第一篇：全國高中數學聯合競賽1996年試題

一九九六年全國高中數學聯合競賽

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1.把圓x2+(y –1)2 =1與橢圓9x2+(y + 1)2 = 9的公共點, 用線段連接起來的圖形是_________.(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形

12.等比數列{an}的首項a1=1536, 公比是q= –.用Tn表示它的前n項之積, 則Tn(n?N)最大的是．2

____________

(A)T9(B)T11(C)T12(D)T1

33.存在整數np?n?n是整數的質數p________

(A)不存在(B)只有一個(C)多于一個,但為有限個(D)有無窮多個

14設x?(– , 0),以下三個數: ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)?的大小關系是2

__________.(A)?3 < ?2 < ?1(B)?1 < ?3 < ?2(C)?3 < ?1 < ?2(D)?2 < ?3 < ?1

15.如果在區間[1, 2 ]上, 函數f(x)= x2 + px + q與)2在同一點取相同的最小值, x

那么f(x)在該區間上的最大值是__________.1151(A)4?2?4(B)4?2?4(C)1?2?4(D)以上答案都不對 4226.高為8的圓臺內有一個半徑為2的球O1, 球心O1在圓臺的軸上.球O1與圓臺上底面、側面都相切.圓臺內可再放入一個半徑為3的球O2, 使得球O2與球O1、圓臺的下底面及側面都只有一個公共點, 除球O2, 圓臺內最多還能放入半徑為3的球的個數是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)

4二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)

11.集合{x| –1? log(1)10 <– , x?N}的真子集的個數是_____________________ 2x

2.復平面上非零復數z1,z2在以i為圓心1為半徑的圓上z1,z2的實部

1為零,z1的輻角主值為? , 則z 2 = ____________.6

3.曲線C的極坐標方程是? = 1 + cos?, 點A的極坐標是(2, 0).曲線C在它所在的平面內

繞A 旋轉一周, 則它掃過的圖形的面積是______________.4.已知將給定的兩個全等的三棱錐的底面粘在一起, 恰得到一個所有二面角都相等的六

面體, 并且該六面體的最短棱的長為2, 則最遠的兩個基本點頂點的距離是__________.5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個正方體的六個面染色, 每面恰染一種

顏色, 每兩個具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有_____________種.(注:如果我們對兩個相同的正方體染色后,可以通過適當的翻轉,使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同,那么,我們就說這兩個正方體的染色方案相同).6.在直角坐標平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上，整點（即橫、縱坐標皆為整數的點）的個數為_______________.

第二篇：2018年全國高中數學聯合競賽加a試試題(A卷)

2018年全國高中數學聯合競賽加試試題(A卷)

一.(本題滿分40分)設n是正整數，a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn,A,B均為正實數，滿足ai?bi,ai?A,i?1,2,?,n，且

b1b2?bnB?.a1a2?anA證明：(b1?1)(b2?1)?(bn?1)B?1.?(a1?1)(a2?1)?(an?1)A?1二.(本題滿分40分)如圖，△ABC為銳角三角形，AB?AC,M為BC邊的中點，點D和E分別為△ABC的外接圓上弧BAC和弧BC的中點，F為△ABC內切圓在AB邊上的切點，G為AE與BC的交點，N在線段EF上，滿足NB?AB.證明：若BN?EM,則DF?FG.(答題時請將圖畫在答卷紙上)

三.(本題滿分50分)設n,k,m是正整數，滿足k?2，且n?m?2k?1n.設A是?1,2,?,m?的kn??n元子集.證明：區間?0,?中的每個整數均可表示為a?a?，其中a,a??A.?k?1?

四.(本題滿分50分)數列?an?定義如下：a1是任意正整數，對整數n?1，an?1是與且不等于a1,a2,?,an的最小正整數.證明：每個正整數均在數列?an?中出現.?ai?1ni互素，

第三篇：全國1995年初中數學聯合競賽試題(含解析)

全國1995年初中數學聯合競賽試題（含解析）

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

?xy?yz?632.方程組?的正整數解的組數是（）

xz?yz?23?A．1 B．2.C．3 D．4

23．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是（）A.0?m?1 B.m?333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為（）A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關系不確定

6．設實數a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個數中，十位數字為奇數的數共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4a?a4?a3?a2219.設x為正實數,則函數y=x-x+

21的最小值是__________.x210.以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.二、在坐標平面上，縱坐標與橫坐標都是整數的點稱為整點,試在二次函數y?的圖象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.三、試證：每個大于6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和.x2?x10?9510

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

2.方程組?A．1 ?xy?yz?63的正整數解的組數是（）

?xz?yz?23 B．2.C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是（）

A.0?m?1 B.m?

