦點(diǎn)都在y軸負(fù)半軸上，由n為長軸，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲線上一點(diǎn)到－ni距離大，否定D，故選B．

二、填空題（每小題5分，共30分）

1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為________．

2．實(shí)數(shù)x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)

S=x2+y2，則+=_______．

【答案】

【解析】令x=rcosθ，y=rsinθ，則S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．

∴+=+=．

3．若z?C，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，則z的值是________.【答案】±(1+i)

【解析】如圖，可知z2表示復(fù)數(shù)4(cos120°+isin120°)．∴

z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+i)．

[來源:Zxxk.Com]

4．整數(shù)的末兩位數(shù)是_______.【答案】08

【解析】令x=1031，則得==x2－3x+9－．由于0<<1，故所求末兩位數(shù)字為09－1=08．

5．設(shè)任意實(shí)數(shù)x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，則k的最大值是_______.6．三位數(shù)(100，101，L，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則不然，如531倒過來看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____張卡片．

【答案】34

【解析】首位與末位各可選擇1，6，8，9，有4種選擇，十位還可選0，有5種選擇，共有4×5×4=80種選擇．

但兩端為1，8，中間為0，1，8時(shí)，或兩端為9、6，中間為0，1，8時(shí)，倒后不變；共有2×3+2×3=12個(gè)，故共有(80－12)÷2=34個(gè)．

三、（本題滿分20分）

三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB的中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：(1)DP與SM相交；(2)設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為，則為三棱錐S—ABC的外接球球心．

四、（本題滿分20分）

設(shè)0

五、（本題滿分20分）

設(shè)正數(shù)列a0、a1、a2、…、an、…滿足

－=2an－1，(n≥2)

且a0=a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式．

【解析】變形，同除以得：=2+1，令+1=bn，則得bn=2bn－1．

即{bn}是以b1=+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

∴

bn=2n．

∴

=(2n－1)2．故

∴

第二試

一、（35分）

設(shè)一凸四邊形ABCD，它的內(nèi)角中僅有DD是鈍角，用一些直線段將該凸四邊形分割成n個(gè)鈍角三角形，但除去A、B、C、D外，在該四邊形的周界上，不含分割出的鈍角三角形頂點(diǎn)．試證n應(yīng)滿足的充分必要條件是n≥4．

n=2時(shí)，連1條對(duì)角線把四邊形分成了2個(gè)三角形，但其中最多只能有1個(gè)鈍角三角形．

n=3時(shí)，無法從同一頂點(diǎn)出發(fā)連線段把四邊形分成3個(gè)三角形，現(xiàn)連了1條對(duì)角線AC后，再連B與AC上某點(diǎn)得到線段，此時(shí)無法使得到的兩個(gè)三角形都是鈍角三角形．

∴當(dāng)n=2，3時(shí)無法得到滿足題目要求的解．只有當(dāng)n≥4時(shí)才有解．

二、（35分）

設(shè)A是一個(gè)有n個(gè)元素的集合，A的m個(gè)子集A1,A2,L,Am兩兩互不包含．

試證：(1)

≤1；

(2)

C≥m2．其中|Ai|表示Ai所含元素的個(gè)數(shù)，C表示n個(gè)不同元素取|Ai|個(gè)的組合數(shù)．

三、（35分）

水平直線m通過圓O的中心，直線l^m，l與m相交于M，點(diǎn)M在圓心的右側(cè)，直線l上不同的三點(diǎn)A,B,C在圓外，且位于直線m上方，A點(diǎn)離M點(diǎn)最遠(yuǎn)，C點(diǎn)離M點(diǎn)最近，AP,BQ,CR為圓

O的三條切線，P,Q,R為切點(diǎn)．試證：(1)l與圓O相切時(shí)，AB′CR+BC′AP=AC′BQ；(2)l與圓O相交時(shí)，AB′CR+BC′AP＜AC′BQ；(3)l與圓O相離時(shí)，AB′CR+BC′AP＞AC′BQ.【解析】證明：設(shè)MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，⊙O的半徑=r．

且設(shè)k=d2－r2．則當(dāng)k>0時(shí)，點(diǎn)M在⊙O外，此時(shí)，直線l與⊙O相離；

當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M在⊙O上，此時(shí)，直線l與⊙O相切；

當(dāng)k<0時(shí)，點(diǎn)M在⊙O內(nèi)，此時(shí)，直線l與⊙O相交．

∴

AP==，同理，BQ=，CR=．

則AB′CR+BC′AP－AC′BQ=

AB′CR+BC′AP－(AB+BC)′BQ=BC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)

=BC×－AB×