2011年全國高中數學聯合競賽一試試題（A卷）

考試時間：2011年10月16日

8：00—9：20

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分。

1．設集合，若中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為，則集合．

2．函數的值域為

．

3．設為正實數，，則

．

4．如果，那么的取值范圍是

．

5．現安排7名同學去參加5個運動項目，要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目，每個項目都有人參加，每人只參加一個項目，則滿足上述要求的不同安排方案數為

．（用數字作答）

6．在四面體中，已知，，則四面體的外接球的半徑為

．

7．直線與拋物線交于兩點，為拋物線上的一點，則點的坐標為

．

8．已知C，則數列中整數項的個數為

．

二、解答題：本大題共3小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

9．（本小題滿分16分）設函數，實數滿足，求的值．

10．（本小題滿分20分）已知數列滿足：R且，N．

（1）求數列的通項公式；

（2）若，試比較與的大小．

y

x

O

P

A

B

11．（本小題滿分20分）作斜率為的直線與橢圓：交于兩點（如圖所示），且在直線的左上方．

（1）證明：△的內切圓的圓心在一條定直線上；

（2）若，求△的面積．

2011年全國高中數學聯合競賽加試試題（A卷）

考試時間：2011年10月16日

9：40—12：10

一、（本題滿分40分）如圖，分別是圓內接四邊形的對角線的中點．若，證明：．

A

B

C

D

Q

P

二、（本題滿分40分）證明：對任意整數，存在一個次多項式

具有如下性質：

（1）均為正整數；

（2）對任意正整數，及任意個互不相同的正整數，均有

．

三、（本題滿分50分）設是給定的正實數，．對任意正實數，滿足的三元數組的個數記為．

證明：．

四、（本題滿分50分）設A是一個的方格表，在每一個小方格內各填一個正整數．稱A中的一個方格表為“好矩形”，若它的所有數的和為10的倍數．稱A中的一個的小方格為“壞格”，若它不包含于任何一個“好矩形”．求A中“壞格”個數的最大值．