2333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為（）

A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關系不確定

6.設實數a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個數中，十位數字為奇數的數共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4324a?a?a?a21

9．設x為正實數,則函數y=x-x+

21的最小值是__________.x2【解析】：這個題目是將二次函數y＝x－x與反比例函數

10.以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

2第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.,試在二次函數y?的圖

象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.x2?x1010?95

6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和.

第四篇：2021全國高中數學競賽專題-三角函數

全國高中數學競賽專題-三角函數

三角恒等式與三角不等式

一、基礎知識

定義1

角：一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。

若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。

定義2

角度制：把一周角360等分，每一等分為一度。

弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圓心角的弧長為L，則其弧度數的絕對值|α|=

r

L,其中r

是圓的半徑。

定義3

三角函數：在直角坐標平面內，把角α的頂點放在原點，始邊與x

軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取

一個不同于原點的點P，設它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數s

in

α=r

y,余弦函數co

s

α=r

x,正切函數tan

α=

x

y，余切函數cot

α=y

x，正割函數se

c

α=x

r,余割函數c

s

c

α=.y

r

定理1

同角三角函數的基本關系式，倒數關系：tan

α=αcot

1,s

in

α=αcsc

1，co

s

α=αsec

1；

商數關系：tan

α=α

α

αααsin

cos

cot,cos

sin

=；

乘積關系：tan

α×co

s

α=s

in

α,cot

α×s

in

α=co

s

α；

平方關系：s

in

2α+co

s

2α=1,tan

2α+1=se

c

2α,cot

2α+1=c

s

c

2α.定理2

誘導公式（Ⅰ）s

in

(α+π)=-s

in

α,co

s(π+α)=-co

s

α,tan

(π+α)=tan

α,cot

(π+α)=cot

α;

（Ⅱ）s

in

(-α)=-s

in

α,co

s(-α)=co

s

α,tan

(-α)=-tan

α,cot

(-α)=cot

α;

（Ⅲ）s

in

(π-α)=s

in

α,co

s(π-α)=-co

s

α,tan

=(π-α)=-tan

α,cot

(π-α)=-cot

α;

（Ⅳ）s

in

???

??-απ2=co

s

α,co

s

???

??-απ2=s

in

α,tan

???

??-απ2=cot

α（奇變偶不變，符號看象限）。

定理3

正弦函數的性質，根據圖象可得y

=s

inx

（x

∈R）的性質如下。

單調區間：在區間??

?

??

?+

22,2

2πππ

πk

k

上為增函數，在區間??

?

??

?++

πππ

π232,22k

k

上為減函數，最小正周期：2π.奇偶性：奇函數

有界性：當且僅當x

=2kx

+2π時，y

取最大值1，當且僅當x

=3k

π-2

π

時,y

取最小值-1，值域為[-1，1]。

對稱性：直線x

=k

π+

π

均為其對稱軸，點（k

π,0）均為其對稱中心。這里k

∈Z

.定理4

余弦函數的性質，根據圖象可得y

=co

s

x

(x

∈R)的性質。

單調區間：在區間[2k

π,2k

π+π]上單調遞減，在區間[2k

π-π,2k

π]上單調遞增。

最小正周期：2π。

奇偶性：偶函數。

有界性：當且僅當x

=2k

π時，y

取最大值1；當且僅當x

=2k

π-π時，y

取最小值-1。值域為[-1，1]。

對稱性：直線x

=k

π均為其對稱軸，點??

?

?

?+

0,2π

πk

均為其對稱中心。這里k

∈Z

.定理5

正切函數的性質：由圖象知奇函數y

=tanx

(x

≠k

π+

2π)在開區間(k

π-2π,k

π+2

π)上為增函數,最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（k

π，0），（k

π+2

π，0）均為其對稱中心。

定理6

兩角和與差的基本關系式：co

s(α±β)=co

s

αco

s

β

s

in

αs

in

β,s

in

(α±β)=s

in

αco

s

β±co

s

αs

in

β;

tan

(α±β)=

.)

tan

tan

1()

tan

(tan

βαβα

±

兩角和與差的變式：2222

sin

sin

cos

cos

sin()sin()αββααβαβ-=-=+-

2222

cos

sin

cos

sin

cos()cos()αββααβαβ-=-=+-

三角和的正切公式：tan

tan

tan

tan

tan

tan

tan()1tan

tan

tan

tan

tan

tan

αβγαβγ

αβγαββγγα

++-++=

---

定理7

和差化積與積化和差公式:

s

in

α+s

in

β=2s

in

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,s

in

α-s

in

β=2s

in

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,co

s

α+co

s

β=2co

s

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,co

s

α-co

s

β=-2s

in

???

