2012年全國高中數學聯賽

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分．把答案填在題中的橫線上．

1.設是函數（）的圖像上任意一點，過點分別向

直線和軸作垂線，垂足分別為，則的值是_____________.6.設是定義在上的奇函數，且當時，．若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是_____________.7．滿足的所有正整數的和是_____________.8．某情報站有四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種．設第1周使用Ａ種密碼，那么第7周也使用種密碼的概率是_____________.（用最簡分數表示）

二、解答題：本大題共３小題，共５６分．解答應寫出文字說明、推理過程或演算步驟．

9．（本小題滿分16分）已知函數

（1）若對任意，都有，求的取值范圍；

（2）若，且存在，使得，求的取值范圍．

10．（本小題滿分２０分）已知數列的各項均為非零實數，且對于任意的正整數，都有

（1）當時，求所有滿足條件的三項組成的數列;

（2）是否存在滿足條件的無窮數列，使得若存在，求出這樣的無窮數列的一個通項公式；若不存在，說明理由．

11．（本小題滿分20分）

如圖5，在平面直角坐標系中，菱形的邊長為，且．

（1）求證：為定值；

（2）當點A在半圓（）上運動時，求

點的軌跡．

三、（本題滿分50分）

設是平面上個點，它們兩兩間的距離的最小值為

求證：

四、（本題滿分50分）

設，是正整數．證明：對滿足的任意實數，數列中有無窮多項屬于．這里，表示不超過實數的最大整數．

[來源:學.科.網]

2012年全國高中數學聯賽一試及加試試題

參考答案及詳細評分標準(A卷word版)

一、填空題：本大題共８小題，每小題８分，共６４分．把答案填在題中的橫線上．

１．

設是函數（）的圖像上任意一點，過點分別向直線和軸作垂線，垂

足分別為，則的值是

．

２．

設的內角的對邊分別為，且滿足，則的值是

.【答案】4

[來源:學&科&網Z&X&X&K]

３．設，則的最大值是

.【答案】[來源:學&科&網]

【解析】不妨設則

因為

所以

當且僅當時上式等號同時成立.故

4.拋物線的焦點為，準線為ｌ，是拋物線上的兩個動點，且滿足．設線段ＡＢ的中點在ｌ上的投影為，則的最大值是

.【答案】1[來源:Zxxk.Com]

【解析】由拋物線的定義及梯形的中位線定理得

在中,由余弦定理得

當且僅當時等號成立.故的最大值為1.5．設同底的兩個正三棱錐和內接于同一個球．若正三棱錐的側面與底面所成的角為，則正三棱錐的側面與底面所成角的正切值是

．

6.設是定義在上的奇函數，且當時，．若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是

．

【答案】

７．滿足的所有正整數的和是

．

【答案】33

【解析】由正弦函數的凸性,有當時,由此得

所以

故滿足的正整數的所有值分別為它們的和為.８．某情報站有四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種．設第１周使用Ａ種密碼，那么第７周也使用Ａ種密碼的概率是

．（用最簡分數表示）

二、解答題：本大題共３小題，共５６分．解答應寫出文字說明、推理過程或演算步驟．

９．（本小題滿分１６分）已知函數

（１）若對任意，都有，求的取值范圍；

（２）若，且存在，使得，求的取值范圍．

１０．（本小題滿分２０分）已知數列的各項均為非零實數，且對于任意的正整數，都有

（１）當時，求所有滿足條件的三項組成的數列;

（２）是否存在滿足條件的無窮數列，使得若存在，求出這樣的無窮數列的一個通項公式；若不存在，說明理由．

１１．（本小題滿分２０分）

如圖5，在平面直角坐標系中，菱形的邊長為，且．

（１）求證：為定值；

（２）當點A在半圓（）上運動時，求

點的軌跡．

【解析】因為所以三點共線

如圖,連結,則垂直平分線段,設垂足為,于是有

(定值)

(2)設其中則.因為所以

由(1)的結論得所以從而

故點的軌跡是一條線段,其兩個端點的坐標分別為

2012年全國高中數學聯賽加試試題（卷）

一、（本題滿分４０分）[來源:學科網]

如圖，在銳角中，是邊上不同的兩點，使得設和的外心分別為，求證：三點共線。

證法一:令消去得

由于這方程必有整數解;其中為方程的特解.把最小的正整數解記為則,故使是的倍數．……40分

證法二:由于由中國剩余定理知,同余方程組

在區間上有解即存在使是的倍數．…………40分

證法三:由于總存在使取使則

存在使

此時因而是的倍數．……………40分

三、（本題滿分５０分）

設是平面上個點，它們兩兩間的距離的最小值為

求證：

四、（本題滿分５０分）

設，ｎ是正整數．證明：對滿足的任意實數，數列中有無窮多項屬于．這里，表示不超過實數ｘ的最大整數．

【解析】證法一:(1)對任意,有

證法二:(1)