2004年全國高中數學聯賽試題

【第一試】

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1、設銳角q使關于x的方程有重根，則q的弧度數為

A．

B。

C。

D。

答：[

]

2、已知M=，N=，若對于所有的，均有則的取值范圍是

A．[]

B。（）C。（）

D。[]

答：[

]

3、不等式>0的解集是

A．[2，3]

B。（2，3）

C。[2，4]

D。（2，4）

答：[

]

4、設O點在△ABC內部，且有，則△ABC的面積與△AOC的面積之比為

A．2

B。

C。3

D。

答：[

]

5、設三位數，若以為三條邊的長可以構成一個

等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數有

A．45個

B。81個

C。165個

D。216個

答：[

]

6、頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，B是底面圓內的點，O為底面圓的圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C是PA的中點，則當三棱錐O—HPC的體積最大時，OB的長是

A．

B。

C。

D。

答：[

]

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7、在平面直角坐標系中，函數在一個最小正周期長的區間上的圖像與函數的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____________。

8、設函數滿足，且對任意的，都有=，則。

9、如圖，正方體中，二面角的度數是______________。

10、設是給定的奇質數，正整數使得也

是一個正整數，則=________________。

11、已知數列滿足關系式

且，則的值是______。

12、在平面直角坐標系中，給定兩點M（-1，2）和N（1，4），點P在X軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標是___________。

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13、一項“過關游戲”規則規定：在第關要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現的點數之和大于，則算過關。問：

（Ⅰ）某人在這項游戲中最多能過幾關？

（Ⅱ）他連過前三關的概率是多少？

（注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點數為出現點數。）

14、在平面直角坐標系中，給定三點A（0，），B（-1，0），C（1，0）。點P到直線BC的距離是該點到直線AB、AC距離的等比中頂。

（Ⅰ）求點P的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線L經過△ABC的內心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率的取值范圍。

15、已知、是方程（）的兩個不等實根，函數的定義域為[，]。

（Ⅰ）求

（Ⅱ）證明：對于，若，則。

【第二試】

一、（本題滿分50分）

在銳角△ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相

交于點H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點，FG與AH相交于點K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求

AK的長。

二、（本題滿分50分）

在平面直角坐標系中，軸正半軸上的點列與曲線（≥0）上的點列滿足，直線在X軸上的截距為，點的橫坐標為。

（Ⅰ）證明>>4。

（Ⅱ）證明有，使得對都有<。

三、（本題滿分50分）

對于整數≥4，求出最小的整數，使得對于任何正整數，集合的任一個元子集中，均有至少3個兩兩互素的元素。

參考答案

第一試

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1、解：因方程有重根，故

得，于是。

故選B。

2、解：相當于點（0，b）在橢圓上或它的內部。

故選A。

3、解：原不等式等價于

設

解得。

即。

故選C。

4、解：如圖，設D，E分別是AC，BC邊的中點，則

由（1）（2）得，即共線，且，故選C。

5、解：a，b，c要能構成三角形的邊長，顯然均不為0。即

（1）若構成等邊三角形，設這樣的三位數的個數為，由于三位數中三個數碼都相同，所以。

（2）若構成等腰（非等邊）三角形，設這樣的三位數的個數為，由于三位數中只有2個不同數碼。設為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數碼組（a，b）共有。但當大數為底時，設a>b，必須滿足。此時，不能構成三角形的數碼是

a

b

4，3

2，1

4，3

2，1

3，2

3，2

1，2

1，2

共20種情況。

同時，每個數碼組（a，b）中的二個數碼填上三個數位，有種情況。

故。

綜上。

6、解：

。C是PA中點，最大，也即最大。

此時，故選D。

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7、解：，它的最小正周期為，振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對稱性，可將這圖形割補成長為、寬為的長方形，故它的面積是。

8、解：

=

即。

9、解：連結，垂足為E，延長CE交于F，則，連結AE，由對稱性知是二面角的平面角。

連結AC，設AB=1，則

中，在的補角。

10、解：設，從而是平方數，設為

。（負值舍去）

11、解：設

即

故數列是公比為2的等比數列。

12、解：經過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3－x上，設圓心為

S（a，3－a），則圓S的方程為：

對于定長的弦在優弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當取最大值時，經過M，N，P三點的圓S必與X軸相切于點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得

a=1或a=－7。

即對應的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P（1，0）為所求，所以點P的橫坐標為1。

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數出現的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出現的點數最大為6，而，因此，當時，n次出現的點數之和大于已不可能。即這是一個不可能事件，過關的概率為0。所以最多只能連過4關。

.......5分

（Ⅱ）設事件為“第n關過關失敗”，則對立事件為“第n關過關成功”。

第n關游戲中，基本事件總數為個。

第1關：事件所含基本事件數為2（即出現點數為1和2這兩種情況），過此關的概率為：。

第2關：事件所含基本事件數為方程當a分別取2，3，4時的正整數解組數之和。即有（個）。

過此關的概率為：。

........10分

第3關：事件所含基本事件為方程當a分別取3，4，5，6，7，8時的正整數解組數之和。即有（個）。

過此關的概率為：。

.........15分

故連過前三關的概率為：。

........20分

（說明：第2，3關的基本事件數也可以列舉出來）

14、解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設，即，化簡得點P的軌跡方程為

圓S：

......5分

（Ⅱ）由前知，點P的軌跡包含兩部分

圓S：

①

與雙曲線T：

②

因為B（－1，0）和C（1，0）是適合題設條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內心D也是適合題設條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為

③

（i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分

（ii）當時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：

情況1：直線L經過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。

故當時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。

......15分

情況2：直線L不經過點B和C（即），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數解，消去y并化簡得

該方程有唯一實數解的充要條件是

④

或

⑤

解方程④得，解方程⑤得。

綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。

......20分

15、解：（Ⅰ）設

則

又

故在區間上是增函數。

.......5分

......10分

（Ⅱ）證：

....15分，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，......20分