??+2βαs

in

???

??-2βα,s

in

αco

s

β=21[s

in

(α+β)+s

in

(α-β)],co

s

αs

in

β=21

[s

in

(α+β)-s

in

(α-β)],co

s

αco

s

β=21[co

s(α+β)+co

s(α-β)],s

in

αs

in

β=-2

[co

s(α+β)-co

s(α-β)].定理8

二倍角公式：s

in

2α=2s

in

αco

s

α,co

s2α=co

s

2α-s

in

2α=2co

s

2α-1=1-2s

in

2α,tan

2α=

.)

tan

1(tan

22αα

三倍角公式及變式：3

sin

33sin

4sin

ααα=-，3

cos34cos

3cos

ααα=-

1s

i

n

(60)s

i

n

s

i

n

(60)s

i

n

34α

ααα-+=，1

cos(60)cos

cos(60)cos34

αααα-+=

定理9

半角公式:

s

in

2α=2)cos

1(α-±,co

s

α

=2)cos

1(α+±,tan

2α=)cos

1()

cos

1(αα+-±=

.sin)cos

1()

cos

1(sin

αααα-=+

定理10

萬能公式:

?

?

?

??+?

??

??=

2tan

12tan

2sin

2ααα,???

??+???

??-=2tan

12tan

1cos

22ααα,.2tan

12tan

2tan

2???

??-???

??=ααα

定理11

輔助角公式：如果a,b

是實數且a

2+b

2≠0，則取始邊在x

軸正半軸，終邊經過點(a,b)的一個角為β，則s

in

β=22b

a

b

+,co

s

β=2

2b

a

a

+，對任意的角α.a

s

in

α+bco

s

α=)(22b

a

+s

in

(α+β).定理12

正弦定理：在任意△ABC

中有R

C

c

B

b

A

a

2sin

sin

sin

===，其中a,b,c

分別是角A，B，C的對邊，R

為△ABC

外接圓半徑。

定理13

余弦定理：在任意△ABC

中有a

2=b

2+c

2-2bco

s

A，其中a,b,c

分別是角A，B，C的對邊。

定理14

射影定理：在任意△ABC

中有cos

cos

a

b

C

c

B

=+，cos

cos

b

a

C

c

A

=+，cos

cos

c

a

B

b

A

=+

定理15

歐拉定理：在任意△ABC

中，2

2OI

R

Rr

=-，其中O,I

分別為△ABC的外心和內心。

定理16

面積公式：在任意△ABC

中，外接圓半徑為R,內切圓半徑為r，半周長2

a

b

c

p

++=

則211sin

2sin

sin

sin

(sin

sin

sin)224a

abc

S

ah

ab

C

rp

R

A

B

C

rR

A

B

C

R

=

=====++

222

1)(c

o

t

c

o

t

c

o

t)4

c

a

A

b

B

c

C

==++

定理17

與△ABC

三個內角有關的公式：

（1）sin

sin

sin

4cos

cos

cos

;222

A

B

C

A

B

C

++=

（2）cos

cos

cos

14sin

sin

sin

;222

A

B

C

A

B

C

++=+

（3）tan

tan

tan

tan

tan

tan

;A

B

C

A

B

C

++=

（4）tan

tan

tan

tan

tan

tan

1;222222

A

B

B

C

C

A

++=

（5）cot

cot

cot

cot

cot

cot

1;A

B

B

C

C

A

++=

（6）sin

2sin

2sin

24sin

sin

sin

.A

B

C

A

B

C

++=

定理18

圖象之間的關系：y

=s

inx的圖象經上下平移得y

=s

inx

+k的圖象；經左右平移得y

=s

in

(x

+?)的圖象（相位

變換）；縱坐標不變，橫坐標變為原來的ω

1，得到y

=s

in

x

ω(0>ω)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A

倍，得到y

=A

s

inx的圖象（振幅變換）；y

=A

s

in

(ωx

+?)(ω>0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A

倍，得到y

=A

s

inx的圖象（振幅變換）；y

=A

s

in

(ωx

+?)(ω,?>0)(|A

|

叫作振幅)的圖象向右平移ω

?

個單位得到y

=A

s

in

ωx的圖象。

定義4

函數y

=s

inx

?

?

???-∈2,2ππx的反函數叫反正弦函數，記作y

=a

r

c

s

inx

(x

∈[-1,1])，函數y

=co

s

x

(x

∈[0,π])的反函數叫反余弦函數，記作y

=a

r

cco

s

x

(x

∈[-1,1]).函數y

=tanx

?

