2011年全國高中數學聯合競賽一試試題(A卷)
考試時間:2011年10月16日
8:00—9:20
一、填空題:本大題共8小題,每小題8分,共64分。
把答案填在橫線上.1.設集合,若中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為,則集合.
2.函數的值域為
.
3.設為正實數,,則
.
4.如果,那么的取值范圍是
.
5.現安排7名同學去參加5個運動項目,要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目,每個項目都有人參加,每人只參加一個項目,則滿足上述要求的不同安排方案數為
.(用數字作答)
6.在四面體中,已知,,則四面體的外接球的半徑為
.
7.直線與拋物線交于兩點,為拋物線上的一點,則點的坐標為
.
8.已知C,則數列中整數項的個數為
.
二、解答題:本大題共3小題,共56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
9.(本小題滿分16分)設函數,實數滿足,求的值.
10.(本小題滿分20分)已知數列滿足:R且,N.
(1)求數列的通項公式;
(2)若,試比較與的大小.
y
x
O
P
A
B
11.(本小題滿分20分)作斜率為的直線與橢圓:交于兩點(如圖所示),且在直線的左上方.
(1)證明:△的內切圓的圓心在一條定直線上;
(2)若,求△的面積.
2011年全國高中數學聯合競賽加試試題(A卷)
考試時間:2011年10月16日
9:40—12:10
一、(本題滿分40分)如圖,分別是圓內接四邊形的對角線的中點.若,證明:.
A
B
C
D
Q
P
二、(本題滿分40分)證明:對任意整數,存在一個次多項式
具有如下性質:
(1)均為正整數;
(2)對任意正整數,及任意個互不相同的正整數,均有
.
三、(本題滿分50分)設是給定的正實數,.對任意正實數,滿足的三元數組的個數記為.
證明:.
四、(本題滿分50分)設A是一個的方格表,在每一個小方格內各填一個正整數.稱A中的一個方格表為“好矩形”,若它的所有數的和為10的倍數.稱A中的一個的小方格為“壞格”,若它不包含于任何一個“好矩形”.求A中“壞格”個數的最大值.