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11全國高中數學聯賽試題與參考答案

2021-08-20 02:20:01下載本文作者:會員上傳
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2011年全國高中數學聯合競賽一試試題(A卷)

考試時間:2011年10月16日

8:00—9:20

一、填空題:本大題共8小題,每小題8分,共64分。

把答案填在橫線上.

1.設集合,若中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為,則集合.

2.函數的值域為

3.設為正實數,,則

4.如果,那么的取值范圍是

5.現安排7名同學去參加5個運動項目,要求甲、乙兩同學不能參加同一個項目,每個項目都有人參加,每人只參加一個項目,則滿足上述要求的不同安排方案數為

.(用數字作答)

6.在四面體中,已知,,則四面體的外接球的半徑為

7.直線與拋物線交于兩點,為拋物線上的一點,則點的坐標為

8.已知C,則數列中整數項的個數為

二、解答題:本大題共3小題,共56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9.(本小題滿分16分)設函數,實數滿足,求的值.

10.(本小題滿分20分)已知數列滿足:R且,N.

(1)求數列的通項公式;

(2)若,試比較與的大小.

y

x

O

P

A

B

11.(本小題滿分20分)作斜率為的直線與橢圓:交于兩點(如圖所示),且在直線的左上方.

(1)證明:△的內切圓的圓心在一條定直線上;

(2)若,求△的面積.

2011年全國高中數學聯合競賽加試試題(A卷)

考試時間:2011年10月16日

9:40—12:10

一、(本題滿分40分)如圖,分別是圓內接四邊形的對角線的中點.若,證明:.

A

B

C

D

Q

P

二、(本題滿分40分)證明:對任意整數,存在一個次多項式

具有如下性質:

(1)均為正整數;

(2)對任意正整數,及任意個互不相同的正整數,均有

三、(本題滿分50分)設是給定的正實數,.對任意正實數,滿足的三元數組的個數記為.

證明:.

四、(本題滿分50分)設A是一個的方格表,在每一個小方格內各填一個正整數.稱A中的一個方格表為“好矩形”,若它的所有數的和為10的倍數.稱A中的一個的小方格為“壞格”,若它不包含于任何一個“好矩形”.求A中“壞格”個數的最大值.

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