??

?

?-

∈2,2ππx的反函數叫反正切函數。記作y

=a

r

ctanx

(x

∈[-∞,+∞]).函數y

=co

t

x

(x

∈[0,π])的反函數稱為反余切函數，記作y

=a

r

ccotx

(x

∈[-∞,+∞]).定理19

三角方程的解集，如果a

∈(-1,1)，方程s

inx

=a的解集是{x

|x

=n

π+(-1)n

a

r

c

s

ina,n

∈Z

}。

方程co

s

x

=a的解集是{x

|x

=2kx

±a

r

cco

s

a,k

∈Z

}.如果a

∈R，方程tanx

=a的解集是{x

|x

=k

π+a

r

ctana,k

∈Z

}。

恒等式：a

r

c

s

ina

+a

r

cco

s

a

=

2π；a

r

ctana

+a

r

ccota

=2

π.定理20

若干有用的不等式：

（1）若???

?

?∈2,0πx，則s

inx

（2）函數sin

x

y

x

=在(0,)π上為減函數；函數tan

x

y

x

=在(0,)2

π

上為增函數。

（3）嵌入不等式：設A+B+C=π，則對任意的x,y,z

∈R，有2

2cos

2cos

2cos

x

y

z

yz

A

xz

B

xy

C

++≥++

等號成立當且僅當yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題

1．結合圖象解題。

例1

求方程s

inx

=lg

|x

|的解的個數。

【解】在同一坐標系內畫出函數y

=s

inx

與y

=lg

|x

|的圖象，由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。

2．三角函數性質的應用。

例2

設x

∈(0,π),試比較co

s(s

inx)與s

in

(co

s

x)的大小。

【解】

若??

?

?

??∈ππ,2x，則-1所以s

in

(co

s

x)

≤0,又02x

π?

?

∈

??

?，則因為s

inx

+co

s

x

=2s

in

(x

+

4π)≤2π，所以co

s(s

inx)>co

s（2

π

-co

s

x)=s

in

(co

s

x).綜上，當x

∈(0,π)時，總有co

s(s

inx)3．最小正周期的確定。

例3

求函數y

=s

in

(2co

s|x

|)的最小正周期。

【解】

因為co

s(-x)=co

s

x，所以cos

|x

|=co

s

x,所以T

=2π是函數的周期；

4．三角最值問題。

例4

已知函數y

=s

inx

+x

2cos

1+，求函數的最大值與最小值。

【解法一】

令s

inx

=???

??≤≤=

+ππ

θθ4304

sin

2cos

1,cos

x,則有y

=).4

sin(2sin

2cos

2π

θθθ+

=+

因為

ππ

4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4

sin(0π

θ+≤≤1，所以當πθ43=，即x

=2k

π-2π(k

∈Z)時，y

m

in

=0，當4πθ=，即x

=2k

π+2

π

(k

∈Z)時，y

m

ax

=2.【解法二】

因為y

=s

inx

+)cos

1(sin

2cos

1222

x

x

x

++≤

+=2（因為(a

+b)2≤2(a

2+b

2)），且|s

inx|≤1≤x

2cos

1+，所以0≤s

inx

+x

2cos

1+≤2，所以當x

2cos

1+=s

inx，即x

=2k

π+2

π

(k

∈Z)時,y

m

ax

=2，當x

2cos

1+=-s

inx，即x

=2k

π-2

π

(k

∈Z)時,y

m

in

=0。

5．換元法的使用。

例5

求x

x

x

x

y

cos

sin

1cos

sin

++=的值域。

【解】

設t

=s

inx

+co

s

x

=).4sin(2cos

22sin

222π+=???

?

??+x

x

x

因為,1)4

sin(1≤+

≤-π

x

所以.22≤≤-t

又因為t

=1+2s

inxco

s

x,所以s

inxco

s

x

=212-t，所以2

1121

2-=+-=t

t

x

y，所以

.212212-≤≤--y

因為t

≠-1，所以121-≠-t，所以y

≠-1.所以函數值域為.212,11,212??

?

??--???-+-∈

y

6．圖象變換：y

=s

inx

(x

∈R)與y

=A

s

in

(ωx

+?)(A,ω,?>0).例6

已知f

(x)=s

in

(ωx

+?)(ω>0,0≤?≤π)是R

上的偶函數，其圖象關于點???

??0,43πM

對稱，且在區間??

?

???2,0π上是單調函數，求?和ω的值。

【解】

由f

(x)是偶函數，所以f

(-x)=f

(x)，所以s

in

(ωx+?)=s

in

(-ωx

+?)，所以co

s

?s

inx

=0，對任意x

∈R

成立。又0≤?≤π，解得?=2

π，因為f

(x)圖象關于??

?

??0,43πM

對稱，所以)43()43(x

f

x

f

++-ππ=0。

取x

=0，得)4

3(πf

=0，所以sin

.024

3=???

??+πωπ

所以243ππωπ+=k

(k

∈Z)，即ω=32(2k

+1)

(k

∈Z).又ω>0，取k

=0時，此時f

(x)=sin

(2x

+

2π)在[0，2

π

]上是減函數；

取k

=1時，ω=2，此時f

(x)=sin

(2x

+2π)在[0，2

π

]上是減函數；

取k

=2時，ω≥310，此時f

(x)=sin

(ωx

+2π)在[0，2

π

]上不是單調函數，綜上，ω=3

或2。

7．三角公式的應用。

例7

已知sin

(α-β)=

135，sin

(α+β)=-

135，且α-β∈???

??ππ,2，α+β∈??

?

??ππ2,23，求sin

2α,cos

2β的值。

【解】

因為α-β∈??

?

??ππ,2，所以cos

(α-β)=-.1312)(sin

-=--βα

又因為α+β∈??

?

??ππ2,23，所以cos

(α+β)=.1312)(sin

12=+-βα

所以sin

2α=sin

[(α+β)+(α-β)]=sin

(α+β)cos

(α-β)+cos

(α+β)sin

(α-β)=169

120,cos

2β=cos

[(α+β)-(α-β)]=cos

(α+β)cos

(α-β)+sin

(α+β)sin

(α-β)=-1.例8

已知△ABC的三個內角A，B，C

成等差數列，且B

C

A

cos

2cos

1cos

1-=+，試求2

cos

C

A

-的值。

【解】

因為A

=1200-C，所以cos

C

A

-=cos

(600-C)，又由于)

120cos(cos

cos)120cos(cos

1)120cos(1cos

1cos

00C

C

C

C

C

C

C

A

-+-=+-=+

=

222

1)2120cos()

60cos(2)]2120cos(120[cos

21)60cos(60cos

2000000-=---=-+-C

C

C

C，所以232

cos

22cos

242--+-C

A

C

A

=0。解得222cos

=-C

A

或8232cos

-=-C

A。

又2

cos

C

A

->0，所以222cos

=-C

A。

例9

求證：tan

20?+4cos

70?

【解】

tan

20?+4cos

70?=??20cos

20sin

+4sin

20?

?

??+=+=20cos

40sin

220sin

20cos

20cos

20sin

420sin

?

???+=++=20

cos

40sin

10cos

30sin

220cos

40sin

40sin

20sin

.320cos

20cos

60sin

220cos

40sin

80sin

==+=?

?

例10

證明：7

cos77cos521cos335cos

64cos

x

x

x

x

x

+++=

分析：等號左邊涉及角7x、5x、3x、x

右邊僅涉及角x，可將左邊各項逐步轉化為x

sin、x

cos的表達式，但相對較繁.觀察到右邊的次數較高，可嘗試降次.證明：因為,cos

33cos

cos

4,cos

3cos

43cos

x

x

x

x

x

x

+=-=所以

從而有x

x

x

x

x

226cos

9cos

3cos

63cos

cos

16++=

=)2cos

1(2

9)2cos

4(cos

326cos

1x

x

x

x

+++++

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

cos

20cos

2cos

30cos

4cos

12cos

6cos

2cos

64,2cos

992cos

64cos

66cos

1cos

327

6+++=+++++=

.cos

353cos

215cos

77cos

cos

20cos

153cos

153cos

65cos

65cos

7cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+++=++++++=

評述：本題看似“化簡為繁”，實質上抓住了降次這一關鍵，很是簡捷.另本題也可利用復數求解.令

77)1

(cos

128，1cos

2,sin

cos

z

z

z

z

i

z

+=+=+=αααα從而則，展開即可.例11

已知.20012tan

2sec

:,2001tan

1tan

1=+=-+αααα求證

證明：)4tan()22

sin()22cos(12cos

2sin

12tan

2sec

απαπαπ

αααα+=++-=+=+.2001tan

1tan

1=-+=αα.2001tan

1tan

1=-+=

αα

例12

證明：對任一自然數n

及任意實數m

n

k

m

x

k，,2,1,0(2

=≠

π為任一整數），有

.2cot

cot

2sin

14sin

12sin

1x

x

x

x

x

n

n

-=+++

思路分析：本題左邊為n

項的和，右邊為2項之差，故嘗試將左邊各項“裂”成兩項之差，并希冀能消去其中許多

中間項.證明：,2cot

cot

2sin

2cos

cos

sin

2cos

22sin

2cos

cos

22sin

122x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

-=-=-=

同理

x

x

x

4cot

2cot

4sin

1-=

……

x

x

x

n

n

n

2cot

2cot

2sin

11-=-

評述：①本題裂項技巧也可通過數學歸納法獲得.②“裂項相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：

n

n

n

n

-=

-+++α

α

ααααααtan

tan

tan)1tan(3tan

2tan

2tan

tan

.1cot

1cos

cos

88cos

12cos

1cos

11cos

0cos

1.2cot

2cot

2tan

22tan

22tan

2tan

1122=+++-=++++++ααααααn

n

n

n

例13

設ABC

?的內角A

B

C，所對的邊，a

b

c

成等比數列，則

sin

cot

cos

sin

cot

cos

A

C

A

B

C

B

++的取值范圍是（）

A.(0,)+∞

B.C.D.)+∞

[解]

設，a

b

c的公比為q，則2,b

aq

c

aq

==，而sin

cot

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cot

cos

sin

cos

cos

sin

A

C

A

A

C

A

C

B

C

B

B

C

B

C

++=

++

sin()sin()sin

sin()sin()sin

A

C

B

B

b

q

B

C

A

A

a

ππ+-=

====+-．

因此，只需求q的取值范圍．

因，a

b

c

成等比數列，最大邊只能是a

或c，因此，a

b

c

要構成三角形的三邊，必需且只需a

b

c

+>且

b

c

a

+>．即有不等式組

22,a

aq

aq

aq

aq

a

?+>??+>??即22

10,10.q

q

q

q

?--解得q

q

q

q，因此所求的取值范圍是．故選C

例14

△ABC

內接于單位圓，三個內角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于A1、B1、C

1，則C

B

A

C

CC

B

BB

A

AA

sin

sin

sin

2cos

2cos

2cos

111++?+?+?的值為（）

A

．2

B

．4

C

．6

D

．8

解：如圖，連BA

1，則AA

1=2sin(B+)2

2cos(2)222sin(2)2C

B

C

B

C

B

A

A

-=-+++=)2

cos(2cos

2cos

2cos)22cos(22cos

1C

B

C

A

C

B

A

A

C

B

A

AA

-=-++-+=-=∴π,sin

sin)2cos(B

C

B

+=-+π

同理,sin

sin

2cos

1C

A

B

BB

+=,sin

sin

cos

1B

A

C

CC

+=),sin

sin

(sin

22cos

2cos

2cos

111C

B

A

C

CC

B

BB

A

AA

++=++∴原式=.2sin

sin

sin)

sin

sin

(sin

2=++++C

B

A

C

B

A

選A.例15

若對所有實數x，均有sin

sin

cos

cos

cos

2k

k

k

x

kx

x

kx

x

?+?=，則k

=（）.A、6；

B、5；

C、4；

D、3．

解：記()s

i

n

s

i

n

c

o

s

c

o

s

c

o

s

k

k

k

f

x

x

k

x

x

k

x

x

=?+?

-，則由條件，()f

x

恒為0，取2

x

π

=，得

()s

i

n

12k

k

π=-，則k

為奇數，設21k

n

=-，上式成為sin

12n

ππ?

?-=-

???，因此n

為偶數，令2n

m

=，則

41k

m

=-，故選擇支中只有3k

=滿足題意．故選D

例16

已知()()

2222212f

x

x

a

b

x

a

ab

b

=++-++-是偶函數，則函數圖象與y

軸交點的縱坐標的最大值是

A

B.2

C.解：由已知條件可知，2

10a

b

+-=，函數圖象與y

軸交點的縱坐標為2

2a

ab

b

+-。令,s

cos

in

b

a

θθ==，則2222

2sin

cos

sin

cos

2sin

2c

s

2o

a

ab

b

θθθθθθ+=+=--+≤

選

A。

例17

已知,R

αβ∈，直線

1sin

sin

sin

cos

x

y

αβαβ+=++與1cos

sin

cos

cos

x

y

αβαβ

+=++的交點在直線y

x

=-上，則cos

sin

c

in

s

s

o

ααββ+++=。

解：由已知可知，可設兩直線的交點為00(,)x

x

-，且,in

s

s

co

αα為方程

00

1sin

cos

x

x

t

t

ββ

-+=++，的兩個根，即為方程2

0sin

c

(cos)sin

os

(cos)i

0s

n

t

t

x

ββββββ-++-=+的兩個根。

因此cos

(sin

sin

cos)ααββ+=-+，即cos

sin

c

in

s

s

o

ααββ+++=0。

1、＝。

2、已知函數)45

41(2)cos()sin()(≤≤+-=

x

x

πx

πx

x

f，則f

(x)的最小值為_____。

3、已知

3sin)2sin(=+αβα，且),(2,21Z

k

n

n

k

∈+≠+≠π

πβαπβ。則

ββαtan)tan(+的值是_

__.4、設函數f

(x)=3sin

x

+2cos

x

+1。若實數a、b、c

使得af

(x)+bf

(x

?c)=1對任意實數x

恒成立，則a

c

b

cos

=

5、設0)cos

1(2

θθ

+的最大值。

6、求證：.112tan

312tan

18tan

18tan

3=++

7、已知a

0=1,a

n

n

-(n

∈N

+)，求證：a

n

2+n

π

.8、已知.cos

sin)tan(:,1||),sin(sin

A

A

A

-=+>+=ββ

βαβαα求證

9、若A，B，C

為△ABC

三個內角，試求s

inA

+s

inB

+s

inC的最大值。

10、證明：.2

sin

21sin)2sin()sin()2sin()sin(sin

β

ββαβαβαβαα++

=

+++++++n

n

n11、已知α，β為銳角，且x

·（α+β-2π）>0，求證：.2sin

cos

sin

cos

?

??+?

??x

x

αββα

12、求證：①16

78cos

66cos

42cos

6cos

=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?

全國高中數學競賽專題-三角恒等式與三角不等式

實戰演練答案

1、解：根據題意要求，2

605x

x

+≥+，2

0571x

x

+≤+≤。于是有2

715x

x

+=+。因此

cos01==。因此答案為

1。

2、解：實際上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x

x

π

πx

x

f，設)4541)(4sin(2)(≤≤-=x

ππx

x

g，則g

(x)≥0，g

(x)在]43,41[上是增函數，在]4

5,43[上是減函數，且y

=g

(x)的圖像關于直線43=x

對稱，則對任意]43,41[1∈x，存在]45,43[2∈x，使g

(x

2)=g

(x

1)。于是)(2)(2)(2)()(22

212111x

f

x

x

g

x

x

g

x

x

g

x

f

=+≥+=+=，而f

(x)在]45,43[上是減

函數，所以554)4

()(=

≥f

x

f，即f

(x)在]4

5,41[上的最小值是554。

3、解：

.213131sin)2sin(1sin)2sin(]sin)2[sin(21]

sin)2[sin(21

sin)cos(cos)sin(tan)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α

βααβααβααβαβββαββαb

a4、解：令c=π，則對任意的x

∈R，都有f

(x)+f

(x

?c)=2，于是取2

==b

a，c=π，則對任意的x

∈R，af

(x)+bf

(x

?c)=1，由此得1cos

-=a

c

b。

一般地，由題設可得1)sin(13)(++=?x

x

f，1)sin(13)(+-+=-c

x

c

x

f

?，其中20π2

tan

=?，于是af

(x)+bf

(x

?c)=1可化為1)sin(13)sin(13=++-+++b

a

c

x

b

x

a

??，即

0)1()cos(sin

13cos)sin(13)sin(13=-+++-+++b

a

x

c

b

c

x

b

x

a

???，所以0)1()cos(sin

13)sin()cos

(13=-+++-++b

a

x

c

b

x

c

b

a

??。

由已知條件，上式對任意x

∈R

恒成立，故必有??

?

??=-+==+)3(01)2(0

sin)1(0cos

b

a

c

b

c

b

a，若b

=0，則由(1)知a

=0，顯然不滿足(3)式，故b

≠0。所以，由(2)知sin

c

=0，故c=2k

π+π或c=2k

π(k

∈Z)。當

c=2k

π時，cos

c

=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k

π+π(k

∈Z)，cos

c

=?1。由(1)、(3)知21

=

=b

a，所以1cos

-=a

c

b。

5、【解】因為020π

θ，所以s

in

2θ>0,co

s

θ>0.所以s

in

2θ（1+co

s

θ）=2s

in

2θ·co

s

θ

=2cos

2cos

2sin

22222θθ

θ???

≤3

22232cos

2cos

2sin

22??

???

?

?θθθ=.9342716=

當且僅當2s

in

2θ=co

s

22θ,即tan

2θ=22,θ=2a

r

ctan

22時，s

in

θ

(1+co

s

θ)取得最大值934。

6、思路分析：等式左邊同時出現

12tan

18tan、12tan

18tan

+，聯想到公式β

αβ

αβαtan

tan

1tan

tan)tan(-+=+.證明：

12tan

312tan

18tan

18tan

3++

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

18tan(3

t

18(tan

3=+?=+=

評述：本題方法具有一定的普遍性.仿此可證)43tan

1()2tan

1)(1tan

1（+++22

2)44tan

1(=+

等.7、【證明】

由題設知a

n

>0，令a

n

=tana

n,a

n

∈??

?

??2,0π，則a

n

=

.tan

2tan

sin

cos

1tan

1sec

tan

1tan

1111

12n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

==-=-=

-+-------

因為21-n

a，a

n

∈???

??2,0π，所以a

n

=121-n

a，所以a

n

=.210a

n

??

?

??

又因為a

0=tana

1=1，所以a

0=4π，所以n

n

a

??

?

??=21·4π。

又因為當0時，tanx

>x，所以.2

2tan

22++>=n

n

n

a

ππ

注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當x

∈??

?

??2,0π時，有tanx

>x

>s

inx，這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數后，證明是很容易的。

8、分析：條件涉及到角α、βα+，而結論涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除條件與結論間角的差異，當然亦可從式中的“A

”入手.證法1：),sin(sin

βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin))(cos

sin(),sin(sin)cos(cos)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A

A

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

.cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

證法2：αβαβββαβααββββsin)sin(cos

sin)sin()sin(sin

cos

sin

sin

sin

-++=+-=-A).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαβ

βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=

9、【解】

因為s

inA

+s

inB

=2s

in

2B

A

+co

s

2sin

22B

A

B

A

+≤-,①

s

inC

+s

in

3sin

3cos

3sin

π

π

π

π

+≤-+=C

C

C,②

又因為3

sin

3cos

43sin

3sin

sin

ππ

π

π

≤-

-++

++=+++C

B

A

C

B

A

C

B

A，③

由①，②，③得s

inA

+s

inB

+s

inC

+s

in

3π≤4s

in

π,所以s

inA

+s

inB

+s

inC

≤3s

in

3π=233,當A

=B

=C

=3

π

時，（s

inA

+s

inB

+s

inC）m

ax

=233.注：三角函數的有界性、|s

inx

|≤1、|co

s

x

|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數的單調

性等是解三角最值的常用手段。

10、證明：)],2

cos()2[cos(212sin

sin

βαβαβ

α--+-=)]sin()2sin()sin([sin

sin，)]2

2cos()212[cos(212sin)sin(,)]2

cos()25[cos(212sin)2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααβ

βαβαββαβαβαββαβ

αβαβ

βαn

n

n

n

+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+

各項相加得類似地

.2

sin)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n

n

n

.2

1sin)2sin()]

2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+

+-=n

n

n

所以，.2

sin

sin)2sin()sin()sin(sin

βββαβαβαα++=+++++n

n

n

評述：①類似地，有.2

sin)2cos(21sin)cos()cos(cos

β

βαββαβααn

n

n

++=

+++++

②利用上述公式可快速證明下列各式：2sin

cos

2sin

cos

3cos

2cos

cos

θ

θθθθθθ+=++++n

n

n

.21

97cos

95cos

93cos

9cos

.2

75cos

73cos

9cos

等=+++=++ππ

πππππ.2197cos

95cos

93cos

9cos

.2

175cos

73cos

cos

等=+++=++πππππππ

11、【證明】

若α+β>2π，則x

>0，由α>2π-β>0得co

s

απ-β)=s

in

β,所以0又s

in

α>s

in

(2π-β)=co

s

β,所以0β

sin

cos

0,所以βαsin

cos

>1。

又0β

sin

cos

>1，所以2sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

0

=???

?

?+?

??x，得證。

注：以上兩例用到了三角函數的單調性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。

12、證明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°

54cos

78cos

42cos

?

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16

154cos

4)

183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?=

=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°

=4

387sin

6sin

3sin)41(29?

60sin

30sin)87sin

33sin

27(sin)66sin

54sin

6)(sin

63sin

57sin

3(sin

3)4

(30=

45)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

45sin)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81

sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

又)72cos

1)(36cos

1(41)36sin

18(cos

-+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4136cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

即

.45

36sin

18cos

=

所以

.106)4

(89sin

2sin

1sin

45?=

36sin

18cos

3)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)4(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

3)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

第五篇：2014全國高中數學聯賽試題及解答

2014年全國高中數學聯合競賽一試試題（A）

一．填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.若正數a,b滿足2+log2a?3?log3b?log6(a?b)，則11?的值為_______________ 解：設2+log2a?3?log3b?log6(a?b)=m

?2m?2

??a

則?3m?3?b?6m?a?b

?

?4a?27b?a?b

?1

a?1

b?4?27?108 ab??2m?4a?3m?27b?6m?a?b ??